PHYSIQUE 1

H PRÉPA

1 ANNÉE

RE

POUR S’ENTRAÎNER ET RÉUSSIR SA PRÉPA

• Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigés

• Un rappel des connaissances essentielles

• Conseils, astuces et méthodes

EXERCICES ET

PROBLÈMES

PHYSIQUE

MPSI/PCSI/PTSI

H PRÉPA

PHYSIQUE

MPSI/PCSI/PTSI

Jean-Marie BRÉBEC Tania CHABOUD Thierry DESMARAIS

Alain FAVIER Marc MÉNÉTRIER

Régine NOËL

EXERCICES ET

PROBLÈMES 1 ^{ANNÉE RE}

Composition et mise en page : Laser Graphie Maquette intérieure : Véronique Lefebvre Maquette de couverture : Guylaine Moi Relecture : Anne Panaget

© Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15

www.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration,

« toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ».

Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0

Quel est l’objet de cet ouvrage?

Nous avons élaboré cet ouvrage d’exercices de première année de classes préparatoires aux grandes écoles avec deux objectifs principaux, l’assimilation du cours par la mise en pratique, et la préparation aux interrogations écrites et orales, pendant l’année et aux concours : – Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les résultats importants à connaî- tre pour toute préparation d’épreuves oralse ou écrites, que ce soit une colle, ou un concours de première ou deuxième Année.

– Les exercices, choisis pour leur contenu, préparent à toutes ces épreuves.

Comment travailler de manière optimale avec cet ouvrage?

À la suite de l’énoncé, il existe une partie « conseils »; les solutions sont présentées après l’en- semble des énoncés. Comment utiliser de manière optimale cette disposition?

– Comme pour une épreuve d’écrit, il faut commencer par lire entièrement un énoncé : pour résoudre une question donnée certaines informations peuvent être présentes dans les questions suivantes.

– Après une période de réflexion « correcte », fructueuse ou non, il est possible de lire la partie

« conseils » : cette partie peut se présenter ainsi : – soit une idée de résolution est proposée;

– soit une question est posée pour la mise en évidence d’un phénomène;

– soit un théorème est énoncé,….

– Si l’aide ne permet pas de résoudre l’exercice, il faut alors s’aider de la solution, qu’il ne suf- fit pas de lire : après lecture il faut essayer de refaire l’ensemble de l’exercice seul.

Dans un souci d’aide maximale à ces préparations, et à cette méthode de travail : – Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes.

– Nous avons choisi des exercices « réalistes » :

– ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle, – ou étant en relation avec l’explication d’un phénomène observable.

– Lors de la résolution d’un exercice, nous avons privilégié les arguments physiques, les sché- mas et simulations (en faisant appel à la mémoire visuelle), aux arguments mathématiques; mais lorsque les calculs sont nécessaires, l’ensemble des étapes intermédiaires est présenté.

– Lorsqu’un exercice peut être résolu par plusieurs méthodes intéressantes, ces méthodes sont présentées et développées.

– Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nous voyons trop souvent lors d’épreuves écrites ou orales de concours.

Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manière efficace une majorité d’étudiants

