Actionneurs hydrauliques

Commande

par

Jean-Charles MARÉ

Ingénieur de l’Institut national des sciences appliquées (INSA) de Toulouse Professeur des universités à l’INSA de Toulouse

a commande est la dernière étape du processus de conception des action- neurs hydrauliques, après le choix de l’architecture, le dimensionnement en puissance, le conditionnement modal, et la modélisation, exposés dans un pre- mier article [S 7 530].

L’ensemble vérin symétrique-servovalve sert toujours de support didactique.

1. Modèle de conduite... S 7 531 - 2

1.1 Équations de base, linéarisation – réduction ... — 2

1.1.1 Modulateur de puissance... — 2

1.1.2 Équation de continuité ... — 3

1.1.3 Équation dynamique ... — 3

1.2 Modèle de conduite... — 3

1.2.1 Fonction de transfert ... — 3

1.2.2 Modèle d’état ... — 4

1.3 Analogie électrique. Considérations sur la non-linéarité ... — 4

1.3.1 Non-linéarité du distributeur de puissance ... — 4

1.3.2 Non-linéarité de position ... — 4

1.3.3 Cas des vérins non symétriques ... — 5

2. Commande en position... — 5

2.1 Commande proportionnelle pure... — 5

2.1.1 Analyse ... — 5

2.1.2 Effet des non-linéarités... — 6

2.2 Correcteurs pour l’asservissement de position ... — 6

2.2.1 Conception optimale ... — 6

2.2.2 Actions de correction au niveau organique... — 7

2.2.3 Correcteurs électriques type série... — 7

2.2.4 Correcteurs électriques type parallèle ... — 8

2.2.5 Correcteurs électriques par anticipation... — 9

2.2.6 Influence des élasticités parasites... — 9

2.2.7 Commande non-linéaire ... — 10

3. Commande en vitesse... — 10

4. Commande en effort... — 11

4.1 Modèle de conduite... — 12

4.2 Commande proportionnelle ... — 13

4.3 Charge bloquée... — 14

4.4 Correction... — 14 Pour en savoir plus... Doc. S 7 532

L

1. Modèle de conduite

Dans ce paragraphe, le modèle de conduite est élaboré en consi- dérant que le vérin et le distributeur sont symétriques. Cette restric- tion est justifiée en remarquant que :

— les distributeurs dissymétriques requièrent une conception spécifique et donc rarement envisagée ;

— le cas du vérin dissymétrique est traité à partir du modèle de conduite du vérin symétrique en utilisant une section de vérin

« équivalente ».

Dans un premier temps, le corps de vérin est fixe et l’ancrage et la transmission sont supposés infiniment rigides. Dans ces conditions, le schéma de la partie puissance de l’actionneur est présenté sur la figure 1.

1.1 Équations de base, linéarisation – réduction

1.1.1 Modulateur de puissance

L’étage hydraulique de puissance est modélisé en décrivant seule- ment l’effet résistif fonctionnel engendré par chaque orifice variable :

(1) Les coefficients de débit sont considérés identiques et constants (généralement égaux à 0,75). La caractéristique hydraulique est alors donnée par les deux équations algébriques :

(2)

(3) avec a, b, c, d indices relatifs aux voies correspondantes du

distributeur.

La relation algébrique entre les sections de passage S_a, S_b, S_c, S_d et l’ouverture de distributeur définissent sa caractéristique géomé- trique (figure 2).

Dans le cas le plus courant du distributeur linéaire symétrique à centre critique (figure 2b) elles sont idéalement définies par :

— ouverture positive :

S_a = S_c = K_gY et S_b = S_d = 0

— ouverture négative :

S_b = S_d = − K_gY et S_a = S_c = 0 avec Y (m) l’ouverture du distributeur,

K_g (m) le gain géométrique du distributeur.

Il est extrêmement rare de modéliser en détail le pilotage du tiroir.

C’est pourquoi on adopte un modèle de représentation d’ordre 2 au maximum. Dans ce cas, les paramètres de ce modèle sont identifiés à partir des données du constructeur :

(4)

(5) avec K_sv (m/V) le gain de pilotage du distributeur de puissance,

ωsv (rad/s) la pulsation propre du modulateur,

ξsv le coefficient d’amortissement réduit du modula- teur.

Le modèle de conduite global du modulateur est obtenu à partir des équations précédentes. La première difficulté consiste à en tirer une équation unique liant les variables fonctionnelles : ouverture de distributeur Y, pression différentielle ∆P = P₁− P₂ et débit moyen Q échangé avec le vérin.

Un tableau des notations et des symboles utilisés se trouve dans la première partie [S 7 530].

Q C_qS_p 2

ρ--- ∆P sgn (∆P)

=

Q₁ C_qS_a 2

ρ--- P_a–P₁ sgn P( _a–P₁)

=

C_qS_b 2

--- ρ P₁–P_r sgn P( ₁–P_r) –

Q₂ C_qS_c 2

ρ--- P₂–P_r sgn P( ₂–P_r)

=

C_qS_d 2

ρ--- P_a–P₂ sgn P( _a–P₂) –

Figure 1 – Modèle de la partie hydromécanique P_a

P₁V₁ S P₂V₂ P_a P_r

a b c d

Q₁

Q_e1 Q_e2

F_f r_c F_e

Q₁₂ Q₂ Y+

X+

M

Y U----

K_sv G_sv( )s ---

=

G_sv( )s 1 2ξ_sv

ω_sv --- s 1

ω_sv² --- s²

+ +

=

Figure 2 – Caractéristiques géométriques de distributeur S

–Y critique b S

Y recouvrement a

S

–Y double pente d

S

Y découvrement c

On considère pour cela que le débit moyen instantané Q = (Q₁ + Q₂)/2 est peu différent du débit qui s’établirait en régime établi sur charge hydraulique symétrique. Cette hypothèse impose donc la condition additionnelle Q₁ = Q₂ qui conduit à :

P₁ + P₂ = P_a + P_r (6) On peut alors former une équation unique décrivant la caractéris- tique du distributeur de puissance dans le domaine de fonctionne- ment normal (pas de cavitation ni de surpression) :

(7)

avec le gain statique à vide

(m³ · s⁻¹ · v⁻¹), le facteur de correc- tion de gain.

