3.1 CROISSANCE D’UNE FONCTION

cours 15

3.1 CROISSANCE

D’UNE FONCTION

Aujourd’hui, nous allons voir

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Étant donné le graphique d’une fonction, il est assez simple de dire si elle croit ou décroit.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Une fonction est décroissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Une fonction est décroissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Une fonction est décroissante sur un intervalle , si

Définition

Mais comment faire, si l’on ne voit pas la fonction?

Il est souvent pratique, pour formaliser les choses en mathématiques, de bien les définir.

Une fonction est croissante sur un intervalle , si

Une fonction est décroissante sur un intervalle , si

Hum... c’est clair ...

Hum... c’est clair ...

...mais pas trop facile à utiliser!

Hum... c’est clair ...

...mais pas trop facile à utiliser!

Comment peut-on être sûr pour chaque paire de points dans l’intervalle?

Hum... c’est clair ...

...mais pas trop facile à utiliser!

Comment peut-on être sûr pour chaque paire de points dans l’intervalle?

Regardons les taux de variation moyens d’une fonction dans un intervalle ou elle est croissante.

Hum... c’est clair ...

...mais pas trop facile à utiliser!

Comment peut-on être sûr pour chaque paire de points dans l’intervalle?

Regardons les taux de variation moyens d’une fonction dans un intervalle ou elle est croissante.

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Pour une fonction croissante

Théorème

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

alors est croissante sur

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

alors est croissante sur Si

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

alors est croissante sur Si

Théorème

Si

Soit une fonction dérivable sur un intervalle

alors est croissante sur

alors est décroissante sur Si

Pour déterminer les intervalles où une fonction est

croissante et où elle est décroissante, il suffit de déterminer les intervalles où sa dérivée est positive et où elle est négative.

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

En passant par 0.

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

En passant par 0.

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

En passant par 0.

Comment une fonction peut passer de positive à négative, ou vice versa?

En passant par 0.

Ou bien, en passant par une discontinuité.

Faites les exercices suivants

Section 3.1. # 1 à 4

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Que peut-on dire sur les endroits ou il y a un passage de croissance à décroissance ou vice versa?

Définition

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

Remarque:

Définition

s’il existe un voisinage ouvert

tel que pour toute valeur c, de x prise dans l’intervalle

On définit similairement un minimum relatif.

Remarque:

On parle plutôt de maximum absolu ou minimum absolu si l’on peut prendre comme intervalle.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Maximums relatifs

Minimums relatifs Qu’a de spécial la dérivée en un extrémum relatif ?

Elle est nulle!

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Non!

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Est-ce qu’une dérivée nulle est synonyme d’extrémum relatif ?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Non!

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Définition

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Définition

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

Définition

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

Définition

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

ou

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

Définition

Par contre dans la recherche des extremums relatifs, les endroits où la dérivée est nulle et les endroits où la dérivée n’existe pas

sont des bons endroits à examiner.

ou

Les points critiques d’une fonction sont les valeurs de x tel que

Exemple

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation -3

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 0

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 0

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

max

Les points critiques sont et

Exemple

Dans un premier temps, on dérive pour trouver les points critiques.

Ensuite, on fait un tableau de variation

-3 2

0 - 0 +

+

max min

Les points critiques sont et

-3 2

0 - 0 +

+

max min

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5

-50 50

-3 2

0 - 0 +

+

max min

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

Exemple

On a un point critique lorsque

On a un point critique lorsque

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4 -1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

-1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

+

-1

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 0

+

-1

-

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

-

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

On a un point critique lorsque

ou

Les points critiques sont et

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

-15 -10 -5

5

-7 -4

0 - 0

+

max min

-1

+ -

Faites les exercices suivants

Section 3.1. # 5

Aujourd’hui, nous avons vu

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Aujourd’hui, nous avons vu

✓

✓

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 1 2 3

Devoir: