De Newton à Ruby, en passant par Monte-Carlo

(1)

. . . .

De Newton à Ruby, en passant par Monte-Carlo

J.-M. Desbonnez & P. Tilleuil

CSM Mouscron

Congrès SBPMef, Mons 2015

(2)

De quoi s’agit-il ?

Informatiquement

Initiation à l’algorithmique et à un langage (léger, en terme de mise en route) de programmation.

Développe l’esprit d’analyse, desynthèse, derigueur. Cours d’informatique, option complémentaire (1h/sem).

5^e et 6^e Transition Générale.

Mathématiquement

Un fil conducteur pour une synthèse des résultats élémentaires concernant l’étude des fonctions.

Cours de mathématique (4-6h/sem) et Renforcement (2h/sem).

5^e et 6^e Transition Générale.

. . . Et à cause du réchauffement climatique, nous n’aborderons qu’une petite partie visible de l’iceberg . . .

(3)

Au menu

Algorithmique élémentaire et langage Ruby f ( x ) = 0 par la méthode de Newton, dans R f ( z ) = 0 par la méthode de Newton, dans C Les bassins d’attraction et fractals de Newton

et un peu de fractals de Mandelbrot et de Douady . . . rien que pour vos yeux

(4)

Compléments

Avant de commencer, déjà des compléments

Sur la toile, évidemment, mais aussi des articles plus détaillés, et d’autres exemples, sont (et seront) disponibles :

Losanges n°28, mars 2015,

Algorithmique élémentaire et langage Ruby, pour quelques expériences numériques Losanges n°29, juin 2015,

Algorithmique élémentaire et Ruby, une intégrale définie . . . par hasard Losanges n°30, septembre 2015, (si le comité de lecture accepte l’article)

Algorithmique élémentaire et Ruby, le hasard est probablement bien organisé Losanges n°31, décembre 2015, (si le comité de lecture accepte l’article)

Algorithmique élémentaire et Ruby, les tableaux

Losanges n°32, mars 2016,(si le comité de lecture accepte l’article)

Algorithmique élémentaire et Ruby, complexes et fractals Surwww.jm-desbonnez.be(rubrique «info» puis «ruby») vous trouverez, entre autres, cette présentation.

(5)

Algorithmique et langage Ruby Organisation du travail

Algorithmique et Ruby

L’algorithme est au calcul comme la recette est au plat bienvenue à top chefs !

calcul

« complexe »

algorithmique

ÐÐÐÐÐÐÐ→

(papier)

instructions élémentaires

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

traduction Ruby algorithme (fichier exécutable)

Pourquoi Ruby ?

Langage « orienté objet », moderne, puissant, et . . .gratuit.

Facile à mettre en oeuvre, et multi-plateformes (Mac, Linux, Windows)

(sur Mac, il fait partie de l’OS est donc déjà installé).

Bases faciles à apprendre, et donc très vite opérationnel.

Donc, pourquoi pas ?

(6)

Algorithmique et langage Ruby Installation de Ruby et démarrage

Installer Ruby sur l’ordinateur

MacOsX

Cool, c’est déjà fait, Ruby est natif à MacOsX.

Windows

Téléchargement depuis http ://rubyinstaller.org Choisir version Ruby 2.0.0 (la dernière, fin juin 2015).

Exécuter le fichierrubyinstaller . . . .exe qui a été téléchargé.

CocherAdd Ruby executables to your PATH

etAssociate .rb and .rbw files with this Ruby installation.

Prier.

Ruby est « transparent » pour l’utilisateur, et travaille en arrière-plan lorsqu’on lui confie des instructions. Comme L^ATEX, pour ceux qui connaissent.

On peut utiliser Ruby soit en modeinteractif (une calculatrice, entre autres) soit en mode éditeur.

(7)

Ruby en mode interactif (via la console de commandes)

MacOsX

Exécuter l’applicationTerminal.appdepuis /Applications/Utilitaires Au message d’invite, taper l’instructionirbpuis ^Enter

L’environnement est très spartiate, pas de souris, pas d’icône, pas de clic, . . .

que du texte !

Windows

Exécuter l’applicationCmd.exedepuis C :\Windows\System32 Au message d’invite, taper l’instructionirbpuis ^Enter

(8)

Les calculs, puisqu’on est là pour eux . . .

Calculatrice de base + − ∗ / ∗∗ % demo

Calculatrice scientifique (extrait du catalogue) Math.sqrt(x) Math∷E Math.sin(x) Math∷PI

Math.cos(x) rand réel aléatoire dans [0,1[

Math.tan(x) rand(a) entier aléatoire dans [0,a] Math.exp(x) rand(a..b) entier aléatoire dans [a,b] Math.log(x) x.abs

Math.log10(x)

Il est indispensable de respecter la casse.

x enradians pour les fonctions trigonométriques.

(9)

Ruby en mode éditeur (via un éditeur de textes)

Un éditeur est un traitement de textes spécialisé dans l’écriture de lignes d’instructions.

La plupart gratuits (Scite,Jedit, . . . ,TextWranglersur lesMacs des cyber-classes).

