MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES Probabilités

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MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES Probabilités

Master Génie des Systèmes Industriels, mentions ACCIE et RIM Université du Littoral - Côte d’Opale, La Citadelle

Laurent SMOCH (smoch@lmpa.univ-littoral.fr)

Septembre 2012

Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville Université du Littoral, zone universitaire de la Mi-Voix, bâtiment H. Poincarré

50, rue F. Buisson, BP 699, F-62228 Calais cedex

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Table des matières

1 Le dénombrement 1

1.1 Notations . . . 1

1.1.1 Préliminaires . . . 1

1.1.2 Ensemble produit . . . 1

1.1.3 Notation factorielle . . . 2

1.2 Le dénombrement . . . 2

1.2.1 Ensemble produit . . . 2

1.2.2 Nombre d’applications d’un ensemble E de cardinalp dans un ensembleF de cardinal n 2 1.2.3 Parties d’un ensemble et cardinaux . . . 4

1.2.4 Arrangements . . . 5

1.2.5 Permutations . . . 5

1.2.6 Combinaisons . . . 6

1.2.7 Combinaisons avec répétition . . . 7

1.2.8 Modèle fondamental : schéma d’urne . . . 7

1.3 Exercices . . . 8

2 La probabilité 13 2.1 Le vocabulaire . . . 13

2.1.1 Expérience aléatoire et univers . . . 13

2.1.2 Evénements . . . 13

2.1.3 Propriétés de P(Ω) . . . 13

2.1.4 Opérations sur les événements . . . 14

2.2 Probabilité . . . 14

2.2.1 Axiome de probabilité . . . 14

2.2.2 Conséquences . . . 15

2.3 Ensembles probabilisés . . . 15

2.3.1 Ensembles finis probabilisés . . . 15

2.3.2 Ensembles infinis dénombrables probabilisés . . . 16

2.4 Probabilité conditionnelle . . . 17

2.4.1 Définition . . . 17

2.4.2 Exemple . . . 18

2.4.3 Indépendance en probabilité . . . 18

2.4.4 La formule de Bayes . . . 19

3 Les variables aléatoires réelles 23 3.1 Introduction - Exemple . . . 23

3.2 Définitions et propriétés . . . 24

3.3 Types de variables aléatoires réelles . . . 25

3.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète . . . 26

3.4.2 Représentation graphique - Exemple . . . 26 I

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II TABLE DES MATIÈRES

3.4.3 Représentation graphique - Cas général . . . 28

3.5 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue - Densité de probabilité . . . 29

