Reconstruction d'image à rayon X à partir de nombre de projection limitée

Reconstruction d'image à rayon X à partir de nombre de projection limitée

L.Cherrad

Welding and NDT Research Centre CSC Laboratory of Image and Signal Processing (LISP) Bp 64 Route de dely Ibrahim Cheraga Algiers Algeria Tel/Fax: +213.21.36.18.50 E-mail: [email protected]

R.Drai, M.Yahi

Welding and NDT Research Centre CSC Laboratory of Image and Signal Processing (LISP) Bp 64 Route de dely Ibrahim Cheraga Algiers Algeria

Résum__Dans ce travail, nous présentons l’application des algorithmes basés sur les méthodes algébriques et analytique, de reconstruction d’image en tomographie à rayon X. Ainsi, les algorithmes de FBP, Jacobi et Gauss-Seidel et Moindre Carré sont implémentés et appliqués à des images synthétiques contenant plusieurs objets et des images réels obtenues par un tomographe à Rayons X.

Mot clés : reconstruction, tomographie, inversion algébrique, gauss Seidel, Jacobi, Moindre Carré.

I. INTRODUCTION

Les rayons X sont devenus un outil essentiel d’aide à la détection et au diagnostic des anomalies et défauts dans les matériaux. Les techniques d’imageries à rayons X sont de plus en plus perfectionnées et aboutissent à des résultats assez spectaculaires. Une des applications majeure des rayons X est la tomographie. Elle est largement utilisée dans la médecine et l’industrie notamment dans les techniques de contrôle non destructif(CND) (1)-(2)-(3).

La tomographie permet de reconstruire des images en 2D et 3D des objets, de visualiser les structures internes des objets, et détecter les anomalies et défauts, comme les fissures internes dans une pipe.

Les caméras tomographiques (4) permettent d’acquérir un ensemble d’images par rotation d'un demi-tour ou d’un tour complet autour d’une région d’un objet. Chacune de ces images est appelée projection. Elle correspond à la projection sur un plan de la répartition de la radioactivité de la région étudiée. D’autres phénomènes physiques s’ajoutent: la perte de résolution avec la profondeur, l’atténuation du rayonnement dans l’objet et le bruit (5), Il existe deux grandes familles de méthodes de reconstruction : les algorithmes analytiques et les algorithmes itératifs (6).

II. LA TOMOGRAPHIE

La tomographie est une technique permettant l’acquisition d’informations et la reconstruction de sections planes d’objets ou d’organes. Le principe de la tomographie est étendu à différents phénomènes physiques tels que les rayons X, la résonance magnétique nucléaire (IRM), l’émission radioactive

.

Quel que soit le rayonnement utilisé, les systèmes de tomographie assistée par ordinateur ont en commun le principe suivant :

– acquisition des informations indirectes de l’objet sous différentes incidences (projections sur une coupe) par le dispositif d’acquisition.

– détermination de l’image en tant que solution d’un problème inverse. Dans les différents cas, on reconstruit l’image d’un paramètre lié au rayonnement ou au principe physique utilisé.

Les systèmes tomographiques habituels permettent d’obtenir implicitement des images 3D en empilant une série de coupes parallèles (une quarantaine par exemple), on peut ainsi obtenir une représentation 3D de l’objet. Il existe cependant des techniques permettant de réaliser de façon explicite de la tomographie tridimensionnelle.

III. Reconstruction tomographique par Rayons-X : La Tomographie à transmission est une technique d'imagerie qui utilise l'absorption des rayons X par des objets d’intérêt. Cela crée une image d’atténuation. En envoyant des rayons X à partir d'angles différents autour de l'objet, une collection de radiographie est créée la combinaison de ces radiographies dans une tomographie, est l'image d'une section transversale du corps. Cela signifie que les images générées sont toujours des plans de coupe virtuelle du corps.

La tomographie est indispensable en médecine, mais est

également utilisé en physique,

la chimie et la biologie et le domaine industriel notamment dans le contrôle non destructif. Elle est utilisée pour reconstruire des objets basés sur un certain nombre de projections, sous des angles différents. L'objet est mis en rotation et les projections sont prises tous autour des angles différents. La combinaison de ces valeurs que nous obtenons par une intégrale dite ligne représente l'atténuation des rayons X à travers l'objet dans une ligne droite (7).

Dans le domaine du contrôle non destructif, en

utilisant un tomographe, le faisceau de rayons X émis

traverse plus ou moins facilement la pièce à contrôler

suivant la densité du matériau qui la compose. Les

variations de contraste obtenues sur le détecteur

fournissent alors une radiographie en 2D de la pièce. Reste ensuite à déplacer la pièce devant le générateur pour obtenir une multitude de vues en 2D puis en 3D (suite à une reconstruction mathématique).