Le fichier algorithme (la liste des instructions)DOIT être enregistré avec l’extension.rb (comme d’habitude, dans un dossier, afin de garder un minimum d’ordre . . .).

Pour la démo, on essaiera de ne pas l’oublier,

Certains éditeurs, dontScite etTextWranglerpermettent d’exécuter l’algorithme actif directement depuis la fenêtre de l’éditeur ; c’est un luxe très appréciable.

Toute l’algorithmique en 5 mots seulement

affectation lecture écriture alternative répétitive

(10)

Algorithmique et langage Ruby Algorithmique, dans le vif du sujet

Algorithmique élémentaire, le kit de survie pour la suite

L’écriture

C’est l’affichage à l’écran d’un résultat, d’un calcul, . . . En algorithmique, on écritécrire résultat

En Ruby, on écritputs resultat L’affectation

C’est la mémorisation d’une donnée (nombre, texte) ou du résultat d’un calcul En algorithmique, on écritvariable ← donnée

En Ruby, on écritvariable = donnée (l’égalité booléenne se traduit par ==) Exemples

compteur = 0(mettre 0 dans la mémoire nomméecompteur)

hasard = rand(générer un nbre aléatoire dans[0,1[et le mettre dans la variablehasard) angle =2*Math∷PI/3(mettre dansanglele nombre 2π

3)

compteur = compteur + 1(incrémentercompteur de 1 unité) démo

(11)

Algorithmique élémentaire, le kit de survie pour la suite

L’alternative simple

C’est une structure de prise de décision.

Algorithmique et Ruby : Si condition

instructions cas vrai (sinon

instructions cas faux) fin

if condition

instructions cas vrai (else

instructions cas faux) end

condition⇔

expression booléenne (peut ne pas exister)

Exemple

if rand < 0.5

compteur_pile = compteur_pile+1 else

compteur_face = compteur_face+1 end

démo

(12)

Algorithmique élémentaire, le kit de survie pour la suite

Une répétitive à test d’arrêt initial

C’est une structure permettant d’exécuter plusieurs fois une ou plusieurs instructions.

Une répétitiveDOIT s’arrêter ! Algorithmique et Ruby :

Tant que condition instruction(s) fin

while condition instruction(s) end

La condition est d’abord évaluée.

Arrêt lorsqu’elle devient fausse.

Exemple

a=1 ; b=1 ; puts a ; puts b while a+b < 200

som = a+b puts som

a = b ; b = som end

Suite de Fibonacci jusqu’à 200 exclu.

Caractère ; pour séparer 2 instructions sur la même ligne (gain de place, au détriment de la lisibilité – avis personnel).

démo: fibonacci.rb

(13)

Algorithmique élémentaire, le kit de survie pour la suite

Deux autres, une question de goût

A test d’arrêt initial, mais condition contraire (à la précédente).

Jusqu’à ce que condition instruction(s)

fin

until condition instruction(s) end

A test d’arrêt final.

Répéter

instruction(s) Tant que condition

begin

instruction(s) end while condition

(14)

Algorithmique élémentaire, le kit de survie pour la suite

Une répétitive automatique

Le nombre d’itérations est déterminé à l’avance, au moyen d’uncompteur (entier).

On fixe sa valeur initiale et sa valeur finale ; l’incrémentation du compteur est 1.

Arrêt lorsquecompteur >fin Pour compteur de debut à fin

instruction(s) fin

for k in debut..fin instruction(s) end

Exemple :

fact = 1 for k in 1..50

fact = fact*k end

puts fact

Calcul de 50 !démo: factorielle.rb

(15)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – algorithme de Newton

f(x)

a₀

T₀ a₁ T₁

a₂ r

(16)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – algorithme de Newton

f(x)

a₀ T₀

a₁ T₁

a₂ r

d’où par récurrence a_n₊₁=a_n− f(a_n)

f^′(a_n) avecf^′(a_n) ≠0

On supposef(x) de classeC₁.

Soitr une solution de l’équationf(x) =0 (appeléeracine ou zéro).

Soita₀ une valeur approchée der et T₀ la tangente àf(x)au point(a₀,f(a₀)).

T₀≡y =f(a₀) +f^′(a₀) ⋅ (x −a₀)

Sif^′(a₀) ≠0(T₀ ∦OX), soita₁=T₀∩OX. 0=f(a₀) +f^′(a₀) ⋅ (a₁−a₀) a₁=a₀− f(a₀)

f^′(a₀)

Et on recommence avecT₁ la tangente à f(x) au point(a₁,f(a₁)), . . .

La suitea₀,a₁,a₂, . . . ,a_n, . . . converge, sauf exception, versr.

(17)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – manque de bol

C’est la faute à pas de chance . . .

f(x) =x³−2x+2

0 1

T₁

T₀ 1.5 T_1.5

a_n₊₂=a_n (le cycle infernal)

r a₀

T₀

a₁

T₁ f(x)

f^′(a) =0

(18)

Newton

0 1

T₁

T₀ 1.5 T_1.5

a_n₊₂=a_n (le cycle infernal)

f(x) =x³−2x+2

si a₀=0, alors a₁=1 eta₂=0, puis a₃=1 . . .

si a₀=1, alors a₁=0 puis a₂ =1. . . si a₀=1.5, alors a₁ =1 eta₂ =0, puis a₃=1 . . .

problèmes d’arrondis aussi aveca₀

« proche de » ces 3 valeurs démo: newton-exception1.rb

(19)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – sans dérivée

Un « inconvénient » de la méthode de Newton est la connaissance nécessaire de la dérivée de la fonctionf.