3.5.2 Interprétation graphique . . . 29

3.5.3 Propriétés de la fonction de répartition . . . 30

3.5.4 Exemple . . . 30

3.6 Moments d’une variable aléatoire . . . 31

3.6.1 Espérance mathématique . . . 31

3.6.2 Variable centrée . . . 32

3.6.3 Moments d’ordre k . . . 32

3.6.4 Moments centrés d’ordre k. . . 32

3.6.5 Variance et écart-type . . . 32

3.6.6 Moments factoriels . . . 34

4 Lois de probabilités discrètes usuelles 41 4.1 Loi et variable de Bernoulli . . . 41

4.1.2 Moments . . . 41

4.2 Loi et variable binomiales . . . 42

4.2.2 Moments . . . 42

4.2.3 Somme de deux variables binomiales indépendantes . . . 43

4.2.4 Loi et variable fréquences . . . 43

4.3 Loi et variable multinomiales . . . 44

4.3.1 Exemple . . . 44

4.3.2 Loi trinomiale . . . 44

4.3.3 Loi multinomiale . . . 45

4.4 Loi et variables hypergéométriques . . . 45

4.4.2 Les moments . . . 46

4.4.3 Limite d’une variable hypergéométrique . . . 46

4.5 Loi et variable de Poisson . . . 46

4.5.2 Les moments . . . 47

4.5.3 Somme de deux variables de Poisson indépendantes . . . 48

4.5.4 Limite d’une variable binomiale . . . 48

4.6 Loi et variable géométriques . . . 48

4.6.2 Moments . . . 49

5 Lois de probabilités continues usuelles 55 5.1 Loi et variable uniformes . . . 55

5.1.2 Fonction de répartition . . . 55

5.1.3 Moments . . . 56

5.2 La loi exponentielle . . . 57

5.2.3 Les moments . . . 57

5.3 La loi de Laplace-Gauss ou loi normale . . . 58

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TABLE DES MATIÈRES III

5.3.2 Représentation graphique . . . 58

5.3.3 Les moments . . . 59

5.3.4 Variable normale centrée réduite . . . 59

5.3.6 Table de l’écart réduit . . . 62

5.3.7 Exemples . . . 63

5.3.8 Remarques . . . 64

5.3.9 Relation entre la fonction de répartition et la densité de probabilité des loi normale et loi normale centrée réduite . . . 64

5.3.10 Propriétés . . . 64

5.3.11 Somme de deux variables normales indépendantes . . . 64

5.3.12 Approximation d’une loi binomiale par une loi normale . . . 65

5.3.13 Résumé sur les approximations de lois . . . 66

5.4 Loi et variable du χ² (Khi-deux) de Pearson . . . 66

5.4.1 La distribution du χ² . . . 66

5.4.2 Les données du problème . . . 67

5.4.3 Ajustement d’une distribution observée à une distribution théorique . . . 67

5.5 Loi de Student-Fischer . . . 73

5.5.2 Les courbes . . . 74

5.5.3 Les moments . . . 74

5.5.4 Les tables . . . 74

5.6 Loi de Fischer-Snedecor . . . 75

5.6.2 Les courbes . . . 76

5.6.3 Les moments . . . 76

5.6.4 Les tables . . . 77

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IV TABLE DES MATIÈRES

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Chapitre 1

Le dénombrement

1.1 Notations

1.1.1 Préliminaires

• Soit E un ensemble fini, le cardinalde E, notéCard(E) ou |E|, désigne le nombre de ses éléments.

• P(E) désigne l’ensemble des partiesde E (y compris l’ensemble E lui-même et l’ensemble vide noté

∅).

Exemple 1.1.1 Si on se donne E ={0,1,2}, l’ensemble des parties de E est donné par P(E) ={∅;{0};{1};{2};{0,1};{0,2};{1,2};E}

• Soient AetB deux parties deE alors

• A∩B ={x∈E/x∈A etx∈B} définit l’intersectionde A et deB,

• A∪B ={x∈E/x∈A ou x∈B} définit la réunionde Aet de B,

• A={x∈E/x /∈A} définit le complémentairede A dansE,

• A−B ={x∈E/x∈A etx /∈B}=A∩B définit “A privé deB” (on écrit égalementA/B),

• A4B = (A−B)∪(B−A) = (A∩B)∪(A∩B)définit la différence symétriquede A et de B.

On a par conséquent A4B ={x∈E/(x∈Aetx /∈B) ou(x /∈A etx∈B)}.

Exemple 1.1.2 Si on se donne les ensembles E ={0,1,2,3,4,5,6},A={0,1,2},B ={2,3,4} alors

• A∩B ={2},

• A∪B ={0,1,2,3,4},

• A={3,4,5,6},

• B={0,1,5,6},

• A−B =A∩B ={0,1},

• B−A=B∩A={3,4},

• A4B ={0,1,3,4}.

1.1.2 Ensemble produit

Soient deux ensembles finis E etF.

1. On appelleensemble produit ou produit cartésiendeE parF, l’ensemble noté E×F ={(x, y)/x∈E, y∈F}

Exemple 1.1.3 Soient les ensemblesE ={0,1,2} etF ={a, b}. On a alors E×F ={(0, a); (0, b); (1, a); (1, b); (2, a); (2, b)}.