Les auteurs

vant-propos

A

P

1 MÉCANIQUE

Chapitre 1

Cinématique du point – Changement de référentiel

Chapitre 2

Dynamique du point matériel

Chapitre 3

Puissance et énergie en référentiel galiléen

Chapitre 4

Oscillateurs

Chapitre 5

Théorème du moment cinétique

Chapitre 6

Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne

Chapitre 7

Mécanique en référentiel non galiléen

Chapitre 8

Référentiels non galiléens usuels

Chapitre 9

Système de deux points matériels

P

2 OPTIQUE Chapitre 1

Les bases de l’optique géométrique – Réflexion et réfraction

Chapitre 2

Formation d’images

Chapitre 3

Miroirs et lentilles

Chapitre 4

Instruments d’observation

Chapitre 5

Focométrie

Chapitre 6

Le prisme, utilisation en spectroscopie

P

3 THERMODYNAMIQUE Chapitre 1

Équation d’état d’un fluide

Chapitre 2

Statique des fluides

Chapitre 3

Premier principe de la thermodynamique. Bilans d’énergie

Chapitre 4

Second principe. Bilans d’entropie

Chapitre 5

Corps pur diphasé

Chapitre 6

Machines thermiques

OMMAIRE

S

P

4 ÉLECTRICITÉ

Chapitre 1

Réseaux linéaires en régime continu

Chapitre 2

Réseaux linéaires en régime variable

Chapitre 3

Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé

Chapitre 4

Amplificateur opérationnel

Chapitre 5

Fonctions de transfert

P

5 ÉLECTROMAGNÉTISME Chapitre 1

Distributions, champ et potentiel électrostatiques

Chapitre 2

Le champ magnétique permanent

Chapitre 3

Dipôles électrique et magnétique

Chapitre 4

Force de Lorentz

Annexes

1 ^Mécanique

1

Cinématique du point – Changement de référentiel

2

Dynamique du point matériel

3

Puissance et énergie en référentiel galiléen

4

Oscillateurs

5

Théorème du moment cinétique

6

Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne

7

Mécanique en référentiel non galiléen

8

Référentiels non galiléens usuels

9

Système de deux points matériels

PA RT IE

1 Cinématique du point Changement de

référentiel

ESSENTIEL

LES OBJECTIFS

•Préciser les caractéristiques d’un mouvement : vitesse, accélération, trajectoire dans un référentiel donné.

•Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié.

LES PRÉREQUIS

•Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accé- lération en tenant compte de conditions initiales.

LES OUTILS MATHÉMATIQUES

•Notions sur l’intégration vues en mathématiques.

Systèmes usuels de coordonnées

• Coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques

OM—^➞= xe^➞x+ ye^➞y+ ze^➞z; base (e^➞x, e^➞y, e^➞z) (doc. 1). OM—^➞= re^➞r+ ze^➞z; base (e^➞r, e^➞q, e^➞z) (doc. 2).

x y

er

θ H z

x

r y ex

ey

ez

ez

ez

er

er

H M

O θ

r eθ

eθ

eθ

z z

x x

y ex y

e_y ez

M

O

Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z):

OM—^➞

=x e^➞x+ y e^➞y+ z e^➞z. Doc. 2. Coordonnées cylindriques (r ,q, z):

OH—^➞_{= r e}➞

r; OM—^➞_{= r e}➞ r+ z e^➞_z.

ESSENTIEL

1

• Coordonnées sphériques:OM—^➞= re^➞r ; base (e^➞r, e^➞q, e^➞j) (doc. 3).

Représentations du mouvement

• La trajectoire est constituée de l’ensemble des positions successives OM—^➞(t) = r (t) du point mobile M^➞ étudié.

• Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des positions successives ON—^➞(t) =v^➞(t) constitue l’hodogra- phe du mouvement.

• Dans l’espace des phases, le point P repéré par OP—^➞= (OM—^➞, ON—^➞) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase:

OP—^➞= (x(t),v(t)).

Vitesse d’un point

Soit O un point fixe du référentiel . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est:

v^➞(M)/ = /

•

•

Accélération d’un point

Le vecteur accélération de M par rapport à ce référentiel est:

•

•

Mouvement circulaire

Le point M se déplace sur un cercle de centre O , de rayon R , d’axe (Oz) . Il est repéré par ses coor- données polaires sur le cercle (r = R ,q) .

OM—^➞= R e^➞r;

1r d dt a^➞( ) d²

/ d

M OM

t² _{/ //}







=  d

d v(M)

t

 /





=  .

➞

dOM—^➞ dt ez

O z

x

y rM

H ϕ

θ

er

e_x ey

u eϕ

eθ

ϕ

er

u

u

eϕ eϕ

eθ

r sin y

H H

M

x z

θ θ

r

Doc. 3.b. Plans: z = 0 et j= cte . Doc. 3.a.

ESSENTIEL

Cinématique du point – Changement de référentiel

1

v^➞(M)/ = R ·qe^➞q=w^➞∧OM—^➞, où w^➞=we^➞z; a^➞(M)/ = – R ·q²e^➞r+ R ¨qe^➞q (doc. 4).

Si le mouvement est circulaire uniforme, v= R ·q est constante, donc a^➞(M)/ est dirigée suivant – e^➞r; elle est centripète (doc. 5).

