Groupes et anneaux Feuille 12

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Groupes et anneaux Feuille 12

Groupes

Exercice12.1

Soient(G,·)un groupe etIun ensemble non vide. On considère une famille de sous-groupes deG, notée(G_i)i∈I, telle que

∀(i, j)∈I², ∃k∈I, Gi∪Gj ⊂G_k. Montrer que[

i∈I

G_i est un sous-groupe deG.

Exercice12.2

SoitGun groupe tel que∀g∈G, g² = 1_G. Montrer queGest abélien.

Exercice12.3

Déterminer les morphismes de(Q, +)dans(Z, +).

Exercice12.4

Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Exercice12.5

Soit(G, +)un groupe,HetKdeux sous-groupes deG.Montrer queH∪K est un groupe si et seulement si H⊂KouK⊂H.

Exercice12.6

Soit(G, ·)un groupe. SiHest un sous-groupe deG, on dit queHest distingué dansGlorsque, pour touta∈G et pour touth∈H, aha⁻¹ ∈H.

1. Quels sont les sous-groupes distingués d’un groupe commutatif ?

2. Montrer que, pour touta∈ G, l’applicationϕ_a : x 7→ axa⁻¹ est un automorphisme deG.Montrer qu’un sous-groupeHest distingué dansGsi et seulement si, pour touta∈G, ϕa(H) =H.

3. Sif : G −→ G⁰ est un morphisme de groupes, montrer que l’image directe (resp. réciproque) parf d’un sous-groupe distingué deG(resp. deG⁰) est un sous-groupe distingué def(G)(resp. deG).

4. Sif : G−→G⁰est un morphisme de groupes, montrer queKer(f)est un sous-groupe distingué deG.

5. NotonsZ(G) = {a ∈ G /∀h ∈ G, ah = ha}(Z(G)s’appelle le centre deG). Montrer queZ(G)est un sous-groupe distingué deG.

Exercice12.7

1. Montrer que les groupes(R^∗, ×)et(C^∗, ×)ne sont pas isomorphes.

2. En admettant que√

2est irrationnel, montrer que les groupes(Q, +)et(Q^∗+, ×)ne sont pas isomorphes.

Exercice12.8

Soit(G,·)un groupe fini et deux partiesAetB deGtelles que|A|+|B|>|G|.

Montrer queG=AB.

Exercice12.9

Quels sont les groupes qui ne possèdent qu’un nombre fini de sous-groupes ?

Quentin De Muynck Sous licencecbea

(2)

FEUILLE XII - GROUPES ET ANNEAUX

Exercice12.10

petqsont deux entiers non nuls premiers entre eux. On posen=pq.

SoitGun groupe fini commutatif d’élément neutreetel que, pour toutx∈G, xⁿ=e.NotonsM ={x∈G / x^p= e}etN ={x∈G / x^q =e}.

1. Montrer queM etN sont des sous-groupes deG.

2. Montrer queM ∩N ={e}.

3. Montrer que l’applicationf:M ×N −→G (x, y)7−→xy

est un isomorphisme de groupes.

Exercice12.11

Soient(G, .)un groupe etHun sous-groupe deG.

1. SurG, on considère la relation Rdéfinie par∀(x, y) ∈ G²,(xRy ⇔ x⁻¹y ∈ H). Montrer queRest une relation d’équivalence.

Pour toutx∈G, on notexla classe d’équivalence dex.

Montrer que, pour toutx∈G, x=xH.

On noteG/H = {x / x ∈ G} = {xH / x ∈ G}.On dira queH est un sous-groupe distingué deGsi et seulement si, pour touth∈Hetg∈G, ghg⁻¹ ∈H.

2. Montrer que, lorsque H est un sous-groupe distingué de G, en posant, pour tout (x, y) ∈ G², x·y = x·y,(G/H, ·)est un groupe.

3. Montrer queH est un sous-groupe distingué deGsi et seulement si c’est le noyau d’un morphisme dontG est l’ensemble de départ.

4. Si f: G −→ G⁰ est un morphisme de groupes, montrer que G/Kerf −→Imf x7−→f(x)

est un isomorphisme de groupes.

Exercice12.12

Soit(G, ·)un groupe fini commutatif. Siy∈G, on noteo(y)l’ordre dey.

