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d’Arakelov :application à l’algébrisation et à l’étude asymptotique des polygones deHarder-Narasimhan

Huayi Chen

To cite this version:

Huayi Chen. Positivité en géométrie algébrique et en géométrie d’Arakelov :application à l’algébrisation et à l’étude asymptotique des polygones deHarder-Narasimhan. Mathématiques [math].

Ecole Polytechnique X, 2006. Français. �tel-00119162v2�

pr´esent´ee par

Chen Huayi

pour obtenir

le grade de : Docteur de l’ ´ Ecole Polytechnique Sp´ecialit´e : Math´ ematiques

Positivit´e en g´eom´etrie alg´ebrique et en g´eom´etrie d’Arakelov :

application ` a l’alg´ebrisation et ` a l’´etude asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan

Th`ese pr´esent´ee le 1er d´ecembre 2006 devant la commission d’examen :

Jean-Benoˆıt Bost Directeur de th`ese Antoine Chambert-Loir Examinateur

Pierre Colmez Pr´esident du jury

Damian R¨ ossler Rapporteur

Christophe Soul´ e Rapporteur

Remerciements

C’est bien sˆur Jean-Benoˆıt Bost, mon directeur de th`ese, que je voudrais remercier en premi`ere place. Pendant ces ann´ees de th`ese, j’ai eu la chance de profiter de ses visions pro- fondes, de ses immenses connaissances math´ematiques et culturelles, et de ses id´ees enrichis- santes. Il m’a guid´e dans un domaine math´ematique si int´eressant et il a consacr´e de nombreuses heures `a discuter avec moi et `a lire mes textes, jusqu’`a corriger des fautes de grammaire et typographiques. Je voudrais lui exprimer tous mes remerciements, pour sa disponibilit´e, son soutien, et ses encouragements permanents.

Je remercie sinc`erement Damian R¨ossler et Christophe Soul´e qui ont accompli l’ardu travail de rapporteurs. Christophe Soul´e m’a renvoy´e le manuscrit avec ses corrections au- dessus. Je tiens `a lui exprimer mes gratitudes.

Je remercie vivement Antoine Chambert-Loirpour sa remarque utile sur cette th`ese et

´egalement pour avoir accept´e d’ˆetre membre de jury, malg´e le d´eplacement.

C¸ a me fait de grand plaisir que PierreColmeza accept´e de faire partie du jury. Je lui sais gr´e.

Je suis reconnaissant `a Christophe Mourougane de l’int´erˆet qu’il a manifest´e `a cette th`ese, de ses commentaires tr`es pr´ecieux et des discussions que nous avons eues pendant ma pr´eparation de th`ese.

Cette th`ese a ´et´e effectu´ee au sein du Centre de Math´ematiques Laurent Schwartz de l’´Ecole Polytechnique dont je voudrais remercier tous les membres et particuli`erment son directeur ClaudeViterbo, ses secr´etaires et ses informaticiens pour leur aide et leur accueil chaleureux.

Je voudrais exprimer ma gratitude `a YvesLaszlopour avoir touv´e le financement pour mon dernier mois de la pr´eparation de cette th`ese. Mes remerciements vont aussi `a JeanBarge, PaulGauduchon, YvesLaszlo, JeanLannes,MaXiaonan, ChristopheMargerinet `a mes coll`egues th´esards pour les discussions math´ematiques.

Je voudrais remercier les personnels de l’´Ecole Doctorale de l’´Ecole Polytechnique pour leur soutien administratif qui a beaucoup simplifi´e le renouvellement de mon titre de s´ejour et de mon autorisation de travail.

Je remercie ´egalement mes amis OmidAmini, GerardFreixas i Montplet,GongZheng, YaoYi-Jun etZhouGuodong pour avoir partag´e avec moi leurs connaissances et leurs id´ees math´ematiques qui sont tr`es utiles pour cette th`ese.

De tout mon cœur, je remercie mon ´epouse pour son accompagnement et son soutien sans lesquels cette th`ese n’aurait pas pu aboutir.

i

Introduction

Le but de cette th`ese est d’´etudier diverses notions depositivit´e, dans le cadre de la g´eom´etrie alg´ebrique et de la g´eom´etrie d’Arakelov, pour un fibr´e vectoriel sur une vari´et´e alg´ebrique pro- jective, et de d´evelopper des applications `a l’´etude de l’alg´ebricit´e des sous-sch´emas formels des vari´et´es alg´ebriques et du comportement asymptotique des polygones de Harder-Narasimhan.

Hartshorne [53] a d´emontr´e que, siXest un sch´ema formel propre et r´egulier sur un corps k et si le sous-sch´ema de d´efinition Y de Vb est de dimension ≥1, connexe, localement une intersection compl`ete dans Vb, et dont le fibr´e normal dans Vb est ample, alors le degr´e de transcendence dek(bV)/k est inf´erieur ou ´egal `a la dimension de Vb. Il en d´eduit que siY est une sous-vari´et´e ferm´ee d’une vari´et´e alg´ebriqueX et si Vb est un sous-sch´ema formel ferm´e de XbY, alors Vb est alg´ebrique. La condition d’amplitude de NYVb peut ˆetre affaiblie dans le contexte de la g´eom´etrie analytique complexe par la condition de 1-positivit´e. Dans cette th`ese, on introduit une condition de positivit´e, appel´eeP3, plus faible que l’amplitude, et on montre que le r´esultat d’alg´ebricit´e de Hartshorne reste vrai lorsque l’on suppose queNYVb satisfasse P3. Dans le cadre de la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, cette condition est aussi plus faible que la 1-positivit´e. La d´emonstration s’inspire des techniques de “polynˆomes auxilliaires” de l’approximation diophantienne, sous la forme de la m´ethode des pentes due `a J.-B. Bost. En outre, on d´eveloppe un crit`ere num´erique de la conditionP3 qui est la n´egativit´e de la limite d’une suite de pentes maximales, qui d´efinit lapente maximale asymptotiquedudualdu fibr´e normalNYVb. La d´emonstration de l’existence de cette limite de pentes maximales repose sur des variantes du lemme de Fekete sur les suites sous-additives.

Il s’av`ere que le mˆeme type d’argument, combin´e avec des techniques combinatoires, permet d’´etablir, dans le cadre de la g´eom´etrie alg´ebrique et dans le cadre de la g´eom´etie d’Arakelov, la convergence des polygones de Harder-Narasimhan (normalis´es) d’une alg`ebre gradu´ee en fibr´es vectoriels sur une courbe projective et lisse, ou en fibr´e vectoriels hermitiens sur le spectre d’un anneaux des entiers alg´ebriques. La limite des polygones est une courbe concave sur [0,1]

qui est en g´en´eral non-triviale. La d´emonstration de la partie arithm´etique utilise une nouvelle majoration de la pente maximale du produit tensoriel de plusieurs fibr´es vectoriels hermitiens

´etablie dans cette th`ese.

L’organisation de cette th`ese est la suivante :

Dans le premier chapitre, on rappelle diverses conventions et d´efinitions, et des r´esultats classiques qui seront utilis´es par la suite.

On introduit dans le deuxi`eme chapitre la condition appel´eeP3pour un couple (X,E) form´e d’une vari´et´e projectiveXde dimension≥1 sur un corpsk, et d’unO<sup>X</sup>-module localement libre de rang finiE: on dit que la conditionP3(X,E) est v´erifi´ee, sipour toutO<sup>X</sup>-module inversibleL surX, ou de fa¸con ´equivalente pour unO<sup>X</sup>-module inversible ampleLsurX,il existeλ >0tel que, pour tout entierd > λ et tout entieri > λd, l’espace H<sup>0</sup>(X,S<sup>i</sup>(E<sup>∨</sup>)⊗L<sup>⊗d</sup>)est r´eduit `a0.