θ

θ

e_x er

a(M)

e

ey

= ez ez= ex ey

y

z x v_M

A M

ω ω

O

M a v

Doc. 5. Si |v^➞| = cte , l’accélération du point M est dirigée suivant – OM—^➞

: a^➞= – ^v2 e^➞r. R Doc. 4. Mouvement circulaire d’un point M dans

un cercle de rayon a:

v^➞= R_q·_e➞

q et a^➞= – R_q·2e^➞r+R_q¨_e^➞_q. Conseils et pièges à éviter

• La vitesse (ou l’accélération) d’un point M dans un référentiel R donné peut s’exprimer sur dif- férents vecteurs de projections, mais c’est toujours la même vitesse (ou la même accélération) !

• Lors d’une trajectoire courbe, il existe toujours une composante de l’accélération dirigée vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

yN₁

yN₂

M₂

M₁

ya(M₁) ya(M₂)

Ascension d’un ballon sonde

Un ballon sonde a une vitesse d’ascension verticalev0indé- pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse horizontalevx = proportionnelle à l’altitude z atteinte.

1•Déterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z).

2•Calculer le vecteur accélération du ballon.

Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan

Un point M se déplace dans le plan (xOy) à la vitesse:

➞v =v0(e^➞x+ e^➞q), où e^➞qest le vecteur orthoradial de la base locale des coordonnées polaires (r,q).

1•Établir les équations polaire et cartésienne de la trajec- toire à caractériser.

2•Faire de même pour l’hodographe.

3• Faire le lien entre l’angle q = (je^➞_x,r^➞) et l’angle j= (je^➞x,^➞v).

Aller et retour sur un fleuve

Un rameur s’entraîne sur un fleuve en effectuant le parcours aller et retour entre deux points A et B , distants de . Il rame à vitesse constantev par rapport au courant. Le fleuve coule de A vers B à la vitesse u . Son entraîneur l’ac- compagne à pied le long de la rive en marchant à la vitesse v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B .

z tc

5 4 3

Une course automobile

Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course automobile sur un circuit présentant une longue ligne droi- te au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A, démarre avec une accélération constante de 4 m.s^–2, le deuxième, B, a une voiture légèrement plus puissante et démarre avec une accélération constante de 5 m.s^–2. A a cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde avant.

1•Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A?

2• Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou- blera A?

3•Quelle seront les vitesses à cet instant-là?

4•Représenter x(t) etv(t) et la trajectoire de phase de A et B, en précisant la position de l’événement « B dépasse A » sur ces représentations des mouvements.

Mouvement d’un point matériel sur une parabole

Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire où a est une constante positive, q variant

de –π à +π.

1•Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La construire.

2•On suppose de plus que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r:v= kr , où k est une cons- tante positive.

a. Calculer, en fonction de q, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M .

b. Déterminer la loi du mouvement q(t) en supposant que q est nul à l’instant t = 0 et que q croît.

On donne ^q

0

dq q

q cos =ln tan + .





 2 4

π

rcos² a

2 q







 =

2 1

Exercices

Conseils Déterminer l’équation horaire du mouvement de

chaque voiture.

Conseils Il suffit de passer du système de coordonnées carté-

siennes (x, y) au système de coordonnées polaires (r,q), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des équations recherchées.

Conseils 1) Penser à remplacer cos² q

2 par 1

2 (1 + cosq) et à utiliser les relations entre (x , y) et (r ,q) pour don- ner l’équation de la trajectoire en coordonnées carté- siennes.

2) La condition v = kr permet d’exprimer ·q en fonction de q, donc de ne plus faire apparaître expli- citement le temps dans les équations, mais seule- mentq.

Seront-ils de retour en même temps au point de départ? Si non, lequel des deux (rameur ou entraîneur) arrivera le pre- mier en A? Commenter.

Chasseur et oiseau

Un oiseau se trouve sur une branche d’arbre, à une hauteur H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le sol à la distance D du pied de l’arbre. Il vise l’oiseau et tire. Au moment du coup de feu, l’oiseau, voyant la balle sortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantané- ment en chute libre. À chaque instant, l’accélération de la balle et de l’oiseau dans un référentiel fixe est – g e^➞z(l’axe (Oz) est la verticale ascendante). L’oiseau est-il touché?

L’étude sera faite:

a. dans le référentiel fixe;

b. dans le référentiel lié à l’oiseau.