1

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2 CHAPITRE 1. LE DÉNOMBREMENT

2. E² est le produit cartésien deE.

E² ={(x, y)/x∈E, y∈E}

Dans l’exemple précédent, on a E² ={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}et F² ={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

3. On peut généraliser la définition du produit cartésien. Soientp ensembles finisE₁,E₂,. . .,E_p alors E₁×E₂×. . .×E_p ={(x₁, x₂, . . . , x_p)/x₁ ∈E₁, x₂∈E₂, . . . , x_p∈E_p}

1.1.3 Notation factorielle

Soitn un entier naturel non nul (n∈N^∗), on définit n! = 1×2×3×. . .×n qui se lit “factoriellen”.

Exemple 1.1.4 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Par convention, on pose 0! = 1.

Exercice 1 Simplifieza= n!

(n−1)! n∈N^∗, b= n!

(n−2)! avec n∈N− {0; 1}.

Exercice 2 Écrire à l’aide de deux factorielles le produit5×6×7×8.

1.2 Le dénombrement

1.2.1 Ensemble produit

1. Soient deux ensembles finisE etF de cardinaux respectifsnetp. Le cardinal du produit cartésien de E parF est donné par

Card(E×F) =Card(E)×Card(F)

En effet,E×F ={(x, y)/x∈E, y ∈F}. Commexety peuvent prendre respectivementnetpvaleurs, il y an×p couples(x, y)possibles.

Exemple 1.2.1 Soient les ensemblesE ={0,1,2} etF ={a, b}. On a Card(E×F) = 3×2 = 6.

2. LorsqueF =E,

Card(E²) =Card(E×E) =Card(E)×Card(E) = (Card(E))²

Exemple 1.2.2 Dans l’exemple précédent, on a Card(E²) = 3² = 9 et Card(F²) = 2²= 4.

3. On peut généraliser la définition du cardinal. Soientpensembles finisE₁,E₂,. . .,E_p alors Card(E₁×E₂×. . .×E_p) =Card(E₁)×Card(E₂)×. . .×Card(E_p)

1.2.2 Nombre d’applications d’un ensemble E de cardinal p dans un ensemble F de cardinal n

1. Le nombre d’applications deE dansF est

n^p = (Card(F))Card(E)

Exemple 1.2.3 SoientE={0,1} etF ={a, b, c}.Le nombre d’applications deE dansF est3² = 9.

– Considérons une application de E dans F, représentée par la Figure 1.1. Cette application est caractérisée par le couple(a, a) avec la convention “0a pour imagea” et “1 a pour imagea”.

– Considérons maintenant une nouvelle application, représentée par la Figure 1.2. Cette application est caractérisée par le couple (a, c) tel que

0 → a 1 → c .

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1.2. LE DÉNOMBREMENT 3

Figure 1.1

Figure 1.2

– Les neuf applications deE dansF sont donc caractérisées par les9couples(a, a),(b, b),(c, c),(a, b), (b, a),(a, c),(c, a),(b, c) et(c, b). Un couple (x, y) caractérise l’application

0→x 1→y xety pouvant prendre les valeursa, b, c.

Exercice 3 Soit un ensemble de 5éprouvettes que l’on veut répartir dans trois rangements. Chaque rangement pouvant contenir0,1ou plusieurs éprouvettes, quel est le nombre de répartitions distinctes ?

Exercice 4 À l’intérieur d’un laboratoire, un numéro de téléphone fixe est composé d’un indicatif (2 numéros) et d’une suite ordonnée de 8 numéros. Pour un indicatif donné, combien y a-t-il de numéros possibles ?

2. p-listes ordonnées avec remise

Soit un ensemble F = {e₁, e₂, . . . , e_n} de cardinal n. On appelle p-liste d’éléments de F, une liste ordonnée de p éléments de F (appelée encore p-uplet) de la forme (x₁, x₂, . . . , x_p), les x_i étant deux élémentsdistincts ou non deF. Cesp-uplets sont au nombre den^p puisqu’il y anchoix possibles pour les p éléments.

