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(1)

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Mécanique du Solide

Année 2008

Mohammed Loulidi

Laboratoire de Magnétisme et

Physique des Hautes Energies

Département de Physique Faculté des Sciences

Université Mohammed V-Agdal

loulidi@fsr.ac.ma

(2)

Table des matières

Chap I : Compléments mathématiques

I- Espace vectoriel et champ de vecteurs 5

1- Espace vectoriel 5

2- Espace affine 5

3- Opérations sur les vecteurs 6

4- Champ de vecteurs 7

II- Torseurs 10

1- Définition 10

2- Propriétés des torseurs 11

3- Glisseur et couple 13

4- Décomposition d’un torseur 14

5- Classification des torseurs 15

6- Torseurs à structure 16

7- Equiprojectivité 16

Chap II : Cinématique des solides

I- Propriétés cinématique du solide 18

1- Définitions 18

2- Champ de vitesse d’un solide 20

3- Champ des accélérations 20

II- Mouvements d’un solide 20

1- Définitions 20

2- Rotation autour d’un axe fixe 21

3- Rotation d’un solide autour d’un point : Angles d’Euler 22

III- Changement de réferentiel 24

1- Dérivation composée 24

2- Composition des vitesses 25

3- Composition des accélérations 26

IV- Cinématique des solides en contact 26

1- Définition 26

2- Vitesse de glissement 27

3- Roulement et pivotement 28

V- Mouvement plan d’un solide 29

1- Définition 29

2- Centre instantané de rotation 29

VI- Paramétrage d’un solide : Liaisons 30

1- Paramètres primitifs 30

2- Liaisons 30

Chap III : Cinétique des Solides

I- Eléments d’inertie 33

1- Masse 33

(3)

3- Moments d’inertie 36 II- Théorèmes associés au calcul de la matrice d’inertie I(O,S) 40

1- Théorème I de Koeinig 40

2- Théorème de Hygens 40

3- Détermination pratique de la matrice d’inertie 41

III- Torseur cinétique 44

1- Définition 44

2- Propriétés 44

IV- Torseur dynamique 45

1- Définition 45

2- Propriétés 46

V- Energie cinétique 47

1- Définition 47

2- Propriétés 47

3- Conséquences 47

Chap IV: Principe fondamental de la dynamique Théorèmes généraux

I- Principe fondamental de la dynamique 49

1- Forces appliquées à un système : Torseur force 49

2- Enoncé du principe fondamental 50

3- Théorèmes généraux 50

II- Lois de Coulomb sur les frottements 54

1- Actions de contact 54

2- Lois sur le frottement solide : Lois de Coulomb 54

III- Applications 56

1- Disque vertical en mouvement sur un axe horizontal 56

2- Roue motrice 57

Chap V : Travail, puissance : Théorème de l’énergie cinétique

I- Travail et puissance des forces s’exerçant sur un système matériel 60

1- Définition de la puissance et du travail 60

2- Travail des forces intérieures 61

3- Travail des forces extérieures : Energies potentielles associées 62 4- Travail total des actions de contact entre solides 63

II- Théorèmes de l’énergie 65

1- Théorème de l’énergie cinétique 65

2- Théorème de l’énergie mécanique 67

III- Lois de conservation et intégrales premières 67

1- Conservation de l’énergie 67

2- Intégrale première du moment cinétique 68

(4)

ChapI

Compléments Mathématiques

(5)

I- Espace vectoriel et champ de vecteurs

1- Espace vectorie

l

1-1 Définition

On appelle espace vectoriel E sur un corps K, un ensemble d’éléments, appelés vecteurs, qui satisfait aux propriétés suivantes :

1- E est muni d’une structure de groupe commutatif pour une loi de composition interne, l’addition vectorielle notée +

2- Si λ et µ ∈ K, on a ∀ U et V ∈ E :

λ(U+V) = λU+λV (λ+µ)U=λU+µU λ(µU)=(λµ)U 1

.

U=U

1-2 Espace vectoriel Euclidien

Un espace vectoriel E est euclidien s’il est muni d’un produit scalaire f qui à deux vecteurs U et V de E fait correspondre le nombre réel f(U,V) :

f(U,V) = f(V,U) f(U,λV) = λ f(U,V) f(U,V+W) = f(U,V) + f(U,W)

f(U,U) > 0 si U≠0 et f(U,U) = 0 si U = 0 f(U,U) est le carré de la norme de U noté //U//.

1-3 base d’un espace vectoriel

On appelle base d’un espace vectoriel un ensemble de n vecteurs {e_i}de E, indépendants qui permettent de décomposer linéairement tout vecteur de E :

∑

=

= ⁿ

i xiei

U

1

Les coefficients xi sont les composantes de U dans la base considérée. La base est dite orthonormée si ∀i ,j e_i.e_j=δ_ij.

2- Espace affine 2-1 Définition

On appelle espace affine E un ensemble d’éléments, appelés points tel qu’à tout couple ordonné (A,B) de deux points A et B, on puisse associer un vecteur AB^→ d’un espace vectoriel E. Si A, B et C désignent trois points de E on doit avoir :

→

→ =−BA

AB AC^→ =AB^→ +BC^→

Si O est un point de E et V∈ r

E, ∃ un point unique A de E défini par V r OA^→ =

(6)

2-2 Espace métrique

Un espace métrique est un espace affine E auquel on a associé un espace vectoriel euclidien E. La distance entre deux points A et A' de E n’est autre que la norme du vecteur AA^→' :

∑

=

→

→ = − =ⁿ −

i xi xi ei

OA OA AA

1

' )

( '

' r

∑

=

→ = ⁿ −

i xi xi

AA

1 ' 2

2 ( )

//

' //

Dans l’espace affine physique à 3 dimensions, si les points sont infiniment voisins la norme est donnée par : //AA^→'//²=ds²=dx² +dy²+dz²

3- Opérations sur les vecteurs 3-1 Produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs . et .