Par la dualit´e de Serre, siX est une courbe alg´ebrique lisse et si le corpskest de caract´eristique iii

0, alors la conditionP3est ´equivalente `a l’amplitude deE surX. En appuyant sur un r´esultat dˆu `a Hartshorne, qui affirme l’´equivalence de l’amplitude et lap-amplitude d’un fibr´e vectoriel sur une courbe projective lisse d´efinie sur un corps de caract´eristique p > 0, on d´emontre que, dans le cas o`uX est une courbe projective lisse sur un corps de caract´eristique positive, l’amplitude de E implique la condition P3(X,E). Dans le cas o`u X est de dimension >1, en coupantX par des hyperplanes g´en´eriques, on montre que l’amplitude de E sur X implique celle de la restriction deEsur une courbe g´en´erique dansX et donc la conditionP3(X,E). En donnant un contre exemple, qui consiste en un produit de deux vari´et´es projectives et un fibr´e inversible produit tensoriel externe, on montre que la conditionP3 est strictement plus faible que l’amplitude. D’autre part, dans le cadre de la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, on montre que la conditionP3 est plus faible que la 1-positivit´e.

Dans la deuxi`eme partie du chapitre, on cherche `a ´etudier la condition de positivit´e d’un fibr´e vectorielEsur une vari´et´e projectiveX de dimension≥1 dans la situation relative o`u est donn´e un morphisme projectif et surjectifπdeXvers une courbe projective lisseC. En utilisant une g´en´eralisation du lemme de Fekete sur les suites sous-additives, on d´emontre que, siLest un fibr´e inversible sur X ample relativement `a π, alors la suiteµmax(π∗(L^⊗n))

n

n≥1 admet une limite dansRque l’on noteµ^π_max(L) et que l’on appelle lapente maximale asymptotiquede L(relativement `aπ). La sur-additivit´e deµ<sup>π</sup><sub>max</sub>(L) par rapport `aL(pour le produit tensoriel) nous permet d’´etendre la notion de la pente maximale asymptotique pour un fibr´e inversible quelconque surX. Cette pente maximale asymptotique est li´ee `a la positivit´e deL: on a

µ^π_max(L)>0 =⇒µ^π_max(L^∨)<0 =⇒P3(X,L).

C’est un crit`ere num´erique assurant la condition P3. On donne un exemple du calcul de la pente maximale asymptotiqueµ<sup>π</sup><sub>max</sub>(L) en ´etudiant le cas o`u X est un sch´ema ab´elien sur C.

Par passage au fibr´e inversible canonique sur le fibr´e projectif, on ´etend la d´efinition de la pente maximale asymptotique `a un fibr´e vectoriel surX et on d´emontre l’analogue du crit`ere num´erique ci-dessus pour la conditionP3.

La derni`ere partie du chapitre est consacr´ee aux applications des r´esultats pr´ec´edents aux probl`emes d’alg´ebricit´e. On ´etablit l’´enonc´e suivant :

Soient X une vari´et´e projective sur un corps k et Y une sous-vari´et´e ferm´ee lisse de X. Soit Vb un sous-sch´ema formel lisse du compl´et´e formel XbY de X le long de Y, admettant Y comme sch´ema de d´efinition. Si le fibr´e normalNYVb `a Y dans Vb satisfait `a la condition P3, alors Vb est alg´ebrique.

Ce crit`ere d’alg´ebrisation, combin´e aux divers crit`eres assurant la condition P3, permet d’am´eliorer des r´esultats sur l’´etude de la relation entre ´equivalence formelle et ´equivalence

´etale des germes de plongement de vari´et´es projectives. Plus pr´ecis´ement, siY est une vari´et´e projective lisse sur un corps k plong´ee dans deux vari´et´es lisses X1 et X2 qui admet des voisinages formelsXc1Y etXc2Y dansX1et X2isomorphes de sorte queNYXc1Y satisfasse `a la conditionP3, alors il existe desvoisinage ´etalesdeY dansX1 etX2isomorphes. Ceci renforce un r´esultat de Gieseker (valable sous une hypoth`ese d’amplitude sur le fibr´e normal), et ´etablit des versions alg´ebriques du th´eor`eme de Commichau-Grauert et Hirschowitz (d´emontr´es dans un cadre analytique).

Le troisi`eme chapitre est consacr´e `a l’analogue dans le cadre de la g´eom´etrie d’Arakelov, des d´efinitions et des r´esultats ´etablis dans le deuxi`eme chapitre. On montre d’abord que, si π:X →SpecO^K est une vari´et´e arithm´etique et siL est un fibr´e inversible hermitien surX tel queLKsoit ample surXK, alors la suite bµmax(π∗(L^⊗n))

n

n≥1admet une limiteµb^π_max(L)

dansR. On appelle cette limite lapente maximale asymptotique arithm´etiquedu fibr´e inversible hermitien L. L’application L 7→ µb^π_max(L) est aussi sur-additive par rapport `a L (pour le produit tensoriel), donc se prolonge sur l’ensemble des fibr´es inversibles hermitiens g´en´eraux sur X. Par passage au fibr´e inversible canonique (muni de la m´etrique de Fubini-Study) on peut d´efinir la pente maximale asymptotique arithm´etique d’un fibr´e vectoriel hermitien sur X.

On propose comme analogue de P3 la condition suivante : on dit qu’un fibr´e vectoriel her- mitien E sur X est faiblement positif si pour tout fibr´e inversible hermitien L sur X (ou de fa¸con ´equivalente, pour un fibr´e inversible hermitienL arithm´etiquement ample surX) il existeλ > 0 tel que pour tout entier d > λet tout entier n > λd, la norme de la plus petite section non-nulle de SⁿE^∨⊗L^⊗d croˆıt exponentiellement par rapport `a n. Cette condition est plus faible que l’amplitude arithm´etique de E sur X, et on a aussi un crit`ere num´erique comme ci-dessous :

siµb^π_max(E^∨)<0, alors E est faiblement positif.

Dans la derni`ere partie du chapitre on propose un crit`ere d’alg`ebricit´e des sous-sch´emas formels et on en profite pour d´emontrer une g´en´eralisation d’un th´eor`eme de Borel sur la rationnalit´e d’une s´erie formelle :

Soitϕun ´el´ement dansZ[[T1,· · ·,Tn]]qui d´efinit une fonction m´eromorphe sur un voisinage de la boule ferm´eeB(0,R) deCⁿ. SiR >√n, alorsϕest rationnel.

Apr`es avoir termin´e la r´edaction de ce travail et l’avoir soumis comme th`ese, l’auteur a appris que ce r´esultat avait ´et´e ´etabli ant´erieurement par Y. Andr´e, sous une forme plus g´en´erale qui g´en´eralise le th´eor`eme de Borel-Dwork, dans son ouvrage [3], Chapter VIII.

Le quatri`eme chapitre peut ˆetre consid´er´e comme un pr´eliminaire `a la seconde moiti´e de la th`ese. La notion de la filtration de Harder-Narasimhan, ou de la filtration canoniqued’un fibr´e vectoriel sur une courbe projective lisse remonte `a l’article [51] de Harder et Narasimhan.