Exemple 1.2.4 SoitF ={e₁, e2, e3}.

– Les 2-listes ordonnées avec remise (ce qui signifie que les éléments peuvent se répéter) ou 2-uplets sont au nombre de3²= 9 c’est-à-dire qu’il existe9couples(x, y) formés par deux éléments distincts ou non deF. Ces éléments sont (e1, e1),(e1, e2),(e2, e1),(e1, e3),(e3, e1),(e2, e2), (e2, e3), (e3, e2), (e₃, e₃).

– Les3-listes ordonnées avec remise (ou3-uplets, ou triplets) sont au nombre de3³ = 27, on peut citer entre-autres(e1, e1, e1),(e2, e1, e3),(e3, e2, e3).

Exercice 5 Combien peut-on former de sigles d’entreprises de deux lettres ? de trois lettres ? de quatre lettres ?

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Exercice 6 On extrait à l’aveugle 3 pièces métalliques d’un conteneur qui en compte 9 : 4 pièces de type A, 3 pièces de type B, 1 pièce de type C et 1 pièce de type D. Combien y a-t-il de résultats permettant d’obtenir successivement avec remise

(a) 3 pièces de type A ? (b) aucune pièce de type B ? (c) 3 pièces de type C ?

(d) dans cet ordre : 2 pièces de type A et 1 pièce de type B ? (e) 2 pièces de type A et 1 pièce de type B ?

(f) 1 pièce de type A, 1 pièce de type B et 1 pièce de type C ? 1.2.3 Parties d’un ensemble et cardinaux

1. Le nombre de parties d’un ensembleE de cardinaln est2ⁿ.

Card(E) =n⇒Card(P(E)) = 2ⁿ.

Exemple 1.2.5 On a vu dans un exemple précédent queP(E) ={∅;{0};{1};{2};{0,1};{0,2};{1,2};E}

si E={0,1,2}, ce qui confirme bien que Card(P(E)) = 2³ = 8.

2. SiA etB sont deux parties deE,

Card(A∪B) =Card(A) +Card(B)−Card(A∩B)

Exercice 7 Parmi les 20 employés d’une entreprise,8 connaissent l’anglais,5 l’allemand,3 les deux langues. Dénombrez ceux qui connaissent au moins une langue.

3. Le complémentaire d’une partieAde E est défini par

A={^A_E avec Card(A) =Card(E)−Card(A) .

Exemple 1.2.6 SoientE={0,1,2,3,4} etA={2,4} alorsA={0,1,3} et Card(A) = 5−2 = 3.

Exercice 8 Un sondage d’opinion, relatif à l’ambiance d’un cours de “Mesures et analyses statistiques de données”, a été réalisé parmi 83 étudiants de Master 1 GSI en 2012 et donne les résultats suivants :

Très Assez Assez Très

satisfaits satisfaits déçus déçus Filles de

9 6 2 2

moins de 23 ans Filles de

7 9 4 2

23ans et plus Garçons de

6 6 4 3

moins de 23 ans Garçons de

2 4 6 11

23ans et plus

On pose : F les femmes, P les étudiants de 23 ans et plus, D les étudiants assez déçus ou très déçus, A les étudiants assez déçus ou assez satisfaits. On noteF , A, Dles ensembles complémentaires de F, A etD. Déterminez le nombre d’éléments des ensembles suivants en précisant ce qu’il représente :

(a) F,P,DetA, (b) F ∩P ∩D∩A, (c) (F∩D)∪(P∩A), (d) F ∩(P∩D∩A).

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1.2.4 Arrangements

1. Soient un ensembleF de cardinalnetpun entier naturel tel que1≤p≤n. On appellearrangement, d’ordre p, des éléments de F, un p-uplet(x1, x2, . . . , xp) où les éléments xi sont des éléments distincts deF.