On peut toutefois remplacer le calcul de f^′(a_n)par une valeur approchée issue de la définition du nombre dérivé

f^′(an) ≈ f(an+h) −f(an) h

avech proche de 0, par exemple h=10⁻¹⁵ La formule de récurrence devient alors

a_n₊₁=a_n− h⋅f(a_n) f(a_n+h) −f(a_n)

(20)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – un exemple

Algorithme et Ruby

Il faut d’abord définir les fonctions f etf^′;

pour l’exemple, f(x) =3x+sinx−e^x etf^′(x) =3+cosx −e^x. def f(t)

return 3*t+Math.sin(t)-Math.exp(t) end

def df(t)

return 3+Math.cos(t)-Math.exp(t) end

On choisit ensuite une première valeur approchéea, la précisionsouhaitée pour le calcul de f(a), et on peut initialiserc un compteur d’itérations.

a ←2 (par exemple) precision ←0,000...1 c ←0

a = 2 # (par exemple) precision = 10**(-15) c = 0

On arrêtera le calcul de la valeur asuivante lorsque∣f(a)∣ <precision, ou lorsquef^′(a) =0, (ou lorsque a_n₊₂=a_n ou . . .).

(21)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – algorithme et Ruby

Si on ne tient pas compte de cas de non convergence (cycliques), l’algorithme de calcul est assez simple :

tant que |f(a)|>precision et df(a)≠0 a←a−f(a)/df(a)

c←c+1 écrire c écrire a fin

Si df(a) = 0 écrire "erreur !"

fin

while f(a).abs>precision and df(a) !=0 a=a−f(a)/df(a)

c=c+1 puts c puts a end

if df(a)==0 puts "erreur !"

end

démo: newton1.rb — il y a une racine dans [0,1

2] et une autre dans[3 2,2]

(22)

Newton

Résolution de l’équation f(x)=0 – un peu plus compliqué

Si on tient compte du cas de non convergencean+2=an, l’algorithme se complique un peu ; il faut mémoriser 2 valeurs dea consécutives dans la répétitive :

tant que |f(a)|>precision et df(a)≠0 an←a

a←a−f(a)/df(a) c←c+1

écrire c ; écrire a

si |f(a)|>precision et df(a)≠0 a←a−f(a)/df(a)

c←c+1

écrire c ; écrire a si a = an

écrire "erreur divergence"

sortie boucle fin

fin fin

Si df(a) = 0 ; écrire "erreur" ; fin

while f(a).abs>precision and df(a) !=0 an = a

a = a−f(a)/df(a) c = c+1

puts c ; puts a

if f(a).abs>precision and df(a) !=0 a = a−f(a)/df(a)

c = c+1 puts c ; puts a if a == an

puts "erreur divergence"

break end end end

if df(a) == 0 ; puts "erreur" ; end

(23)

Newton

Bassin d’attraction

f(x) =x²−k (k>0) — dans R

f(x) a deux racines réelles bien connues,√

k et−√

k, et une dérivée bien connue aussi, f^′(x) =2x.

En appliquant la formule de récurrence de Newtona_n₊₁=a_n− f(a_n) f^′(an), on a a_n₊₁=a_n−a_n²−k

2a_n = 1

2(a_n+ k

a_n). En particulier sik=2, on retrouve la formule de l’algorithme de Héron d’Alexandrie pour calculer une valeur approchée de√

2.

En choisissant initialementa0>0, la suite tend vers√

k, tandis que poura0<0, la suite tend vers−√

k. 1

2(a_n+ k a_n) = 1

2(a²_n+k

a_n )a en effet toujours le signe de a_n (puisque a²_n+k >0).

R⁻ est lebassin d’attraction de−√

k tandis queR⁺ est lebassin d’attraction de√ k.

(24)

Newton

Bassin d’attraction

Algorithme et Ruby

L’algorithme convergeant très vite, 5 itérations suffisent ici pour se faire une idée.

Voici l’algorithme pour estimer√

25 (excusez du peu . . .) k ←25 # choix de k

a ←2 # valeur initiale

pour c de 1 à 5 # nbre d’itérations a← ¹₂(a+^k_a)

écrire c écrire a fin

k = 25 a = 2

for c in 1 .. 5

a = 0.5*(a+k/a) puts c

puts a end démo: newton2.rb

essayer aussi un nombre négatif poura.

(25)

Newton

Héron d’Alexandrie : et le rectangle devint carré !