Son avatar en g´eom´etrie d’Arakelov est introduit par Stuhler [85] et Grayson [42] pour un fibr´e vectoriel hermitien sur le spectre d’un anneau des entiers alg´ebriques. Cette filtration, sous sa forme classique, est index´ee par un ensemble fini ordonn´e, donc est en fait un drapeau du fibr´e vectoriel (hermitien) en question. Apparamment cette construction n’a aucune fonctorialit´e par rapport au fibr´e vectoriel (hermitien) consid´er´e, mais on montre dans ce chapitre que, si on munit les sous-fibr´es vectoriels dans ce drapeau de poids convenables, on obtient une filtration index´ee parRen sous-fibr´es vectoriels du fibr´e vectoriel en question, et cette nouvelle construction est fonctorielle. D’autre part, le foncteur, de la cat´egorie des fibr´es vectoriels (hermitiens), vers la cat´egorie des espaces vectoriels sur le corps des fonctions rationnelles sur le sch´ema de base, d´efini par la restriction sur le point g´en´erique, pr´eserve le rang. Donc la filtration de Harder-Narasimhan d’un fibr´e vectoriel (hermitien) induit par ce foncteur une R-filtration sur sa fibre g´en´erique. On peut donc ramener l’´etude des filtrations de Harder- Narasimhan des fibr´es vectoriels (hermitiens) en celle desR-filtrations des espaces vectoriels.

On introduit dans le premier paragraphe la th´eorie g´en´erale des filtrations dans une cat´egorie quelconque. On se concentre dans le deuxi`eme paragraphe `a l’´etude des filtrations des espaces vectoriels sur un corps. La mesure de probabilit´e et le polygone associ´es `a une R-filtration sont aussi discut´es dans ce paragraphe. Dans le troisi`eme paragraphe, on propose des axiomes sur une cat´egorie exacte pour que le formalisme de filtration de Harder-Narasimhan puisse s’´etablir. Enfin dans le dernier paragraphe on donne quelques exemples.

Le cinqui`eme chapitre est consacr´e `a la majoration de la pente maximale d’un produit tensoriel de fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecO^K que l’on utilisera dans le dernier chapitre de la th`ese.

Soit (Ei)1≤i≤n une famille finie de fibr´es vectoriels hermitiens non-nuls sur SpecO^K. Si on noteE=E1⊗ · · · ⊗En, alors

b

µmax(E)≤ Xn i=1

µbmax(Ei) + log rg(Ei)

. (1)

La d´emonstration repose sur la th´eorie des invariants. On cherche `a majorer le degr´e d’Ara- kelov d’un sous-fibr´e inversible hermitien M de E. Si MK est semi-stable pour l’action du groupe alg´ebriqueSL(E1,K)× · · · ×SL(En,K), alors la th´eorie classique des invariants four- nit une section d’une puissance tensorielle de E<sub>K</sub><sup>∨</sup> dont la norme est connue; sinon le crit`ere de Hilbert-Mumford et les r´esultats de Kempf [61] reformul´es par Ramanan-Ramanathan [77]

dans la th´eorie g´eom´etrique des invariants nous ram`enent au cas pr´ec´edent.

C’est dans le dernier chapitre de la th`ese qu’est d´emontr´ee la convergence des polygones de Harder-Narasimhan. Comme remarqu´e dans le quatri`eme chapitre, siB=L

nBn est une alg`ebre gradu´ee en fibr´es vectoriels (resp. fibr´e vectoriels hermitiens) sur une courbe projec- tive lisseC (resp. le spectre d’un anneau O<sup>K</sup> des entiers alg´ebriques) de corps des fonctions rationnellesK, alors la filtration de Harder-Narasimhan de chaque Bn induit uneR-filtration surBn:=Bn,K. SiBest l’une des alg`ebres suivantes :

1) L

n≥0π_∗(L^⊗n), o`uπ:X →C est un morphisme projectif et surjectif d’une vari´et´e projec- tive surCet Lest unO<sup>X</sup>-module inversible ample relativement `aπ,

2) L

n≥0π∗(L^⊗n), o`u π : X → SpecO^K est une vari´et´e arithm´etique, et L est un fibr´e inversible hermitien surX tel queLK soit ample surXK,

alors il existe une fonction f : Z>0 → R_≥0 avec lim

n→∞f(n)/n = 0 telle que B = L

nBn, munie des filtrations induites comme ci-dessus, soit une K-alg`ebre gradu´ee f-quasi-filtr´ee. En particulier, la d´emonstration du cas 2) fait appel `a l’in´egalit´e (1) d´emontr´ee dans le chapitre pr´ec´edent.

Le r´esultat principal du dernier chapitre est la suivante : Soient f : Z>0 → R≥0 une fonction telle que lim

n→+∞f(n)/n = 0, K un corps et B = L

n≥0Bn une K-alg`ebre gradu´ee f-quasi-filtr´ee, int`egre, de type fini surK. SiBn et non-nul pourn suffisamment grand et silim sup

n→+∞

µmax(Bn)

n <+∞, alors les polygones normalis´es des Bn convergent uniform´ement vers une courbe concave sur[0,1].

En appuyant sur la normalisation de Noether, on se ram`ene au cas o`u B est une alg`ebre sym´etrique d’un espace vectoriel de rang fini surK. Ensuit, la construction de mesures discr`etes sur des produits d’ensembles de points `a coordonn´ees enti`eres dans des simplexes dont les mar- ginales par les projections et l’addition sont ´equidistribu´ees nous permet d’obtenir la presque sur-additivit´e (par rapport `an) des mesures associ´ees (normalis´ees) auxBn. Enfin, une variante du lemme de Fekete que l’on a utilis´ee dans le troisi`eme chapitre pour d´emontrer l’existence de la pente maximale asymptotique permet d’obtenir la convergence vague des mesures associ´ees auxBn et donc la convergence uniforme des polygones associ´es auxBn.

Des contre-exemples montrent l’impossibilit´e de g´en´eraliser le r´esultat ci-dessus au cas o`u B n’est pas int`egre, ou au cas d’un module gradu´e quasi-filtr´e.

Dans le dernier paragraphe, on red´emontre le th´eor`eme de convergence pour un module bigradu´e, en utilisant la m´ethode de “s´eries de Poincar´e en deux variables” inspir´ee par Fal- tings et W¨ustholz [30]. Bien que cette m´ethode ne soit valable que pour un cas tr`es restrictif (bigradu´e), elle nous permet de calculer explicitement la limite des polygones. En particulier, lorsqueB=K[X,Y] est l’alg`ebre des polynˆomes en deux variables, o`uX estY sont de bidegr´e

(1,λ) et (1,µ), respectivement, avecλ≤µ, alors la courbe limite estµx−^µ−λ2 x². Cela montre que la limite des polygones est en g´en´eral non-triviale.

Chapitre 1

Notations et pr´ eliminaires

1.1 Notations

Dans cette th`ese, sauf mention au contraire, tous les anneaux sont suppos´es ˆetre commutatifs et unif`eres.

Soit k un corps. On appelle vari´et´e alg´ebrique sur k tout sch´ema int`egre et de type fini sur Speck (donc quasi-compact et quasi-s´epar´e sur Speck). On appellecourbe alg´ebrique sur ktoute vari´et´e alg´ebrique surkqui est de dimension 1.

On d´esigne par pt (resp. pt_C) l’espace annel´e dont l’espace topologique sous-jacent est un singleton et dont le faisceau d’anneaux structurel est le faisceau constantR(resp.C).

Si U est une partie ouverte deR^d, on d´esigne parO^diffU le faisceau des germes de fonctions lisses `a valeurs r´eelles surU. C’est une alg`ebre sur le faisceau constantRsurU. La structure deR-alg`ebre surOU^diff d´etermine un morphisme de (U,O^diffU ) vers pt.

On appelle vari´et´e lisse (r´eelle) tout espace annel´eX = (|X|,O^diffX ) sur pt dont l’espace topologique sous-jacent|X|est paracompact (cf. [39] II.3.2) et qui est localement isomorphe `a un pt-espace annel´e (appel´e unecarte locale) de la forme (U,O<sup>diff</sup>U ), o`uU est une partie ouverte non-vide d’un espace affineR^d (on dit que cette carte locale a pour dimension d). On appelle ladimension de X la borne sup´erieure des dimensions des cartes locales de X, not´ee dimX. Si|X|est connexe, alors toutes les cartes locales deX ont la mˆeme dimension. On dit queX est´equidimensionnelle si toutes les composantes connexes deX ont la mˆeme dimension.