Déterminons le nombre d’arrangements d’ordre p, notéA^pn : – si p > n : A^pn= 0

– si p ≤n : pourx1, il y a n choix possibles. x1 étant choisi, il y an−1 choix possibles pour x2 et ainsi de suite. Enfin, x₁, x₂, . . . , xp−1 étant choisis, il reste n−(p−1) =n−p+ 1 choix possibles pourx_p. Le nombre d’arrangements d’ordrep est donc

A^pn=n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1)

Cette égalité peut se réécrireA^p_n=n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1)×(n−p)(n−p−1). . .2×1 (n−p)(n−p−1). . .2×1, ce qui signifie que

A^p_n= n!

(n−p)!

2. Cas particuliers : Avec la convention0! = 1le résultat précédent implique A⁰_n= 1 et Aⁿ_n= 1

Exercice 9 L’équipe de direction d’un laboratoire de chimie de 20 membres est constituée d’un directeur, d’un directeur technique et d’un directeur Recherche et Développement. Combien d’équipes de direction peut-on constituer, sachant qu’une même personne ne peut cumuler les postes ?

Exercice 10 Soit le mot F IABILIT E. À l’aide de ce mot, combien d’anagrammes et combien de mots - au sens large - de 5lettres distinctes peut-on former ?

1.2.5 Permutations

1. On appellepermutationd’un ensembleF de cardinal n, un arrangement d’ordrende F. Le nombre de ces permutations est donné par Pn=Aⁿ_n=n!.

2. Permutation avec répétition

Exemple 1.2.7 Déterminons le nombre d’anagrammes du motF IN I.

Si on considère les deux I comme différents,I₁ etI₂,les 4lettres de F I₁N I₂ étant distinctes, il existe 4! = 24 anagrammes. Dans ces 24 mots, les mots F I1N I2 et F I2N I1 apparaissent. Chaque mot est comptabilisé deux fois. Le nombre d’anagrammes de F IN I est donc 4!

2! = 12.

Exemple 1.2.8 Déterminons le nombre d’anagrammes du motEN SEM BLE.

Si on numérote les trois E, on obtient E₁N SE₂M BLE₃. Les huit lettres étant distinctes, il existe 8! anagrammes de E1N SE2M BLE3. Dans ces 8! mots, le mot EN SEM BLE apparaît 3! = 6 fois, chaque mot est donc comptabilisé3! fois. Le nombre d’anagrammes deEN SEM BLE est donc 8!

3!. Exemple 1.2.9 Déterminons le nombre d’anagrammes du motM AT HEM AT IQU ES.

En procédant comme précédemment, on obtient 13!

2!2!2!2! anagrammes.

3. Cas général

Soit une famille E de cardinaln, définie par E ={a₁, a2, . . . , ak}, la lettre a1 étant répétée r1 fois, la lettre a₂ r₂ fois, la lettrea_k r_k fois avecr₁+r₂+. . .+r_k=n. Le nombre de permutations est alors

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n!

r1!r2!. . . r_k!

Exercice 11 Supposons qu’un protocole d’expérimentation soit constitué de 10 étapes.

(a) Si on considère que toutes les étapes sont différentes, combien de protocoles distincts peut-on réaliser ?

(b) Si 4 et 6 de ces étapes sont identiques, combien de protocoles distincts peut-on obtenir ? 1.2.6 Combinaisons

1. Soit un ensembleF ayantnéléments distincts. On appellecombinaison d’ordrep deF toute partie à p éléments(0≤p≤n).

Remarque 1.2.1 Deux combinaisons distinctes d’ordrep diffèrent par la nature de leurs éléments et non pas par l’ordre.

Exemple 1.2.10 SoitF ={a, b, c, d}. Les combinaisons d’ordre 3 deF sont{a, b, c},{a, b, d},{a, c, d}, {b, c, d}.