Construction d’un carré de côté √

2, et donc d’aire=2 Etape 1 : rectangle de côtés 1 et 2

Etape 2 :

un côté devient moyenne arithmétique des deux : 1

2(1+2) = 3 2 =1.5 l’autre = 2

côté= 2

3 2

= 4

3 =1.3333. . . Etape 3 :

un côté devient moyenne arithmétique des deux : 1 2(3

2+4 3) =17

12 =1.41666. . . l’autre = 2

côté= 2

17 12

=24

17 =1.41176470588. . . Etape 4 :

un côté devient moyenne arithmétique des deux : 1 2(17

12+24 17) =577

408 =1.41421568627. . . l’autre = 2

côté= 2

577 408

=816

577 =1.41421143847. . . et ainsi de suite . . .

(26)

Où va-t-on maintenant ?

Au point de vue mathématique

Comprendreglobalementla méthode de Newton pour les fonctions polynômiales dans des cas simples.

C’est-à-dire décrire lecomportementdes termes de la suite x_n₊₁=x_n− p(x_n)

p^′(xn)

lorsque p(x) est un polynôme de degréN =2 (ou 3) à cœfficients réels

(. . . mais qui peut avoir des racines complexes).

(27)

Où va-t-on maintenant ?

Au point de vue méthodologique

Une illustration de presquetousles points du programme de 5^ème et 6^ème (Maths 6 périodes ou 4 périodes par semaine).

Ð→Après le « Cantique des Cantiques » : la « Synthèse des Synthèses » !

. . . Avec une insistance tout particulière sur l’approche expérimentale dans le cadre de la résolution de problèmes !

Une expérience de travail dans un cours de « Ren- forcement en mathématiques (+2 périodes par semaine) en 5^ème, pendant le troisième trimestre de l’année scolaire 2014-2015.

(28)

Généralités Une première question

Une première question

On veut résoudre

p(x) =0 où p(x) est une fonction polynômiale de degréN.

En particulier, elle est partout définie.

Algorithme de Newton

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪

⎪⎩

x₁ ∶ arbitraire . . . ? x_n₊₁ ∶ =x_n− p(x_n)

p^′(x_n)

La première question est : comment choisir x₁? De manière équivalente : y a t-il moyen de mal choisir x1?

Par exemple, il est clair qu’ilfaut s’arranger pour quep^′(x₁) ≠0.

(29)

Généralités La convergence est quadratique, mais locale

Quand on s’y prend bien, tout va bien

Si le pointx₁ est choisi assez proche de la racine à atteindre ( !), tout va bien. . .

On utilise le théorème des accroissements finis, ou de Lagrange : p(x) =p(a) + (x−a) ⋅p^′(a) +(x−a)²

2 ⋅p^′′(a+θ⋅ (x−a)) (0<θ<1) Six=r est une racine dep(x)eta=xn en est une approximationà la Newton:

0=p(r) =p(xn) + (r−xn) ⋅p^′(xn) +(r−xn)²

2 ⋅p^′′(xn+θ⋅ (r−xn)) ou

(xn−r) ⋅p^′(xn) −p(xn) =(r−xn)²

2 ⋅p^′′(xn+θ⋅ (r−xn)) Donc, tant quep^′(xn) ≠0 :

xn−r− p(xn)

p^′(xn) =(r−xn)²

2⋅p^′(xn)⋅p^′′(xn+θ⋅ (r−xn))

(30)

Généralités La convergence est quadratique, mais locale

ou

∣xn+1−r∣ =1

2⋅ ∣xn−r∣²⋅ ∣p^′′(xn+θ⋅ (r−xn)) p^′(xn) ∣

Sur un intervalle centré enr, commep(x)est un polynôme, il existeM>0 tel que :∣p^′′(x)∣ <M. Et si, sur un tel intervalle, la méthode ne diverge pas, c’est-à-dire sip^′(x) ≠0, il existe aussiε>0 tel que∣p^′(x)∣ >ε, d’où

∣ 1 p^′(x)∣ <1

ε.

La dernière égalité devient, sur un tel intervalle, l’inégalité :

∣xn+1−r∣ <1

2⋅ ∣xn−r∣²⋅M

ε (1)

Si on choisit alors un intervalle centré enret de rayonδ>0 tel que∣xn−r∣ ⋅M

ε <1, c’est-à-dire si on choisit δ>0 tel que

0<δ< ε M on aura :

∣xn+1−r∣ <1

2⋅ ∣xn−r∣ (2)

L’inégalité (2) implique la convergence, et l’inégalité (1) explique son caractère quadratique.

N.B.: ces propriétés peuvent être établies indépendamment du fait que la fonctionp(x)soit polynômiale.

(31)

Généralités La fonction de Newton

La fonction à comprendre

Lafonction de Newton est cette fonction

Φ(x) ∶=x− p(x) p^′(x) quifabrique les termes de la suite(x_n)_n_∈N à étudier.

Elle est un peu plus compliquée à utiliser — ce n’est plus un polynôme ! — mais elle est bien plus intéressante, . . . et efficace.

Il y a tout un travail de traduction à faire, pour passer des propriétés du polynôme p(x) à celles de la fonction de NewtonΦ(x).