1

∑

= =

=

= ⁿ

i i i n

i uiei V v e

Ur r r r

est défini par :

∧

=

∑

^// ^//^// ^//^cos( ^, ⁾

.

n 1 i

V U V

U v u V

U _i _i

r r r

r r

r

3-2 Produit vectoriel

Le produit vectoriel entre deux vecteurs U r

et V r

est un vecteur W r

perpendiculaire au plan formé par U V

r r

et noté : W U V r r r

∧

= et de norme

=// //// //sin( ∧ , ) //

W

// U V U V

r r r

r r

. Ces composantes dans la base {er_i

} sont données par : ⁼

∑

k

j ijk j k

i u v

w

,

ε avec

=0

εijk si au moins deux indices sont égaux et ε_ijk =−ε_ikj =−ε_jik=1 dans une permutation circulaire directe. Dans le cas d’un espace vectoriel à 3 dimensions ils s’écrivent :

3 2 2 1 3

3 1 1 3 2

2 3 3 2 1

v u v u w

−

=

−

=

−

=

W r

est un vecteur axial qui dépend de l’orientation de la base.

3-3 Produit mixte

U W V V U W W V U

r r r r r r r r r

).

( ).

( ∧ = ∧ = ∧

Il est invariant dans une rotation directe.

3-4 Double produit vectoriel

W V U V W U W V U

r r r r r r r r r

).

. ( ).

. ( )

( ∧ = −

∧

(7)

U r V r

X0

r

X

r U

λ r

π

P N P’ N’

(D) C’est un vecteur contenu dans le plan formé par V

r et W

r .

3-5 Division vectoriel Soient deux vecteurs U

r et V

r

non nuls. On se propose de déterminer l’ensemble des vecteurs X

r

solution de l’équation : U X V r r r∧ = X

r

est le résultat de la division vectorielle.

La solution de la division vectorielle n’est possible que si U r

est perpendiculaire à V r

puisque 0

) .(

.V=U U∧X =X U∧U = U

r r r r r r r r

. En conséquence les vecteurs U r

et X r

sont contenus dans le plan

π

perpendiculaire à V

r . Soit X₀

r

une solution particulière : U.X₀=0 r r

V X U

r r r

0=

∧

V U X U U

r r r r r

)

( ∧ ₀ = ∧

∧

V U X U U X U

r r r r r r r

) .

( ₀ − ² = ∧

0 U2 U X Vr

r r r

= ∧

On a







=

∧

=

∧

V X U

r r r

0

⇒ U∧(X−X₀)=0 r r r

⇒ X−X₀=λU (λ∈ℜ) r

r r

La solution générale s’écrit alors :

) ( U

U V

2 + ∈ℜ

= ∧ λU λ X

r r r r r

4- Champ de vecteurs

4-1 Vecteur lié et système de vecteurs liés : Glisseurs

Soit (P,N) un bipoint de l’espace affine E. La relation d’équipollence PN^→ =P^→' N' est une relation d’équivalence qui défini un vecteur V

r

de l’espace vectoriel E associé à E . Considérons la relation d’équivalence ℜ définie sur l’ensemble des bipoints par :

( P, N ) ℜ ( P’ , N’ ) ⇔ PN^→ =P^→' N' et P, N, P’, N’ sont alignés.

4-1-1 Définition

On appelle vecteur lié (glisseur) toute classe d’équivalence selon la relation ℜ. Le glisseur dont PN^→ est un représentant est donc défini par :

- un vecteur V r

de E.

- un point quelconque P de son support D.

Le glisseur est noté (P, V r

).

(8)

Le moment en un point A d’un vecteur lié (P, V r

) est un vecteur défini par : V

AP V M_A

r r

r )

( = ^→ ∧

Propriétés

- Le moment au point A d’un vecteur lié (P, V r

) est indépendant du point choisi, P, sur son support (D). En effet : soit Q un point appartenant au support (D) on a :

V AQ V QP AQ V AP V M_A

r r

r

) (

)

( = ^→ ∧ = ^→ + ^→ ∧ = ^→ ∧ (vue que QP V

r

→ //

)

Il en résulte que le nouveau système de vecteurs liés est obtenu en faisant glisser le vecteur V r

sur son support d’où la notion de glisseur.

- Relation entre les moments de deux points différents Soient A et B deux points de l’espace affine E,

V BP V AB V AP V M_A

r r

r )

( = ^→ ∧ = ^→ ∧ + ^→ ∧

d’où la relation

V AB V M V

M_A _B

r r

r r r

) ( )

( = + ^→ ∧

4-1-3 Moment d’un vecteur lié par rapport à un axe Le moment d’un vecteur lié (P, V

r) par rapport à un axe ∆ passant par A de vecteur unitaire er∆

est le produit scalaire

) ( )

(V e

.

