I ETUDE EXPERIMENTALE DES PROPRIETES D’UN DIPOLE

OBJECTIFS DU CHAPITRE :

Nous avons déjà rencontré des résistances et des générateurs de tension. Comment déterminer expérimentalement leurs propriétés ? Et comment déterminer le comportement d’un dipôle inconnu ? A quelle condition ce dipôle pourra-t-il être considéré linéaire ?

Une fois connues les propriétés des composants mobilisés, nous les associerons dans des circuits. Nous avons vu que, pour prévoir le comportement d’un réseau, on peut appliquer les lois de Kirchhoff. Mais si ce réseau est linéaire, des théorèmes spécifiques peuvent être avantageusement mis en œuvre. Nous en présenterons quelques-uns dans ce chapitre.

I ETUDE EXPERIMENTALE DES PROPRIETES D’UN DIPOLE

1) Caractéristique d’un dipôle

On cherche à déterminer le comportement électrique d’une petite ampoule de lampe torche. Quelles mesures faut-il effectuer ?

Il faut en fait déterminer si le comportement de la lampe est le même dans les deux sens de connexion ; et quelle intensité la traverse quand on applique telle tension à ses bornes. Mais aussi dans quelles limites on peut augmenter la tension sans détériorer la lampe. Pour ce dernier point, précisons tout de suite que la solution consiste à lire les données constructeur si on tient à conserver son composant...

Par exemple, si l’inscription sur l’ampoule est (6 V;1 A), cela signifie qu’elle est conçue pour fonctionner sous une tension de 6 V ; et qu’alors elle sera traversée par un courant de 1 A. Au-delà de 6 V, la lampe s’use prématurément.

Le montage à réaliser est représenté ci-dessous, et la courbe obtenue est dans le premier quadrant. En retournant le dipôle dans le montage, la tension et l’intensité changent de signe, et on obtient la courbe du troisième quadrant. Cette courbe

U

(i) est la caractéristique du dipôle. On peut y déterminer l’essentiel de ses propriétés.

L’ampèremètre se branche en série Le voltmètre se branche en parallèle

Caractéristique de la lampe :

ensemble des points de fonctionnement du dipôle Pour la lampe, la caractéristique passe par l’origine : pas de tension à ses bornes quand elle est débranchée.

la caractéristique n’est pas une portion de droite : pas de relation linéaire entre tension et intensité. On dit que la lampe n’est pas un dipôle linéaire.

la caractéristique présente une symétrie centrale : même comportement électrique pour les deux sens de connexion.

E;R _g G U

i A

V

U i

i(A) U(V)

1 6

-1

-6

2) Caractéristique d’un générateur 2.a Tracé de la caractéristique

On suit la même démarche pour déterminer le comportement électrique d’un générateur, par exemple une pile. On trace donc sa caractéristique, qu’on analysera. Le montage à réaliser est représenté ci-dessous. En faisant varier

R

, l’intensité varie, et on relève les valeurs correspondantes de la tension. On obtient point par point la courbe représentée en gras.

Pour la pile : La tension aux bornes de la pile chute quand elle débite du courant. C’est à vide (quand elle est débranchée) que la tension est la plus grande.

Au-delà d’une certaine intensité débitée, la tension chute brutalement.

2.b Linéarisation du dipôle

La pile n’est pas un dipôle linéaire, mais la caractéristique présente une grande portion rectiligne. On peut donc définir, à partir du comportement réel de la pile, un modèle linéaire de celle-ci.

Quel en est l’intérêt ? La mise en équation est alors particulièrement simple (l’équation cartésienne d’une droite se manipule aisément), et, moyennant quelques précautions concernant le domaine de validité du modèle, la résolution algébrique des circuits ne pose pas de difficulté.

Définissons le modèle linéaire d’un générateur :On assimile la caractéristique réelle à une portion de droite décroissante (représentée en trait fin):

L’équation cartésienne est de la forme:

(1) UPN = E - r.i en convention générateur.

E: ordonnée à l’origine; c’est la force électromotrice du générateur;

-r: coefficient directeur; r est la résistance interne du générateur.

P N

U

_PN

i

(E,r)

La présence d’un effet résistif (résistance r) dans la pile s’interprète comme une dissipation d’énergie électrique par effet Joule ; ce qui se traduit par une chute de tension quand la pile débite. Si c’était un générateur parfait, il n’y aurait pas d’effet Joule, et la tension serait égale à la force électromotrice, quelque soit l’intensité débitée.

