[ Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies \ 18 juin 2015 Antilles-Guyane

EXERCICE1 4 points

On s’intéresse, dans cet exercice, à l’évolution annuelle en France de la production primaire d’énergie par l’éolien entre 2002 et 2012.

Le tableau ci-dessous donne cette évolution en kilotonnes équivalent pétrole (ktep).

La « tonne équivalent pétrole », ou tep, est une unité de mesure de l’énergie correspondant au pouvoir calorifique d’une tonne de pétrole, c’est-à-dire à la quantité de chaleur dégagée par la combustion par le dioxygène d’une tonne de pétrole.

Année 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Rang de l’année :xi 2 4 6 8 10 12

Production d’énergie (ktep) :y_i 26 54 192 495 860 1 290

Source : INSEE

1. Complétons le tableau suivant en arrondissant les résultats à 10⁻²près :

Année 2002 2004 2006 2008 2010 2012

Rang de l’année :xi 2 4 6 8 10 12

zi=ln¡ yi

¢ 3,26 3,99 5,26 6,20 6,76 7,16

2. Le nuage de points de coordonnées (xi,zi) est représenté dans le plan muni d’un repère orthonormé page 7.On prendra1cm comme unité.

3. SoitGle point moyen du nuage, calculons les coordonnées deG. Les coordonnées de G sont (x;z)

xG=0+2+ · · · +10+12

6 =7 zG=3,26+3,99+ · · · +7,16

6 ≈5,4

G (7 ; 5,4) est placé sur le graphique précédent.

4. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droiteDd’ajustement dezenxpar la méthode des moindres carrés est :z=0,41x+2,56 (les coefficients sont arrondis à 10⁻²près).

5. Dans la suite de l’exercice, on prendra pourDl’équationz=0,41x+2,56. D est tracée dans le repère précédent.

6. Déterminons une expression deyen fonction dex.zi=lnyiest équivalent àyi=e^zi. y=e^0,41x+2,56=e^0,41x×e^2,56=12,94e^0,41x.

7. En utilisant la question précédente, à partir de quelle année la production annuelle en France d’énergie par l’éolien dépasserait-elle les 10 000 ktep? Pour ce faire, résolvonsy=10000.

12,94e^0,41x=10000 ; e^0,41x=10000

12,94 ; 0,41x=ln 772,798 ; x=ln772,798

0,41 ; x≈16,2. Il faut donc quex>17.

À partir de 2017 la production annuelle en France d’énergie par l’éolien dépasserait les 10 000 ktep.

EXERCICE2 6 points

Les autorités de santé d’une grande ville s’intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d’asthme.

En 2011, on a recensé environ 850 nouveaux cas.

À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente environ de 2,5 % par an.

On désire modéliser la situation par une suite (un) de premier termeu₀=850.

Ainsi,unmodélise le nombre de nouveaux cas en (2011+n).

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

1. Calculons le nombre de nouveaux cas en 2012 et en 2013.

À un taux d’évolution de 2,5 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,025.

u1=850×1,025≈871 ;u2=871×1,025≈893.

2. a. (un) est une suite géométrique de raison 1,025 puisque chaque élémentun+1se déduit du précédentunen le multipliant par le même nombre.

b. Le terme général d’une suite géométrique de premier termeu0et de raisonqest un=u0qⁿ, doncun=850×(1,025)ⁿ

c. Déterminons le nombre de nouveaux cas en 2020 c’est-à-dire pourn=9.

u9=850×(1,025)⁹≈1061.

Selon ce modèle, nous pouvons estimer le nombre de nouveaux cas en 2020 à environ 1 061.

3. Déterminons à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.

Pour ce faire, résolvonsun>1400.

850×(1,025)ⁿ>1400 ; (1,025)ⁿ>¹⁴⁰⁰

850 ; nln(1,025)>ln µ28

17

¶

; n>

ln µ28

17

¶

ln(1,025)

or ln

µ28 17

¶

ln(1,025)≈20,208.

Nous pouvons estimer qu’en 2032 (2011+21) le nombre de nouveaux cas dépassera les 1400.