M V

M _A

r r r

r

∆

∆ =

M_∆ est indépendant du point choisi sur ∆. Soient A et B deux points de ∆, le moment par rapport à ∆ est :

) ( . ) .(

) ( . ) (

.M V e M V e AB V e M V

e

M _A _B _B

r r r

r r r r r

r r r

∆

→

∆

∆= = + ∧ =

4-2 Système de vecteurs liés : ensemble de glisseurs 4-2-1 Ensemble fini de vecteurs liés

Soit un ensemble fini de glisseurs (P_i ,V_i ) r

(i = 1,2,…n). On appelle - résultante de l’ensemble fini de glisseurs la quantité :

∑

=

= ⁿ i Vi R

1 r r

- moment résultant au point A de l’ensemble des glisseurs :

∑

=

→ ∧

= ⁿ

i

A AP V

M

1 i

r r

Propriété :

1 i 1

1

i

∑ ∑

∑

=

→

=

→

=

→ ∧ = ∧ + ∧

= ⁿ

i

i n

i

i n

i

A AP V AB V BP V

M

r r

R AB M

M_A _B

r r

r

+ ∧

= ^→

(9)

P

dµ )

(P f r 4-2-2 Ensemble infini de glisseurs

Soit f(P) r

un vecteur défini en tout point P d’un domaine E (champ de vecteurs), relativement à la mesure dµ.. On associe à l’ensemble infini de glisseurs (P, f(P))

r - la résultante

∫

∈

=

E P

d P f

R ( ) µ r r

- le moment au point A ;

∫

∈

→ ∧

=

E P

A AP f P d

M ( ) µ

r r

.

En pratique f(P) r

peut désigner une densité de force linéique,

surfacique ou volumique. Elle peut aussi représenter un champ de vecteurs de vitesse ou d’accélération. dµ est une mesure soit de longueur, de surface ou de volume ou bien une mesure de masse.

Propriété

∫

∈

→

∈

→

∈

→

∈

→

∈

→ ∧ = ∧ + ∧ = ∧ + ∧

=

E P E

P E

P

A AP f P d AB f P d BP f P d AB f P d BP f P d

M ( ) µ ( ) µ ( ) µ ( ) µ ( ) µ

r r

R AB M

M_A _B

r r

r = + ^→ ∧

4-3 Champ de vecteurs antisymétrique 4-3-1 Champ de vecteurs

On appelle champ de vecteurs ou champ vectoriel toute application qui fait correspondre à tout point A de l’espace affine E, un vecteur ^→V d’un espace vectoriel E de même dimension que E .

Exemple : Champ de vitesse, champ d’accélération, champ de force, champ électrique, champ magnétique,…etc.

4-3-2 Champ antisymétrique Définitions :

i) Un champ vectoriel V^→(A)est antisymétrique s’il existe un vecteur ^→R tel que : ∀ A et B de l’espace affine E on a :

→

→A =V B +AB∧R V( ) ( )

On appèle ^→Rle vecteur du champ antisymétrique.

ii) Un champ vectorielV^→(A)est antisymétrique s’il existe une application linéaire £ antisymétrique définie de E sur E :

→

→(A)-V(B)=

£

(BA)

V .

On rappèle qu’une application linéaire est antisymétrique si ur.£(vr) -vr.£(ur)

= . Ses éléments sont donnés par L_uv ur.£(vr)

= . L’opérateur £ peut être représenté par

£

=^→^R∧^.

Etant une application linéaire, £ peut être représentée par une matrice antisymétrique qui s’écrit dans la base {er_i

}

(10)

















−

0 0 0

23 13

23 12

13 12

L L

En posant L₁₂ =−R₃, L₁₃ = R₂, L₂₃ =−R₁, on montre que er_i R er_i

→∧

= )

£( . En effet, nous avons

)

£(

) (

)

(

. .

.

_i _j _i _j _i _j

k

k e e

e i R i e R e i e

R i e L

ijkR ij jk jk jk jk

r r r r

r r r r r

r ε ε ε

ε

ε = =− =− ∧ = ∧

=

− .

On dit que £ est dual au 3-vecteur →

R . La connaisance de £ permet sa détermination explicite :

i R i e e R i R i e i e

e i R

i e i e e

i

r r r r r r

r r r

r r

r 2

i

] ) . ( ) . [(

i

) (

)

£(

3

1

∑ − =

∑ ∧ ∧ =

∑ ∧ =

=

Ce qui donne

∑ ∧

= i

) 2 £(

1

ei ei

Rr r r

4-3-3 Equiprojectivité

Un champ vectoriel ^→V est équiprojectif si et seulement si ∀ A et B de l’espace affine E on a : )

( . )

(

.V A AB V B AB^→ ^→ = ^→ ^→ AC = BD

Proposition

Tout champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement tout champ équiprojectif est antisymétrique.

Considérons un champ antisymétrique ^→V : ^→V(A)=^→V(B)+AB^→ ∧^→R On a AB^→ .V^→(A)=AB^→.(V^→(B)+AB^→ ∧^→R)= AB^→ .V^→(B).

Réciproquement si ^→V est un champ équiprojectif : AB^→ .V^→(A)= AB^→ .V^→(B) On a : AB^→ .(^→V(A)−V^→(B))=0

) ( ).

( ) ( ).

(OB^→−OA^→ V^→A = OB^→−OA^→ V^→B

)) ( ) ( ).(

( )) ( ) ( ).(

(OB^→−OA^→ V^→A −V^→O = OB^→−OA^→ V^→B −V^→O

→

V étant équiprojectif, alors OA^→.(^→V(A)−^→V(O))=0 et OB^→.(^→V(B)−^→V(O))=0 ce qui donne OB^→ .W^→(A)=−O^→A .W^→(B) avec W^→(A)=V^→(A)−V^→(O).

