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THÉORIE DES PHÉNOMÈNES CRITIQUES

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HAL Id: jpa-00216459

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Submitted on 1 Jan 1976

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THÉORIE DES PHÉNOMÈNES CRITIQUES

P. Pfeuty

To cite this version:

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque Cl, supplément au no 1 , Tome 37, Janvier 1976, page Cl-203

THEORIE DES

PHÉNOMÈNES CRITIQUES

P. PFEUTY

Laboratoire de Physique des Solides, Université Paris-Sud, 91405 Orsay, France

Résumé. - On se propose ici de présenter à un niveau élémentaire le langage du groupe de renormalisation et, à travers lui, les principaux concepts de la théorie des phénomènes critiques. On passera également en revue des développements plus récents concernant en particulier les effets du désordre sur les transitions de phase, le problème de la percolation, et les effets quantiques à basse température.

Abstract. - We shall give an elementary presentation of the language of the renormalization group to introduce the basic concepts of the theory of critical phenomena. We shall also present recent developments concerning the effects of disorder on phase transitions, the problem of percola- tion and the quantum effects for low temperature transitions.

1. Introduction. - Quand on approche le point cri- tique d'un système ferromagnétique (par exemple), la susceptibilité diverge suivant une loi de puissance. Au point critique, la longueur de corrélation

t

diverge et la fonction de corrélation T ( R ) =

<

M(0) M(R)

>

entre deux moments magnétiques distants de R varie, pour R grand, suivant une loi de puissance, sans échelle de longueur. Les points critiques se rencontrent dans des systèmes très variés : mélange de liquides, liquide-gaz, Hélium superfluide, ferromagnétiques, ferroélectriques, cristaux liquides. L'étude théorique et expérimentale de ces points critiques 9 montré que le

voisinage d'un point critique possède des propriétés caractéristiques d'homogénéité et d'universalité Il].

Ainsi l'équation d'état d'un ferromagnétique prend près du point critique la forme homogène

AT est l'écart en température du point critique, H le

champ magnétique, M l'aimantation et j?, 6 des expo- sants critiques. La fonction d'échelle f (x) comme les exposants critiques

f i ,

6 sont des grandeurs universelles qui ne dépendent que de quelques propriétés générales telles que la dimensionalité d'espace d et la symétrie du paramètre d'ordre (on associe à .cette symétrie le nombre n de composantes du paramètre d'ordre). Il existe des approches théoriques variées pour étudier ce problème : théories classiques [2], solutions exactes de modèles simples [3], méthodes numériques appro- chées [4]. Plus récemment, la méthode dù groupe de renormalisation [5] a fourni une approche globale pour l'étude théorique des phénomènes critiques. Nous

nous proposons ici de présenter le langage du groupe de renormalisation et, à travers lui, les principaux concepts de la théorie des phénomènes critiques. Dans la sec- tion 1, nous présentons la méthode du groupe de renor- malisation dans le cadre de la formulation de Ginz- burg-Landau. Dans la section 2, nous présentons les applications de cette méthode : développement en E [6] et groupe de renormalisation sur réseau [7]. Enfin, dans la section 3, nous passons en revue des développe- ments récents concernant en particulier l'effet du désor- dre sur les transitions de phase [8], la percolation 191,

les effets quantiques [IO], les phénomènes critiques dans l'He3 superfluide (l).

2. La méthode du groupe de renormalisation et la théorie des phénomènes critiques.

-

2.1 LES OPÉRA- TIONS D U GROUPE DE RENORMALISATION DANS LA FORMU- LATION DE GINZBURG-LANDAU.

-

On définit Une variable de champ M(x) à n composantes, où x est un point d'un espace à d dimensions. La fonction de partition Z du système s'exprime alors comme une intégrale fonctionnelle sur les variations spatiales de la variable'de champ :

x exp

I

-

fi

[l

F ~ ( M ( x ~ ) dx - H

1

~ ( x ) dx]

]

I

fi

= 1/T est l'inverse de la température et H le champ extérieur couplé à la variable de champ. En

(1) Moore M., Love A., Jones T., communication privée (1975).

(3)

Ci -204 P. PFEUTY

absence d'anisotropies on choisit pour la densité d'énergie libre

FL

la forme

Le coefficient A dépend de la température (de manière

générale, il est positif à haute température et négatif à basse température). Il est utile d'exprimer Z comme une intégrale fonctionnelle sur les fluctuations de vecteur d'onde donné M(k)

où l'on introduit un paramètre de coupure l l a pour les grands vecteurs d'onde :

En approchant le point critique d'un tel système, nous supposons que la longueur de corrélation

5

diverge. Le système ne possède qu'une longueur. Seules interviennent les fluctuations de grande longueur d'onde et il paraît donc raisonnable pour décrire ces phénomènes d'éliminer les fluctuations de courte longueur d'onde (dans le cas de la turbulence [ I l ] ce sont au contraire les fluctuations de courte longueur d'onde qui dominent le problème et il faut éliminer les fluctuations de grande longueur d'onde).