A partir de là, tout est possible, ou presque. Le logiciel de visualisation permet de réaliser n’importe quelles coupes de la pièce, détecter les défauts internes.

Il ya deux types de tomographie :- tomographie par transmission.

- tomographie par émission.

Dans ce travail, nous nous intéressons à la tomographie par transmission

Figure1 faisceau de rayon x traversant un matériau mince de coefficient d’atténuation linéaire µ.

On définit le coefficient d’atténuation linéaire μ par :

(1/

0

) dN N dl

   (1)

On prend µ(x,y)=f(x,y).

( , ) 0

f x y dl

N  N e

^

 (2)

L est la droite décrivant le parcours des photons arrivant sur le détecteur donné ( est donc la longueur élémentaire de la droite L).

L’équation(2) fournit un modèle d’observation qui sert de base à l’´elaboration des méthodes de reconstruction. Bien que les interactions individuelles soient de natures statistiques, l’intensité macroscopique du rayon suit une loi exponentielle.

Un milieu très absorbant aura un coefficient d’atténuation μ élevé et le faisceau émergeant du milieu contiendra peu de photons.

Cette modélisation adopte un point de vue déterministe et suppose que :

– les rayons X émis sont infiniment fins et monochromatiques.

– le nombre de photons émis par la source pour un rayon est déterminé et égal à N₀

– les détecteurs sont parfaits et détectent tout photon les atteignant.

A. Acquisition des données (Projections et Bruit) :

Considérons un système tomographique 2D à faisceaux parallèles. μ(x, y) représente la distribution des coefficients d’atténuation dans le plan (x,y) (voir figure 2). L’objet est orienté suivant l’axe x et on suppose que μ(x, y) est nul en dehors d’un champ cylindrique de diamètre D. Le faisceau fait un angle θ avec l’axe y. L’intensité du faisceau non attenue est N₀. On définit un nouveau système de coordonnées (t, s) par rotation d’angle θ de (x, y) :

cos sin sin cos

cos sin

sin cos

t x

s y

x t

y s

 

 

 

 

     

       

     

      

      

      (3)

Figure2 Système coordonnée de géométrie à faisceau parallèle.

Pour un angle fixé, le profil d’intensité mesuré en fonction de t est donné par :

0

( , ) ln( 0 ) ( , )

L

N

f x y dl p u

N 

 

 (4)

Le problème de reconstruction d’image est donc la détermination de la fonction f(x, y) à partir des projections p (u, θ)( il remplacer dans ce travail t à u ) .C’est un problème inverse qui est généralement mal posé à cause du nombre insuffisant de projections. Pour le résoudre deux méthodes sont envisagées:

• la première s’appuie sur une expression analytique de l’estimée de l’objet scanné. Cette démarche conduit aux algorithmes de type rétroprojection filtrée.

• la seconde approche s’appuie sur une décomposition préalable de l’objet à reconstruire sur une base fini de fonctions appropriées (une base indicatrice de pixels par exemple). L’inversion numérique aura ensuite lieu pour reconstruire cette approximation. Cette démarche

c

onduit aux algorithmes de reconstruction

itératifs. Discrétisation de l’équation (4) ce qui peut s’écrire (8):

P  Rf  n (5)

R: matrice du système de projection.

Où n est appelé bruit, il représente toutes les facteurs que nous ne pouvons pas modéliser, comme les erreurs de mesures, les incertitudes du modèle, et les erreurs de discrétisation.

• Les erreurs du modèle Elles sont causées par plusieurs facteurs comme par exemple:

L’allure non ponctuelle de la diffusion des sources et des détecteurs, l’allure non homogène de l’objet, la réponse non linéaire du détecteur, etc.…

• Les erreurs de discrétisation Elles concernent le terme

Rf

il dépend du type de la modélisation choisie pour l’objet. On ne peut pas déterminer le terme bruit (n), on le définit comme un vecteur aléatoire avec des propriétés statistique. Dans le cas simple on choisit (n) un vecteur stochastique avec des lois Gaussiennes.

La résolution est perdue le long du trajet des rayons X quand on obtient les projections. La reconstruction tomographique restaure cette résolution en utilisant les informations des multiples projections.

Les rayons X traversent en lignes l’objet, ainsi les données de projection sont les mesures des intégrales lignes de quelques paramètres de l’objet le long d’une ligne. Soit μ(x, y) qui représente les coefficients d’atténuations de l’objet en un point (x, y) pour une valeur fixe de l’axe Z. Considérons que l’illumination est constituée d’une infinité de rayon parallèles, l’intensité du flux détecté est donnée par l’équation (5)(9)

Les variations des coefficients d’atténuations avec l’énergie des rayon- X , et les artefacts (les bruits) dans la reconstruction, peuvent être la cause de la mauvaise résolution de l’image de l’objet. Le modèle d’une image dégradée par un bruit additive aléatoire n (x, y) est donné comme dans (10)

( , )

0

( , ) ( , )

f x y  f x y  n x y (6)

Où

f x y

₀

( , )

est l’image originale.