La linéarisation de cette caractéristique autour du point de fonc- tionnement défini par ∆P₀ = P₁₀− P₂₀ et Y = Y₀ fournit finalement la caractéristique linéaire équivalente du distributeur :

(8)

avec

le gain fonctionnel débit – commande (m³ · s⁻¹ · v⁻¹), le gain débit – pression du distri- buteur de puissance

(m³ · s⁻¹ · Pa⁻¹).

1.1.2 Équation de continuité

Le principe de conservation de la masse (§ 3.7 de [S 7 530]) appli- qué aux volumes 1 et 2 fournit les deux équations de continuité :

et

avec Q₁₂ (m³/s) le débit de fuite interne de la chambre 1 vers la chambre 2,

Q_e1 (m³/s) le débit de fuite externe de la chambre 1, Q_e2 (m³/s) le débit de fuite externe de la chambre 2.

Les débits de fuite sont explicités à partir des modèles hydrauli- ques résistifs (1). Les volumes V₁ et V₂ compris entre piston et dis- tributeur, sont définis à partir du volume V_t définissant l’élongation X = 0 :

V₁ = V_t + SX et V₂ = V_t− SX (9) avec V_t (m³) le volume des chambres 1 ou 2 en configuration

de référence (V₁ = V₂).

Les équations de conservation de la masse sont alors combinées pour former le débit moyen échangé avec le distributeur :

(10) avec a (m³ · s⁻¹ · Pa⁻¹) le coefficient de fuite équivalent après linéarisation des fuites internes et externes autour du point de fonctionnement (P₁₀, P₂₀).

Le deuxième élément du terme de droite, non linéaire, peut être négligé dans l’un des deux cas suivants :

— l’élongation du vérin X reste faible devant la course totale (SX << V_t) ;

— les pressions P₁ et P₂ évoluent symétriquement par rapport à la demi-pression d’alimentation totale (6).

Il sera montré au paragraphe 2.2.6 que ces conditions sont les plus pénalisantes pour la stabilité de l’actionneur. Ainsi, ce dévelop- pement permet de réduire d’une unité l’ordre du modèle de l’action- neur, en négligeant l’effet du mode commun de pression (P₁ + P₂) qui n’est par ailleurs pas commandable.

1.1.3 Équation dynamique

Le principe fondamental de la dynamique est appliqué à la partie mobile de l’actionneur. Il fait apparaître les efforts extérieurs F_e appliqués sur la charge, l’effort de frottement global F_f et la masse totale en mouvement m (charge + partie mobile de l’actionneur) :

(11) avec (m) la précontrainte de l’effet ressort de charge.

Après linéarisation, l’effort de frottement est assimilé globale- ment à un effort de frottement visqueux de la forme .

1.2 Modèle de conduite

1.2.1 Fonction de transfert

Le transfert de l’actionneur est obtenu à partir des trois équations (8), (10) et (11), en considérant que les variables constituent des accroissements par rapport au point de référence (par souci de sim- plicité, il n’est pas fait de distinction entre les variables de Laplace et les accroissements temporels) :

(12) avec A = a + K_QP (m³ · s⁻¹ · Pa⁻¹) le coefficient de fuite linéarisé

global,

r_h = 2βS²/V_t(N/m) la raideur hydromécanique minimale.

Dans beaucoup d’applications, la raideur de charge est nulle. Il apparaît donc que le comportement propre de l’actionneur hydrau- lique est globalement défini sous sa forme linéaire équivalente par l’expression canonique :

(13)

qui fait intervenir :

— le gain de commande ; Q K_QU

0σU

= K_QU

0 C_qK_gK_sv

P_au 2ρ ---

Q_n U_n ---

P_au P_n ---

= =

σ 1 ∆P

P_au --- sgn Y( ) –

=

Q–Q₀ 1 G_sv

--- K[ _QU(U–U₀)–K_QP(∆P–∆P₀)]

=

σ₀ 1

∆P₀ P_au

--- sgn Y( )₀ –

=

K_QU K_QU

0σ₀

=

K_QP

Q_nU₀ U_n P_nP_au --- 1

2σ₀ ---

=

Q₁–Q₁₂–Q_e1 V₁ --- Pβ ˙₁+SX˙

= Q₁₂–Q₂–Q_e2

V₂ --- Pβ ˙₂–SX˙

=

Q

Q₁+Q₂

( )

2 ---

V_t 2β --- ∆P˙ SX

2β --- P˙

1 P˙ + 2

( ) SX˙ a∆P

+ + +

= =

S∆P–F_e–F_f–r_c(X+)= mX˙˙

F_f= fX˙

Ar_c S²

--- s 1 Af S² ---

r_c r_h ---

+ +

 

  s² Am

S² --- f

r_h ---

 + 

  s³m

r_h ---

+ + + X

K_QU SG_sv( )s --- U 1

r_h --- s A

S² ---

 + 

 F_e

= –

s 1 2ξ_h

ω_h --- s 1

ω_h² --- s²

+ +

 

 X

K_QU 1 Af

S² ---

 + 

 SG_sv( )s --- U

K_f(1+τ_hs) 1 Af

S² ---

 + 

 

--- F_e –

=

K_QU S 1

Af S² ---

 + 

 

---

— un mode oscillatoire hydromécanique sous-amorti, de pulsa- tion naturelle

et de coefficient d’amortissement ;

— la dynamique propre à la servovalve G_sv(s) qui est correcte- ment amortie (ξsv = 0,5 à 0,9) ;

— le gain vitesse / effort extérieur ;

— la constante de temps hydraulique . En pratique, ces expressions sont simplifiées car Af/S² est la plu- part du temps négligeable devant 1.