Guidé par ces considérations physiques, on procède aux opérations suivantes qui constituent les opérations du groupe de renormalisation. On procède d'abord à une intégration partielle des variables M(k) de vecteur d'onde k compris entre l l a et Ilsa et l'on définit un nouvel Hamiltonien

Je'

à partir de l'expression

LYHamiltonien

X

représente un système physique donné. On peut fui associer un point dans I'espace multidimensionnel des paramètres (r,, u,, etc...). Pour que

Je'

appartienne à la même famille que

X,

il faut d'une part ramener le paramètre de coupure de ljsa à 1ja en renormalisant les longueurs (contraction). Il faut d'autre part réajuster la valeur du coefficient du terme en q2, ce qui nécessite une renormalisation du paramètre d'ordre. décrit une trajectoire définie par l'opération

X'

=

f,(z).

Le groupe de renormalisation constitué par toutes les transformations

f,,

munies de

leur produit (fs,

.

s, = fs,

.

fs,), n'est strictement qu'un semi-groupe car l'intégration partielle est une opération irréversible. Les trois opérations : intégration partielle (réduction du nombre de degrés de liberté), contraction de l'espace, renorrnalisation de la taille des spins, sont illustrées sur la figure 1 dans I'espace réel où ces opéra-

FIG. 1. - Les trois opérations du groupe de renormalisation dans I'espace réel. Opération 1 : intégration. Opération 2 :

contraction. Opération 3 : renormalisation de la taille des spins.

tions correspondent à la formulation des blocs de Kadanoff [12]. L'intégration des fluctuations de petite longueur d'onde correspond à la formation des blocs de spin de taille sa ; la deuxième opération a pour effet de ramener le réseau de blocs à l'échelle du réseau de spins initial ; la troisième opération de renormalisation de la taille des spins a le même sens dans I'espace réel et dans l'espace réciproque.

2.2 POINTS FIXES ET LEURS ALGÈBRES D'OPÉRATEURS ASSOCIÉES.

-

NOUS allons supposer que dans l'espace des paramètres, i1,existe un ou même plusieurs points fixes et montrer comment, à partir de ces points fixes et de leurs algèbres d'opérateurs, on peut remonter à une compréhension qualitative et quantitative des phénomènes critiques : lois de puissance, exposants critiques, propriétés d'homogénéité, universalité

...

A

un point quelconque dans l'espace des paramètres de coordonnées { pi } correspond l'hamiltonien

-

X

= C p . 0 z i i

où l'opérateur Oi est conjugué au paramètre pi. Soit un point fixe P* de coordonnées { pr ). 11 lui correspond l'hamiltonien

x*

=

C

p;

oi

i

tel que

(4)

THÉORIE DES PHÉNOMÈNES CRITIQUES Cl-205

Cette relation fonctionnelle entraîne que, au point fixe, point Po, Toc(R) est reliée à la fonction de corrélation T(R) suit une loi de puissance au point fixe P* ï * ( R ) suivant

Considérons maintenant un point P voisin de P*. où S = Si $2 s3 $4 + a. 11 s'ensuit d'après (2.6) que L'hamiltonien

X

s'écrit pour R

>

Sa tendant vers l'infini

soit

*

pi = pi -k Bpi

.

avec d - 2

+

y = 2dq*.

Au voisinage du point critique, le système est repré-

X

se transforme en

X'

senté par le point Po (H # O, T # Tc) voisin de Po,. La & = X * + g X I , trajectoire de renormalisation issue de Po reste proche de la ligne critique, se dirige vers le point fixe P*,

soit atteint son voisinage, puis s'en éloigne. Soit P un point

*

pf = pi f 6p;

.

de la traject~ire proche de P* et atteint après la renor- malisation S = s, .s2.

...

.s,. Soit G la partie singulière L'approximation linéaire consiste à écrire de la densité d'énergie libre et

r

la fonction de corréla- tion (G est associé à P, Go à Po, de même pour r ) on a Bpf =

C

Aij 6pj.

j alors Go

-

G et

Près du point fixe les A, sont des constantes qui définissent une matrice A . Cette matrice est en général diagonalisable et a pour vecteurs propres et valeurs

propres gi et

Ai.