(32)

Généralités Deux propriétés de la fonction de Newton

Deux propriétés de la fonction de Newton de p ( x )

Φ(x) ∶=x− p(x) p^′(x)

Propriété 1. Les points fixes de l’une sont les racines de l’autre

x =Φ(x) ⇐⇒p(x) =0

Propriété 2. La dérivée (une fois factorisée . . . ) est trop belle !

Φ^′(x) =1−(p^′(x))²−p(x) ⋅p^′′(x)

(p^′(x))² = p(x) ⋅p^′′(x) (p^′(x))²

N.B.: ici aussi, ces propriétés sont indépendantes du fait que la fonctionp(x)est polynômiale.

(33)

Généralités La convergence de la méthode à partir de sa fonction

La fonction de Newton décrit (aussi) la convergence de la méthode

On utilise (encore) le théorème des accroissements finis, ou de Lagrange : Φ(x) −Φ(a) = (x −a) ⋅Φ^′(a+θ⋅ (x −a)) (0<θ<1) Si x =r est une racine de p(x) :

Φ^′(x) = p(x) ⋅p^′′(x)

(p^′(x))² ⇒Φ^′(r) =0

(34)

Généralités La convergence de la méthode à partir de sa fonction

PuisqueΦ^′(r) =0, dès qu’on choisit un nombre 0<C <1, il existe doncδ>0 tel que, quel que soit x ∈ ]r−δ;r+δ[, on ait

0⩽ ∣Φ^′(x)∣ <C c’est-à-dire :

∣Φ(x) −Φ(r)∣ <C⋅ ∣x−r∣

Si x =x_n, on a Φ(x_n) =x_n₊₁, etr est un point fixe de la fonction de Newton, d’où :

∣x_n₊₁−r∣ <C ⋅ ∣x_n−r∣ La conclusion s’ensuit, puisque 0<C <1.

N.B.: encore une fois, cette preuve est essentiellement indépendante du fait que la fonctionp(x)soit polynômiale.

(35)

Généralités Tous au bassin !

Le bassin d’attraction d’une racine de p ( x )

Si le point initialx₁ est choisi assez proche d’une racine, il n’y a donc pas trop de souci(s) à se faire. Mais si ce point est pris . . . au hasard ?

Définition. Lebassin d’attraction d’une racine r du polynôme p(x) est l’ensemble des points initiaux pour lesquels la méthode de Newton converge vers r :

B(r) ∶= {x ∈R∣_nlim

→+∞Φⁿ(x) =r}

On abrègeΦ○Φ○ ⋯ ○Φ

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

ntermes

(x)enΦ^○n(x)ouΦⁿ(x).

Les calculs sous Ruby ont déjà montré que le bassin d’attraction d’une racine d’un polynôme du second degré est « sa bonne moitié deR». Allons-y voir !

(36)

Les polynômes (réels) du second degré Le cas de deux racines (réelles) distinctes

I. Le cas de deux racines (réelles) distinctes

Un exemple On considère

p(x) ∶=x²−x−2 dont les racines sont évidemmentx = −1 etx = +2.

La fonction de Newton correspondante est donnée par : Φ(x) ∶=x−x²−x−2

2x−1 = 2x²−x−x²+x+2

2x−1 = x²+2 2x−1

Sans surprise, l’asymptote verticale du graphique de la fonction de Newton correspond à l’axe de symétrie de la paraboley =x²−x−2.

Le graphique de la fonction de Newton possède une asymptote oblique (très utile) d’équation y =1

2x+1 4.

(37)

2 1 2

−1 O 1 2

2

1 2

−1

O

y=x

y= 1 2x+

1 4

Le polynômep(x) ∶=x²−x−2 et la fonction de NewtonΦ(x) ∶= x²+2

2x−1 correspondante.

(38)

Quelques conséquences des propriétés de la fonction de Newton

Le graphique de Φ(x) possède deux branches, et il est impossible de passer de l’une à l’autre.

Il n’y a aucun élément de la suite desx_n qui visite l’intervalle]−1;+2[sauf peut-être x₁. Six₁∈ ]2;→[, alors x_n↘ +2.

Six₁∈ ]1

2;2[, alorsx₂ ∈ ]2;→[et x_n↘ +2 dès quen>2. Donc B(+2) = ]1

2;→[

Pareillement :B(−1) = ]←;1 2[.

Bien sûr, on peut obtenir les mêmes résultats en raisonnant directement sur le graphique dep(x). Par contre, en utilisant l’asymptote oblique au graphique deΦ(x), on obtient facilement, pourr= −1 ou+2 :

∀n⩾2∶ ∣xn+1−r∣ <1 2⋅ ∣xn−r∣

(39)

Il n’y a qu’à changer les nombres en lettres pour tirer de cet exemple la démonstration d’un résultat général.

THEOREME

Si un polynôme du second degré p(x) ∶=Ax²+Bx+c admet deux racines réelles distinctesr₁<r₂, alors

B(r₁) = ]←;−B 2A[ et

B(r2) = ]−B 2A;→[

Sans surprise . . .

(40)

Les polynômes (réels) du second degré Le cas d’une racine double (réelle)

II. Le cas d’une racine double (réelle)

Allons tout de suite au cas général !