Si elle n’est pas nulle, la raideur de charge est souvent très infé- rieure à la raideur hydraulique. Dans ce cas, le mode propre hydrau- lique est peu affecté et il est précédé d’un effet du premier ordre, de pulsation de cassure :

(14)

1.2.2 Modèle d’état

L’équation dynamique du modèle d’état peut prendre deux for- mes usuelles selon le vecteur d’état adopté. En particulier, si l’on néglige la dynamique du distributeur, le modèle d’état d’ordre 3 de l’actionneur est donné par :

(15)

(16)

ou par :

(17)

(18)

avec X le vecteur d’état de l’actionneur.

1.3 Analogie électrique. Considérations sur la non-linéarité

Il est intéressant de rapprocher le transfert (12) du transfert qui est obtenu pour un actionneur à moteur à courant continu (CC) com- mandé par tension d’induit à flux inducteur constant. Dans ce cas, S est remplacé par K_T ou K_E, V_t/2β par L, A par R et K_QU par K_U : avec K_T (N · m/A) la constante de couple,

K_E (V · rad⁻¹ · s⁻¹) la constante électromagnétique, L (H) l’inductance d’induit,

R (Ω) la résistance d’induit,

K_U (V/V) le gain de l’amplificateur de puissance.

Ce résultat montre l’analogie structurale qui peut être établie entre les modèles de conduite des actionneurs hydrauliques et ceux des actionneurs électriques. Malheureusement, la ressemblance s’arrête là pour deux raisons essentielles.

D’une part, les valeurs des paramètres produisent des comporte- ments dynamiques différents. Alors que la dynamique propre d’un actionneur hydraulique se manifeste comme un mode oscillatoire hydromécanique rapide et mal amorti, celle du moteur électrique correspond à la combinaison de deux premiers ordres (électrique et mécanique) qui produit un mode largement suramorti.

D’autre part, le modèle de l’actionneur hydraulique est obtenu au prix d’une opération de linéarisation / réduction qui rend ses para- mètres fort dépendants du point de fonctionnement. Deux non- linéarités incontournables, conséquences mêmes de la structure de l’actionneur, affectent son comportement : la caractéristique hydraulique du distributeur et la variation de capacité hydraulique en fonction de la position du vérin.

1.3.1 Non-linéarité du distributeur de puissance L’évolution des facteurs de correction de gain du distributeur σ et 1/2 σ est présentée sur la figure 3.

Il est important de remarquer que la variation de gain débit / commande est comprise entre − 42 % et + 28 % de la valeur nomi- nale si l’excursion de la pression différentielle reste à chaque instant dans les limites recommandées. Dans les mêmes conditions, le gain débit / pression varie entre 0,39U0 et 0,87U0. C’est surtout ce dernier effet qui produit, par son action sur A (voir (12)) une aug- mentation importante de l’amortissement hydromécanique ξh, pro- portionnelle à l’ouverture même de distributeur.

1.3.2 Non-linéarité de position

La variation de la capacité hydraulique globale du vérin se traduit par des changements de raideur hydraulique en fonction de la sortie de tige. Si l’on considère que le volume mort de chaque chambre (volume sous pression non balayé par le piston au cours de son mouvement) est défini par :

V_t = V_m + SX_max = αvSX_max (19) avec V_m (m³) le volume mort,

αv le facteur volumétrique (αv > 1).

On calcule que la proportion entre la raideur hydraulique maxi- male, obtenue en fin de course et la raideur hydraulique minimale, obtenue en configuration centrée, est donnée par :

(20)

ω_h 1 Af

S² ---

 + 

  r_h

m ---

=

ξ_h

Am S² --- f

r_h --- +

2 1 Af S² ---

 + 

  m

r_h --- ---

=

K_f A

S² 1 Af S² ---

 + 

 

---

=

τ_h S² Ar_h

--- V_t

2βA ---

= =

ω₀ Ar_c

S² Af S²r_c

r_h ---

+ +

---

≈

X X X˙ X˙˙ F_e ---m +

T

=

X˙

0 1 0

0 0 1

Ar_cr_h mS² --- –

r_h m--- 1 Af

S² ---

r_c r_h ---

+ +

 

 

–

r_h m--- Am

S² --- f

r_h ---

 + 

 

–

X

=

0 0

0 1

m--- – K_QUr_h ---mS f

m² ---

U F_e +

X X X˙ ∆P

T

=

X˙

0 1 0

r_c m---

– f

m---

– S

m---

0 2βS

V_t ---

– 2βA

V_t --- –

X

0 0

0 1

m--- – 2βK_QU

V_t --- 0

U F_e +

=

max r( )_h min r( )_h ---

α_v² α_v²–1 ---

=

Le tableau 1 montre que pour les proportions usuelles de volume mort, cet effet n’est pas du tout négligeable sur la variation du mode propre hydraulique.

(0)

1.3.3 Cas des vérins non symétriques

Dans le cas où le vérin n’est pas symétrique, on peut définir une section équivalente dont l’expression dépend de l’approche utilisée pour l’élaboration du modèle symétrique équivalent, à partir de :

— l’équation de continuité et de l’équation d’effort : ;

— la caractéristique du distributeur et de l’équation d’effort : ;

— la valeur moyenne : S = 0,5 (S₁ + S₂).

Les résultats sont généralement peu différents et l’approche à adopter dépend de l’objectif principal de la linéarisation (reproduire le mode propre, le gain en vitesse, etc.).

2. Commande en position

La commande en position concerne la majeure partie des applica- tions. Les structures de commande qui sont efficaces sont relative- ment bien connues mais la conception préliminaire est rarement abordée avec succès. L’architecture générale de l’actionneur asservi en position est présentée sur la figure 4. Pour simplifier les déve- loppements, la charge est ramenée au niveau de la tige de vérin (N = 1).

2.1 Commande proportionnelle pure

Les performances en commande proportionnelle pure (U = K_ae) doivent systématiquement être évaluées pour constituer des points de repère sur la criticité de la commande à concevoir. L’analyse qui suit fait appel aux considérations générales présentées dans l’encadré 1.

2.1.1 Analyse

Lorsque la raideur de charge est nulle, le transfert en position est formé à partir de la relation (13) et fait apparaître le gain de boucle de position :

(21)

avec K_p (V/m) le gain de mesure de position, K_v (1/s) le gain de boucle de position.