Si V est une partie ouverte de C^d, on d´esigne parO^anV le faisceau des germes de fonctions analytiques complexes sur V; c’est une alg`ebre sur C. Si on consid`ereV comme une partie ouverte deR^2d, on peut aussi consid´erer laR-alg`ebreOV^diff surV. Evidemment (V,O^anV ) est un espace annel´e sur ptC.

On appelle vari´et´e analytique complexe tout espace annel´e X = (|X|,O^anX) sur ptC dont l’espace topologique sous-jacent |X| est paracompact et qui est localement isomorphe `a un ptC-espace annel´e (appel´e une carte locale) de la forme (V,O<sup>an</sup>V ) o`u V est une partie ouverte non-vide d’un espace affineC^d (on dit que cette carte locale a pour dimension complexed). On appelle ladimension complexedeX la borne sup´erieure des dimensions des cartes locales deX, not´ee dimCX. Si |X|est connexe, alors toutes les cartes locales deX ont la mˆeme dimension complexe. On dit queX est´equidimensionnelle si toutes les composantes connexes de X ont la mˆeme dimension.

Si X est une vari´et´e analytique complexe, en recollant les faisceaux d’anneaux OV^diff, o`u V parcourt les cartes locales de X, on obtient un faisceau d’anneaux O^diffX sur |X|, appel´e le faisceau des germes de fonctions lissessurX. Les sections deO^diffX sont appel´ees desfonctions

lisses. C’est une R-alg`ebre. L’espace annel´eXR = (|X|,OX<sup>diff</sup>) est une vari´et´e lisse r´eelle. On d´esigne par dimRX sa dimension. On a la relation dimRX = 2 dimCX. D’autre part, on a un homomorphisme naturel deC-alg`ebres de OX^anversO^diffX,C.

On appellesch´ema formel(noeth´erien et adique) tout espace topologiquement annel´eX= (|X|,OX) dont l’espace topologique sous-jacent |X| est quasi-compact et qui est localement isomorphe au spectre formel d’un anneau noeth´erien adique (cf. [50] I.10). Le faisceau d’anneaux topologiquesOXadmet unplus grand id´eal de d´efinitionI_X; c’est le seul id´eal de d´efinitionItel que le sch´ema (usuel) (|X|,O^X/I) soit r´eduit. Le sch´emaX0= (|X|,O^X/IX) est appel´e lesch´ema de d´efinition du sch´ema formelX. Le faisceau d’anneaux sous-jacent `a O<sup>X</sup> est isomorphe `a la limite projective lim

←−ⁿO^X/Iⁿ_X. Pour tout entier n ≥ 1, Xn = (|X|,O^X/Iⁿ⁺¹_X ) est un sch´ema, appel´e len<sup>i`eme</sup>voisinage infinit´esimaldeX0dansX. L’espace localement annel´e sous-jacent `a Xest isomorphe `a la limite inductive lim

−→ⁿXn dans la cat´egorie des espaces localement annel´es.

Si X est un sch´ema noeth´erien et si Y est un sous-sch´ema ferm´e r´eduit de X d´efini par l’id´eal coh´erentI, on appelle lecompl´et´e formeldeX le long deY le sch´ema formel (noeth´erien et adique) (|Y|,lim

←−_n (O^X/Iⁿ)|^Y), not´eXbY. Le sch´ema formel XbY a pour sch´ema de d´efinition Y. Pour tout entier n≥1, le n^i`eme voisinage infinit´esimal de Y dans XbY est le sous-sch´ema ferm´e deX d´efini par l’id´eal coh´erentIⁿ⁺¹.

SoientXun sch´ema formel noeth´erien et Jun id´eal coh´erent deO^X. Si on d´esigne par|Y| le support du faisceau d’anneauxO^X/(IX+J) (c’est un sous-espace topologique ferm´e de|X|), l’espace topologiquement annel´eY= (|Y|,(O^X/J)||Y|) est un sch´ema formel noeth´erien, appel´e unsous-sch´ema formel (ferm´e) deX. On remarque que Y a pour sch´ema de d´efinition|X| si et seulement siJest contenu dans le plus grand id´eal de d´efinitionIXdeX.

Si p est un nombre premier strictement positif, pour toute alg`ebre A sur Fp on d´esigne par FA : A → A l’endomorphisme de Frobenius qui envoie x en x<sup>p</sup>. Si X : AlgFp → Ens est un foncteur de la cat´egorie desFp-alg`ebres vers la cat´egorie des ensembles, on d´esigne par FX :X →X la transformation naturelle deX vers lui-mˆeme qui associe `a toute Fp-alg`ebreA l’application

X(FA) :X(A)−→X(A),

o`u FA:A→Aest l’endomorphisme de Frobenius. On appelleFX lemorphisme de Frobenius absolude X. Si B est une alg`ebre sur Fp et si X = SpecB est le sch´ema affine d´efini parB, alorsFX = SpecFB. Il n’est g´en´eralement pas vrai que le morphisme de Frobenius absoluFX

soit fini, mais lorsqueX est un sch´ema localement de type fini sur uncorps parfaitk(`a savoir, l’endomorphisme de FrobeniusFk : k→k est un automorphisme), le morphismeFX est fini et surjectif.

Soitkune extension deFp. SiX :AlgF_p→Ensest un foncteur, et siϕ:X →Speckest un morphisme de fonteurs, on d´esigne parX^(p)le produit fibr´e (dans la cat´egorie des foncteurs covariants deAlg_Fp versEnsqui s’identifie `a la cat´egorie des pr´efaisceaux surSchAffFp— la cat´egorie desFp-sch´emas affines)

X^{(p) π} //

ϕ^(p)

X

ϕ

Speck

SpecFk

//Speck

Comme SpecFk ◦ϕ = ϕ◦FX, il existe un unique morphisme Fr de X vers X^(p) tel que le

diagramme

X FX

((

ϕ

Fr

""

X^{(p) π} //

X

ϕ

Speck

SpecFk

//Speck

soit commutatif. Le morphisme Fr est appel´e lemorphisme de Frobenius relatif. Lorsquekest un corps parfait, le morphisme π : X^(p) → X est un isomorphisme de foncteurs sur AlgF_p

(attention: ce n’est pas un isomorphisme dek-foncteurs sik6=Fpet siX est non-vide car dans ce cas-l`a le morphismeϕ^(p):X^(p)→Speck ne satisfait pasϕ^(p)=ϕ◦π).

1.2 Rappels sur les faisceaux de modules

1.2.1 Torsion dans un module sur un anneau, modules sans torsion

On rappelle dans ce sous-paragraphe quelques notations et r´esultats concernant les modules sans torsion sur un anneau commutatif unif`ere. La r´ef´erence est [64].

D´efinition 1.2.1 SoientAun anneau etKsonanneau total des fractions(`a savoirK=S<sup>−1</sup>A, o`uS est la partie multiplicative des non-diviseurs de z´ero de A). Pour toutA-moduleM, on d´esigne parMtorle noyau de l’homomorphisme canoniqueM →K⊗^AM, appel´e lesous-module de torsiondeM. On dit qu’unA-moduleM estsans torsionsiMtor= 0, i.e., l’homomorphisme canoniqueM →K⊗^AM est injectif.

Lemme 1.2.2 Soient Aun anneau r´eduit et a∈A. Si pour tout id´eal premier minimalp de A, l’image canonique de adansAp est non-nulle, alorsaest un non-diviseur de z´ero dans A.

La r´eciproque est vraie lorsqueA n’a qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux.

D´emonstration. L’anneauA´etant r´eduit, pour tout id´eal premier minimalp,A_pest un corps.