Quand il faut aller vite

Pour aller au secours d’un nageur en détresse, un maître- nageur part du poste de secours situé au point A pour aller jusqu’au nageur situé en B. Sachant que le sauveteur court àv1= 2 m.s^{– 1}sur la plage et nage àv2= 1 m.s^{– 1}dans

7 6

l’eau, en quel point M doit-il entrer dans l’eau pour attein- dre au plus vite le nageur? On situera ce point à l’aide d’une relation entrev1,v2, i1et i2indiqués sur le schéma.

Mouvement calculé à partir de la trajectoire et de l’hodographe

(D’après ENAC 02)

Dans le plan (xOy) du référentiel (O, e^➞x, e^➞y, e^➞z) un mobi- le ponctuel P décrit la parabole d’équation cartésienne:

y²= 2px avec p constante positive.

Sa vitessev^➞(P/R), de composantes X, Y est telle que l’en- semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement de pôle O, a pour équation cartésienne: X²= 2qY avec q cons- tante positive.

1•Exprimer X et Y en fonction de y.

2•Exprimer l’accélérationa (P/R) du point P en fonction^➞ du vecteur positionOP. Préciser la nature du mouvement^➞ de P.

3•Établir les expressions de x et y en fonction du temps t, sachant que le mobile passe en O à l’instant initial t = 0.

8

yu_x

yu_y

i2

i₁ M

A B

O

EXERCICES

Cinématique du point – Changement de référentiel

1

Conseils Utiliser la composition des vitesses en faisant atten-

tion au sens des vecteurs vitesse.

Conseils Déterminer les trajectoires de l’oiseau et de la balle

dans le référentiel choisi et déterminer leur intersec- tion.

Mouvement d’un point matériel sur une parabole

1•Sachant que cos² = (1 + cosq), l’équation polaire s’écrit: r = 2a – r cosq; avec x = r cosqet y = r sinq, et en élevant au carré: r² = x² + y² = (2a – x)², ce qui donne:

x = ,

parabole représentée ci-dessous.

2•a.

et

II reste à éliminer_q·en utilisant:

.

q∈]–π; +π[ , est positif et_q·est positif par hypo- thèse, donc:

q·= k cos et vr= ka ;vq= .

a._q·

2

⇔  +













 = + 2ln tan q4 4π k ctet .

= 





⇔ 







=

kcos kd

cos q

q 2

2

dθ t

q2

sin q 2 cos² q

2

ka cos q

2 cos q

2









v= = + = 





 kr r r_{2 2 2} a

3

2

q q

cos q v_q q

q q

= = 

 



r a

cos .

2

2 v_r r dr

d a

= = =

















θq

q q q sin cos

2 2

3 y

2a

– 2a

a x

– y²+ 4a² 4a q2 1

2

Corrigés

Une course automobile

1•Nous avons:

xA(t) = aAt² et xB(t) = aB(t – t0)², cette deuxième expression étant applicable à t t0= 1 s.

Les deux voitures sont au même niveau à l’instant t1, soit:

aAt₁²= aB(t1– t0)² ce qui donne:

t1= t0. ≈9,5 s.

2•À l’instant t1:

d = xA(t1) = xB(t1) = aAt₁²≈1,8 . 10²m.

3•vA(t1) = aAt1≈38 m.s^{– 1}etvB(t1) = aB(t1– t0)≈42 m.s^{– 1}. 4•

B v_B(t₁) A

v_A(t₁)

O v

d x t₀ t₁

vB(t)

v_B(t₁) v_A(t₁)

v_A(t)

O v

t t₀ t₁

x_B(t) x_A(t)

O x

d

t 1

2 1

1 –

2

A B

1

2 1

2

1

q

d’où sa tangente est positive.

Si q=0 à t=0 , la constante est nulle.

Donc

Ascension d’un ballon sonde

1• En coordonnés cartésiennes, v^➞ = ^➞ux + u^➞z avec et =v0.

Soit z =v0t car à t = 0, z = 0 (le ballon décolle).

=v0 donne x = en supposant qu’à t = 0, x = 0.

En éliminant le temps t, on obtient:

x = .

La trajectoire est une parabole.

2• a^➞= u^➞x+ ^➞uz. D’où a^➞= u^➞x.

Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan

1•v^➞=v0(e^➞x+ e^➞q) = v0(cosq e^➞r+ (1 – sinq) e^➞q).

Le déplacement élémentaire dOM—^➞_{= d(r}

e^➞r) = dr.e^➞r+ rdq.e^➞q

du point M est colinéaire au vecteur vitesse, donc :

= , soit : = = d ln .

ce qui donne l’équation en coordonnées polaires:

r = r0 =

oùrest un paramètre (longueur) caractéristique de la trajec- toire.