Le point fixe P* a une algèbre d'opérateurs avec dans

Les champs d'échelle gi se transforment simplement l'ordre l'opérateur identité I, puis M(x) et enfin un dans le groupe de renormalisation suivant opérateur E ( X ) du type énergie, lesquels sont associés

aux champs, po, H et gf =

ai

gi (2.7)

où près du point fixe

a. = S Y ~

par suite de la relation

A(sl

.

s2) = As1

.

as2

.

On définit ainsi autour de chaque point fixe une algèbre d'opérateurs. Ces opérateurs sont les opéra- teurs conjugués aux champs d'échelle g,. A l'intérieur de cette algèbre que l'on suppose en général complète [14], on peut classer les opérateurs Oi selon les valeurs décroissantes des dimensions anormales y, des champs conjugués g,. Si yi > O, le champ gi croît avec s, on parle de champ (opérateur) pertinent ; si y, < O, le champ gi diminue quand s augmente, on parle de champ (opérateur) non pertinent ; si yi = O, on parle de champ (opérateur) marginal.

2.3 PROPRIÉTÉS D'HOMOGÉNÉITÉ ET UNIVERSALITÉ. -

Un système physique est représenté par le point Po de l'espace des paramètres. Quand on fait varier par exemple la température, Po décrît une ligne physique. De chaque point de cette ligne physique part une tra- jectoire de renormalisation qui en général se perd à l'infini (ou converge vers le point fixe

5

= O). Au point critique Po, (T = T,) la trajectoire de renormalisation

avec pour dimensions anormales y, = d, y, = d - dq* et y,. Au point P, Jep s'écrit

Ep

=

X*

+

C

gi

oi

i

Dans les transformations du groupe de renormalisation, on nkglige le champ p0 qui se borne à contribuer une constante additive à l'énergie libre.

Les transformations du groupe de renormalisation s'écrivent pour G et I'

Ces relations sont sous une forme différente les pro- priétés d'homogénéité usuelles [15]. Elles permettent d'exprimer dans le cas où gi = (H, AT), yi = (y,, y,), les 6 exposants critiques, a, B, y, 6, y, v en fonction seulement de deux grandeurs y, et dq*. Les 6 exposants

critiques sont reliés entre eux par les quatre lois d'échelle

est alors critique

(5

= co) et converge en général vers (dv = 2 - a, y = v(2

-

y), y

+

2 a

+

fi

= 2,

un point fixe stable P*. La fonction de corrélation au 2

-

a = P(6

-

1))

.

(5)

Cl-206 P. PFEUTY

Remplaçons dans l'éq. (2.10) gi par AT, .vi par y, et s par

R,

il s'ensuit que

r,(AT, R )

-

r

(AT,

:)

-

R-"" f

(:)

avec

ce qui entraîne d - 2

+

7 = 2 dq* et v = l / y I .

Remplaçons dans I'éq. (2.10) gi par AT et H, y , par

y, et y, et AT.sY1 par 1, il s'ensuit que

G,(AT, H )

-

G(AT, H)

-

AT^'^'

g

--

( A L )

ce qui entraîne

En différentiant I'éq. (2.12) par rapport à H, on obtient l'équation d'état sous la forme homogène

avec

1

, j s = A = h et . - = dq*

YI 6 d - d q * '

Universalité. - A chaque point fixe P* est associé un bassin attracteur. Tous les systèmes physiques qui, dans leur état critique, appartiennent au même bassin attracteur, ont donc le même comportement critique. C'est ce qu'on appelle l'universalité. Les axes centri- pètes qui forment le bassin attracteur sont des champs d'échelle non pertinents qui sont responsables des cor- rections aux comportements asymptotiques en lois de puissance. Les axes centrifuges correspondant à des valeurs propres positives permettent éventuellement de faire passer d'un bassin attracteur à un autre, plus stable. Tls sont donc liés aux phénomènes de cross- over qui traduisent la compétition entre deux compor- tements critiques. On peut classer les points fixes sui- vant leur stabilité relative en remarquant qu'un point fixe stable dans un certain espace peut devenir instable, quand on élargit l'espace des paramètres. Les causes d'instabilités possibles sont les champs isotropes [16] et les champs qui brisent la symétrie [17], mais aussi les forces à longue portée [18], le couplage à d'autres degrés de liberté [19], etc

...

Corrections aux lois de puissance. - Ce n'est qu'au point P* que le comportement asymptotique est stricte- ment en loi de puissance. Le fait que certains champs

non pertinents soient présents, entraîne des corrections comme le montre la forme homogène de l'énergie libre

yi/yI est négatif, ce qui entraîne le développement suivant pour AT -+ O

En plus de la singularité dominante en AT2-" apparaît une singularité sous-dominante en

AT^-"+'^"^'

'

quand

g , #

o.