B. Méthode algébrique :

Décomposition préalable de l’objet à imager sur une base fini de fonctions appropriées (une base indicatrice de pixels). L’inversion numérique a ensuite lieu pour reconstruire cette approximation. Cette démarche conduit aux algorithmes de reconstruction itératifs.

Le cas présenté est celui de l'acquisition d'une projection 1D et de la reconstruction d'une coupe 2D.

I. Le modèle usuel en reconstruction itérative :

Le point de départ de ces méthodes est une représentation discrète de l’image et des mesures (13), c’est à dire un milieu

f x y ( , )

est écrit sous la forme d’une combinaison linéaire finie de fonctions de base

r x y

_i

( , )

:

1

( , ) ( , )

n i i i

f x y f r x y



 

(7) La projection

ln( N

⁰

)

P  N

qui est mesuré par le détecteur.

1 0

0

( , ) ln( )

n i i i L

N f r

x y l

N d



  

(8) Le choix des fonctions de base permet de prendre en compte les aspects liés à la géométrie du système d'acquisition : une projection uniforme et parallèle où la fonction de base est de la forme :

1, ( , ) ( , )

i

0,

si pixel x y r x y

sinon

  



(9) Dans le cas d’une image discrétisée, l’intégrale est approchée par une somme pondérée des coefficients

f

_i:

0

0 1

( ,

n )

l ) (

n

i i

i L

f r x

N d

N y l



  

(10)

Donc

:

0

( , )

L

ij i

R   r x y dl

La projection p pour un rayon j s'écrit alors

:

1 n

j ij i

i

P R f



 

Le système linéaire à résoudre se formule selon:

P Rf  (11)

Où P est un vecteur colonne composé des projections acquises, R est la matrice de projection représentant la géométrie de l'acquisition et f est le vecteur des atténuations de l'objet à reconstruire.

Pour résoudre le système linéaire: Recherche d’une solution f minimisant une distance d (p, Rf), p et R étant

connus.

II.

Algorithme itérative de Jacobi :

Méthode induise un processus itératif par construction d'une suite de vecteur qui converge vers la solution du système : On écrit : A=D-E-F, D est la partie diagonale de A, E est la partie supérieur de A, F est la partie inferieur de A.

1) Initialisation avec un f⁰arbitraire.

2) A l'itération k + 1, le vecteur f^(k+1) est calculée par la relation :

1

1, 1

( ) /

i

n

k k

i i ij ii

j i

f

^

P R f R

 

  

(12) 3) condition de convergence :

f

_i^k1

 f

_i^k

 

tel que

  10

^3

4) répéter les étapes 1-3 pour chaque itération

III. Algorithme itérative de Gauss-Seidel :

A partir de A=D-E-F on choisit G=D-E et H=F. soit D est une matrice diagonale et E supérieur et F est inférieur.

1) Initialisation avec un f⁰arbitraire.

2) A l'itération k + 1, le vecteur f^(k+1) est calculée par la relation :

1 1 1

1 1

( ) /

n n

k k k

i i ij i ij i ii

j j i

f

^

P R f

^

R f

^

R

  

    

(13) 3) condition de convergence :

f

_i^k1

 f

_i^k

 

tel que 10^3

4) répéter les étapes 1-3 pour chaque itération

.

IV. Algorithme itérative de moindre carré : Considérons les deux matrices symétriques

R R

^t et

R R .

^t calculons leurs valeurs singulières

( .

^t

)

SVD R R

,

SVD R R (

^t

)

On peut remarquer que les deux sont singulières, on rappelle que la solution aux sens des Moindre Carrée (MC) est définie par:



²



^

arg min

f  p  Rf (14)

En effet la résolution du problème inverse du système d’équation. (11), présente trois possibilités, une seule solution, plusieurs solutions ou pas de solution. Ce dernier cas c’est le cas le plus difficile ou on va définir une solution approchée sous la forme d’un critère de type distance dans l’espace de Hilbert. En choisissant comme solution Celle qui la minimise.

Si la distance choisie est une distance euclidienne, on parle de solution au sens des moindres carrés

Et si R .R^t est réversible, alors nous avons la solution inverse généralisée:

 

^{1( )}

^

.