On considère donc le polynôme p(x) ∶=A⋅ (x+ B

2A)², dont on calcule la fonction de Newton :

Φ(x) =x−

A⋅ (x+ B 2A)² 2A⋅ (x+ B

2A)=x −1

2 ⋅ (x+ B 2A) =1

2⋅ (x− B 2A)

tant que x ≠ −B

2A, bien sûr.

C’est une (bête) fonction affine ? ! ?

Oui ! Et paraboliquement parlant, ça ne devrait pas être une surprise . . .

(41)

Une translation de+B

2A permet de « bien placer » la parabole, de telle sorte que son équation devient :

y =A⋅x²

N.B. :une translation ne change pas la dynamique de la suite des(xn)_n∈_N!

La fonction de Newton correspondante est alors Φ(x) = x

2 Elle est indépendante deA!

Que signifie cette fonction ?

Elle dit que la tangente au graphique dey =A⋅x² en un point d’abscissea(sur ce graphique) coupe l’axe des x au point d’abscisse a

2.

(42)

C’est une propriété connue d’une tangente à la parabole : la caractérisation « focale » d’une telle tangente implique que le quadrilatère FMM_δT est un losangedont le point d’intersection des diagonales esttoujours situé sur l’axe desx.

O δ

F

M

M_δ

T

La tangente à la parabole enM est la bissectrice de l’angle FMM̂δ : c’est la caractérisation focale de la tangente à la parabole enM (F est le foyer de la parabole, et δ est sa directrice). Le « losange magique » s’en déduit.

A part cela, on retrouve pour le(s) bassin(s) d’attraction la dichotomie de la situation avec deux racines réelles distinctes . . . si ce n’est que la racine recherchée est aussi le (seul) point singulier de la fonction de Newton.

(43)

Les polynômes (réels) du second degré Un intermède : à propos de changements de variables

Un intermède : peut-on (toujours) changer de variables ?

On a utilisé une translation pour passer du polynôme p(x) =A⋅ (x+ B

2A)² au polynôme plus simple

q(X) =A⋅X²

Jusqu’à quel point ce procédé est-il généralisable, et en particulier, qu’en est-il pour les fonctions de Newton correspondantes ?

Géométriquement, la réponse est claire ! Mais algébriquement ?

C’est un bon exercice de traduction !

(44)

Partant du polynôme général p(x) =Ax²+Bx+C lorsqu’on y fait le changement de variables x ∶=X− B

2A, on obtient :

p(x) =A(X− B

2A)²+B(X− B 2A) +C

=AX²−BX+B²

4A+BX−B² 2A+C

=AX²−B²−4AC 4A

=A(X²−B²−4AC 4A² )

qui est une formule bien connue. Introduisons le nouveau polynôme q(X) ∶=X²− ∆

4A² où ∆∶=B²−4AC est de signe quelconque.

(45)

La fonction de Newton pour le polynôme originel p(x) est donnée par Φp(x) ∶=x −Ax²+Bx+C

2Ax+B = Ax²−C 2Ax+B tandis que celle pour le nouveau polynômeq(x)s’écrit :

Φq(X) ∶=X −X²− ∆ 4A²

2X = X²+ ∆ 4A² 2X La suite de Newton pour le polynôme q(X) est décrite par

X_n₊₁= X_n²+ ∆ 4A² 2X_n

(46)

Si on y fait le changement de variables (inverse)X ∶=x+ B

2A, la suite précédente devient :

xn+1+ B

2A = (x_n+ B

2A)²+ ∆ 4A² 2(x_n+ B

2A) d’où

x_n₊₁ =(x_n+ B

2A)²+ ∆ 4A² 2(x_n+ B

2A) − B

2A = ⋯ = Ax_n²−C 2Ax_n+B

En d’autres termes, on peut dire que, dynamiquement parlant, la méthode de Newton pour un polynôme du second degré est toujours équivalente à l’algorithme d’extraction de la racine carrée de Héron d’Alexandrie.

(47)

Le raisonnement précédent n’est pas très . . . conceptuel. Par ailleurs, il ne règle pas la question d’une transformation affinegénéralesurx.

Considérons donc la transformation affinegénérale:

x∶=αX+β oùα≠0.

Sip(x)est une fonction quelconque, on en déduit par changement de variable, une autre fonctionq(x):

p(x) =p(αX+β) =k⋅q(X) (3)

oùk≠0.

Par exemple, si p(x)est unpolynômede degré N, on peut vouloir que le nouveau polynôme q(X)soit unitaire, et on prendra alorsk∶=A⋅α^N sip(x) ∶=Ax^N+termes de degré inférieur àN.

En dérivant membre-à-membre la relation (3) par rapport àX, on trouve : p_x^′(αX+β) ⋅ (αX+β)^′_X=k⋅q^′_X(X) c’est-à-dire

α⋅p^′_x(αX+β) =k⋅q^′_X(X) (4)

(48)

Notons alors(Xn)n∈N une suite de Newton associée à la fonctionq(X)et(xn)n∈N la suite qui s’en déduit par le changement de variables en question :

xn=αXn+β

Montrons que cette suite est une suite de Newton pour la fonctionp(x). La relation (4) implique immédiatement :

α⋅p_x^′(xn) =α⋅p^′_x(αXn+β) =k⋅q^′_X(Xn) La récurrence

Xn+1=Xn− q(Xn) q^′(Xn) devient alors, avecXn= 1

αxn−β α :

1

αxn+1−β α= 1

αxn−β α−

1 k⋅p(xn)

α k ⋅p^′(xn) Et on achève sans peine.