Comportement de Crossover. - Ecrivons pour la densité d'énergie libre l'expression homogène obtenue à partir de (2.10)

où AT = T - Tc(gi), gi est un champ d'échelle et où l'exposant de crossover q i = yi/yI est positif; Nous supposons qu'il existe deux régimes critiques différents suivant que gi = O et gi # O. Pour g , = O, le comporte- ment critique avec les exposants (a, y, ...) est associé au point 6xe gi = O. Ce point fixe est instable par rapport au champ pertinent gi et, pour gi # O, il existe un autre comportement critique avec les exposants

(i,

j,

...)

associé à un autre point fixe. La fonction d'échelle de crossover F(x) est une grandeur universelle qui traduit de façon quantitative le passage d'un régime critique à l'autre. En raison des propriétés d'homogénéité, si g i

est assez petit, ces deux régimes peuvent être observés successivement en faisant varier la température. En effet, quand ATqi 9 g i , tout se passe comme si gi était nul et on observe le régime critique avec les exposants (a, y, ...) correspondant à gi = O. Par contre, quand ATpi 6 g , on observe le régime critique asymptotique

(a',

+, correspondant à gi # O). Il existe une région de crossover

(6)

THÉORIE DES PHÉI VOMÈNES CRITIQUES Cl -207

FE. 2. -Variation des susceptibilités xli et

xI

en fonction de la température (T* est la température de crossover).

Marginalisme. - La limite où y i est nul correspond, soit au croisement de deux points fixes, soit à l'existence d'une ligne (surface) de points fixes. Dans le premier cas, il y a marginalisme local entraînant des corrections logarithmiques aux lois de puissance ; dans le second cas, le marginalisme persistant se traduit par des expo- sants critiques dépendant d'un paramètre.

En résumé, les phénomènes critiques sont dominés par l'existence d'une seule longueur, la longueur de corrélation

5.

Au point critique, cette longueur diverge entraînant une invariance d'échelle. La méthode du groupe de renormalisation est bien adaptée pour four- nir le cadre d'une approche théorique qui ne se limite pas aux phénomènes critiques [5]. Son langage permet de décrire de façon unifiée les propriétés critiques (homogénéité, lois de puissance, universalité). Dans la section suivante, nous allons montrer que cette méthode peut également être quantitative et fournit une méthode de calcul des grandeurs universelles (exposants cri- tiques et fonctions d'échelle).

3. Applications de la méthode du groupe de renor- malisation. - Nous présenterons successivement deux réalisations fécondes de la méthode du groupe de renormalisation : la première consiste à faire un déve- loppement au voisinage de la dimension caractéristique et la seconde à appliquer la méthode du groupe de renorrnalisation directement sur un réseau.

3.1 DÉVELOPPEMENTS AU VOISINAGE DE LA DIMEN- SION CARACTÉRISTIQUE (DÉVELOPPEMENT EN E = 4 - d).

- Dimension caractéristique. - Le critère de Ginz- burg indique l'existence d'une dimensionalité caracté- ristique au-dessus de laquelle l'importance des fluctua- tions est telle qu'elle ruine la cohérence interne de la théorie classique [2] au voisinage du point critique. Pour un point critique ordinaire, avec des forces à courtes portées, la dimensionalité caractéristique est

dc = 4 [6] (une manière de retrouver ce résultat consiste à introduire dans la loi d'échelle de Josephson dv = 2 - a les valeurs classiques des exposants). L'existence d'une dimensionalité caractéristique est très générale et s'applique à bien d'autres problèmes qui ont en commun d'être dominés par une seule longueur

ou un seul temps. Pour les points tricritiques du type Landau dc = 3 [16] ; pour certains systèmes quantiques à T = O, dc = 4

-

z avec z = 1 , 2 , 3 1101 ; pour le pro- blème de la percolation dc = 6 [9] et enfin pour la tur- bulence d, = 813 [ I l ] (ici le régime classique apparaît pour d < d,). L'existence d'une dimensionalité caracté- ristique permet en général d'obtenir le comportement critique (exposants, fonctions d'échelle) suivant un développement en E = d, - d. Nous considérons dans la suite le cas des points critiques ordinaires pour lesquels les développements en E = 4 - d ont eu un

grand succès.