Par cons´equent, pour tout ´el´ementxdans A, l’image canonique de xdans A_p est nulle si et seulement six∈p.

“=⇒”: Sib∈Aest tel queab= 0, alors pour tout id´eal premier minimalpdeA, on ab∈p puisquea6∈p. Par cons´equent, on ab= 0 carAest r´eduit.

“⇐=” Soient (pi)1≤i≤n les id´eaux premiers minimaux de A. S’il existe i ∈ {1,· · ·,n} tel quea∈pi, en choissisantb∈ \

j6=i

pj

\pi, on aab∈

\n j=1

pj ={0}. Cela est absurde caraest

un non-diviseur de z´ero. 2

Lemme 1.2.3 Soit Aun anneau de dimension≤0— c’est-`a-dire, un anneau dont tout id´eal premier est un id´eal maximal. On suppose que l’anneauAn’admette qu’un nombre fini d’id´eaux maximaux(mi)1≤i≤n. AlorsA s’identifie canoniquement `a l’anneau produitAm1× · · · ×Amn. D´emonstration. En effet, on a un homomorphisme canoniqueϕdeAversB=Am1×· · ·×Amn. En tant queA-module,Bs’identifie canoniquement `aAm1⊕· · ·⊕Amn. CommeAest un anneau de dimension 0 on a (Ami)mj = 0 pour i6=j. En effet,Ami est un anneau local de dimension

0, donc son id´eal maximal est nilpotent. Simj est un id´eal maximal autre quemi, alorsA\mj

contient un ´el´ement dans mi. Donc (Ami)mj = 0. Par cons´equent, pour tout 1≤i ≤n, ϕmi

est un isomorphisme, i.e., ϕest un isomorphisme deA-modules, et donc un isomorphisme de

A-alg`ebres. 2

Proposition 1.2.4 Soit A un anneau r´eduit. On suppose que l’anneau A n’admette qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux (pi)1≤i≤n. Alors l’anneau total des fractions de A s’identifie canoniquement `aAp1× · · · ×Apn.

D´emonstration. Soit S l’ensemble des non-diviseurs de z´eros de A. Comme A est r´eduit et n’admet qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux, il n’a pas d’id´eal associ´e im- merg´e (cf. [19] chap. IV, §2 n^◦3, Remarque) compte tenu du lemme 1.2.2. Par cons´equent, S=A\(p1∪ · · · ∪pn). DoncS⁻¹Aest un anneau de dimension≤0 dont l’ensemble des id´eaux maximaux est{S⁻¹p1,· · ·,S⁻¹pn}. Le lemme 1.2.3 montre queS⁻¹A∼=Ap1× · · · ×Apn. 2

Proposition 1.2.5 Soient A un anneau et S une partie multiplicative de A. Si on d´esigne par K (resp. L) l’anneau total des fraction de A (resp. de S⁻¹A), on a un homomorphisme canonique injectif deS⁻¹K dansL. Cet homomorphisme devient un isomorphisme lorsqueA et r´eduit et n’admet qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux.

D´emonstration. SoientTla partie multiplicative des non-diviseurs de z´ero dansA,U la partie multiplicative des non-diviseurs de z´ero deS⁻¹A. Siaest un ´el´ement dansT, alora/1 est dans U. En effet, si b/s∈ S est tel que ab/s= 0, alors il existe t ∈S tel que abt= 0. Comme a est un non-diviseur de z´ero on a bt = 0, i.e., b/s = 0 dansS⁻¹A. Par cons´equent, on a un homomorphisme de S⁻¹T⁻¹A = T⁻¹S⁻¹A vers U⁻¹S⁻¹A puisque l’image canonique de T dans S⁻¹A est contenue dans U. De plus, cet homomorphisme est injectif carU consiste en des non-diviseurs de z´ero deS⁻¹A.

SiAest r´eduit et n’admet qu’un nombre fini d’id´eaux premiers minimauxp1,· · ·,pn. Alors K est isomorphe `a Ap1 × · · · ×Apn. Si on suppose que (pi)<sub>1≤i≤k</sub> soient les id´eaux premiers minimaux deA ne rencontrant pasS, alors S<sup>−1</sup>K est isomorphe `a Ap1× · · · ×Apk. D’autre part,Lest isomorphe `a (S<sup>−1</sup>A)S<sup>−1</sup>p1 × · · · ×(S<sup>−1</sup>A)S<sup>−1</sup>pk qui est naturellement isomorphe `a

Ap1× · · · ×Apk. 2

Proposition 1.2.6 Soient A un anneau r´eduit qui n’admet qu’un nombre fini d’id´eaux pre- miers minimaux,M unA-module. Les trois conditions suivantes sont ´equivalentes:

1) M est unA-module sans torsion;

2) pour tout id´eal premierp de A,Mp est unAp-module sans torsion;

3) pour tout id´eal maximalm de A,Mm est unAm-module sans torsion.

D´emonstration. SoitKl’anneau total des fractions deA. Pour tout id´eal premierpdeA,Kp

est l’anneau total des fractions deAp, et on a (K⊗^AM)p∼=Kp⊗^ApMp. La proposition r´esulte

donc du [19] chap. II§3 n^◦3 Th´eor`eme 1. 2

Proposition 1.2.7 SiAest un anneau et u:N →M est un homomorphisme de A-modules, alors uenvoieNtor dansMtor. En particulier, siM est unA-module sans torsion et si N est un sous-A-module de M, alors N est aussi sans torsion.

D´emonstration. SoitK l’anneau total des fractions de A. On a un diagramme commutatif

N ^u //

ϕ

M

ψ

K⊗^AN //K⊗^AM

o`uϕ:N →K⊗N etψ:M →K⊗M sont des homomorphismes canoniques. Par cons´equent, l’homomorphismeuenvoie doncNtor= KerϕdansMtor= Kerψ. 2

Proposition 1.2.8 Soient A un anneau, K l’anneau total des fractions de A et M un A- module. L’homomorphisme canonique

K⊗^AM −→K⊗^A(M/Mtor) est un isomorphisme. LeA-moduleM/Mtor est sans torsion.

D´emonstration. On a une suite exacte `a gauche

0 //Mtor //M //K⊗^AM . (1.1)

CommeK est unA-module plat, on a la suite exacte

0 //K⊗^AMtor //K⊗^AM //K⊗^AM . DoncK⊗^AMtor= 0. Par cons´equent,

K⊗^A(M/Mtor)∼= (K⊗^AM)

(K⊗^AMtor) =K⊗^AM.

Enfin, la suite exacte (1.1) montre que l’homomorphisme canonique M/Mtor−→K⊗^AM ∼=K⊗^A(M/Mtor)

est injectif, i.e.,M/Mtor est unA-module sans torsion. 2

D´efinition 1.2.9 Soient A un anneau, M unA-module et N un sous-A-module de M. On appellesaturationdeN dansM le noyau de l’homomorphisme compos´e

M //M/N //(M/N)

(M/N)tor , not´eNsat. Si N =Nsat, on dit queN est unsous-A-module satur´edeF.

Proposition 1.2.10 SoientA un anneau,M unA-module etN un sous-A-module deM. Le A-moduleM/Nsat est sans torsion. En outre, siN⁰ est un sous-A-module deM tel queN ⊂N⁰ et queM/N⁰ soit sans torsion, alorsNsat⊂N⁰. AinsiNsat est le plus petit sous-A-moduleN⁰ de M tel queN ⊂N⁰ et queM/N⁰ soit sans torsion.

D´emonstration. Par d´efinition M/Nsat = (M/N)

(M/N)tor est sans torsion d’apr`es la pro- position 1.2.8.