D C

) (B V→

) (A V

→

B A

(11)

En déduit que OA^→.W^→(A)=−OA^→.W^→(A)=0 ⇒ OA^→ ⊥W^→(A) et on peut écrire W^→(A)=^→R∧OA^→ Où ^→R est vecteur fixé. Il en résulte que : ^→V(A)=V^→(O)+^→R∧OA^→

II- Torseurs

Le torseur est un outil mathématique privilégié de la mécanique. Il lui permet une représentation condensée et simplifiée. Il sert à représenter le mouvement d’un solide, à caractériser une action mécanique(force) à formuler le principe fondamental de la dynamique(PDF) et à écrire la puissance d’une force extérieure appliquée à un solide.

1- Définition

On appelle un torseur

τ

, l’ensemble d’un champ antisymétrique M^→et de son vecteur ^→R . On le note

τ

=[^→R ,M^→]^.^M^→^et^→^R sont les éléments de réduction du torseur

τ

, le premier est son moment alors que le deuxième est sa résultante(son vecteur). Il s’écrit en un point P de l’espace affine E :

τ

=[^→R ,M^→(P)]^.

En général la connaissance de ^→R et de M^→ en un point particulier A de l’espace affine E détermine complètement le torseur en tout point P de l’espace E _:

→

→ P =M A +R∧ AP M( ) ( )

Remarque

Cette définition dépasse le cadre initial fixé par les théorèmes généraux, puisque, même en l’absence de système de vecteurs liés, on peut associer un torseur

τ

à un champ antisymétrique. Par exemple le torseur cinématique

τ

v n'est pas construit à partir d'un ensemble de vecteurs liés, mais à partir d'un champ antisymétrique de vitesse :

→

→(A)=V(B)+AB∧ω V

pour lequel le vecteur rotationω^r n’est pas un vecteur lié.

Exemples de torseurs

i) Torseur cinématique : c’est le torseur vitesse d’un solide S en mouvement dans E )]

/ ( , ) / ( [

(S/A) S A V S A

v

→

= →ω

τ

^.

ii) Torseur cinétique de S dans E: c(S/A) [P(S/A), (S/A)]

→

= → σ

τ

^.^→σ est appelé moment

cinétique du système S.

iii) Torseur force : torseur des actions agissantes sur S dans E F(S/A) [F(S/A) ,M(S/A)]

→

= →

τ

^.^M^→est le moment de la force ^→F au point A.

2- Propriétés des torseurs 2-1 Egalité de deux torseurs

Deux torseurs sont égaux si et seulement si leurs éléments de réduction sont égaux en tout point P de l’espace affine E.

(12)

τ

1 =

τ

2 ⇔









=

∈

∀

=

→

) ( ) (

; ₁ ₂

2 1

P M P M A P

R

R ⇔









=

∈

∃

=

→

) ( ) (

: ₁ ₂

2 1

Q M Q M A Q

R R

2-2 Somme de deux torseurs

La somme de deux torseurs

τ

1 et

τ

2 est un torseur

τ

:

τ

=

τ

1 +

τ

2 = [^→R₁ ,M^→₁]+[^→R₂, M^→₂]=[^→R₁+^→R₂, M^→₁+M^→₂] 2-3 Multiplication par un scalaire

Si

τ

est un torseur

τ

’ = λ

τ

⁼^[^λ^→^R^,^λ^M^→^] est aussi un torseur.

2-4 Torseur nul

Un torseur nul est un torseur dont les éléments de réduction sont nuls :

τ

= 0 ⇔ ^→R=0 et M^→=0 en tout point P de l’espace E .

En conclusion l’ensemble des torseurs est un espace vectoriel de dimension 6(3 composantes de ^→Ret 3 composante de M^→).

2-5 Dérivée d’un torseur

Soit une famille de torseurs

τ

t dépendants du temps t. les éléments de réduction de

τ

t au point P s’écrivent : τ_t =[^→R_t , M^→_t(P)]. La dérivée de

τ

t est définie par :

dt ] ) ( ,d

[ M P

dt R d dt

d _t ^→_t ^→_t τ =

2-6 Invariants d’un torseur

D’après la définition d’un torseur on peut lui associer deux invariants scalaires et un invariant vectoriel :

i) Invariants scalaires : ∀ P et Q de l’espace E on a : cst

Q M R P M

R ^→ =^→ ^→ = =

→

) ( . ) (

. µ

PQ^→ .M^→(P)=PQ^→ .M^→(Q)=cst ii) Invariant vectoriel

Il est défini par :

→

→=

= R cst R

P

I( ) r ₂

r µ

2-7 Axe d’un torseur 2-7-1 Définition

L’axe centrale

∆

d’un torseur

τ

⁼^[^→^R ^,^M^→^]est l’ensemble des points P tel que M^→(P)est colinéaire à ^→R : ∆={P / R∧M(P)=0}

r r

(13)

Considérons un torseur

τ

défini en un point A :

τ

⁼^[^→^R ^,^M^→⁽^A^)]^avec^→R ≠⁰. On décompose )

(A

M^→ suivant : → → →⊥

+

=M M A

M( ) _// tel que







=

∧

⊥ 0 0

.