Exemple 1.2.11 Avec les éléments a, b, c, on peut constituer – une combinaison de 3éléments : {a, b, c},

– six arrangements de 3 éléments :(a, b, c),(a, c, b),(b, a, c),(b, c, a),(c, a, b) et(c, b, a).

Le nombre de combinaisons d’ordrep est noté Cn^p ou n

p

et est défini par C_n^p = A^pn

p! = n!

p!(n−p)! = n(n−1)(n−2). . .(n−p+ 1) p!

Les Cn^p sont encore appeléscoefficients binomiaux.

Exercice 12 Un support de tubes à essais contient 2 tubes de 20 mL, 4 tubes de 10 mL, 4 tubes de 5 mL et 6 tubes de 2 mL. On prend au hasard 5 tubes sur le support. De combien de façons différentes peut-on obtenir un total de 40 mL ?

2. Propriétés des nombresCn^p

– On a le résultat

Cn^p=Cn^n−p pourn≥0et0≤p≤n.

En particulier,C_n⁰ =C_nⁿ= 1 etC_n¹ =C_nⁿ⁻¹=n.

– On a également

Cn^p =C_n−1^p +C_n−1^p−1 pour n≥1 et1≤p≤n.

3. Binôme de Newton On a la formule

(x+y)ⁿ=

n

X

p=0

C_n^px^py^n−p pour n≥0.

Exemple 1.2.12 (x+y)⁵ = C₅⁰x⁰y⁵+C₅¹x¹y⁴+C₅²x²y³+C₅³x³y²+C₅⁴x⁴y¹+C₅⁵x⁵y⁰

= y⁵+ 5y⁴x+ 10y³x²+ 10y²x³+ 5yx⁴+x⁵

.

Exercice 13 Développez à l’aide de la formule du binôme les expressions suivantes où a est un nombre réel quelconque

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(a) E = (a+ 1)⁴ (b) F = (a−3)⁵ 4. Le triangle de Pascal

Ce triangle permet par simple addition de récupérer les coefficientsCn^p à partir des C_n−1^p . HH

HH H n

p 0 1 2 3 4 5 · · · p−1 p

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

... ... ...

n−1 C_n−1^p−1 C_n−1^p

n C_n^p

1.2.7 Combinaisons avec répétition

Soit un ensembleF de cardinaln. On nommecombinaison d’ordrep, avec répétition des éléments de E, une liste dep éléments tous extraits de E, les répétitions étant autorisées mais l’ordre dans la liste n’intervient pas.

Le nombre de combinaisons avec répétition, d’ordre p, est noté

Γ^p_n=C_n+p−1^p =C_n+p−1ⁿ⁻¹ = (n+p−1)!

p!(n−1)!

Exemple 1.2.13 5 clients vous commandent 5 composants électroniques parmi les 8 que vous fabriquez.

Quel est le nombre de commandes globales distinctes dans les cas suivants ? – Les composants sont tous différents :C₈⁵ = 8!

5!3! = 56.

– Les composants sont tous quelconques :C₈₊₅₋₁⁵ =C₁₂⁵ = 792.

1.2.8 Modèle fondamental : schéma d’urne

Il est très pratique dans les exercices de considérer l’ensembleE impliqué comme uneurnecontenantn boules numérotées de1àn, chacune des boules s’interprétant comme un élément deE, et de laquelle on tire p boules. On aura très souvent les cas suivants :

– Tirages successifs avec remise : On tire au hasard une boule dans l’urne puis on la remet dans l’urne avant d’effectuer le tirage suivant. Si on effectue ainsiptirages avec remise, le résultat global s’interprète comme une p-liste. Il y a donc n^p tirages avec remise (dep éléments) possibles.

– Tirages successifs et sans remise : On tire au hasard une boule dans l’urne que l’on conserve, la boule n’est donc pas remise dans l’urne qui contient ainsi après chaque tirage une boule de moins. Si on effectue ainsip tirages sans remise (p≤n), le résultat global s’interprète comme unep-liste d’éléments 2à2distincts ou encore comme un arrangement depéléments deE. Il y a doncA^p_ntirages sans remise (dep éléments) possibles.