On en déduit: r = r + r sinq, soit, avec x = r cosq et y = r sinq, en élevant au carré: r²= x²+ y²= (r+ y)², ce qui donne finalement:

y =

qui est l’équation d’une parabole d’axe (Oy).

2

v0

z tc

1 2

t t_c

x²–r² 2r 1 – sinq0

1– sinq 1 – sin^r q dr

rdq ^cosq

1 – sinq ^drr cosq dq

1 – sinq ^{1 – sin}q0

1– sinq

4

v0

t_c d d

2 2

x t

d d

2 2

z t d

d x

t

1 2 ⁰

2

v t t_c d

d x t

z t_c

= d

d z t

d d x t

d d z t

3

ln tan θ π .

4 4+ =2















 kt

∈] – ;π π+ [doncθ π+ ∈] ; [π

4 4 0

2

2•v^➞=v0(e^➞x+ e^➞q) = v0((1 – sinq)e^➞x+ cosq e^➞y), ce qui donne l’équation cartésienne de l’hodographe:

(vx–v0)²+vy²=v₀²

qui permet d’identifier le cercle de rayonv0et de centre de coordonnées (v0, 0).

On remplacevx=vcosjetvy=vsinjdans l’équation car- tésienne de l’hodographe, il vient:

v= 2v0cosj qui est l’équation polaire de l’hodographe.

3•On évite des calculs trigonométriques en faisant un sché- ma:

Le vecteur =e^➞x+ e^➞q est dirigé selon la bissectrice des axes (O,e^➞x) et (O,e^➞q), donc: 2j= +q, soit:j= + .

Aller et retour sur un fleuve

Le rameur effectue l’aller à la vitesse v+ u et le retour à la vitesse v– u par rapport au sol.

vdoit donc être évidemment supérieur à u pour que le rameur puisse remonter le courant et ainsi revenir à son point de départ.

La durée de son trajet aller et retour est:

tr= + = .

v+ u v– u 2 v v²– u²

5

π2 π

4 q

2 v^➞

v0

ye

yex

yv

j x jq

y O

yv

N ye_v

v_x v₀

vy

y

x –r/2

–r r

ye yr

yer

CORRIGÉS

Cinématique du point – Changement de référentiel

1

Son entraîneur effectue l’aller et retour à la vitesse v par rap- port au sol donc la durée de son trajet estte= . Donc:

tr=te te. L’entraîneur est arrivé avant le rameur.

Le rameur perd plus de temps au retour qu’il n’en gagne à l’aller. Dans le cas extrême où la vitesse v est à peine supé- rieure à u , le trajet du retour pour le rameur sera très long.

Chasseur et oiseau

a.On détermine les trajectoires de l’oiseau et de la balle dans le référentiel lié au sol.

•

(la vitesse initiale de l’oiseau est nulle);

x¨o=0 , d’où xo=D .

•

x¨b =0 , d’où xb=v0cosat ,

où v0 est la vitesse initiale de la balle et a l’angle de tir: le chasseur visant l’oiseau, tana

Les deux trajectoires se rencontrent-elles? Si oui, au point de rencontre xb= D , donc la rencontre a lieu à l’instant :

À cet instant, zb– zo=D tana– H=0 : l’oiseau est touché!

Attention: pour que l’oiseau soit effectivement touché, il faut que la portée de la balle soit supérieure à D (sinon les deux trajectoires ne se coupent pas). Pour cela, il faut une vitesse v0

suffisante.

Plus précisément, la balle touche le sol à l’instant

donc en Il faut que x1 D donc que:

v0

Cette condition correspond à z(tf) 0 .

b.Dans le référentiel lié à l’oiseau, la balle a une accélération gD

sin( ). 2α x v

1= 02sin( )g2α .

t^{1 0}g

=2v sinα

t D

f =

v₀cos . α

. α = H

D d'oùz_b =–1gt

2 ² 0

0,5 1 1,5 2

5 4 3 2

1 x

position initiale de l’oiseau

point de rencontre y

α

=–1 + 2

gt2 H

6

1 1 – u

v²

2

2v

nulle donc une trajectoire rectiligne uniforme à la vitesse v^➞0, toujours dirigée vers l’oiseau qui est donc touché.