//

R M

r r

Si P est un point qui appartient à ∆ on a :

On a alors

→

⊥

→ = + + ∧

∧ +

=

=M P M A R AP M M R AP

M_// ( ) ( ) _//

r r r r

r r

r

On obtient l’équation M AP R r r_⊥= ^→ ∧

qui par division vectorielle donne la solution : R R

M AP R

r r r r

//

//∧ ² +λ

= ^⊥

→

R R A M AP R

r r r r

//

) (

2 +λ

= ∧

→

Si on pose

//2

//

) ( R

A M AH R r

r r∧

→ =

, AP AH R λ r +

= ^→

→ . H étant un point qui appartient à l’axe ∆ tel

que : AH^→ ⊥au plan formé par ^→R et M^→(A). Donc l’axe central ∆ est une droite de même direction que ^→R et qui passe par le point H.

Remarques :

i) Si R I

P R M P

r r r

r

//

) //

(

, = 2 =

∆

∈ µ

c’est l’invariant vectoriel du torseur.

En effet : . ( )

//

. //

//

)) ) (

( //

//

)) ( ) (

( )

( 2 2 2

.

M A

R R R R

R A M A R

M R

A M R A R

M P M

r r

r r r

r r r r

r r r

− +

∧ = + ∧

= ^→ ^→

→

D’où le résultat.

ii) Le moment du torseur est le même en tout point de l’axe du torseur ∆ : )

( )

(

.

M H R M P R

r r r

r = , or M^→(H), M^→(P) et ^→R sont colinéaires donc M(H)=M(P). iii) La norme du moment d’un torseur en tout point de l’axe ∆ est minimale. En effet,

soient P∈∆ et A∉∆ ) ( )

(

.

^M ^A ^R ^M ^P

R

r r r

r =

//

) ( //

//

cos //

) ( //

//

//R MA R MP

r r r

r θ = ⇒ //M(P)// //M(A)//cos //M(A)//

r r

r = θ ≤

2-8 Comoment de deux torseurs

Soient

τ

1 et

τ

2 deux torseurs dont les éléments de réduction au point P de E :

τ

1 =[R₁ ,M^→₁(P)]

→

,

τ

2 =[R₂ ,M^→₂(P)]

→

Le comoment de

τ

1 et

τ

2 noté (

τ

1,

τ

2) est défini par le scalaire:

) ( )

(P R₁

.

M₂(P) R₂

.

M₁ P r r r

r +

ϕ =

P A

M//

r

M//

r

∆ r

H

) (P M

r R

r //

) ( )

(

.

M A R M P M(P) M

R

r r

r r r

r = ⇒ =

) (A M

r

(14)

Ce produit est indépendant du point P, c’est un invariant scalaire.

En effet : soient P et Q deux points de l’espace affine E.

) )

( ( ) )

( ( ) ( )

(^P ⁼^R^r₁

.

^M^r₂^(P)⁺^R^r₂

.

^M^r₁ ^P ⁼^R^r₁

.

^M^r₂ ^Q ⁺^R^r₂ ^∧^QP^→ ⁺^R^r₂

.

^M^r₁ ^Q ⁺^R^r₁ ^∧^QP^→

ϕ

or R₁

.

(R₂ ^∧QP^→)⁼⁻R₂

.

(R₁ ^∧QP^→) r

r r

r

d’où ϕ(P)=ϕ(Q). Exemples

1- Energie cinétique T(S/ E) : ²^T⁽^S^/^A⁾⁼⁽

τ

v^,

τ

c⁾⁼^v^r

.

^r^p⁺σ^r

.

ω^r 2- Puissance des forces P(S/ _E_{) :}^P⁽^S^/^A⁾=⁽

τ

v^,

τ

_F⁾=^v^r

.

^F^r+^M^r

.

ω^r 3- Glisseurs et couples

3-1 Glisseur 3-1-1 Définition

Un glisseur est un torseur associé à un vecteur lié (A,R) r

de champ antisymétrique R

PA P M_A

r r

)

( = ^→ ∧ . Le champ ainsi défini est le moment du torseur de vecteur ^→R . On note le glisseur par :

τ

Α =[^→R ,M^→_A(P)]= gA.

Exemple :

Le moment cinétique d’un point matériel en mouvement de rotation dans un repère R est un glisseur dont le torseur associé au vecteur impulsion(O,pr)

est

τ

Ο=[pr mvr, r_O(P) OP mvr]

∧

=

= σ ^→

3-1-2 Propriétés i) Support de gA.

Soit un glisseur gA de vecteur ^→R≠0et de moment M_AP PA R r r

)

( = ^→ ∧ , on appelle support de gA

l’ensemble des points P ∈ E de moment nul : Supp gA = {P :M_A(P)=PA^→ ∧R=0 r r

}. C’est la droite passant par le point A et engendrée par ^→R .

ii) Condition nécessaire et suffisante(CNS) pour qu’un torseur soit un glisseur - si ∃P ∈ E : le moment M(P)

r

du torseur est nul ; i.e M(P)=0 r

, ce torseur est un glisseur.

- Si un torseur de vecteur ^→R a un moment nul en A, ce torseur est le glisseur associé au vecteur lié (A,R)

r .

- Etant donné un point P ∈ E, ^→R et M(P) r

deux vecteurs perpendiculaires, il existe un glisseur et un seul ayant ^→R pour vecteur et M(P)

r

pour moment au point P:

g=[^→R ,M^→(P)]

Remarques r r

(15)

ii) Le sous ensemble de glisseurs non nuls dont le support passe par un point A donné, et du glisseur nul est un sous espace vectoriel à 3-dimensions de l’espace vectoriel des torseurs. Seule la donnée de ^→R=(R_x,R_y,R_z)permet de déterminer le torseur glisseur.