1. Soitx∈Gtel queo(x) =pq, où(p, q)∈N². Déterminero(x^p).

2. Soit(x, y)∈G²On poseo(x) =peto(y) =q. On suppose quepetqsont premiers entre eux. Déterminer o(xy).

3. Montrer qu’il existe unx∈Gtel queo(x)est égal au plus petit commun multiple des ordres des éléments de G.

Exercice12.13

Lemme de Cauchy: Il s’agit de montrer que siGest un groupe dont l’ordre est multiple d’un nombre premier p, alors il existe dansG un élément d’ordre p.On noteE l’ensemble des p-uplets (x₁, . . . , x_p) ∈ G^p tels que x₁· · ·x_p = 1_G.On définit surEune relation binaireRen convenant que(x₁, . . . , x_p)R(y₁, . . . , y_p)si et seulement si(y1, . . . , yp)se déduit de(x1, . . . , xp)par une permutation circulaire.

1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Montrer que les classes d’equivalence sont de cardinal1oup.

3. Conclure.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea

(3)

Groupe symétrique

Exercice12.14

On poseσ =

Å 1 2 3 4 5 3 4 2 5 1

ã

∈ S₅ etσ⁰ =

Å 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3

ã

Déterminer l’ordre deσ, c’est-à-diremin{k ∈N^∗ / σ^k = Id}ainsi que l’ordre deσ⁰.Déterminer les ordres deσσ⁰ et deσ⁰σ.

Exercice12.15

Pour toutn∈N^∗, on noteZn={s∈Sn/∀σ ∈ S_n, s◦σ=σ◦s}.

1. DéterminerZ1etZ2. 2. On suppose quen≥3.

(a) Pour touti∈ J1, nK, montrer qu’il existe une permutationσ_i dansS_ntelle queσ_i(i) = iet, pour tout j∈J1, nKavecj6=i, σ_i(j)6=j.

(b) En déduire queZn={Id

J1,nK}.

Exercice12.16

Soitn≥2. Montrer queS_nest engendré par les transpositions de la forme 1 k

oùk∈ {2, . . . , n}.

Exercice12.17

Soitn≥3. On noteA_nl’ensemble des permutations deS_ndont la signature vaut 1.

1. Montrer queA_mest engendré par les cycles de longueur 3.

2. Montrer queA_nest engendré par les cycles (1, 2,k) oùk∈ {3, . . . , n}.

Exercice12.18

On fixe un entiernsupérieur ou égal à 2. On noteS_nle groupe des bijections de{1,. . . , n}dans lui-même.

1. Montrer que pour toute transposition(a, b)deS_n, il existeσ ∈ S_ntelle que(a, b) =σ⁻¹(1,2)σ.

2. Déterminer tous les morphismes de groupes deSndans{−1,1}.

Anneaux

Exercice12.19

SiBest un anneau, on noteInv(B)l’ensemble des éléments inversibles deB.

SoientEun ensemble etAun anneau. Montrer queInv(F(E, A)) =F(E, Inv(A))

Exercice12.20

SoitKun corps.

1. Quels sont les idéaux deK?

2. Peut-on énoncer une propriété réciproque ?

3. SoientAun anneau différent de{0}etf :K −→Aun morphisme d’anneaux.

Montrer quef est injectif.

Exercice12.21

Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.

Exercice12.22

SoitAun anneau commutatif. On noteN l’ensemble des éléments nilpotents deAetB ={1 +x / x ∈N}.

Montrer que(B,×)est un groupe.

(4)

Exercice12.23

Montrer que l’ensemble des nombres décimaux est un anneau principal.

Exercice12.24

1. Montrer que, pour toutr∈Cavec|r|<1,

+∞

X

n=0

rⁿ= 1 1−r.

2. Dans un anneauAquelconque, sia, b ∈ Asont tels que1−abest inversible, montrer que1−baest aussi inversible.

Exercice12.25

On noteZ[j] ={x+jy / x∈Z, y ∈Z}oùj = e^2iπ³ 1. Vérifier queZ[j]est un sous-anneau deC.

2. Soitu∈Z[j]. Montrer queuest inversible (dansZ[j]) si et seulement si|u|= 1.

3. Montrer que l’ensembleU des éléments inversibles deZ[j]est un groupe multiplicatif, dont on déterminera les éléments.

Exercice12.26

SoitEun ensemble fini. On admet que(P(E),∆,∩) est un anneau oùA∆B = (A\B)∪(B\A). Montrer que tous ses idéaux sont principaux. Est-ce encore vrai lorsqueEest infini ?