Conclusion: il faut dire aux oiseaux de toujours se percher sur des branches basses.

Quand il faut aller vite

Le maître-nageur parcourt AM en t1= et MB en t2= .

AM = [(x – xA)²+ y_A²]^1/2 BM = [(x – xB)²+ y_B²]^1/2 La durée totale du trajet est:

T = t1+ t2.

T = [(x – xA)²+ y_A²]^1/2+ [(x – xB)²+ y_B²]^1/2. On cherche x tel que T soit minimale.

= 0

Soit = 0

Si on introduit i1et i2, il vient:

.

s’écrit alors .

Remarque: la valeur de x trouvée correspond bien à un minimum pour T. La dernière relation écrite est analogue à la loi de Descartes pour la réfraction en optique : n1sin i1= n2sin i2.

Mouvement calculé à partir de la trajectoire et de l’hodographe

(d’après ENAC 02) 1•v^➞(P/ ) = Xe^➞x+ Ye^➞yavec y²= 2px.

On peut dériver par rapport au temps l’équation de la trajec- toire.

Il vient: = soit yY = pX

D’autre part: .

Si Y≠0, on obtient , soit avec y≠0.

Si Y = 0, ⇒X = 0.

Si y = 0, ⇒X = 0 et puisque X²= 2qY Y = 0.

X qY y

pY

2

2

= =





 2 2p xdt

d

2q y²₂

p Y Y

= = 2 ² 2

Y Y qp2

y X qp

= = et = y

X²=2q = 2y ydt 2

d =

X x

t Y y

=d = t

d et d

d

8

sini₁ sini

1

2

v = v2

sini x –x sin –

AM i x x

A BMB

1= et 2=

x x AM

x x BM

A B

– –

v₁ +v₂ d

d T

x

x x

x x y

x x

A x x

A A

B B

⇔ + +

+ –

[( – ) ]

– [( – )

v₁ ^{2 2 1 2}/ v₂ ² yy_B^{2 1 2}]^/

1 v1

1 v2

MB v₂

AM v₁

7 CORRIGÉS

1

2•a^➞(P/ ) = e^➞x+ e^➞y. On se place en dehors du point O.

et et

Or donc

On peut alors écrire:^➞a(P/ ) = OP.^➞

Le mouvement du point P est à accélération centrale par rap- port à O.

d d

Y t

qp

y Y q p

y

q p y y

=2 = 4 ² = 8 = 8

3

2 4 5

2 4

– – – 6 .

dX dt

qp y

dy dt

qp

y Y q p

=2 = 2 = 2 = 4y

2 2

2 3

– – – 4

–8 ^{2 4}

6

q p y x y

= p² 2

dX dt

q p y x

=–8 ^{2 4} .

6

Y qp

= 2y ² = 4

2

X qp

=2y = 2

d d

X t

d d Y

t 3• donc y²dy = 2qp²dt .

On intègre en tenant compte des conditions initiales t = 0 y = x = 0.

Il vient d’où

y = (6qp²t)^1/3 x y

p p qp t

= ² = ^{2 2 3}

2 2

2 (6 )^/ 1

3y³=2qp t² Y dydt

qp

= =2y ²

2

CORRIGÉS

Cinématique du point – Changement de référentiel

1

2 Dynamique du point matériel

LES OBJECTIFS

•Utiliser les lois de Newton pour :

– déterminer les caractéristiques d’un mouvement ; – calculer certaines forces.

LES PRÉREQUIS

•Expressions des vecteurs vitesse et accélération dans divers systèmes de coordonnées.

LES OUTILS MATHÉMATIQUES

•Notions sur l’intégration vues en mathématiques.

ESSENTIEL

Quantité de mouvement (ou impulsion)

La quantité de mouvement par rapport au référentiel R d’un point matériel M, de masse m, est : p^➞(M)/ = mv^➞(M)/ .

Lois de Newton

Les trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mécanique du point matériel.

•

Il existe une classe de référentiels, appelés référentiels galiléens par rapport auxquels un point matériel isolé est en mouvement rectiligne uniforme.

•

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un point M de masse m et son accélération sont liées par :

F →M= = ma^➞(M).

•

Les forces d’interaction exercées par deux points matériels M1et M2l’un sur l’autre sont oppo- sées et colinéaires à l’axe (M1M2).

d p^➞(M) dt

ESSENTIEL

Dynamique du point matériel

2

Évolution d’un système mécanique

Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales données (déter- minisme mécanique).