Développement en E à partir des relations de récur-

rence. - Historiquement, les transformations du groupe de renormalisation exposées dans la section 2 ont d'abord été étudiées de façon approchée pour un système à trois dimensions 151. Ce n'est qu'ensuite qu'elles ont été étudiées au voisinage de d = 4 dans le cadre de la formulation de Landau-Ginzburg. On obtient alors pour la renormalisation des paramètres uo et r, (voir éq. (1.3)) les équations différentielles sui- vantes :

où l'on a posé s = el, E = 4 - d, b = 16(n

+

2),

c = 16(n

+

8) et où n est la dimensionalité du para- mètre d'ordre. Ces équations comme le fait qu'on se limite au sous-espace r,, uo supposent que E, r, et u, sont petits [5]. Ces relations définissent la transforma- tion

,f,

du groupe de renormalisation. On peut alors déterminer les points fixes et leur stabilité et, par suite, les champs d'échelle pertinents et leurs dimensions associées. On montre ainsi que pour d < 4 (E > O), il existe un point fixe non trivial (u* # 0) qui est le plus stable et pour lequel

A d = 4, ce point fixe échange sa stabilité avec le point fixe gaussien (u* = O) ; le champ u marginal entraîne alors des corrections logarithmiques aux exposants classiques ; ainsi, la longueur de corrélation diverge suivant

.. -

2 ( n + 8 )

-

(AT)-'" (Log AT)

.

Développements en z~,(E). - Les relations de récur-

rence peuvent être établies aux ordres plus élevés en E, ce qui nécessite des calculs longs et difficiles. Il existe une méthode qui permet de simplifier les calculs. Pour cela, on commence par faire un dCveloppement double en u, et E de la fonction de corrélation T(k, r,, u,) [21].

(7)

Cl-208 P. PFEUTY

le développement de perturbation puisse se resomnler en lois de puissance. En effet, il existe en principe une valeur particulière de u,, soit u,(E) pour laquelle la région critique est très large en raison de l'annulation de champs non pertinents. En fait, pour cette valeur de u,, la région critique est si large que les propriétés d'homogénéité sont vérifiées et que l'on obtient des lois de puissance dès les premiers ordres en théorie des perturbations.

Equations de Callan-Symarzzik. - Les approches précédentes se situent dans le cadre de la deuxième version du groupe de renormalisation alors que celle- ci 1221 s'inspire de la théorie des champs et fait partie de ce qu'on peut appeler la première version du groupe de renormalisation 1231. Elle permet de résoudre la difficulté que constitue la nature de la coupure dans les approches de la deuxième version, et ceci en faisant tendre le paramètre de coupure A = l/a vers l'infini, c'est-à-dire en faisant tendre le pas du réseau a vers zéro. Partant d'un Lagrangien

c

nu (équivalent à

z)

de masse m, (avec la correspondance mg = ro) et avec

une interaction quartique u,

1

M

14,

on effectue un certain nombre de manipulations formelles qui sont utiles dans la limite où A tend vers l'infini. On obtient un Lagrangien renormalisé de masse physique m. Les constantes nues m,, u, sont remplacées par les cons- tantes renormalisées ou physiques m, u. La fonction de corrélation f(k: u, m) satisfait une équation de Callan-

Symanzik

= second membre (3.2) avec

- 1

Log (u, Zi(u) ~ ; ~ ( u ) ) ]

où Z, et Z3 sont données par les renormalisations

M = 2:'' M' et u, = mE uZ, 2;'

.

On définit les renormalisations des fonctions de corré- lation qui par suite définissent m, Z,, Z3 de façon à obtenir des fonctions de corrélation finies quand e tend vers zéro (d = 4) et quand A tend vers l'infini. Le second membre de l'équation de Callan-Symanzik est alors négligeable ordre par ordre en u et E (il faut si on

veut se placer à d = 3, e = 1 supposer que cette pro- priété reste vraie après sommation du développement en 8). Il existe un régime critique quand

et pour les moments

Pi

<

A . Dans ce cas, u, A'

diverge, alors que la constante u renormalisée approche le point fixe u* tel que

diverge : u* est alors un zéro de P(u) tel que P(u)

-

o(u - u")

quand u + u* avec o > O. On peut ici faire le contact avec les relations de récurrence en posant s = e' = m auquel cas l'équation différentielle de renormalisation s'écrit

Au point fixe donné par P(u*) = O, l'équation de Callan-Symanzik (3.2) sans second membre conduit à une loi de puissance pour

UP)

-

P'

-"

avec q = y3(u*). Pour obtenir v il faut introduire un paramètre de renormalisation Z, et v est lié à y4(u*), etc

...

Cette méthode a l'avantage d'éliminer la dépen- dance de la coupure et de donner lieu à des calculs concis.