2.c Modèle de Thévenin du générateur

Le modèle de Thévenin d’un générateur est un schéma équivalent de celui-ci, constitué d’un générateur de tension parfait de bornes (P,ν) et d’une résistance r.

Pour chacun des dipôles (P,N) ci-dessous, exprimons UPN en fonction de i.

II POINT DE FONCTIONNEMENT D’UN RESEAU ELEMENTAIRE U

_PN

i A

V R

P

N

E - r.i

E

UPN

P N

i _r

=

P N

U_PN i

(E,r)

=

E - r.i

ν r.i

1) Méthode graphique

Pour une résistance, tension et intensité sont proportionnelles, le coefficient directeur étant R. La caractéristique est donc une portion de droite passant par l’origine. On note au passage qu’une résistance est un dipôle linéaire. On trouvera donc le point de fonctionnement F du réseau en traçant les deux caractéristiques sur le même graphe. F n’est autre que le point d’intersection des deux courbes.

2) Cas d’un réseau linéaire

Une autre méthode, utilisable ici, consiste à linéariser la pile. Elle est alors caractérisée par sa force électromotrice E et sa résistance interne r.

Représentons le schéma équivalent du montage : Dans ces conditions, le réseau est linéaire (uniquement constitué de dipôles linéaires). La mise en équation se fait alors simplement :

Une loi des mailles nous donne :

r R i E

= + . On en déduit

r R U RE U_PN

= +

= .

Plus concrètement, les deux dipôles sont parcourus par un courant d’intensité r R

E

+ . Les tensions aux bornes de chacun d’eux sont égales à

r R

RE + ^.

III QUELQUES THEOREMES RELATIFS AUX RESEAUX LINEAIRES

Les réseaux linéaires se prêtent bien aux résolutions algébriques. Voici des théorèmes qui en simplifient l’étude.

1) Ponts diviseurs Enoncés

Pont diviseur de tension Pont diviseur de courant

Rn

u (t)_e

u (t)₁ R1

R₁ Rn

i₁ i i_n

∑

=

= _n

k k

e

R

R u u

1 1 1

∑

=

=

_n

k k

e

G

G i i

1 1 1

U

_PN

=U U

i

R P

N

U

i U

F

F

i

F

i

R P

N r

R.i r.i

E

Exemple de démonstration : le pont diviseur de courant

C’est un circuit électrique qui permet, au prix d’une perte de puissance, de diminuer la valeur d’une intensité.

∑ ∑

= =

 =









 



=

=

N

k k N

k

k G

G i i u

G i

u G i

1 1 1

1 1 1

: . Donc

. Si seule l’intensité traversant R1 est utile, les puissances absorbées par R2,…,Rn sont dissipées en pure perte.

2) Théorème de l’équivalence Thévenin-Norton

Ce théorème permet, par transformations successives, d’obtenir des schémas équivalents dont la forme est de plus en plus simple, facilitant ainsi l’analyse algébrique.

Quelques définitions

Un générateur de courant parfait (ou source de courant) est un générateur débitant la même intensité ηN dans tous les montages.

Le modèle de Norton d’un générateur est le schéma équivalent de celui-ci faisant intervenir une source de courant en parallèle avec une résistance :

Enoncé du théorème

Il s’agit de remplacer un générateur de Thévenin (eTh,RTh) par un générateur de Norton (ηN,RN)

Démonstration

D'après les fléchages: u = eTh – RTh.i (1) Loi d'Ohm:

N

R R

i =− u

Loi des nœuds: u R . R .i (2)

R

i u _{N N N}

N

N − ⇔ = −

=η η

Par identification de (1) et (2):

Les deux schémas sont équivalents si RTh = RN et eTh = RN.η^N

i

i

₁

R

₁

R

_k

R

_N

u

η

N

P N

η

N

r

N

Exemple

Déterminons le schéma équivalent de Thévenin et le schéma équivalent de Norton du réseau (M,N) ci-contre.

C'est-à-dire qu’on cherche en fonction de e et R, les expressions de eT et de RT

du schéma équivalent ci- contre.

En cours, nous montrerons que le réseau de bornes (M,N) est équivalent à un générateur de Thévenin de f.e.m.

2 e_T = e et de résistance RT = 2R.

Le générateur de Norton équivalent a pour courant électromoteur

R e

N =4

η et pour résistance RN = 2R.

3) Théorème de superposition

En physique, les modélisations les plus simples aboutissent en général à la manipulation de systèmes linéaires. Ce n’est que lorsque ces modèles s’avèrent trop simplistes qu’on prend en compte les effets non linéaires. Nous allons présenter le théorème de superposition, propre aux systèmes linéaires, dans le cadre de l’électricité, même s’il est peu utilisé dans ce domaine. Par contre, vous serez amené à le rencontrer souvent dans des domaines où il s’avèrera extrêmement important : électromagnétisme, physique ondulatoire, etc.