Pour un système autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.

Conseils et pièges à éviter

• Il faut toujours bien étudier les forces qui s’exercent sur un système, ici un point matériel.

2•On rajoute une poulie.

La poulie P2est fixe, la poulie P1se déplace parallèlement au plan incliné. Le fil est attaché en A.

Déterminer l’accélération du solide S2et les tensions des fils.

Étude d’un pendule simple, réaction au point d’attache

Un pendule simple (masse m, longueur ) est lâché sans vitesse initiale à partir de la positionq= : point matériel M(m) et point de suspension sont alors dans le même plan horizontal. (IOM = ej à t = 0). On demande de déterminer les réactions Rx(q) et Ry(q) en O. Le fil est sans masse et inextensible.

Un jeu d’enfant

Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. L’enfant se laisse glisser sans frottement depuis le sommet S de l’igloo, qui a la forme d’une demi-sphère de rayon a et de centre O. La position de l’enfant, assimilé à un point maté- riel M, de masse m, est repérée par l’angleq= (Oz, OM), (Oz) étant la verticale ascendante.

1• À partir de quelle position (repérée par l’angle q0) l’enfant perd-il le contact avec l’igloo (on néglige bien sûr les frottements).

4

S₂

α S₁

S₂

P2 P1

S1

α

3

π 2

Un peintre ingénieux

Un peintre en bâtiment (de masse M = 90 kg) est assis sur une chaise le long du mur qu’il doit peindre. Sa chaise est suspendue à une corde reliée à une poulie parfaite. Pour grimper, le peintre tire sur l’autre extrémité de la corde avec une force de 680 N. La masse de la chaise est m = 15 kg.

1• Déterminer l’accélération du peintre et de la chaise.

Commenter son signe.

2•Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ? 3•Quelle quantité de peinture peut-il hisser avec lui ?

Plan incliné et poulies

Le solide S1, de masse m1, glisse sans frottements sur le plan incliné. Le solide S2, de masse m2, se déplace verti- calement. Les solides en translation sont considérés comme des points matériels. Les poulies sont idéales, les fils sont inextensibles et sans masse.

Données : m1= 400 g, m2= 200 g eta= 30°.

1•On considère le dispositif ci-après en haut :

Déterminer l’accélération du solide S2et la tension du fil.

2 1

Exercices

Conseils Faire un bilan des forces extérieures pour le système

{peintre + chaise}, puis pour le système {chaise seule}.

Conseils 1) Les deux solides ont la même accélération (en

norme).

1) et 2) En utilisant le caractère parfait des poulies (sans masse) et l’inextensibilité des fils, chercher une relation simple entre les tensions des fils aux points d’attache sur chacun des deux solides.

2•Quel est le mouvement ultérieur de l’enfant ? Quelle est sa vitesse quand il retombe sur le sol ? Effectuer l’application numérique avec m = 30 kg, a = 2 m et g = 9,8 m . s^{– 2}. Commenter.

Équilibre d’un point

Un point M de masse m est lié à un cercle fixe dans le plan vertical, de centre O et de rayon R. La liaison est supposée sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers A et dont le module est proportionnel à la distance AM. La position du point M est repérée par l’angleq= (AB, OM).

1•Déterminer les positionsq=qed’équilibre du point M sur le cercle.

2• Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer l’équation différentielle vérifiée parq en utilisant la rela- tion fondamentale de la dynamique, puis le théorème du moment cinétique en O.

3• On suppose que q reste proche de qe et on pose q=qe+ u avec u <<qe. Déterminer alors l’équation dif- férentielle vérifiée par u. Les conditions initiales sont u = u0et ·u = 0. Déterminer entièrement u(t). Que peut-on dire quant à la stabilité de la (des) position(s) d’équilibre déterminée(s) au 1) ? Une position d’équilibre est stable si, quand on écarte légèrement le point de cette position, il tend à y revenir, elle est instable dans le cas contraire.

5

z

x M

A O B

θ

Mouvement d’une masse accrochée à un ressort, impact au point d’attache

Un objet ponctuel de masse m, fixé à un ressort de cons- tante de raideur k et longueur à vide L0, attaché en O, se déplace le long d’un plan incliné d’anglea. On suppose la masse du ressort nulle, ainsi que sa longueur quand il est comprimé. La position de la masse est xeà l’équilibre. On néglige les frottements.