Résultats. - Ces différentes approches ont permis de compléter la table des exposants critiques. L'exposant y a été calculé à l'ordre c3 [24] et l'exposant q à l'ordre e4. L'équation d'état a été déterminée à l'ordre e2 [25] ainsi que la fonction de corrélation à deux points au- dessus et au-dessous du point critique dans les deux régimes p< > 1 et p< > 1 [26]. Il reste encore à déter- miner les fonctions d'échelle de crossover. Pour le cas important de l'anisotropie de spin [20] des calculs ont déjà été faits à l'ordre E [27] et sont actuellement

étendus à l'ordre 8'. Les développements en e ont été

appliqués à des situations plus compliquées (forces dipolaires [28], forces à longue portée [18], anisotropies quadratiques [29] et cubiques 1301, systèmes semi- infinis [31] et enfin systèmes inhomogènes 181). Nous discuterons dans la section 4 des développements récents concernant en particulier l'effet du désordre sur le comportement critique.

(8)

THÉORIE DÉS PHÉNOMÈNES CRITIQUES Cl-209 physique du modèle d'Ising). Par contre, la transfor-

mation par blocs a été plus fructueuse. La renormalisa- tion de la taille du spin (définition du spin central) dépend d'un paramètre f % . ~ e résultat final (point fixe et valeurs propres de la transformation) dépend faible- ment de ce paramètre. Différentes méthodes ont été utilisées pour remédier à cette difficulté : le paramètre

K

est fixé en calculant de deux manières différentes la

valeur propre y, 171 (directement et à partir de la fonc- tion decorrélation au point fixe) ;un principe variation- ne1 a également été développé [33]. Il faut noter que ces méthodes du groupe de renormalisation sur réseau sont approchées au sens où l'on restreint l'espace des paramètres à des interactions à deux, trois, quatre spins entre proches, seconds voisins, etc

...

et où l'on obtient les relations de récurrence par des calculs de pertur- bation.

Ces méthodes approchées n'ont été appliquées jus- qu'à présent qu'à des cas simples et bien connus par ailleurs (n = 1, d = (2, 3)' modèle gaussien).

La plupart des théorèmes généraux concernant les transitions de phase dans les systèmes homogènes se généralisent aux systèmes inhomogènes. Des diffé- rences cependant apparaissent. Ainsi, dans un modèle d'Ising (n = 1) sur réseau où une partie des sites est occupée par des impuretés non magnétiques en concen- tration C, l'énergie libre n'est pas une fonction analy- tique du champ magnétique H à H = O pour toute température au-dessous de la température critique du système homogène Tc (C = 0) [37]. Il n'existe par ailleurs de solution exacte concernant le comportement critique d'un système inhomogène, que pour un modèle d'king à deux dimensions [38] où le désordre est d'un type très particulier : le désordre dans les interactions d'échange entre spins dans la même ligne se reproduit identique à lui-même dans les autres lignes. Pour une distribution des interactions très étroite de largeur w, il existe une température de transition T,(w). Près de Tc(w) la chaleur spécifique CH prend la forme homo- gène

3.3 CONCLUSION. - Les méthodes de déveioppe-

T

-

T(w)

ment en E avec leurs différentes variantes ont eu mani- C H - l n [ d F ( w2

) ] .

(4.2) festement un grand succès par leurs nombreuses

applications. Cependant, il est difficile de dépasser l'ordre E' qui donne en remplaçant E par 1 de bons

résultats pour la dimensionalité physique d = 3. A cet ordre, de nombreux résultats se mettent sous une forme simple, ce qui est peut-être le signe d'une théorie approchée meilleure que la théorie classique. A l'ordre E ~ , l'extrapolation à d = 3 en remplaçant E par 1 donne de moins bons résultats. Les développements en E

conduisent manifestement à des séries asymptotiques. Les méthodes développées à d dimensions soit sur réseau, soit à partir de la formulation de Landau- Ginzburg [34] continuent à susciter un certain intérêt.

Quand T -+ Tc(w) la transition est très particulière :

CH(T) est infiniment différentiable pour T = Tc(w) tout en n'étant pas une fonction analytique. Ce comportement est sans doute dû à la forme très parti- culière du désordre qui, dans une direction, possède des corrélations à longue distance.

Récemment, le problème du désordre gelé dans les phénomènes critiques a été étudié dans le cadre de la formulation de Ginzburg-Landau par la méthode du groupe de renormalisation Cg], 1391. Considérons un système inhomogène. La fonction de partition Z

s'écrit :

-- 4. Développements récents.

-

4.1 EFFETS DU

DÉSORDRE.

-

Les effets sont différents suivant qu'il Z =

j{

l-J

[drnM(x)l e-" s'agit d'un désordre mobile ou d'un désordre gelé.

