• Aucun résultat trouvé

1 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "1 1"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

W SPÉCIAL BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS 39

INSTABILITE DES SYSTEMES AUTOCBAYITANTS

J.Ph. Perez, OMP. Toulouse

Les systèmes autogravitants, c’est-à-dire les systèmes qui sont confinés dans une région de l’espace en raison de l’interaction gravitationnelle, sont connus pour leur instabilité thermodynamique 11, 21.

Nous nous proposons cfétablir ce résultat à partir d’une analyse simple du niveau du premier cycle universitaire.

Rappelons d’abord que, dans le cadre restreint de la mécanique, un système d’énergie mécanique &,,, constante, et d’énergie potentielle

&(q),

9 étant le para.mètre dont dépend le système, est en équilibre stable si [3] :

‘c d&r = 0 et 22 > 0,

d q=

Lorsqu’on considère un système thermodynamique isolé, les bilans énergétique et entropique, entre les instants successifs voisins t et t + dt. s’écrivent respectivement [4,5] :

dC = 0 et dS= 6S'>O

On en déduit que son évolution est caractérisée par la fonction d’état S dont la variation élémentaire satisfait à l’inégalité dS 2 0. En introduisant la néguentropie -5’ [GI, qui joue dans ce cas le rôle de potentiel thermodynamique, la condition d’équilibre stable s’écrit, comme en mécanique :

d(-S) = 0 et d*(4)

1 1

Fe > 0.

Appliquons ce résultat au système S isolé formé de deux sous-systèmes Sr et Ss séparés par une cloison diatherme mais rigide. On sait que l’équilibre thermique est réalisé lorsque la température est uniforme dans tout le système. Désignant par Tr et Ts les températures respectives de Sr et Ss, on sait qu’à l’équi!ibre : T, = Tz.

Calculons la dérivée seconde de la néguentropie (-S) par rapport à la seule variable énergie interne Ut, les volumes VI et V2 étant fLYés. Comme S = Sr f S? et U = Ut + Us = Cte, on

Puisque dU? = -dUt et l/T = (~.S/~CJ),. Or :

Vol. 87 - Octobre 1993

(2)

40 BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS

et de même :

d dS2

( >

-- - 1

db’? d& =m.

u.2 2 Finalement, puisque 1 = T? à l’équilibre :

d*(-S) 1

dU:=l (

L,’

Ti C”J CV,? >

Ainsi, la stabilité de l’équilibre est liée au signe des capacités thermiques. Dans le cas le plus fréquent, ces capacités thermiques sont positives; il en résulte que la néguentropie -S passe par un minimum au voisinage de l’équilibre.

Ce résultat n’est pas banal car on peut montrer que pour des objets galactiques autogravi- tan&, dans lesquels l’interaction gravitationnelle joue un rôle décisif, la capacité thermique est négative.

En effet, appliquons le théorème du viriel à un ensemble de points matériels en interaction gravitationnelle [3]. On a :

(‘9 = -;

avec V = (CFi ri),

où Fi désigne la force qui s’exerce sur le point z. Or, cette somme s’écrit aussi, en groupant les particules par couples :

c F, r, = c F,,, ri + F,,, rj = c F,,, (rr - r,),

1) ‘3

d’après l’opposition des actions réciproques. En explicitant la force de gravitation : F,,, = -(Ii/rf,)(r, - r,), on trouve :

II en résulte que :

(,)A!?!2 c 2 et u = (Cc) + (&) = -(&J.

On en déduit la capacité thermique à volume constant :

C, = (g>, = -(y), = -iNks puisque (f,) = :NkBT,

d’après l’interprétation cinétique de la température Références

[l) F. Lizhi et L. Shuxian, La naissance de l’Univers, InterÉditions, 1990

[2] J. Binney and S. Tremaine, Galactic Dynamics, Princeton series in astrophysics, 1987 [3] J-Ph. Pérez, Mécanique, points matériels, solides, fluides, Masson, 1991

[4] 1. Prigogine, Thermodynamique des phénomènes irréversibles, Dunod, 1968

[5] J-Ph. Pérez et A-M. Romulus, Thermodynamique, fondements et applications, Masson, Septembre 1993

[6] L. Brillouin, La science et la théorie de I’informatton, Jacques Gabay, 1988 (lère édition en 1952).

B.U.P. no spécial

Références

Documents relatifs

La hyène joue de la trompette.. La hyène joue du

'LVHDVHVRI 2HVRSKDJXV 6WRPDFKDQG

'LVHDVHVRIRUDO

Montrer que

Où Sylvain doit-il ranger les jouets avec lesquels il ne joue plus?.

Deux ensembles étant donnés, s'il existe des applications injectives entre chacun des deux alors il existe des applications bijectives entre chacun des deux..

Par application du théorème du point fixe, φ admet un unique point fixe dans l’espace métrique com- plet

[r]