  D.M. DE MATHEMATIQUES (2)

D.M. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

I -Soit f une fonction définie pour tout x différent de 1 par : ^{f x=a x}

2b xc x−1 . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

1. Déterminer les réels a, b et c sachant que:

-La courbe C passe par le point de coordonnées−1;−6et2;0;

-La tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 est parallèle à cette droite d'équation ^y=−x. 2. Combien la courbe C possède-t-elle de tangentes parallèles à cette droite d'équation ^y=−x?

Donner leurs équations.

3. Justifier tous les renseignements fournis dans le tableau de variation de f.

4. a. Démontrer que ^{f x}peut s'écrire^x−4_x−²₁ .

b. Démontrer que la courbe admet deux droites asymptotes, dont une,oblique que l'on appellera D.

c. Étudier, selon les valeurs de x, la position relative C et D.

5. Démontrer que la courbe C admet le point ^I1;−3comme centre de symétrie.

II-Soitu_nla suite définie par^u0=1etu_n1=1

2u_n−3. 1. Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

2. Représenter graphiquement, à l'aide de la fonction f définie par ^f x=1

2x−3 les quatre premiers termes de cette suite.

3. Démontrer, par récurrence que pour toutn1, u_n= 1

2ⁿ−3





4. En déduire une expression simplifiée deu_n. .

III-Soit S_n=1×2⁰2×2¹3×2²4×2³⋯n×2ⁿ⁻¹(=

∑

k=1 n

k2^k−1). Démontrer par récurrence que, pour toutn1, on a : S_n=n−12ⁿ1