Dans le premier cas, les impuretés mobiles sont autant de variables thermodynamiques supplémentaires. Le

comportement critique reste inchangé si le potentiel

J e =

l d d r ~ ( x ) l ~ ( ~ ) ~ 2

+

V'IM(x)14 (4.3) chimique est maintenu constant. Par contre, à concen-

tration d'impuretés constante, le système est soumis à une contrainte globale (du type de celle qu'on impose par exemple pour définir le modèle sphérique [35]). Les exposants critiques ne sont modifiés que si l'expo- sant a (lié à la divergence de la chaleur spécifique) est positif. Les exposants sont alors renormalisés r361

M(x) est un vecteur à rn composantes. Le désordre est introduit en remplaçant A(x) par x(x)

+

$(x) où $(x) est une variable aléatoire (on supposera que

<

$

>

= 0) qui représente par exemple le désordre dans l'échange à courte portée. D'après (4.1)

- -

dans le sens température joue Je rôle de l'énergie. -

g~

=

-

<

F =

<

L~~

z

>,

,,

= Les dimensions renormalisées

6

et se déduisent

des dimensions d p et yr suivant dq = d p et y,

+

y, = d.

Quand le désordre est gelé, le système est inhomo- n = O

gène. Dans la limite thermodynamique, on moyenne

sur les configurations désordonnées ( i ). L'énergie Après avoir introduit la variable de champ a à w x nt

(9)

Cl-210 P. PFEUTY

Z n s'écrit :

avec

ce qui entraîne, si l'on suppose que la distribution de +(x) est indépendante de celle de iC/(xl)

où I'Hamiltonien effectif invariant par translation s'écrit :

avec

Bans la limite n -+ 0, l'énergie libre effective

est donc égale d'après (4.6) et (4.4) à I'énergie libre P cherchée. L'énergie libre d'un système inhomogène, pour un paramètre d'ordre à m composantes est donc

donnée par l'énergie libre d'un système homogène équivalent pour un paramètre d'ordre à n x m compo-

santes, avec une anisotropie dans les termes quartiques, et dans la limite n + O. Cette méthode a été appliquée au cas où le-système inhomogène possède des interac- tions dipolaires et au cas où le désordre est introduit dans I'anisotropie quadratique [39].

Dans le cas du désordre isotrope considéré ici, le comportement critique dépend du nombre de compo- santes m. Pour m

c

1, il n'y a pas de transition du dèuxième ordre avec comportement critique usuel. Pour 1 < m < m, (où m, est la valeur de m pour

laquelle a = O) quand a, est positif, il y a un nouveau comportement critique avec des exposants spécifiques alors que pour m > m, le comportement critique n'est

pas affecté par la présence de désordre.

4.2 LA PERCOLATION. - Considérons un ferro- magnétique d'Heisenberg en présence d'impuretés non magnétiques en concentration C. Il existe une concen- tration critique Cc au-dessus de laquelle il ne peut plus exister d'aimantation spontanée même à température

nulle. C'est en fait un problème de percolation, lequel se formule de manière très générale, de la manière sui- vante. Supposons que les sites d'un réseau aient la probabilité p d'être occupés. Quand p croît, il se forme des amas finis de sites occupés, de plus en plus grands. Pour une probabilité critique p,, la taille des amas diverge suivant

et au-dessus de p,, la probabilité P(p) pour un site d'appartenir à un amas infini devient différente de zéro de façon continue

On peut passer d'un bout à l'autre du réseau : iI y a percolation. 11 existe une grande analogie entre' la percolation et les phénomènes critiques : existence d'une probabilité critique p, et de comportements en lois de puissance au voisinage de cette probabilité critique.

On a montré il y a plusieurs années [40j que la perco- lation correspond à la limite s -+ 1 du modèle de Potts à s états (le modèle de Potts à s états est une généralisa- tion du modèle eIsing : à chaque site, sont associés s états et l'énergie d'interaction prend une valeur

+

J si les deux sites sont dans le même état et - J s'ils sont dans des états différents). Le nombre moyen d'amas est alors égal à l'énergie libre du modèle de Potts à s états, divisée par (s - 1); dans la limite s + 1. Récemment 191, cette correspondance a permis d'obte- nir un développement en E = 6 - d pour les exposants critiques de la percolation (le fait que la dimensionalité caractéristique est dc = 6 est dû à la présence dans la théorie de Landau d'un terme en M 3 positif pour s < 2).

4.3 EFFETS QUANTIQUES POUR LES TRANSITIONS DE PHASE A BASSE TEMPÉRATURE. - Dans les systèmes quantiques, on peut définir formellement une fonction- nelle pour l'énergie libre analogue à la formulation de Ginzburg-Landau pour les systèmes classiques. Le paramètre d'ordre M(x, t) est à la fois fonction de la variable spatiale x et du temps t défini entre O et

-

ifi

où jl est l'inverse de la température.

%(NI)

s'écrit après transformée de Fourier

+

termes quartiques

.