Si N⁰ est un sous-A-module contenant N, le morphismeM/N →M/N⁰ envoie (M/N)tor

dans (M/N⁰)tor. En particulier, si M/N⁰ est sans torsion, il se factorise en un homomor- phisme (M/N)

(M/N)tor → M/N⁰. Par cons´equent, le noyau N⁰ de l’homomorphisme quo- tientM →M/N⁰ contient le noyauNsat de l’homomorphismeM →(M/N)

(M/N)tor 2

Lemme 1.2.11 (cf. [19] chap. 6 §3 n^◦6) Soit A un anneau de valuation. Tout A-module sans torsion est plat, toutA-module sans torsion de type fini est libre.

D´efinition 1.2.12 SoientAun anneau etM unA-module. On appelledualdeM leA-module M^∨ = HomA(M,A). On a un homomorphisme canonique fonctorielθM : M →M^∨∨ donn´e parθM(x) :f 7→f(x).

Proposition 1.2.13 Soient Aun anneau et M unA-module. SiθM est injectif, alors M est sans torsion.

D´emonstration. Si M n’est pas sans torsion, il existe un ´el´ement non-nul x de M tel que ann(x) contienne un non-diviseur de z´erordeA. Comme θM est injectif, θM(x)6= 0. Donc il existef ∈HomA(M,A) tel quef(x)6= 0. Maisrf(x) =f(rx) = 0. Cela est absurde carrn’est

pas un diviseur de z´ero deA. 2

Proposition 1.2.14 Si Aest un anneau int`egre dont le corps des fractions est K,M est un A-module de type fini et sans torsion, alorsθM est injectif.

D´emonstration. S’il existe un ´el´ement non-nulx de M tel que θM(x) = 0, alors pour tout homomorphsime g :M → Aon a g(x) = 0. L’homomorphisme canoniquei :M →K⊗^AM est injectif. On choisit un homomorphisme surjectif K-lin´eaire ϕ : K ⊗^AM → K tel que ϕi(x) 6= 0. Comme M est de type fini, il existe a ∈ A, a 6= 0 tel que aϕ(M) ⊂ A. On a

f =aϕi∈HomA(M,A) etf(x)6= 0. Cela est absurde. 2

1.2.2 Torsion dans un faisceau de modules

Dans ce sous-paragraphe on discutera le sous-module de torsion d’un faisceau de modules sur un espace annel´e. Les r´esultats rappel´es ici sont dans [50] I.8.4 et [49] IV.20 (o`u il y a quelques erreurs corrig´ees par Kleiman dans [63]).

Soient (X,O^X) un espace annel´e,S un sous-faisceau de mono¨ıdes du faisceau de mono¨ıdes (multiplicatifs) sous-jacent `aO^X. Alors

U 7−→Γ(U,S)⁻¹Γ(U,O^X)

est un pr´efaisceau d’anneaux dont le faisceau d’anneaux associ´e est appel´e lefaisceau d’anneaux de fractions de O^X `a d´enominateurs dans S, not´e S⁻¹O^X. Pour tout point x ∈ X on a un isomorphisme d’anneaux (S⁻¹O^X)x∼=Sx⁻¹O^X,x. Donc S⁻¹O^X est unO^X-module plat (c’est-

`a-dire IdX-plat suivant la terminologie de [50] 0.5.7.1). SiF est unO^X-module, on d´esigne par S⁻¹F leS⁻¹O^X-moduleS⁻¹O^X⊗OX F. On a pour tout pointx∈X, (S⁻¹F)x∼=Sx⁻¹F^x. Exemple 1.2.15 Si (X,O^X) est un espace annel´e, alors

S^X :U 7−→ {s∈Γ(U,O^X)|l’homoth´etiehs:O^U → O^U est injective}

est un sous-faisceau de mono¨ıdes multiplicatifs de O^X. Le faisceau d’anneaux de fractions K^X :=SX⁻¹O^X est appel´e lefaisceau des germes de fonctions m´eromorphessurX. SiF est un O^X-module, alorsK^X(F) :=SX⁻¹F est appel´e lefaisceau des germes de sections m´eromorphes deF. Si U est une partie ouverte deX, les ´el´ements dans Γ(U,K^X) (resp. Γ(U,K^X(F))) sont appel´es lesfonctions m´eromorphes (resp.sections m´eromorphesdeF) surU.

Remarque 1.2.16 Soit (X,O^X) un espace annel´e. Si U est un ouvert de X, Γ(U,S^X) est contenu dans l’ensemble des non-diviseurs de z´ero de Γ(U,O^X). Pour tout x ∈ X, S^X,x =

−−→lim

U3x

Γ(U,S^X) est contenu dans le mono¨ıde des ´el´ements r´eguliers de O^X,x. Par cons´equent, K^X,xest un sous-anneau de l’anneau total des fractions deO^X,xet l’homomorphisme canonique O^X→ K^X est injectif. En outre,K^X est unO^X-module plat.

Remarque 1.2.17 SiX = SpecAest un sch´ema affine, alors Γ(X,S^X) est l’ensemble des non- diviseurs de z´ero deA. En effet, sia∈Aest tel que pour tout id´eal premierp, l’homoth´etie de Ap d´efinie parasoit injective, alors a est un non-diviseur de z´ero. Par cons´equent, Γ(X,S^X) contient (donc est ´egal `a) l’ensemble des non-diviseurs de z´ero deA.

Proposition 1.2.18 Soit (X,O^X)un espace annel´e. On suppose que l’une des conditions sui- vantes soit v´erifi´ee:

1) O^X est unO^X-module coh´erent,

2) (X,O^X)est un sch´ema r´eduit dont l’ensemble des composantes irr´eductibles est localement fini.

Alors pour toutx∈X,S^X,x co¨ıncide avec le mono¨ıde des ´el´ements r´eguliers de O^X,x etK^X,x est l’anneau total des fractions deO^X,x. De plus, si la condition 2) est v´erifi´ee, le faisceauK^X est uneO^X-alg`ebre quasi-coh´erente.

D´emonstration. 1) On suppose que s soit une section dans Γ(U,O^X) telle que sx soit un

´el´ement r´egulier deO^X,x. Consid´erons l’homoth´etie s:O^U → O^U d´efinie pars. CommeO^X est unO^X-module coh´erent, le noyauN de l’homoth´etiesest coh´erent (cf. [50] 0.5.3.4), donc de type fini. Sisxest injectif, alorsN^x= 0. Par cons´equent, il existe un voisinage ouvertV ⊂U dextel que N |^V = 0 (cf. [50] 0.5.2.2), i.e.,s|^V ∈Γ(V,S^X).

2) La question ´etant locale, on se ram`ene au cas o`uX = SpecA, avecAun anneau r´eduit et `a un nombre fini d’id´eaux premiers minimaux. D’apr`es la remarque 1.2.17, Γ(X,S^X) est l’ensemble des non-diviseurs de z´ero deA. En outre, pour tout ´el´ementf ∈A, Γ(Xf,S^X) est l’ensemble des non-diviseurs de z´ero deAf. D’apr`es la proposition 1.2.5, on a

Γ(Xf,S^X)⁻¹Γ(Xf,O^X) = (Γ(X,S^X)⁻¹Γ(X,O^X))f.

Ceci montre que le pr´efaisceauU 7→Γ(U,S^X)⁻¹Γ(U,O^X) est isomorphe `aK, o`e uKest l’anneau total des fractions deA. Par cons´equent,K^X =Ke est quasi-coh´erent (cf. [50] I.1.4.1), et pour tout id´eal premierpdeA, K^X,p =Kp est l’anneau total des fractions deO^X,p. 2

Remarque 1.2.19 Si (X,O^X) est un sch´ema int`egre de point g´en´erique η, alors K<sup>X</sup> est isomorphe au faisceau constant d´efini par le corps O<sup>X,η</sup>. En effet, pour tout ouvert affine U = SpecAdeX, l’anneau total des fractions de As’identifie `aO^X,η.