4. On propose l’algorithme suivant : Variables : U,S,N Initialisation :

Affecter àUla valeur 850 Affecter àSla valeur U Affecter àNla valeur 0 Traitement :

Tant queS<6000

Affecter àUla valeurU×1,025 Affecter àSla valeurS+U Affecter àN la valeurN+1 Fin tant que

Sortie :

Afficher N

a. Sdans cet algorithme comptabilise la somme des nouveaux cas depuis 2011.

b. La valeur finale obtenue pourNavec cet algorithme est 6.

c. Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d’alerte est atteint pour 6 000 nou- veaux cas déclarés depuis 2011.

En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, détermi- nons l’année à partir de laquelle cela se produira. En utilisant le résultat obtenu par l’algorithme, nous pouvons estimer que le seuil sera atteint en 2017 (2011+6).

EXERCICE3 6 points

On considère la fonctionf définie surRpar : f(x)=¡

x²−1,5x¢ e^x+b,

oùbdésigne un nombre réel. SoitC sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan.

PARTIE A : détermination de la fonctionf

Supposons que la courbeC passe par le point A(0; 3).

1. f(0)=3.

2. En utilisant la question 1, déterminons la valeur du nombreb.f(0)=0×1+b=3.

Par conséquentb=3.

Dans toute la suite du problème, on admettra que pour tout réelx,f(x)=¡

x²−1,5x¢ e^x+3.

PARTIE B : étude de la fonctionf

1. a. Déterminons la limite de la fonctionf en+∞.

x→+∞lim f(x)= +∞ puisque lim

x→+∞x(x−1,5)= +∞et lim

x→+∞e^x= +∞.

b. Sachant que la limite de la fonctionf en−∞est 3, la courbe représentative def admet la droite d’équationy=3 comme asymptote au voisinage de−∞.

2. Montrons que la fonction dérivéef^′de la fonctionf est définie pour tout nombre réelxpar : f^′(x)=¡

x²+0,5x−1,5¢ e^x.

Pour toutx,f^′(x)=(2x−1,5)e^x+(x²−1,5x)e^x=(x²+0,5x−1,5)e^x. Nous obtenons bien ce qui était attendu.

3. a. Résolvons l’équationx²+0,5x−1,5=0 dansR.

∆=(0,5)²−4×1×(−1,5)=6,25=(2,5²).∆>0, le trinôme admet deux racines : x1=−b−p

b²−4ac

2a x2=−b+p

b²−4ac

2a . D’oùx1= −3

2 x2=1 et par suite x²+0,5x−1,5=

µ x+3

2

¶ (x−1).

b. Étudions le signe def^′surR.

Puisque pour toutx∈R, e^x>0, le signe def^′est celui dex²+0,5x−1,5.

x −∞ −³₂ 1 +∞

x+³₂ − 0 + +

x−1 − − 0 +

x²+0,5x−1,5 + 0 − 0 +

Pour toutx∈]− ∞;−³₂[∪]1 ;+∞[, f^′(x)>0 et pour toutx∈]−³₂; 1[, f^′(x)<0.

c. Dressons le tableau de variation de la fonctionf surR.

Si pour toutx∈I,f^′(x) 0 alorsf est strictement croissante surI.

Pour toutx∈]− ∞; −³₂[ ou pour toutx∈]1 ; +∞[, f^′(x)>0, par conséquent f est strictement croissante sur chacun de ces intervalles.

Si pour toutx∈I,f^′(x)<0 alors la fonctionf est strictement décroissante surI.

Pour toutx∈]−³₂; 1[, f^′(x)<0, par conséquentf est strictement décroissante sur cet intervalle.

x −∞ −³₂ 1 +∞

f^′(x) + 0 − 0 +

f ^≈4 +∞

3 ≈1,64

4. Déterminons l’équation de la tangenteTà la courbeCau point A d’abscisse 0.

L’équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisseaest y=f^′(a)(x−a)+f(a).f(0)=3 f^′(0)= −1,5.

Une équation de la tangenteT àC_f au point d’abscisse 0 esty= −1,5x+3.

5. a. le tableau de valeurs est complété ci-dessous.

x −5 −4 −3 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 f(x) 3,2 3,4 3,7 3,9 4,0 3,9 3,6 3 2,2 1,6 3 10,4

les résultats sont arrondis à10⁻¹près.

b. La courbeC et la tangenteTsont représentées dans le repère (O ; I ; J) page 5.On prendra comme unité1cm.