3-2 Couples

Un torseur est un couple si et seulement si il possède l’une ou l’autre des propriétés équivalentes suivantes :

1- ^→R=0 2- M=cst^→

r Remarque

L’ensemble des couples est un sous espace vectoriel de dimension 3 de l’espace vectoriel des torseurs. Seule la donnée de Mr=(M_x,M_y,M_z)

permet de déterminer le torseur glisseur.

4- Décomposition d’un torseur

4-1 Décomposition d’un torseur en un couple et un glisseur Tout torseur d’éléments de réduction (A,R)

r

et M(P) r

définis en un point P de l’espace affine E peut s’écrire sous la forme :

τ

⁼^[^→^R ^,^M^→⁽^P^)]⁼^[^→^R ^,⁰^]⁺^[⁰^,^M^→⁽^P^)]

= g_A + C

où g_A est un glisseur dont le support ∆ passe par A et il est parallèle à ^→Ret C un couple ayant pour moment M(A)

r .

Cette décomposition qui est unique montre que l’espace vectoriel des torseurs est la somme directe du sous espace vectoriel des couples et des glisseurs non nuls de support

) , (AR

r

augmenté du glisseur nul.

Si g_A // C (^→R//M(P) r

), alors l’ensemble des points P n’est autre que l’axe central ∆ du torseur

τ

^.

4-2 Décomposition d’un torseur en deux glisseurs

Tout torseur

τ =

^[^→^R ^,^M^→⁽^A^)] peut être décomposé en deux glisseurs définis en deux points différents. En effet :

Supposons qu’il existe un vecteur V r

: M A AP V r r

)

( = ^→ ∧

Le moment au point P peut s’écrire:

0 )

( )

(P =MA +PA^→ ∧V= M

r r

r

τ

⁼^[^→^R ^,^M^→⁽^A^)]⁼^[^→^R ^,⁰^]⁺^[⁰^,^M^→⁽^A^)]

=[R-V ,0]_A r r

+ [V^→ ,M^→(A)]_A

A V

r

P ) (A M R r

r

V

−r V

R r r−

(16)

τ

⁼^[^R^r^-^V^r ^,⁰^]_A⁺[V ,0]P

r

R-V ,0]A

[ r r

est associé au glisseur (A,R V) r

r− tandis que le torseur [V ,0]_P r

est associé au glisseur (P ,V)

r .

5- Classification des torseurs

La classification des torseurs se fait en fonction de l’invariant scalaire µ(^P)⁼^R^r

.

^M^r(^P) 5-1 µ(P) = 0

Pour ce cas où l’invariant scalaire est nul 4 cas se présentent : i) ^→R = M^→= 0 ⇔

τ

= torseur nul

ii) ^→R = 0 et M^→≠0⇔

τ

= C = torseur couple

Vue que tout torseur peut être décomposé en deux glisseurs, le couple C peut être décomposé en deux glisseurs parallèles, de même norme et de sens opposés :

C = [0 ,M^→(A)]= [V 0]_P r

+ [-V ,0]_A r

avec M A AP V r r

)

( = ^→ ∧

iii) ^→R ≠0 ; M(A)=0

r ⇔

τ

⁼^gA ; i.e torseur glisseur avec A ∈ ∆ , axe du glisseur.

iv) ^→R ≠0 ; M(A)≠0 r

Vue que µ ⁼^R^r

.

^M^r(^P)⁼0, alors

τ

est un glisseur.

Si B ∈ ∆ alors M(B)=0 r

et par conséquent M A M B AB R AB R r r

r r

) ( )

( = + ^→ ∧ = ^→ ∧ ⇒

R A M

r r( )⊥ .

5-2 µ(P)≠0

Le torseur

τ

n’est ni un couple ni un glisseur. Cependant il peut être décomposé en une somme d’un couple et d’un glisseur tous deux différents du torseur nul :

τ

⁼^gA + C ∀ A ∈ E_. 6- Torseurs à structure

Un torseur à structure est un torseur défini en tout point P d’un domaine D relativement à une mesure dµ. Ses éléments de réduction sont définis par :

τ

F =













∫ ∫

∧

∈

→

∈D P D P

d P F AP d

P

F( ) µ ; ( ) µ r r

Propriété

Soit

τ

un torseur quelconque défini au point A :

τ

⁼^[^→^R ^,^M^→⁽^A^)], son comoment avec le torseur à structure est :

( τ

F

, τ )

=

∫

∈

→

→R

.

AP∧F^r(P)dµ⁺

∫

∈

→

d P F A

M( )

.

^r( ) µ

(17)

=

∫

∈

→

→ ∧

D P

d P F AP

R

.

^r( ) µ⁺

∫

∈

→

→ + ∧ D

P

d P F R PA P

M( ) ) ( ) µ

(

.

^r

=

∫

∈

→ D P

d P F P

M( )

.

^r( ) µ

7- Equiprojectivité

Le champ des moments d’un torseur est équiprojectif. En effet on a : )

( )

(A MB AB R

M

r r

r = + ^→ ∧ ⇒ ^AB^→

.

^M^→(^A)⁼^AB^→

.

^M^→(^B)

(18)

ChapII

Cinématique du solide

(19)

La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les produisent. Elle s’appuie uniquement sur les notions d’espace et du temps.