D´efinition 1.2.20 Soit (X,O^X) un espace annel´e. SiFest unO^X-module, on d´esigne parF^tor le noyau de l’homomorphisme canonique F → K^X(F), appel´e le sous-O^X-module de torsion deF. On dit queFestsans torsionsiF^tor= 0, autrement dit, si l’homomorphisme canonique F → K^X(F) est injectif.

Proposition 1.2.21 Soit (X,O^X) un espace annel´e tel queO^X soit un O^X-module coh´erent ou un sch´ema r´eduit dont l’ensemble des composantes irr´eductibles est localement fini. SoitF unO^X-module. Le O^X-module F est sans torsion si et seulement si pour tout point x∈X, F^xest unO^X,x-module sans torsion.

D´emonstration. En effet, l’homomorphisme canonique F → K^X(F) est injectif si et seule- ment si pour tout pointx∈X, l’homomorphisme canoniqueF^x→(K^X(F))x∼=K^X,x⊗ F^xest injectif, i.e., si et seulement siF^xest unO^X,x-module sans torsion puisque K^X,x est l’anneau

total des fractions deO^X,x (cf. la proposition 1.2.18). 2

L’´enonc´e suivant d´ecoule aussitˆot des d´efinitions:

Proposition 1.2.22 Si (X,O^X)est un espace annel´e et u:F¹→ F² un homomorphisme de O^X-modules, alors uenvoie F^1,tor dans F^2,tor. En particulier, siF² est unO^X-module sans torsion et siF¹ est un sous-O^X-module deF², alors F¹ est sans torsion.

Proposition 1.2.23 Si(X,O^X)est un espace annel´e,F est unO^X-module, alorsF/F^tor est unO^X-module sans torsion, et on a

K^X⊗OX F ∼=K^X⊗OX (F/F^tor).

D´emonstration. On a la suite exacte

0 //F^tor //F //K^X⊗^OX F . (1.2)

CommeK^X est unO^X-module plat, la suite

0 //K^X⊗OXF^tor //K^X⊗OX F ^Id //K^X⊗OX F est exacte, i.e.,K^X⊗OXF^tor= 0. Par cons´equent,

K^X⊗^OX (F/F^tor)∼= (K^X⊗^OXF)

(K^X⊗^OX F^tor) =K^X⊗^OXF. Enfin, la suite exacte (1.2) montre que l’homomorphisme

F/F^tor−→ K^X⊗OXF ∼=K^X⊗OX (F/F^tor)

est injectif, i.e.,F/F^tor est sans torsion. 2

D´efinition 1.2.24 Soient (X,O^X) un espace annel´e, F un O^X-module et E un sous-O^X- module deF. On appelle saturation deE dansF l’image inverse dep⁻¹(F/E)tor de (F/E)tor

par l’application quotientp:F → F/E, not´eE^sat. On dit queE est un sous-O^X-modulesatur´e deM lorsqueE=E^sat, ou encore, de fa¸con ´equivalente, lorsqueF/E est sans torsion.

Proposition 1.2.25 Soient (X,O^X) un espace annel´e, F un O^X-module et E un sous-O^X- de F. Le O^X-module F/E^sat est sans torsion. En outre, si E⁰ est un sous-O^X-module de F tel que E ⊂ E⁰ et que F/E⁰ soit sans torsion, alors E^sat ⊂ E⁰. Ainsi E^sat est le plus petit sous-O^X-moduleE⁰ de F tel queE ⊂ E⁰ et queF/E⁰ soit sans torsion.

D´emonstration. Par d´efinitionF/E^sat= (F/E)

(F/E)tor est sans torsion d’apr`es la proposi- tion 1.2.23.

SiE⁰est un sous-O^X-module deFcontenantE, le morphismeF/E → F/E⁰envoie (F/E)tor

dans (F/E⁰)tor. En particulier, si F/E⁰ est sans torsion, il se factorise en un homomorphisme (F/E)

(F/E)tor→ F/E⁰. Par cons´equent le noyauE⁰ de l’homomorphisme quotientF → F/E⁰ contient le noyauE^sat de l’homomorphismeF →(F/E)

(F/E)tor. 2

Proposition 1.2.26 SoientX un sch´ema r´eduit dont l’ensemble des composantes irr´eductibles est localement fini et F unO^X-module quasi-coh´erent. LeO^X-moduleF^tor est quasi-coh´erent, la saturation de tout sous-O^X-module quasi-coh´erent deF est quasi-coh´erente.

D´emonstration. CommeK^Xest quasi-coh´erent, le faisceauO^X-moduleK^X⊗OXF est quasi- coh´erent. LeO^X-moduleF^torest donc quasi-coh´erent car il est le noyau d’un homomorphisme deO^X-modules quasi-coh´erents. Si E est un sous-O^X-module quasi-coh´erent deF, alorsF/E est quasi-coh´erent. Par cons´equent, (F/E)torest quasi-coh´erent. Enfin,E^sat= Ker(F → F/E → (F/E)

(F/E)tor) est quasi-coh´erent. 2

Proposition 1.2.27 Soit X un sch´ema int`egre de point g´en´eriqueη. Pour qu’un O<sup>X</sup>-module quasi-coh´erentF soit sans torsion, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe `a un sous-O^X-module G d’une somme directe KX^(I). En outre, on peut choisir G et I de telle sorte que G engendre K^(I)X commeK^X-module (donc le cardinal de I est ´egal au rang de F^η surO^X,η).

D´emonstration. Suffisance: On a K^X(K^X) =K^X, donc K^X est un O^X-module sans torsion.

Tout sous-O^X-module d’une somme directe deK^X est sans torsion (cf. la proposition 1.2.22).

N´ecessit´e: Soit K =O^X,η. On suppose que U = SpecA soit un ouvert affine non-vide de X, et queF|^U s’´ecrive sous la formeMf, o`u M est un A-module. Comme K^X|^U = Ke (cf. la proposition 1.2.18) on obtientK^X(F)|^U = (K⊗^AM)^∼. Donc Γ(U,K^X(F)) =K⊗^AM =F^η. Cela montre queK^X(F) est le faisceau constant d´efini par F^η, donc est unK^X-module libre.

D’autre part, siF est sans torsion, l’homomorphisme canonique deF versK^X(F) est injectif, i.e.,F est un sous-O^X-module d’une somme directeKX^(I) avec cardI= rg_KF^η, etK^X(F) est

engendr´e commeK^X-module parF. 2

Corollaire 1.2.28 Soit X un sch´ema int`egre de point g´en´erique η. Tout O^X-module sans torsion de rang z´ero au point g´en´erique est nul.

D´emonstration. D’apr`es la proposition 1.2.27, siF est unO^X-module sans torsion, il est un sous-O^X-module deK^⊕X^rg(Fη). DoncF = 0 siF^η est de rang z´ero. 2

Corollaire 1.2.29 SoientX etY deux sch´emas int`egres,f :X→Y un morphisme dominant.

Pour toutO^X-module quasi-coh´erent sans torsionF,f_∗F est unO^Y-module sans torsion.

D´emonstration. Comme le foncteurf∗ est exact `a gauche, on se ram`ene au cas o`u F =K^X. Soient x(resp. y) le point g´en´erique deX (resp.Y), K =O^Y,y et L =O^X,x. Comme f est dominant,Lest une extension deK. Le faisceauf∗K^X est constant d´efini parL, donc est une somme directe deK^Y =K. Par cons´equent,f∗F est unO^Y-module sans torsion en vertu de

la proposition 1.2.27. 2

Proposition 1.2.30 Soit X un sch´ema int`egre, localement noeth´erien, r´egulier et de dimen- sion1.

1) Tout O^X-module de type fini et sans torsion est localement libre de rang fini.