Etude préliminaire : annulation des sources

Quand on annule une source de tension, la tension à ses bornes s’annule. La source de tension se comporte comme un fil.

-Annuler une source de tension, c’est la remplacer par un fil

De même,

-Annuler une source de courant c’est la remplacer par un interrupteur ouvert

Moyen mnémotechnique: Pour annuler une source, on efface le cercle.

Enoncé du théorème de superposition :

Dans un réseau linéaire contenant plusieurs sources, l’intensité qui parcourt chaque dipôle, et la tension à leurs bornes, sont les sommes de ces grandeurs dues à chaque source, supposée seule.

Application du théorème de superposition: Le convertisseur numérique - analogique

Un convertisseur numérique - analogique (CNA) est un système qui convertit un signal binaire (type octet) en un signal analogique (signal électrique continument variable).

M

N e

2R

R

2R R_T

M

N e_T

Le schéma ci-dessous représente un montage possible de CNA.

Chaque interrupteur kk a 2 positions: kk en 0 (kk = 0): La source Ek n'est pas connectée.

kk en 1 (kk = 1): La source Ek est connectée.

Le schéma équivalent de l'association (interrupteur kk; source Ek) est donc une source de tension de f.e.m. kk.Ek (kk = 0:

f.e.m. nulle; la source n'est pas connectée. kk = 1: f.e.m. Ek; La source Ek est connectée).

La tension de sortie entre A et B, notée Uk1k2k3, dépend évidemment des positions des interrupteurs k1, k2, k3. On se propose de calculer Uk1k2k3 à l'aide du théorème de superposition.

3 étapes: On calcule U00k3 créée par k3.E3 seule.

On calcule U0k20 créée par k2.E2 seule.

On calcule Uk100 créée par k1.E1 seule.

Puis on applique le théorème de superposition: La tension Uk1k2k3 créée par les trois sources est la somme des trois tensions individuelles:

Uk1k2k3 = Uk100 + U0k20 + U00k3. 1^ère distribution : on annule k1E1, k2E2 ; on active k3E3. C'est-à-dire k1 = k2 = 0. Soit donc U00k3 à calculer.

En cours, nous montrerons que _{00 3} ^{3 3 3}₃³ 8 2

E k E U _k =k = 2R

E E E

2R 2R

R

2R R

1 0 1 0 1 0

k₁ k2

k₃

2 1 3

A

B Uk₁k₂k₃ 2R

E

k_{3 3} k_{2 2}E k₁E1

R

R A

B U_k

1k₂k₃

2R 2R 2R

LE CONVERTISSEUR NUMERIQUE - ANALOGIQUE SON SCHEMA EQUIVALENT

M

N

2R

k₃E₃

R

R A

B U_00k

3

2R 2R 2R

M

N

2^ème distribution : on annule k1E1, k3E3 ; on active k2E2

C'est-à-dire k1 = k3 = 0. Soit donc U0k20 à calculer. En cours, nous montrerons que

2 2 2 2 20 2

0 4 2

E k E

U _k = k =

3^ème distribution : on annule k2E2, k3E3 ; on active k1E1

C'est-à-dire k2 = k3 = 0. Soit donc Uk100 à calculer.

On trouve de même :

1 1 100 1

2 E U_k =k

On applique à présent le théorème de superposition : Uk1k2k3 = Uk100 + U0k20 + U00k3

3 3 3 2

2 2 1

1 3 1 2

1 2 2 2

E E k k E

U_{k k k} = k + +

Supposons que E1 = E2 = E3 = 8 V. On peut à présent déterminer les caractéristiques de ce CNA rudimentaire sur trois bits :

Le CNA est saturé quand tous les bits sont à 1.

8 8 4 8 2 8

111= + +

=U

U_sat . Donc Usat = 7 V. La tension de sortie du convertisseur ne dépassera jamais 7 V.

La résolution du CNA est la plus petite variation de tension observable en sortie. Elle correspond donc à la bascule du dernier bit k3. Elle vaut donc 1V

8

8= ; ce qui est bien sûr très mauvais. Un CNA fonctionnant sur 8 bits aurait une

résolution de 31mV 2

8

8 = .

2R

E k_{2 2}

R

R A

B U_{0k 0}

2

2R 2R 2R

2R

E k_{1 1} R

R ^A

B U_k100

2R 2R 2R