I- Propriétés cinématiques du solide

1- Définitions

Un solide indéformable S est un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps. Mathématiquement on peut le définir comme un domaine (S) de l’espace affine euclidien E tel que : ∀P ,Q∈S //PQ^→//=cst

L’ensemble d’un repère d’espace muni d’un repère de temps constituent un référentiel.

Dans le cadre de la cinématique classique on suppose que les référentiels sont munis de la même horloge (synchronisation) donc un temps universel absolu.

Dans l’étude de la cinématique d’un solide (S) en mouvement dans E on utilise en général 3 types de repères :

i- Repère absolu

C’est le repère du laboratoire qui sera noté ℜℜℜℜ_s:(O,i,j,k) r r r ii- Repère lié au solide S :

C’est un repère noté ℜℜℜℜs:(O_s;i_s, j_s,k_s) r r r

dont la base orthonormée directe de l’espace vectoriel E, (i_s, j_s,k_s)

r r r

, engendre les orientations de (S) lors de son mouvement dans ℜℜℜℜ. iii- Repères intermédiaires

Il sont des repères très utiles dans l’étude des mouvements complexes (composés) des solides dans ℜℜℜℜ. Ils seront notés par ℜℜℜℜ_i:( )

i i i i;i , j ,k O

r r r

2- Champ de vitesse d’un solide

Soit (S) un solide en mouvement dans l’espace E et soit P(t) un point quelconque de (S)

) t ( P O OO ) t (

OP _s _s

→

→ →

+

=

2-1 Définition On appelle V_t (S/ℜℜℜℜ)

r

, le champ des vitesses de S/ℜℜℜℜ à l’instant t le champ qui pour tout point )

( ) (t ∈ S

P , on associe le vecteur vitesse de ce point matériel :

ℜ

→

= ℜ

∈

→

∈

ℜ dt

OP P d

V S P

V_t (S/ ): ( ) ( S/ ) r

r

2-2 Propriétés du champ de vitesse 2-2-1 Champ de vitesse antisymétrique

Soient P(t) et Q(t) deux points de (S) en mouvement / ℜℜℜℜ //P(t)Q(t)//²= cste

P ks

r

js r is

r O

k r

j i r r

Os

S

(20)

0 ] [

) (

2PQ^→^→^→^→ t

.

V(Q∈∈∈∈S/ℜℜℜℜ)−−−−V(P∈∈∈∈S/ℜℜℜℜ) ====

r r

vue que V(P∈(S)/ℜ)≠0 r

et V(Q∈(S)/ℜ)≠0 r

, on obtient

) / S P ( V t PQ ) / S Q ( V t

PQ^→ r ∈ ℜ = ^→ r ∈ ℜ

.

⁽⁾

) ( Le champ de vitesse V_t (S/ℜℜℜℜ)

r

d’un solide est un champ équiprojectif donc antisymétrique.

2-2-2 Torseur cinématique(torseur de vitesse) )

/ ( V_t S ℜℜℜℜ

r

étant un champ antisymétrique, alors ∀P,Q∈(S)∃ à tout instant t un vecteur ω^r_t(S/ℜ):

)

( ℜ

∧

= ℜ

∈

− ℜ

∈S/ ) V(P S/ ) PQ^→ S/ Q

(

V^r ^r ω^r_t

On note alors le torseur cinématique par :

)]

( ) (

[ ℜ

= S/R ,V S/ v

r r

τ

ω dont les éléments de réduction sont :

) (S/ℜ

ω^r : la résultante de

τ

v. C’est la vitesse instantanée de rotation du solide S/ℜℜℜℜ )

/ ( V S ℜ

r

: le moment de

τ

v

La loi de transformation des moments d’un torseur permet d’obtenir la vitesse en tout point )

(S

∈

P en fonction des éléments de réduction du torseur

τ

v en un point particulier : )

( V^r(P∈S/ℜ)=V^r(Q∈S/ℜ)+PQ^→ ∧ω^r S/ℜ 2-3 Axe du torseur cinématique

τ

v

Si le vecteur ω^r(S/ℜ)≠0, l’axe du torseur

τ

v est l’ensemble des points P∈∆, axe centrale du torseur, appelé aussi axe de viration ou axe instantané de rotation et de glissement dans le mouvement de ℜℜℜℜs/ℜℜℜℜ tel que ω^r(S/ℜ)//V(S/ℜ)

r

on a )

(P/

V /

P∈∆ ℜ = ℜ

∀ r r

) (

ω S α

∧ → ℜ +

ℜ

= ℜ

∈ / ) V(P/ ) V(P/ ) PQ (Q

V

r r

r S α

On constate que à tout instant t le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de translation, le long de l’axe instantané de rotation, de vitesse V(P∈∆)

r

et d’une rotation instantanée, autour de l’axe instantané de rotation ∆, de vitesse angulaire ω^r(S/ℜ). L’axe du torseur

τ

v n’est autre que l’axe de rotation instantanée de S/ℜℜℜℜ. Alors la vitesse des pointsP∈∆ est minimale.

L’axe central est défini par :











 + ℜ

ℜ ℜ

∧

= ℜ

=

∆

→

) ) (

(

) ( ) (

2 /

/ / O V P /

O /

P _s ^s S

S

S λω

ω

ω ^r

r r r

→

∧ ℜ +

=V O / O P

P

V( ) ( _s) ( ) _s

^r ^r ω^r S

) O ( / V /

/ O ) V

O (

V^r _s ^r

.

_r^r ^s ^r _r ^r

.