2) Tout sous-O^X-module quasi-coh´erent d’unO^X-module localement libre de rang fini est aussi unO^X-module localement libre de rang fini.

3) Soitf :L → F un homomorphisme deO^X-modules sans torsion. SiL est de rang 1 et si f est non-nul, alors f est injectif.

D´emonstration. 1) SoitF unO^X-module de type fini et sans torsion. Pour tout pointx∈X, O^X,xest un anneau r´egulier de dimension≤1. DoncO^X,xest soit un corps, soit un anneau de valuation discr`ete ([47] 0IV.17.1.4). CommeF^xest unO^X,x-module sans torsion et de type fini, on obtient queF^xest unO^X,x-module libre compte tenu du lemme 1.2.11. D’autre part, comme X est localement noeth´erien, F est de pr´esentation finie (cf. [50] I.2.7.1). Par cons´equent,F est unO^X-module localement libre (cf. [50] 0.5.4.1). Enfin,F est de rang fini car il est de type fini.

2) SoitEunO^X-module localement libre de rang fini. CommeX est localement noeth´erien, leO^X-moduleE est coh´erent, et tout sous-O^X-module quasi-coh´erentF deEest coh´erent (cf.

[50] I.2.7.1), donc de pr´esentation finie. D’autre part, F est sans torsion (cf. la proposition 1.2.22), donc est localement libre de rang fini.

3) SoitEle noyau def. L’image def est un sousO^X-module deF, donc sans torsion. Sif est non-nul, Imf est au moins de rang 1. CommeLest de rang 1,E est de rang z´ero. Comme Eest un sous-O^X-module deL, il est sans torsion, donc nul. Par cons´equent,f est injectif. 2

D´efinition 1.2.31 Soient X un espace annel´e et F unO^X-module. On appelledual deF le O^X-moduleF^∨ =Hom_OX(F,O^X). On a un homomorphisme canonique fonctoriel

θF :F −→ F^∨∨.

d´efini de fa¸con suivante: pour tout ouvertU deX, `a toute sectiona∈Γ(U,F), on fait corres- pondre l’´el´ementθF(a)∈Hom_OX|U(F^∨|^U,O^X|^U) qui envoie

f ∈Γ(V,F^∨) = Hom_OX|V(F|^V,O^X|^V) enf(a|^V)∈Γ(V,O^X).

Proposition 1.2.32 Soient X un sch´ema int`egre localement noeth´erien et F unO^X-module coh´erent. SiF est sans torsion, alorsθF est injectif.

D´emonstration. CommeX est localement noeth´erien, on obtient queF^∨est coh´erent (cf. [44]

I.9.1.1). Comme les O^X-modules coh´erents sont de pr´esentation finie (cf. [44] 0I.5.3.2), on a (θF)x =θFx pour tout x∈X (cf. [44] 0I.5.2.6). Si F est sans torsion, pour tout x∈X,F^x est unO^X,x-module sans torsion (cf. la proposition 1.2.21). CommeX est un sch´ema int`egre, O<sup>X,x</sup> est un anneau int`egre, donc (θF)x est injectif (cf. la proposition 1.2.14). 2

1.2.3 Faisceaux amples

SoitX un sch´ema quasi-compact et quasi-s´epar´e. On dit qu’unO^X-module inversibleLest ample(cf. [45] II.4.5.5 et [47] IV.1.7.14) si pour toutO^X-module quasi-coh´erent et de type fini F, il existe un entier n0>0 tel que pour tout entier n≥n0,F ⊗L^⊗n soit engendr´e par ses sections globales (autrement dit, il existe un entiera >0 ainsi qu’un homomorphisme surjectif deO^⊕aX versF ⊗L^⊗n).

Soitf un morphisme quasi-compact d’un sch´ema quasi-compact et quasi-s´epar´eX vers un sch´emaY. On dit qu’unO^X-module inversibleLestample relativement`af (cf. [45] II.4.6.1) s’il existe un recouvrement (Uα) deY par des ouverts affines tel queL|<sup>U</sup>α soit ample surf<sup>−1</sup>(Uα) pour toutα. Ceci revient `a dire que pour toutO^X-module quasi-coh´erent et de type finiF, il existe un entiern0>0 tel que pour tout entiern≥n0, l’homomorphisme canonique

f^∗(f_∗(F ⊗L^⊗n))−→ F ⊗L^⊗n

soit surjectif (cf. [45] II.4.6.8 et [47] IV.1.7.15). SiY est affine, cela est ´equivalent `a l’amplitude deLsurX. LorsqueY est noeth´erien etf est propre, l’amplitude deLrelative `af (ouY) est aussi ´equivalente au fait que pour toutO^X-module coh´erentF, il existe un entier n0 >0 tel que, pour tout entiern≥n0et tout entierq >0, on aitR^qf∗(F ⊗L^⊗n) = 0 (cf. [46] III.2.6.1).

Dans [52] (voir aussi [54]) Hartshorne a ´etendu la notion d’amplitude aux faisceaux locale- ment libre de rang fini.

D´efinition 1.2.33 SoitXun sch´ema quasi-compact et quasi-s´epar´e. On dit qu’unO^X-module localement libre de rang finiEestamplesi pour toutO^X-module quasi-coh´erent de type finiF, il existe un entiern0>0 tel que pour tout entiern≥n0, le faisceauSⁿE⊗Fsoit engendr´e par ses sections au-dessus de X, c’est-`a-dire, soit un quotient d’un O<sup>X</sup>-module libre de rang fini, o`uSⁿE est lan^i`emepuissance sym´etrique de E. On voit aussitˆot que tout quotient localement libre non-nul d’un O^X-module localement libre de rang fini ample est encore ample.

Voici quelques propri´et´es classiques de l’amplitude des faisceaux localement libres de rang fini, pour les d´emonstrations desquelles nous renvoyons `a [52] et [6].

Soient X un sch´ema noeth´erien et E unO^X-module localement de rang fini. Alors E est ample si et seulement si le faisceau inversible canonique O^E(1) sur P(E) est ample (cf. [52]

Proposition 3.2).

Soit f :X →Y un morphisme quasi-compact d’un sch´ema quasi-compact et quasi-s´epar´e vers un sch´ema. On dit qu’unO^X-module localement libre de rang finiEestample relativement

`a f (ou Y) s’il existe un recouvrement de Y par des ouverts affines (Uα) de telle sorte que E|<sup>U</sup>α soit ample sur f<sup>−1</sup>(Uα) pour tout α. Tout quotient localement libre d’un O<sup>X</sup>-module localement libre de rang fini ample relativement `a Y est ample relativement `aY. LorsqueY est localement noeth´erien etfest de type fini, l’amplitude deErelativement `aY est ´equivalente

`a l’amplitude deO<sup>E</sup>(1) relativement `aY. LorsqueY est localement noeth´erien etf est propre, ceci revient `a dire que pour tout O<sup>X</sup>-module coh´erentF il existe un entier n0 >0 tel que, pour tout entiern≥n0 et tout entierq >0, on aitR<sup>q</sup>f∗(S<sup>n</sup>E⊗ F) = 0. En particulier, siX est un sch´ema propre sur un sch´ema affine noeth´erien, alors unO<sup>X</sup>-module localement libre de rang fini E est ample surX si et seulement si E est ample relativement `aY, ou encore si et seulement si pour toutO^X-module coh´erentF, il existe un entiern0>0 tel que, pour tout entiern≥n0et tout entierq >0, on aitH^q(X,SⁿE⊗ F) = 0.

Soient Z un sch´ema noeth´erien, g : Y → Z un morphisme propre et f : X → Y un morphisme fini et surjectif. Par passage au faisceau canonique du fibr´e projectif, on voit qu’un O^Y-module localement libre de rang finiE est ample relativement `a g si et seulement sif<sup>∗</sup>E est ample relativement `a gf.