– Tirages simultanés : On tire simultanémentpboules de l’urne (et non plus successivement, cela revient à dire que l’ordre du tirage des boules est sans importance). Un tel tirage s’interprète comme un sous- ensemble de E et donc comme une combinaison depéléments deE. Il y a doncCn^p tirages simultanés (dep éléments) possibles.

(13)

1.3 Exercices

Exercice 14 SoitΩ un ensemble. On noteP l’ensemble de ses parties.

1. Considérons l’ensembleΩ1 ={1}. Déterminez l’ensemble P(Ω1).

2. Considérons l’ensembleΩ₂ ={1,2}. Déterminez l’ensemble P(Ω₂).

3. Considérons l’ensembleΩ₃ ={1,2,3}. Déterminez l’ensemble P(Ω₃).

Exercice 15 Une classe de Master 1 se compose de 20 garçons et 8 filles.

1. De combien de façons peut-on désigner trois garçons pour tenir les rôles des 3 premiers de la promotion ? 2. De combien de façons peut-on désigner trois garçons et deux filles pour tenir les 5 premiers rôles de la

promotion ?

Exercice 16 Afin de tester leur résistance, 4 appareils électriques d’un même type sont mis et laissés en fonctionnement pendant un laps de temps conséquent. Chaque appareil peut subir une défaillance complète (appelée défaillance catalectique, un court-circuit en est un exemple), une défaillance partielle n’entraînant pas d’arrêt, ou aucune défaillance.

1. De combien de manières dictinctes les 4 appareils peuvent-ils se comporter ?

2. Parmi toutes les réponses possibles, quelles sont celles qui imposeront de revoir la fabrication des appareils, c’est-à-dire 3 “défaillances catalectiques” ou plus ?

Exercice 17 Un programme informatique génère de manière aléatoire des nombres compris entre 1 à 20. On lance le programme.

1. Calculez les cardinaux des événements suivants : A: “obtenir un nombre pair”,

B : “obtenir un nombre impair”,

C : “obtenir un nombre divisible par3”, D: “obtenir un nombre au moins égal à2”.

2. DéterminezB∩C et en déduire Card(B∪C).

Exercice 18 Les 8 analytes (de type I ou II) de 4 échantillons différents ont été soumis à une spectro- photométrie d’absorption atomique permettant de mesurer leur teneur en plomb. On suppose que les 32 mesures sont distinctes, elles sont ensuite ordonnées au sein de leur échantillon, de la plus grande teneur à la plus petite (par exemple,T2,4 désigne la 2e plus forte teneur en plomb d’un analyte provenant de l’échantillon 4). On récupère alors 3 mesures au hasard.

1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?

2. Calculez les cardinaux des événements suivants : A: “une seule 2e plus forte teneur en plomb”,

B : “une seule 2e plus forte teneur en plomb provenant de l’échantillon 1 ou 2”, C : “uniquement les 3e plus fortes teneurs en plomb”,

D: “au moins une plus forte teneur en plomb”,

E : “une 4e plus forte teneur en plomb et une 3e plus forte teneur provenant de l’échantillon 3 ou 4”, F : “une seule 2e plus forte teneur en plomb et deux teneurs provenant du 3e échantillon”.

Exercice 19 3 lots P₁, P₂, P₃ de Streptomycine ont été titrés par dosage au maltol. Les résultats sont classés dans 6 intervalles numérotés de 1 à 6. On note la classe d’appartenance de chacun des lots P₁, P₂, P3 dans cet ordre et on forme un nombre de 3 chiffres, P1 indiquant le chiffre des centaines, P2 celui des dizaines et P₃ celui des unités.

(14)

1.3. EXERCICES 11

1. Combien y a-t-il de nombres possibles ?

2. Calculez les cardinaux des événements suivants : A: “les trois chiffres du nombre sont égaux”, B : “les trois chiffres du nombre sont différents”, C : “deux des trois chiffres au moins sont égaux”, D: “le nombre formé est pair”,

E : “le nombre formé commence par3”, F : “le nombre formé est divisible par 9”.