PARTIE C :

1. On considère la fonctionFdéfinie surRpar :F(x)=¡

x²−3,5x+3,5¢ e^x+3x.

Fest une primitive def surRlorsqueF^′=f. F^′(x)=(2x−3,5)e^x+(x²−3,5x+3,5)e^x+3=¡

x²−1,5x¢

e^x+3=f(x) Fest une primitive def surR

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Calculons l’aire du domaineD du plan délimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectivesx=0 etx=1.

Sur [0 ; 1], f >0 par conséquent l’aire du domaine délimité par la courbe l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=0 etx=1 est en unités d’aire

Z₁

0 f(x)dx.

Z₁

0 f(x)dx=

·

(x²−3,5x+3,5)e^x+3x

¸1 0=

³(1−3,5+3,5)e+3´

−¡

3,5e⁰+0¢

=e−0,5.

L’aire du domaine est e−0,5 cm²ou 2,2 cm²au dixième près.

EXERCICE4 4 points

Les probabilités seront arrondies à 10⁻³près.

Une usine pharmaceutique fabrique des comprimés. Elle est dotée d’un service « contrôle et qualité » qui est chargé de trier les comprimés et d’écarter ceux qui ont un défaut d’enrobage.

Lors d’un contrôle, ce service constate que 4 % des comprimés ont un défaut d’enrobage.

PARTIE A

Un technicien, responsable de la chaîne de fabrication, prélève un échantillon de 200 comprimés.

La production de comprimés est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléa- toire avec remise.

On désigne parXla variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 200 comprimés, associe le nombre de comprimés présen- tant un défaut d’enrobage.

1. La loi de probabilité deX est une loi binomiale car il s’agit de la répétition den séries in- dépendantes et identiques caractérisées par deux issues de probabilitép etq telles que p+q=1. Le nombren de prélèvements est 200 et la probabilité que le comprimé ait un défaut d’enrobage est 0,04. Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (200; 0,04) Par conséquentp(X=k)=¡₂₀₀

k

¢(0,04)^k(0,96)^200−k

2. Déterminons la probabilité de l’évènement A « L’échantillon contient exactement 3 compri- més présentant un défaut d’enrobage ».

À l’aide de la calculatricep(X=3)=0,027.

3. Déterminons la probabilité de l’évènement B « Le prélèvement contient au moins 3 compri- més présentant un défaut d’enrobage ».

p(B)=1−p(X6_{2)=1−0,012=0,988.}

PARTIE B

On décide d’approcher la variable aléatoireX donnant le nombre de comprimés présentant un défaut d’enrobage dans l’échantillon de 200 comprimés de la partie A par la variable aléatoireYqui suit la loi normale d’espéranceµet d’écart- typeσ.

1. µ=E(X)=np=200×0,04=8 etσ=p

np(1−p)=p

200×0,04×0,96=p

7,68≈2,77 (^valeur

arrondie à 10⁻²près).

2. À l’aide de la calculatriceP(Y 66)≈0,111.

PARTIE C

Le technicien estime que ce pourcentage de 4 % de comprimés présentant un défaut d’enrobage est trop élevé. Il décide alors de régler la machine pour abaisser ce taux à 0,8 %.

Après avoir terminé son réglage, le technicien fait un prélèvement de 700 comprimés.

1. Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des comprimés présentant un défaut d’enrobage dans cet échantillon de 700 comprimés (ar- rondir à 10⁻³).

L’intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquencef observée est :

· p−1,96

sp(1−p)

n ;p+1,96

sp(1−p) n

¸

·

0,008−1,96

r0,008(1−0,008)

700 ; 0,008+1,96

r0,008(1−0,008)

700 )

¸

≈£

0,001 ; 0,015¤

Parmi les 700 comprimés, le technicien trouve 10 comprimés présentant un défaut d’enro- bage.

2. La fréquence des comprimés présentant un défaut d’enrobage dans cet échantillon est : 10

700≈0,014.

3. Le technicien peut considérer son réglage efficace car la fréquence de comprimés présentant un défaut d’enrobage appartient à l’intervalle de fluctuation.

EXERCICE3 Partie B : 5. b.

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

(C)

O T

EXERCICE1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8

r r r r r r

rs

G

D z

rang de l’année