À l’instant initial, on lance la masse, située en xe, avec une vitessev0vers O. Déterminer le mouvement x(t). À quel- le condition sur v0la masse frappe-t-elle le point O? À quel instant le choc a-t-il lieu et quelle est alors la vitesse de la masse ?

Enroulement d’un fil sur un cylindre

D’après Mines de Douai.

Un cylindre de révolution, d’axe vertical, de rayon R, repose sur un plan horizontal et fixe par rapport à un réfé- rentiel (Ox, Oy, Oz).

On attache une extrémité d’un fil parfaitement souple, infiniment mince et de masse négligeable à la base du cylindre, et on l’enroule plusieurs fois dans le sens trigo- nométrique autour de cette base. L’autre extrémité du fil

O y

m a x

7 6

EXERCICES

Dynamique du point matériel

2

Conseils 1) L’enfant perd le contact avec l’igloo quand la réac-

tion de l’igloo s’annule. Il faut donc exprimer cette réaction en fonction deq seulement. Pour cela, on sera amené à multiplier la projection de la relation fondamentale de la dynamique sur e^➞qparq·pour pou- voir l’intégrer.

2) Attention aux conditions initiales du mouvement.

Conseils Commencer par trouver l’expression de xe.

Déterminer x(t) en utilisant les conditions initiales et en introduisantω₀ = k .

m

Conseils 1) Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le

point M dans la base des coordonnées polaires (e^➞r, e^➞q), sans oublier de déterminer la distance AM en fonction de R et deq.

2) Projeter la relation fondamentale de la dynamique sur la direction qui élimine la force inconnue (c'est- à-dire la réaction du support).

3) Effectuer un développement limité au premier ordre en u. Mettre en évidence la différence de com- portement du mouvement du point autour de chacune des deux positions d’équilibre déterminées plus haut.

Le fil étant inextensible, donner la relation entre , 0, R etq.

2•Exprimer les composantes deIOM suivant les vecteurs unitairesue retueq (cf. figure), en fonction de 0, R etq. 3•En déduire les composantes de la vitesseve de la parti- cule M suivant les vecteursue r etue q .

4•Montrer que la normevde la vitesse reste constante au cours du mouvement.

5•Déduire des questions 3) et 4) la relation entreq, ·q,

0, R et v0.

6•Exprimer qen fonction de t, 0, R et v0.

7•Déterminer l’instant final tfpour lequel le fil est entiè- rement enroulé autour du cylindre. Effectuer l’application numérique.

8•a) Déterminer la tension T du fil en fonction de t, m,

0, R etv0.

b) En réalité, il y a rupture du fil dès que sa tension dépas- se la valeur Trup= 5 . 10^{– 3}N. Déterminer l’instant trupet l’angle qrup lorsqu’intervient la rupture du fil. Effectuer l’application numérique.

est fixée à une particule M de masse m, astreinte à glisser sans frottement sur le plan horizontal (Oxy) . La partie I0M non enroulée du fil est tendue.

Données : R = 0,2 m ; m = 0,04 kg ; 0= I0M = 0,5 m ; v0= 0,1 m . s^{– 1}.

1•À l’instant t = 0, on communique à la particule M une vitesse v^➞0 horizontale perpendiculaire à I0M et orientée comme l’indiquent les deux figures ci-dessous :

On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement. À l’instant t, on appelleq l’angle dont s’est enroulé le fil et

la longueur IM du fil non encore enroulé.

y

z R x v0

ur

uθ

θ

Vue de dessus à l’instant t trace du fil à t = 0

I₀ I

M (t = 0) M (t)

x z

y

O

v₀

Vue en perspective à l’instant t = 0

0

I0

M (t = 0)

EXERCICES

2

Conseils 4) Projeter la relation fondamentale de la dynamique

sur ue r après avoir soigneusement inventorié les for- ces qui agissent sur le point matériel ainsi que leur direction.

5) Attention au signe des différentes expressions.

6) En intégrant la relation obtenue à la question 5), établir l’équation du second degré vérifiée parq. La résoudre en remarquant qu’une seule des deux racines de cette équation correspond à une fonction q(t) croissante.

8) Projeter la relation fondamentale de la dynamique surue r.