En l’absence de raideur de charge, l’actionneur est naturellement intégrateur en boucle ouverte. En boucle fermée, cette propriété lui confère un comportement global aux basses fréquences de type premier ordre, vis-à-vis de la consigne et de l’effort extérieur :

(22)

Il s’y ajoute la dynamique rapide et mal amortie du mode hydrau- lique dont les caractéristiques sont généralement peu modifiées par le bouclage en position.

Le tableau 2 donne les ordres de grandeur du gain de boucle admissible et les performances qui en découlent.

Figure 3 – Coefficients de gain non-linéaire de distributeur

Tableau 1 – Influence de la position de tige

Volume mort 5 %

αv = 1,05

αv10 % = 1,10

αv15 % = 1,15 Variation de la raideur hydraulique 10,8 5,7 4,1 Variation du mode propre

hydraulique 3,3 2,4 2

– 1 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,2 0,6 1

0,4 0,8 1,2 1,4 1,6

Pression différentielle réduite ∆^P/P_au

Facteur de gain σ _{U > 0 U < 0U > 0 U < 0}

Domaine de fonctionnement recommandé

– 1 – 0,8 – 0,6 – 0,4 – 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0

0,5 1,5 2,5

1 2 3 4 4,5 3,5 5

Pression différentielle réduite ∆^P/Pau

Facteur de gain en pression 1/2 σ _{U > 0 U < 0U < 0 U > 0}

Domaine de fonctionnement recommandé

facteur de gain débit/pression b

facteur de gain débit/commande a

S =(S₁²V₂+S₂²V₁)⁄(S₁V₂+S₂V₁)

S =³0 5 S, ( ₁³+S₂³)

Figure 4 – Commande en position K_p

K_p F_e Anticipation

X* V_x e U X

V_x

??? Servovalve

+ vérin + charge

Retours d'état

Capteur de position +–

*

K_v

K_pK_aK_QU S 1 Af

S² ---

 + 

 

---

=

X 1

1 1

K_v --- s + --- X

K_f(1+τ_hs) K_v 1 1

K_v --- s

 + 

 

--- F_e

≈ *–

(0)

La présence d’une raideur de charge, faible devant la raideur hydraulique, affecte peu la détermination du gain de boucle. Elle augmente l’erreur d’asservissement vis-à-vis de la consigne mais améliore l’erreur sous charge extérieure. Le cas des raideurs de charge dominantes est très peu fréquent et nécessite des déve- loppements spécifiques.

2.1.2 Effet des non-linéarités

La linéarisation du modèle de conduite en position est effectuée dans le cas le plus défavorable pour la stabilité (plus faible valeur de ωh). C’est pourquoi le calcul est effectué pour la raideur hydraulique minimale, pour la masse mobile maximale et en l’absence de charge extérieure permanente (figure 5a). Les conclusions tirées de cette approche linéaire pour l’évaluation des performances doivent donc être modulées en pratique.

L’étude linéaire fournit des résultats pessimistes pour la stabilité.

Dans un cadran moteur, le gain de boucle diminue lorsque la pres- sion différentielle ∆P augmente, à cause de la réduction du gain débit / ouverture. L’amortissement est augmenté par l’accroisse- ment du gain débit / pression avec l’amplitude d’ouverture de distri- buteur (figure 5b). La pulsation propre hydraulique augmente lorsque la position s’écarte de la configuration centrée. Elle accroît la raideur hydraulique et par voie de conséquence, la marge de sta- bilité (figure 5c). Elle augmente également lorsque la masse à mou- voir diminue.

L’étude linéaire est optimiste pour l’évaluation de la précision. Les défauts statiques, non pris en compte par le modèle linéaire, détruisent le caractère intégrateur naturel de l’actionneur. Ils intro-

duisent des effets de seuil, de résolution et d’hystérésis dont les conséquences peuvent être évaluées lors du dimensionnement ([S 7 530], § 4) ou en simulation non-linéaire.

2.2 Correcteurs pour l’asservissement de position

2.2.1 Conception optimale

Les développements de l’encadré 1 montrent que les performan- ces réalisables sont directement fonction de la pulsation propre hydraulique. Il peut donc s’avérer souhaitable de maximiser cette valeur lors de la conception systémique de la partie hydroméca- nique afin de faciliter la synthèse de la commande.

La section utile est déterminée par la spécification de charge d’arrêt :

SP_au = αfF_c0 (23) avec αf le coefficient de surdimensionnement en effort.

La pulsation propre hydraulique est alors exprimée à partir du cahier des charges, sous la forme :

Pour l’asservissement de position, la conception hydromécanique de l’actionneur visera donc à augmenter l’argument de la première racine (paramètres de conception) par la combinaison des actions suivantes :

— maximiser le coefficient de compressibilité équivalent en évi- tant l’aération et l’usage d’enveloppes souples (flexibles) ;

Tableau 2 – Performances en commande proportionnelle Performances en boucle fermée Pour r_c = 0 Pour r_c≠ 0 et r_c << r_h

Stabilité assurée pour

• si ωsv >> ωh (ξh faible) K_v≈ξhωh

• si ωsv≈ωh K_v≈ 0,2ωh

• si ωsv << ωh K_v≈ 0,4ωsv Précision statique

• erreur statique / consigne εp (m) = valeur statique de X/X*

0

• erreur statique / effort extérieur εd (m) = valeur statique de

• raideur apparente r_p (N/m) = valeur statique de

Rapidité

• précision dynamique εv (m)

• traînage τ (s)

• réponse à l’échelon 63 %

parcourus à

Bande passante

− 3 dB et − 45˚ pour 1 1 K_vS²

Ar_c --- + ---

X F⁄ _e K_f K_v --- F_e

K_f K_v Ar_c

S² --- + --- F_e

F_e⁄X K_v

K_f

--- K_v Ar_c

S² --- + K_f ---

τ ε_v X˙ --- 1

K_v ---

= =

* ε_v = ∞

t 1 K_v ---

≈

f K_v 2π ---

≈

Figure 5 – Effet des non-linéarités de position et de distributeur Temps

Position

Temps

Position

Temps

Position

échelon de 10 % de la course totale en position centrée b

échelon de 1,5 % de la course totale en position centrée a

échelon de 1,5 % de la course totale près de la fin de course c

ω_h 2βα_f

α_vP_aum ---

F_c0 X_max ---

=

— maximiser le coefficient de marge d’effort ;

— réduire les volumes morts en plaçant le distributeur au plus près du vérin ;

— diminuer la pression d’alimentation (cette action est cepen- dant limitée par ses conséquences sur la masse et l’encombrement de l’actionneur et par la chute du coefficient de compressibilité effectif qu’elle entraîne) ;

— diminuer la contribution de la masse mobile de l’actionneur à la masse totale à mouvoir.