(4.10) Les fréquences de Matsulara coi sont discrètes à tempé- rature finie et forment un continuum à température nulle. On peut appliquer Ia méthode du groupe de renormalisation [IO] et obtenir des développements en E = 4

-

z

-

d (la dimensionalité caractéristique est égale à 4 - 2): Quand Test finie, il y a crossover entre

(10)

THÉORIE DES PHÉNOMÈNES CRITIQUES Cl-211

la description précédente (régime quantique) ne s'applique qu'aux fluctuations avec

Appliquons ces considérations au comportement critique du modèle d'Ising avec champ transverse décrit par I'Hamiltonien

où S: ne commute pas avec Sr. Il existe une ligne de points de transitions du deuxième ordre Tc(T) avec Tc(T,) = O. Au point limite (T = 0,

r

= r c ) le comportement critique change et devient celui d'un modèle d'king (n = 1) à d

+

1 dimensions [4I]. Ce résultat se retrouve très simplement en appliquant la méthode précédente avec dans (4.10) F(x) = 1

+

x2 et Z = 1. A basse température, on observe un phéno- mène de crossover quantique-classique [42] tout à fait analogue au phénomène de crossover que l'on ren- contre avec ies effets de taille sur les transitions de phase. La région de crossover est donnée par :

avec

La méthode du groupe de renormalisation a été égale- ment récemment appliquée à l'étude d'un liquide de Fermi presque ferromagnétique d'électrons fortement corrélés [43].

4.4 TRANSITIONS DE PHASE DANS L'HÉLIUM 3 LIQUIDE A BASSE TEMPÉRATURE. - Le diagramme de phase de l'He3 liquide à très basse température (T < 2,8 mK) est maintenant connu en champ nul. On distingue essentiellement trois phases : le liquide de Fermi nor- mal, la phase superfluide A et la phase superfluide B. En tenant compte des interactions dipolaires, on a prédit l'existence d'une phase planaire apparaissant entre les phases superfluides et la phase normale suivant une bande très étroite (de l'ordre de 1/100 de pK).

La différence d'énergie libre entre les phases normale et superfluide s'écrit

+

m 2 tr (AA')

+

terme d'interaction dipolaire

+

5 termes quartiques

.

(4.13)

Les éléments de matrice Aij (la matrice A est une

matrice complexe 3 x 3) se transforment comme un vecteur par rapport à l'indice j dans une rotation de l'espace et comme un vecteur par rapport à l'indice i dans une rotation des spins. L'expression pour F satisfait à l'invariance de jauge et est invariante dans des rotations dans l'espace réel et dans l'espace des spins.

Les résultats préliminaires (l) obtenus à partir de la

méthode du groupe de renormalisation montrent qu'en l'absence d'interactions dipolaires, les transitions Normal + A et Normal -+ B sont du premier ordre (dans le sens qu'il n'existe pas de point fixe stable). En présence d'interactions dipolaires, toutes les transitions sont du l e r ordre. Les études sont maintenant pour- suivies en présence d'un champ magnétique.

5. Conclusion. - Nous avons omis volontairement de parler ici de plusieurs sujets intéressants qui sont exposés en détail dans d'autres articles de revue du colloque. Il s'agit des phénomènes critiques dynami- ques, de la statistique des polymères et des points polycritiques. La méthode du groupe de renormalisa- tion sous sa forme dérivée de la théorie des champs n'a été ici qu'effleurée et est développée plus amplement dans la conférence d'E. Brezin publiée dans ce colloque. L'idée de renormalisation comme réduction du nombre de degrés de liberté est développée dans le cadre de la physique du solide, dans un article de P. Nozières.

Nous nous sommes efforcés ici de présenter la méthode du groupe de renormalisation appliquée à la théorie des phénomènes critiques, en utilisant un lan- gage topologique introduit par K. Wilson il y a plus de quatre ans. Nous n'avons pu exposer en détail les déve- loppements nombreux qui jalonnent les quatre der- nières années [5]. Nous avons préféré essayer de pré- senter quelques développements récents qui débordent parfois le cadre étroit des phénomènes critiques et qu'il était difficile de prévoir il y a quelques années. Ces exemples montrent que la méthode du groupe de renor- malisation, outre son rôle unificateur, reste un outil fécond et qu'elle permettra sans doute, dans le futur, de mieux comprendre des problèmes aussi difficiles et variés que l'étude de la turbulence [ I l ] ou la transition métal isolant [44].

11 reste encore à mieux comprendre certains pro- blèmes d'unicité (en ce qui concerne les diverses trans- formations du groupe de renormalisation) et à explorer d'autres possibilités que les points fixes comme par exemple les cycles limites [45] dont la signification phy- sique ne manquera pas d'apparaître,

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