Mais revenons à nos moutons !

(49)

Les polynômes (réels) du second degré Le cas sans racines (réelles)

III. Le cas sans racines (réelles)

A première vue . . . il n’y a rien à voir !

Et paradoxalement, c’estle cas le plus intéressant, surtout si on veut s’initiersérieusementà la dynamiquede la méthode de Newton !

On veut s’entraîner sur un cas (très) simple à l’art de comprendre des comportements . . . chaotiques !

En vertu de ce qui vient d’être dit sur les changements de variables, on va se limiter à un cas typique : le polynôme

p(x) ∶=x²+1 Sa fonction de Newton est très simple

Φ(x) ∶=x−x²+1

2x = x²−1 2x

(50)

1

−1

O

y=x

y= 1 2⋅x

Φ(x) ∶=x²−1

2x est la fonction de Newton dep(x) ∶=x²+1.

(51)

La première chose qu’on peut faire, c’est comparerles propriétés de la fonction de Newton dans le cas de deux racines réelles distinctes et dans ce cas-ci.

1 2

2

1 2

−1 O

y=x

y= 1 2x+

1 4

1

−1

O

y=x

y= 1 2

⋅x

C’est vite fait : il n’y a rienqui corresponde ! En particulier : le graphique deΦ(x) possède maintenant deux branches, et rien n’est plus facile que de passer de l’une à l’autre.

(52)

Ceci dit, on peut essayer de répondre à deux questions.

QUESTION 1.(La divergence en « temps » fini)

Déterminer (toutes) les valeurs du terme initialx₁≠0 d’une suite de Newton telles qu’une des valeurs ultérieuresx_n soit nulle, et qu’on bascule ainsihors du domaine de la fonction de Newton.

La tangente enxn est alors horizontale . . .

Y a t-il beaucoup de tels « mauvais » points initiaux ?

En particulier, quelle serait éventuellement l’adhérence de l’ensemble de tous ces

« mauvais » points initiaux ?

On peut remarquer que cette question ne se pose (quasiment) pas dans le cas où il y a des racines réelles.

(53)

La seconde question est un peu plus générale.

QUESTION 2.(La dynamique d’une suite de Newton)

Décrire (qualitativement) le type de trajectoire desx_n en fonction du terme initial x₁≠0.

Par exemple, y a t-il des trajectoirespériodiques, ou en cycles? Comme autre exemple, si on définit pour touti ∈N:

ε(x_i) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

+1 six_i ∈ ]0;→[

−1 six_i ∈ ]←;0[

comment pourrait-on décrire a priori la suite des « positions » ε(x_i)_i_∈N à partir du seulchoix du terme initial x₁≠0 ?

(54)

Les polynômes (réels) du second degré Le cas sans racines (réelles) : la divergence en temps fini

La divergence en temps fini

Déterminons d’abord des valeurs du terme initialx₁telles quex₂oux₃=0.

Voici quelques « mauvais » choix de x₁.

Pour l’essentiel, il s’agit de déterminer les coordonnées des points de contact des tangentes à la paraboleissues d’un point extérieur à celle-ci.

O

√ 2−1

1

√ 2+1 4+2√

2

4−2√ 2

−

√ 2+1

−1

−

√ 2−1

(55)

Il faut systématiser les choses !

En fait, il s’agit de « faire marche-arrière », et de calculerx en fonction dey dans la relation y =x²−1

2x (=Φ(x))

c’est-à-dire de déterminer la fonction réciproquede la fonction de Newton en question.

En résolvant l’équationx²−2x⋅y−1=0, on trouve les deux fonctions réciproques, à savoir : Ψ₊ ∶ R → ]0;→[

y ↦ Ψ₊(y) ∶= y+√ 1+y² et

Ψ₋ ∶ R → ]←;0[

y ↦ Ψ₋(y) ∶= y−√ 1+y²

(56)

Ces fonctions réciproques permettent en effet de construire le début d’un « arbre » des

« mauvais » choix.

0

+1

−1

1+

√ 2

1−

√ 2

−1−

√ 2

−1+

√ 2

1+

√ 2+

√ 4+2

√ 2

1+

√ 2−

√ 4+2

√ 2

1−

√ 2+

√ 4−2

√ 2

1−

√ 2−

√ 4−2

√ 2

⋯

−1−

√ 2+

√ 4+2

√ 2

−1−

√ 2+

√ 4+2

√ 2

−1+

√ 2−

√ 4−2

√ 2

−1+

√ 2+

√ 4−2

√ 2

⋯

On y voit plus clair : . . . ça va être compliqué !