2.2.2 Actions de correction au niveau organique Les actions appliquées au niveau organique (figure 6) sont effica- ces et fiables car elles agissent au plus près des phénomènes à com- penser. Elles sont de moins en moins utilisées dans les applications industrielles à cause de leur manque de souplesse et de leur surcoût occasionné par le développement de composants spécifiques (hor- mis la fuite entre chambre, facile à mettre en œuvre par l’interposi- tion d’une plaque de fuite entre la servovalve et son embase).

2.2.3 Correcteurs électriques type série

Les correcteurs série sont intéressants pour leur faible coût car il n’affectent que le transfert U/e. Malheureusement, leur efficacité dépend étroitement de l’amortissement du mode dominant.

■Correcteur PID

L’action dérivée du correcteur PID (proportionnel, intégral, dérivé) est efficace lorsque la variation de phase en boucle ouverte est régulière dans la zone [− 135˚, − 180˚]. Pour l’asservissement de posi-

tion électrohydraulique, c’est typiquement le cas lorsque la dynami- que de servovalve domine ou que le mode hydraulique a déjà été amorti par un autre moyen. Dans le cas contraire, l’effet de retour tachymétrique introduit par l’action D sur la commande en position n’améliore pas la stabilité. Par contre, la composante D agissant également sur la consigne, elle produit un effet d’anticipation qui permet de réduire le traînage. L’intérêt de l’action intégrale est forte- ment limité par la présence de non-linéarités au voisinage de la vitesse nulle (frottement sec, seuil ou hystérésis de distributeur).

Elles engendrent rapidement des cycles limites non-linéaires pour les consignes constantes. Les mêmes remarques s’appliquent aux correcteurs avance / retard.

■Filtre réjecteur

Les limitations de gain de boucle imposées par la présence d’un mode hydraulique très peu amorti peuvent être repoussées en insé- rant dans la chaîne directe un filtre réjecteur, calé sur la fréquence de ce mode. On utilise typiquement un filtre du second ordre géné- ralisé qui permet de substituer l’amortissement désiré à l’amor- tissement naturel ξh :

(24)

Les composantes fréquentielles situées au voisinage de la fré- quence du mode peu stable sont ainsi supprimées des signaux de commande, ce qui est très efficace pour la stabilité en réponse aux consignes de position. Par contre, le filtre n’a pratiquement aucun effet sur la stabilité vis-à-vis des perturbations introduites par l’effort extérieur qui agit directement sur la partie hydromécanique. Pour Figure 6 – Corrections au niveau organique

Au niveau de l'intégration Augmentation de la

rapidité naturelle ωh↑

Action sur le vérin

Action sur le vérin

Fuite entre chambres

Fuite entre chambres

+ passe- haut

Action sur le distributeur

Servovalve P/Q

Recouvre- ment aux orifices

Découvre- ment aux orifices

Action sur le distributeur

Orifices à gain variable

Sous charge

Sous charge

dynamique Non Distributeur

fermé Non Non

Fonctionne toujours

Fonctionne toujours

Si puissance hydraulique

Fonctionne toujours

Si puissance hydraulique

Si commande

Si puissance hydraulique

Si commande

Erreur sous charge Fuite

Fiabilité Intérêt

Précision

Erreur sous charge dynamique

Erreur sous charge tiroir fermé

Erreur sous

charge Seuil

Erreur de traînage réduite Action sur

le fluide Action sur

les conduites

Pression d'alimen- tation réduite Coefficient

de compres-

sibilité accru Rigidité

accrue

Volumes morts réduits Section

accrue

Coefficient d'effort

accru

Au niveau des organes

Augmentation de la stabilité

Augmentation de l'amortissement

ξh

Diminution du gain aux faibles signaux

ξ*

C p( ) U ----e K_a

1 2ξ_h

ω_h --- s 1

ω_h² --- s²

+ +

1 2ξ ω_h --- s 1

ω_h² --- s²

+ +

---

= =

*

cette raison, il peut être nécessaire d’introduire un amortissement minimal par une fuite en chambres. Enfin, l’utilisation du filtre réjec- teur n’est applicable que si la fréquence du mode oscillatoire évolue peu avec les conditions de fonctionnement.

2.2.4 Correcteurs électriques type parallèle

Les correcteurs parallèles, réalisant un retour d’état partiel ou total, sont particulièrement efficaces pour les actionneurs électrohy- drauliques pour lesquels le mode hydromécanique domine. Ils nécessitent hélas l’installation coûteuse de capteurs additionnels.

Les bouclages internes ainsi réalisés linéarisent les effets non-linéai- res de la partie hydromécanique et autorisent des améliorations de performance significatives. La substitution d’observateurs d’état à ces capteurs réduit l’efficacité des retours. Ceux-ci utilisent en effet des observations reconstruites, peu représentatives des signaux réels qui sont l’image des phénomènes non-linéaires.

Les modèles d’état utilisés intègrent rarement la dynamique du modulateur de puissance qui dispose éventuellement d’un bou- clage spécifique à son constructeur. C’est pourquoi les retours d’états usuels combinent seulement le retour en position, le retour en vitesse et l’un des trois retours : pression différentielle, accéléra- tion ou effort transmis. On se retrouve donc typiquement dans le cas de la commande d’un système d’ordre 5 avec un retour d’état partiel de dimension 3.