^r ^r _s

) ( )

( ) (

2

2 − ℜ

ℜ + ℜ

= S ω ωωSω

ω ω

(21)

) ) (

( ) ) (

( 2 ℜ

= ℜ

∆

∈ /

/ P O

V ^s S

S ω

ω

µ ^r

r r

avec µ(O_s)=ω^r(^S/ℜ)

.

V^r(O_s/ℜ) Si µ = 0 on a axe de rotation.

Si µ ≠ 0 on a axe de viration 3- Champ des accélérations

Par dérivation de la relation d’antisymétrie du champ de vitesse

∧ →

ℜ +

=VA / AM M

V( ) ( ) ( )

^r ^r ω^r S

on obtient le champ d’accélération dans un solide :

) )

( ( ) ) (

) ( (

) (

∈ ℜ = ∈ ℜ + ℜ /_ℜ∧ AM^→ + /ℜ ∧ /ℜ ∧AM^→

dt / / d

A /

M S S S

S

S γ ω ω ω

γ ^r ^r

r r r

Le champ d’accélération γ^r_t(S/ℜ) n’est pas un champ antisymétrique.

II- Mouvements d’un solide

1- Définition

On distingue en général différents types de mouvements d’un solide (S) /ℜℜℜℜ : i- Mouvement de translation

ii- Mouvement de rotation autour d’un axe ou d’un point

iii- Une composée d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation.

Considérons deux points A et B d’un solide (S) en mouvement par raport à un repére ℜℜℜℜ dans l’espace affine E. Ces deux points effectuent deux trajectoires différentes

ur

est le vecteur unitaire qui engendre les orientations de la droite AB au cours du temps.

→

→ →

∧ ℜ

=

−

=

= V B V A / AB

dt u // d AB dt //

AB

d ^r ^r( ) ^r( ) ω^r(S ) Différentes situations sont possibles : i- si ur(t)=cst^→

, alors V(A∈S/ℜ)=V(B∈S/ℜ) r

r

on dit que (S) effectue un mouvement de translation. Dans ce cas ω^r(S/ℜ) =0et

τ

v est un couple de moment

) / (M ℜ V

r

(µ(P∈S)=0) ii- si ur(t)≠cst^→

et µ(P) =0

a- si ω^r(S/ℜ)≠0, alors ( /ℜ)

.

V(P)=0 r r

ω S vue que µ(P)=0.

τ

v est donc un torseur glisseur dont les points situés sur l’axe centrale du torseur ont une

O i r

A A

B B j

r k

r

ℜ ℜℜ ℜ

S(t1)

S(t₂)

(22)

erz vitesse nulle (∀P∈∆ V(P)=0

r

). On a un mouvement de rotation de (S) autour de ∆. Deux cas se présentent :

α) r( /ℜ)//er_∆ ω S (er_∆

est un vecteur unitaire porté par l’axe ∆). Si ∃ Os : =0

) O ( V _s

r

alors ( ∈∆)= ( )+ ( ℜ)∧ =0

→

P O /

O V P

V^r ^r _s ω^r S _s . Donc

0 ) ( =

∆

∈

∀P V P r

. b) si r( /ℜ)⊥Vr(M/ℜ)

ω S , alors (S) est animé d’un mouvement "plan sur plan".

b- Si ∃ O_s ∈ (S) : ∀ t V(O_s) =0 r

, alors (S) effectue un mouvement de rotation autour du point Os :

→

∧ ℜ

=

∈ / O P

P

V( ) ( ) _s

^r S ω^r S

iii- si ur(t)≠cst^→

et ∄ aucun point de (S) fixe dans ℜℜℜ, alors le mouvement de (S) est la ℜ composée d’une translation et d’une rotation.

2- Rotation autour d’un axe fixe 2-1 Définition

Le mouvement d’un solide dans l’espace affine E est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si ∃ deux points matériels distincts de (S) qui soient fixes dans E. Si A et B sont deux points de (S) fixes dans E,

il en résulte que tous les points sur la droite AB restent fixes. C’est l’axe de rotation de (S)/ℜℜℜ noté ∆. ℜ si on prend //er_z

∆ , ∀P∈∆ V(P)=0 r

et ∀M∈(S) V^r(M)=ω^r(S/ℜ)∧OM^→ car V(O) =0 r

ϕ ρ

ϕ . e HM//e OM

. e ) M (

Vr r_z _→ r_z _→ r

∧

=

∧

=

∈S //

ϕ. HM// eϕ )

M (

Vr r

// ^→

=

∈S

Les points matériels M effectuent un mouvement de rotation circulaire autour de l’axe Oz et de rayon //HM^→ //=ρ.

2-2 Propriétés

i- Le torseur

τ

v est un glisseur d’axe Oz :

τ

v = g₀= [. e ,0] z

ϕ r

ii- γ^r(M∈S/ℜ)=ρϕ^..e^r_ϕ −ρϕ^. ²e^r_ρ =γ^r_t +γ^r_n iii- si . cste

ϕ = , le mouvement de rotation est uniforme.

2-3 Mouvement hélicoïdal simple 2-3-1 Définition

Un mouvement hélicoïdal simple est une combinaison d’un mouvement de translation rectiligne et d’un mouvement de rotation autour d’un axe parallèle à la direction de translation.

Considérons une translation parallèle à l’axe oz ≡ ∆ (axe de rotation de (S)/ℜℜℜℜ). Soit A un point ∈(S) sur oz

→ r

ϕ m H

O

erϕ

y x

z

M

erρ