R pt

f  R R

t ^

(15)

Ou a l’aide de l’algorithme itératif suivant:

( (:))

f   f lamdaR p

t

 Rf (16)

V. test et résultat :

A. Description des images :

Une image à 256x256pixels de cellules solaire. L'objectif est d'évaluer l'algorithme en termes de qualité et de durabilité de la reconstruction. La dimension de l’image finale reconstruite est 256x256 pixels.

B. Résultats de Simulation

Dans les figures suivantes, des images réelles sont reconstruites avec les algorithmes de reconstruction FBP, Jacobi, Gauss Seidel, Moindre Carré. Les données de projections considérées sont simples puis dégradées par un bruit Gaussien d’additive de valeur moyenne nulle et de niveau de variance 0.005. (11) Le nombre d’itération choisie est compris entre 10 et 100 pour éliminer l’accumulation de bruit.

Nous notons que tous les tests qui vont suivirent se portent sur une image réelle de tomographie. Prises par un radioscope à rayon X : fein-focusfxs160.50.

Figure3 Image originale sans bruit

Pour 18 projections :

a-Image reconstruite pour FBP b- Image reconstruite pour Jacobi

c- Image reconstruite pour GS d- Image reconstruite pour MC

Pour 32 projections:

a-Image reconstruite pour FBP b- Image reconstruite pour Jacobi

c- Image reconstruite pour GS d- Image reconstruite pour MC Pour 64 projections:

a-Image reconstruite pour FBP b- Image reconstruit pour Jacobi

c- Image reconstruite pour GS d- Image reconstruite pour MC

- dans un bruit : Pour FBP:

Pour 18 projections Pour 90projections Pour Jacobi

Pour 18 projections Pour 80 projections Pour GS :

Pour 25 projections pour64 projections

Pour MC :

Pour 64 projections pour 18 projections

On mesure le rapport de convergence en calculant le rapport signal sur bruit (SNR) et ensuite l’erreur quadratique moyenne (EQM) entre les valeurs mesurées et celles estimées .Les équations des SNR et du EQM utilisées sont :

2 ,

2 ,

( )

10 ( ( ) )

2 ,

10 log ( )

1 ( ( ) )

*

originale i j

résult originale i j

f

f f

résult originale i j

SNR

EQM f f

n m



  

  

TABLEAU I : les valeurs de rapport signale sur bruit et l’erreur quadratique moyenne

VI. CONCLUSION

Les méthodes Moindre carré et gauss Seidel et Jacobi, appliquée sur différentes images, semble une méthode modélisable avec le bruit présent dans l’image et permet une bonne reconstruction. Nous remarquons que dans la Pratique pour pouvoir reconstruire l’image d’une façon nette il nous faut un nombre plus grand d’acquisitions de projections.

La méthodes itératives Moindre carré Nous a Permis de remarquable reconstruction en un temps de calcul relativement réduit et plus moins de nombre d’acquisition de projection comparé aux méthodes de Gauss Seidel Jacobi et rétroprojection filtrée

.

REFERENCES

[1] A.C. Kak and M. Slaney, Principles of Computerized Tomography Imaging. IEEE, Inc., New York: IEEE Press, 1988.

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[4] BROOK R.A., DICHIRO G. Principles of computer assisted tomography in radiographic and radioisotope imaging. Phys. Med.

Biol. (1976).

[5] -BLOKLAND K., REIBE H., PAUWELS E.Quantitative analysis in single photon emission tomography. Eur. J. Nucl. Med. (1992) . [6] X.Duan, Li.Zhang, Y.Xing, Z.Chen, J.Cheng,"Few-View Projection Reconstruction with an Iterative Reconstruction- Reprojection Algorithm and TV Constraint", IEEE transaction on nuclear science, vol 56.no3, june2009.

[7]A. C. Kak and M. Slaney, Principles of computerized tomography imaging. IEEE Press, 1988.

[8] S. Coric, “Parallel-beam back projection: an fpga implementation optimized for medical imaging,” Master’s thesis, Northeastern University Graduate School of Engineering, Department of Electrical and Computer Engineering, 2001.

[9] P. C. Hansen, Discrete Inverse Problems: Insight and Algorithms, SIAM, 2010.

[10]. VANDROUX J.C., BECK C. La tomographie d’émission monophotonique. Bulletin de L’ACOMEN. (1986)

[11] C.Solomon, T.Breckon, "Fundamentals of Digital Image Processing", first published, by John Wiley & Sons, Ltd, 2011.

N°

proj

FBP Jacobi G.S M.C

SNR EQM SNR EQM SNR EQM SN

R EQM

18 3.32 0.173 0

6.98 0.144 1

9.84 0.040 9

11.7 4

0.0206

32 7.64 0.059 1

9.84 0.041 6

11.67 0.035 1

14.1 0

0.0165

64 8.78 0.035 2

10.79 0.035 1

13.84 0.020 6

15.8 3

0.0133