(25) avec K_F (V/N) le gain de retour en effort,

K_V (V · s/m) le gain de retour en vitesse, K_γ (V · s²/m) le gain de retour en accélération, K_∆P (V/Pa) le gain de retour en pression.

Ce problème peut être donc être traité en aveugle par les appro- ches classiques de l’automatique linéaire (placement de pôles, com- mande LQG : linéaire quadratique gaussienne, etc.). Compte tenu de la présence des défauts technologiques et des non-linéarités structurelles, l’expérience montre cependant que l’efficacité de la synthèse du réglage de ce correcteur à trois paramètres est directe- ment liée à la perception physique que le concepteur a de chaque retour. En particulier, la présence des non-linéarités produit des per- formances différentes selon le vecteur d’état retenu, contrairement aux résultats prévus par l’approche linéaire.

Si l’on néglige la dynamique de servovalve, l’effet fonctionnel des différents bouclages en pression, vitesse et accélération internes est mis en évidence par la modification apparente des paramètres canoniques du transfert en position qui deviennent :

(26)

(27)

(28)

(29) D’un point de vue fonctionnel, il en résulte que, vu les ordres de grandeur usuels :

— le retour de vitesse dégrade l’amortissement, augmente la pul- sation propre et n’affecte pas la sensibilité à la charge ;

— le retour en vitesse à gain négatif (compensation du débit fonc- tionnel) permet d’améliorer la stabilité si la réduction induite de la pulsation propre hydraulique est toutefois acceptable ;

— le retour de pression différentielle (effet de fuite créé électri- quement) améliore fortement l’amortissement, modifie peu la pul- sation propre et augmente fortement la sensibilité à l’effort extérieur ;

— le retour en accélération améliore l’amortissement sans effet parasite.

Dans le cas où la dynamique de modulateur domine, le retour en vitesse devient efficace alors que le retour en pression, affecté du déphasage du modulateur ne présente plus d’intérêt pour la stabili- sation.

Compte tenu de ces remarques, il est possible d’exploiter les résultats de l’encadré 1 en procédant à un réglage en deux temps, dont l’effet sur les pôles est présenté sur la figure 7 :

— le retour en pression ou le retour en accélération sont utilisés pour stabiliser le mode hydraulique en arrivant éventuellement à un suramortissement important. Le réglage est opéré pour l’inertie minimale et la raideur hydraulique maximale qui sont les plus péna- lisantes pour la stabilité. À noter que le retour d’accélération est très peu utilisé à cause de la difficulté d’obtenir un signal d’accélération relative (charge/structure) de bonne qualité. Bien entendu, dans le cas d’un vérin dissymétrique, les signaux de pression de chacune des chambres doivent être amplifiés dans le rapport des surfaces effectives lors de l’élaboration du signal de retour en pression pour être représentatifs de l’effort hydrostatique ;

— le retour en vitesse est ensuite appliqué pour augmenter la pulsation propre en ramenant l’amortissement à sa valeur optimale.

Le retour de position est réglé en parallèle pour obtenir la réponse désirée. Cette phase est conduite pour l’inertie de charge maximale et la raideur hydraulique minimale.

Cette procédure est limitée par l’apparition d’instabilité des bou- cles internes qui est causée par les dynamiques parasites. En parti- culier, le tableau 3 montre que l’amortissement hydraulique apparent qui résulterait du seul bouclage en pression ou en accélé- ration est fortement limité par la première dynamique qui se mani- feste après le mode hydraulique (typiquement, le second ordre de la servovalve).

Le retour en effort transmis à la charge est fonctionnellement assi- milable au retour en pression (F = S∆P) si l’on néglige le rendement mécanique (en particulier, le frottement sec) et la masse mobile du vérin. Dans le cas où ces derniers effets ne sont pas négligeables, les choix de l’un ou de l’autre ne sont pas neutres vis-à-vis des per- formances.

Le comportement statique est généralement dégradé par la pré- sence des retours internes à gain positif. Il est malgré tout com- pensé par l’augmentation du gain de boucle de position permise par leur présence. En particulier, l’erreur sous charge est largement aug- mentée par le retour en pression. Cet effet peut être supprimé en statique par le filtrage passe-haut du retour en pression qui doit cependant rester efficace à la fréquence du mode hydraulique. On réalise alors un retour en pression dynamique, de la forme :

avec ω_∆P << ωh

avec (rad/s) la pulsation de coupure du filtre passe-haut.

(0)

U =K_a(X*–X)–K_VX˙–(K_γX˙˙ ou K_∆P∆P ou K_FF_v)

ξ_h

A+K_QUK_∆P

( )m

S²

--- f r_h ---

K_QUK_γ ---S

+ +

2 1

K_QUK_V ---S

A+K_QUK_∆P

( )f

S² ---

+ +

 

 

  m

r_h --- ---

=

ω_h

1 K_QUK_V

---S (A+K_QUK_∆P) f S² ---

+ +

 

 r_h

---m

=

K_f A+K_QUK_∆P S² ---

=

τ_h V_t

2β(A+K_QUK_∆P) ---

=

Tableau 3 – Valeurs limites de l’amortissement équivalent introduit par les boucles de pression ou d’accélération

(pour ξsv = 0,8 et sans retour en vitesse) Dynamique relative Amortissement apporté

ωsv/ωh = 2 ξh = 0,25

ωsv/ωh = 3 ξh = 0,44

ωsv/ωh = 5 ξh = 0,85

ωsv/ωh = 10 ξh = 1,7

K_∆P K_∆P s ω_∆P+s ---

→ ω_∆P

L’efficacité de cette procédure est illustrée par la figure 8 pour ωsv = 3ωh. Un échelon de consigne de position de 0,01 m est appli- qué à t = 0 puis échelon de perturbation d’effort extérieur est appli- qué à t = 1 s.

La raideur dynamique r_p de l’asservissement ainsi réalisé est pré- sentée sur la figure 9.

2.2.5 Correcteurs électriques par anticipation Bien qu’elle soit peu utilisée, l’anticipation peut améliorer très efficacement la précision statique et dynamique de l’actionneur.