(57)

Un peu de trigonométrie, pour changer

Décompliquons l’arbre ! Cette fonction de Newton

Φ(x) = x²−1 2x n’a t-elle pas un petit parfum . . . trigonométrique ? On sait que

tan 2ω= 2⋅tanω 1−tan²ω Dès lors :

Φ(tanω) = tan²ω−1

2⋅tanω = − 1

tan 2ω =tan(π

2 +2ω) (5)

Ainsi — à peu de choses près — l’application de Newton agit essentiellement en doublant un angle! ? !

(58)

Il faut réaliser cela proprement.

D’abord, pour ne pas être ennuyé avec les multiples de π, on pose x ∶=tanπ

2 ⋅T (6)

La formule précédente devient alors : Φ(tan(π

2 ⋅T)) =tan(π 2 +2⋅π

2 ⋅T) =tan(π

2 ⋅ (1+2T))

On a violemment envie de croire que, sous le changement de variables en question, la fonction de Newton se réduit alors à la fonction affineγ(T) ∶=2T +1, où le doublement de l’angle est explicite . . . et le « à peu de choses près » devient «+1 ».

Prudence !

(59)

D’abord, pour que l’éventuel changement de variablesx ∶=tanπ

2 ⋅T soit un honnête changement de variables (en particulier inversible), il faut se restreindre à

T ∈ ]−1;+1[

. . . Et malheureusement, ce n’est pas parce queT ∈ ]−1;+1[qu’on peut en déduire que 2T+1∈ ]−1;+1[.

Ensuite — et heureusement ! — il y aune autre manière d’exprimer− 1

tan 2ω comme une tangente, à savoir

− 1

tan 2ω =tan(−π 2 +2ω) Avec cette version-là, on obtient

Φ(tan(π

2 ⋅T)) =tan(−π 2 +2⋅π

2 ⋅T) =tan(π

2 ⋅ (−1+2T))

Ce n’est pas une surprise : la fonction de Newton, traduite en angles, devait aussi avoirdeuxbranches !

(60)

Résumons-nous !

On a donc défini des applications de changement de variables : f ∶ R → ]−1;+1[

x ↦ f(x) ∶= 2

π ⋅Arctanx

g ∶ ]−1;+1[ → R

T ↦ g(T) ∶= tanπ 2 ⋅T Ce sont des applications croissantes.

Ce sont même desdifféomorphismes, réciproques l’un de l’autre, et commef(0) =0 etg(0) =0, leurs restrictions ]←;0[ ∪ ]0;→[ ⇌ ]−1;0[ ∪ ]0;+1[

sont encore des difféomorphismes !

(61)

On définit alors la « traduction angulaire » de la fonction de Newton par φ ∶ ]−1;0[ ∪ ]0;+1[ → ]−1;+1[

T ↦ φ(T) ∶= {2T+1 siT ∈ ]−1;0[

2T−1 siT ∈ ]0;+1[

On dispose ainsi d’un dictionnaire parfait — et simplificateur ! — entre la fonction de Newton et son expression angulaire :

1

−1 O

y=Φ(x) f

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

←ÐÐÐÐÐÐÐÐÐg

−1 +1

+1

− 1 2

1 2

−1 O

○

○ t=φ(T)

(62)

Les fonctions réciproques de la fonction de Newton — les fabricantes de racines carrées ! — correspondent, dans notre dictionnaire angulaire, aux fonctions réciproques de la fonctionφ. Elles sont, bien sûr, beaucoup plus simples !

Plus précisément,

A ∶ ]−1;+1[ → ]0;+1[

T ↦ A(t) ∶= t+1 2 est la traduction de la fonction réciproqueΨ₊(y) =y +√

1+y², tandis que B ∶ ]−1;+1[ → ]−1;0[

T ↦ B(t) ∶= t−1 2 est la traduction de la fonction réciproqueΨ₋(y) =y −√

1+y².

(63)

Le diagramme ci-dessous résume toutes les constructions du dictionnaire.

x ∈ R∖ {0}

y ∈ R

Φ Ψ− Ψ+

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→f_g

←ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→f_g

←ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

]−1;0[ ∪ ]0;+1[ ∋T

]−1;+1[ ∋t

B φ A

(64)

Le retour à la divergence en temps fini

L’arbre des « mauvais choix » — c’est-à-dire la liste des termes initiaux de suites de Newton qui s’achèvent en 0 — peut maintenant être traduit, et même fabriqué, de la manière suivante :

A

B

A

B

B A

A B

A B 0

+ 1 2

− 1 2

+ 3 4

− 1 4

− 3 4 +

1 4

+ 7 8

− 1 8

+ 3 8

− 5 8

⋯

− 7 8 +

1 8

− 3 8 +

5 8

⋯

(65)

Notons DFΦ l’ensemble des termes initiaux de suites de Newton qui aboutissent en 0 (après un nombre finid’application de la méthode du même Newton pour le polynôme p(x) =x²+1.

Pour la méthode de Newton, c’est exactement l’ensemble des termes initiaux qui divergent en temps fini.

L’arbre précédent suggère alors un résultat . . . surprenant.

THEOREME

L’ensembleDFΦ des éléments qui divergent en temps fini estpartout dense dansR