Idéalement, la composante d’anticipation U_a de la commande U per- mettant d’annuler l’écart d’asservissement est calculée en rempla- çant X par X* dans l’équation (13) :

(30) Pour assurer la robustesse de l’anticipation malgré l’incertitude et la variation paramétrique du modèle de conduite linéaire, il est impératif de limiter l’anticipation aux basses fréquences, sous la forme :

(31) avec αav le facteur d’anticipation en vitesse,

αaf le facteur d’anticipation en effort.

Il apparaît que l’anticipation en vitesse de consigne n’utilise que le gain matériel pour compenser le comportement en basse fréquence de l’actionneur commandé en position. La principale source de variation de ce gain est introduite par le gain débit / commande qui demeure toutefois acceptable si l’excursion de la pression différentielle reste dans les limites recommandées (§ 1.3.1).

Le facteur d’anticipation en vitesse αav permet de régler l’impor- tance de cette anticipation pour tenir compte cette incertitude.

L’anticipation d’effort est délicate à réaliser, même à l’ordre 1, à cause des paramètres variables τh et K_f. C’est pourquoi il est préfé- rable de se limiter à compenser la souplesse de l’asservissement par le gain . Dans ce cas, l’installation d’un capteur d’effort

extérieur peut être évitée en utilisant le signal de pression différen- tielle affecté d’un filtrage passe-bas qui représente de façon accep- table l’effort externe statique. On aboutit alors à un retour en pression positif qui contribue à compenser l’erreur sous charge sta- tique. Là aussi, il convient de n’utiliser qu’une compensation partielle pour éviter les problèmes liés aux divers frottements (fac- teur ).

En pratique, et dans le cas de l’utilisation de correcteurs comple- xes, il est préférable d’appliquer le signal d’anticipation en aval des retours internes et des correcteurs série éventuels. Le gain statique d’anticipation doit donc être calculé en conséquence.

2.2.6 Influence des élasticités parasites

L’effet des élasticités d’ancrage et de transmission a été supposé négligeable lors des développements précédents. En pratique, elles se combinent avec l’effet inertiel des masses fixes et mobiles de l’actionneur pour introduire des modes supplémentaires, caractéri- sés par des combinaisons pôle / zéro très peu amorties. Leur prise en compte systématique rend les développements analytiques sou- vent inutiles et rapidement lourds, sauf dans certains cas particu- liers. Il est donc nécessaire d’évaluer dans un premier temps leur importance pour décider si leur introduction dans le modèle de conduite s’impose. Dans l’affirmative, l’analyse et la synthèse de la commande sont alors traitées numériquement à l’aide des logiciels de CAO (conception assistée par ordinateur) de l’automatique. Un Figure 7 – Lieu des pôles en boucle ouverte de position

Im

Re 0

0 1 1

2 2

0 1 2

pôles initiaux

après retour en pression ou accélération puis retour en vitesse

U_a

1+Af S⁄ ²

( ) SG_sv

K_QU ---

= 1 2ξ_h

ω_h ---

+ s 1

ω_h² ---

+ s²

 

 X˙* K_fS

K_QU

---G_sv(1+τ_hs)F_e +

U_a S K_QU ---

= α_avX˙* K_fS

K_QU ---α_afF_e +

S K⁄ QU

K_fS K⁄ _QU

Figure 8 – Efficacité des retours d’état

0 0,5 1 1,5 2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Temps (s)

Position (m)

0 0,5 1 1,5 2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Temps (s)

Position (m)

0 0,5 1 1,5 2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Temps (s)

Position (m)

commande avec retour en pression et en vitesse b

commande proportionnelle pure a

commande avec retour en pression dynamique et en vitesse c

α_af

exemple de modèle de conduite linéaire incluant les élasticités de structure est présenté sur la figure 10.

C’est l’analyse vibratoire ([S 7 530], § 5) qui permet de déterminer rapidement quel modèle doit être adopté. Les raideurs d’ancrage et de transmission peuvent être négligées si la fréquence du mode propre dominant est voisine de la fréquence propre hydraulique.

Dans le cas contraire, il est souvent possible de négliger l’inertie de l’actionneur devant celle de la charge pour ne considérer que l’influence des élasticités parasites sur le mode propre hydroméca- nique qui devient :

avec (32)

avec r_e (N/m) la raideur équivalente.

Lorsque les raideurs structurelles affectent la fréquence du mode hydromécanique, les performances de la commande en position sont étroitement dépendantes du signal de position utilisé pour le bouclage. D’une façon générale, c’est la position relative la position relative charge / structure porteuse (X_c) qui doit être asservie, alors que la disposition industrielle commune consiste à mesurer le mou- vement relatif (X_r = X_t− X_b) des parties fixe et mobile du vérin. Du point de vue de la précision, cette solution introduit un écart statique avec la position relative à asservir qui peut être facilement com- pensé si l’effort est mesuré :

(33) avec X_r (m) la position relative tige / corps utilisée pour la

commande.

Du point de vue de la stabilité, cette disposition introduit des pro- blèmes de gouvernabilité ou d’observabilité. La charge peut alors osciller sur les raideurs d’ancrage et de transmission, sans mouve- ment relatif tige/corps et donc de façon imperceptible pour la com- mande.

Si les effets structuraux ne sont pas négligeables, le concepteur doit alors analyser, lorsque c’est possible, plusieurs solutions quant à l’emplacement des capteurs de position ou de vitesse. Il est cepen- dant préférable que ces effets soient évalués et maîtrisés dès l’avant-projet par le conditionnement modal.

2.2.7 Commande non-linéaire

Tout en restant globalement dans l’approche linéaire, la com- mande de l’actionneur peut tirer profit d’actions linéarisantes locales :

— variation du gain en fonction de la position du vérin pour tenir compte de la variation de la fréquence du mode hydraulique ;

— variation du gain en fonction de la charge hydraulique du dis- tributeur pour compenser les changements de gain K_QU et K_QP ;

— compensation des efforts perturbateurs (gravité, frottement sec, etc.).

La figure 11 récapitule les choix possibles et la procédure à adop- ter pour la correction électrique des actionneurs hydrauliques com- mandés en position.

3. Commande en vitesse

La commande en vitesse s’applique essentiellement au mouve- ment de rotation. Deux types d’architecture de puissance peuvent être utilisés en pratique pour la commande en vitesse électro- hydraulique :

— la modulation de puissance par distributeur associé à une source à pression constante est très dynamique mais son rende- ment est médiocre si la vitesse moyenne est non nulle ([S 7 530],

§ 4.2.1). Comme c’est l’architecture utilisée pour la commande en position analysée au paragraphe 2, le modèle de conduite est directe- ment fourni par la dérivation temporelle du modèle de conduite (13) ;

— l’utilisation d’une transmission hydrostatique à réglage de cylindrée de pompe et/ou de moteur permet d’obtenir d’excellents rendements. Par contre, la dynamique est médiocre à cause de la forte capacité hydraulique présentée par les canalisations reliant la pompe et l’actionneur et du temps de réponse du réglage de cylin- drée (typiquement 100 ms). Le modèle de conduite est structurelle- ment identique au modèle précédent et le comportement naturel est plus linéaire à cause de l’absence d’influence de la charge hydrau- lique sur le gain de boucle.

Dans ces deux cas, le modèle de conduite est donc défini par un transfert de la forme :

(34)

avec K_v le gain de boucle de vitesse,

Ω (rad/s) la vitesse angulaire de l’ensemble de la partie tournante,

G(s) la fonction de transfert de la dynamique de modulateur (servovalve ou ensemble de modulation de cylindrée),

C_e (N · m) le couple extérieur sur la charge.

L’absence d’intégrateur naturel est pénalisante pour la précision en régime établi. Cela conduit souvent à adopter une commande de Figure 9 – Influence des retours d’état sur la raideur dynamique

Rapport F_e/X

Phase de F_e/X

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

120 140 160 180 200 220

f (Hz)

Amplitude de Fe/X (dB) Sans fuiteSans fuite ModeMode

hydraulique Mode hydraulique c

a b

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

– 400 – 350 – 300 – 250 – 200 – 150 – 100

f (Hz) Phase de Fe/X (°)

Mode Mode hydraulique

Mode hydraulique c

a b

a commande proportionnelle pure

b commande avec retour en pression et en vitesse

c commande avec retour en pression dynamique et en vitesse

ω_h r_e m_c ---

= r_e r_c 1

1 r_a --- 1

r_h --- 1

r_t ----

+ +

--- +

=

X_c X_r r_a+r_t

r_ar_t --- F_e –

=

Ω 1

1 2ξ_h

ω_h --- s 1

ω_h --- s²

+ +

--- K_v G s( )

--- (Ω Ω– )–K_f(1+τ_hs)C_e

= *

type PI permettant théoriquement d’annuler l’erreur statique et de borner l’erreur de traînage.

La stabilisation du mode hydraulique reprend des solutions utili- sées pour la commande en position. Pour la première architecture, l’amortissement du mode hydraulique augmente globalement avec la vitesse : l’ouverture de distributeur nécessaire à la délivrance du débit fonctionnel augmente le gain débit / pression K_QP qui contri- bue à la valeur globale du paramètre A et donc de ξh. Malheureuse- ment, la variation du gain débit / ouverture qui se manifeste en parallèle risque d’affecter les performances. Il peut alors être utile de mettre en œuvre une compensation de la caractéristique non- linéaire (8) du distributeur par non-linéarité inverse.

L’anticipation à l’ordre 0 filtrée de la consigne permet d’élaborer directement une partie du signal de commande nécessaire à la réalisation de la consigne de vitesse. Le débit fonctionnel est alors partiellement fourni par ce signal, au lieu d’être le résultat de l’erreur d’asservissement. Cette solution permet de limiter le gain intégral et les inconvénients qui en découlent.

Le retour en effort transmis (ou de son image obtenue à partir de la pression différentielle dans le moteur) permet également de réduire efficacement l’erreur sous charge ou d’améliorer la stabilité selon le signe et le filtrage utilisés.

L’ensemble de ces dispositions est récapitulé sur la figure 12.

Nota : l’asservissement de vitesse est sensible aux effets de commutation spécifiques aux pompes ou aux moteurs ([S 7 530], § 5.2.4).

4. Commande en effort

La commande en effort concerne surtout les bancs d’essais ou les dispositifs d’assistance : reproduction des efforts antagonistes sur les équipements, application de charges cycliques pour test en fati- gue ou en endurance, test d’amortisseurs, téléopération, etc. Com- parée à la commande en position, elle est beaucoup plus délicate à mettre en œuvre car elle s’applique à une variable d’état qui est bien plus dynamique. Les vibrations de structure, la raideur de capteur d’effort, les pulsations de pression engendrées par la génération hydraulique ou par la vibration des lignes hydrauliques, le retard introduit par la commande numérique et la dynamique des chaînes de mesure sont autant de dynamiques parasites, difficiles à modéli- ser a priori en détail, qui conditionnent largement les performances finales. C’est pourquoi la conception préliminaire revêt ici un carac- tère déterminant.

L’architecture générale d’une commande en effort électrohydrauli- que est présentée sur la figure 13. L’actionneur doit appliquer à la charge un effort F_e, fixé par la consigne . Sous l’effet de cette action, la position X de la charge évolue en entraînant la tige de vérin. L’utilisation d’un modulateur en débit se généralise au détriment du modulateur en pression qui doit être adapté à chaque application (spécification hors liste).

Figure 10 – Modèle de conduite de l’actionneur avec élasticités de structure

Tige

Charge V_t/2β

K_QU/G_sv(s)

F_e

1/s S

S

A –

–

– –

– –

–

– – N

r_t

r_t f

1/m_{b 1/}s 1/s

1/m_{c 1/}s 1/s

1/m_t

X_c X_t X_b

1/s 1/s

–

N

r_c U

Chambres

∆^P

Corps

Seul le frottement tige/corps est modélisé.

La raideur de transmission est ramenée sur l'axe de tige de vérin.

La transposition au cas de la rotation est réalisé à l'aide de l'encadré 2.

F_e^*