Exercice 20 Un consultant en maintenance industrielle doit visiter 5 entreprises dans les villes suivantes : Arras, Boulogne, Cherbourg, Digne et Epernay.

1. Combien de circuits différents peut-il réaliser ?

2. Il commence son voyage par Arras. Combien de circuits différents peut-il réaliser ?

3. Il commence son voyage par Arras et doit terminer par Epernay. Combien de circuits différents peut-il réaliser ?

Exercice 21 Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels les équations suivantes : 1. A³_n= 210n

2. C_n² = 6

3. C_n¹+C_n²+C_n³= 5n

Exercice 22 On effectue 20 fois une même expérience qui n’a que deux issues possibles : soit elle réussit, soit elle échoue.

1. Combien y a-t-il de suites d’observations des réussites et échecs ? 2. Combien y a -t-il de suites d’observations comptant5 réussites ?

(15)

(16)

Chapitre 2

La probabilité

2.1 Le vocabulaire

2.1.1 Expérience aléatoire et univers

La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l’étude d’expériences dont on ne peut prévoir le résultat avec certitude. Une telle expérience est appelée expérience aléatoire.

On appelle univers, notéΩ, tout ensemble dont les éléments représentent tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. L’ensemble des résultats possibles est connu.

2.1.2 Evénements

SoitΩ un univers correspondant à une certaine expérience aléatoire. Il sera noté généralement Ω ={w₁, w2, . . . , wp}

Les w_i, éléments de Ω, sont deséventualités. Le singleton{w_i} est appeléévénement élémentaire. Une partie de Ω est appelée événement, c’est un élément de P(Ω) (qui on le rappelle, définit l’ensemble des parties de Ω).

Exemple 2.1.1 Dans le cas du “lancer d’un dé à 6 faces ”, les éventualités sont1,2,3,4,5,6, les événements élémentaires {1},{2},{3},{4},{5}et{6}. Les événements sont les parties deΩ, par exemple, l’événement

“obtenir un nombre pair ” peut s’écrire A={2,4,6}.

On a également les définitions suivantes : soitA un événement deΩ,

– on dit queA se réalisesi le résultat obtenu à l’issue de l’expérience aléatoire est un élément de A.

– Soit A un événement deΩ. On appelle événement contraire deA (oucomplémentaire), noté A,¯ l’ensemble des éléments de Ω qui n’appartiennent pas à A. Autrement dit, l’événement A¯ se réalise lorsque l’événement A ne se réalise pas.

– SoientAetBdeux événements deΩ. On appelleintersection deAetBle sous-ensemble des éléments de Ωqui appartiennent à la fois àAet à B et on le note A∩B. Autrement dit, l’événement A∩B se réalise lorsque les événements AetB se réalisent.

– Soient A etB deux événements de Ω. On appelle réunion de A et B le sous-ensemble des éléments de Ω qui appartiennent àA ou àB et on le note A∪B. Autrement dit, l’événement A∪B se réalise lorsque au moins l’un des événements AetB se réalise.

2.1.3 Propriétés de P(Ω)

1. Ω∈ P(Ω),Ω est appeléévénement certain.

2. ∀A∈ P(Ω)⇒A∈ P(Ω)

En particulier Ω∈ P(Ω)⇒Ω =∅ ∈ P(Ω). L’ensemble vide est appeléévénement impossible.

13

(17)

14 CHAPITRE 2. LA PROBABILITÉ

3.

A∈ P(Ω) B ∈ P(Ω) ⇒

A∪B∈ P(Ω) A∩B∈ P(Ω) 4. A∩B =A∪B

5. A∪B =A∩B

6. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 2.1.4 Opérations sur les événements

Les opérations sur les ensembles ont une interprétation en matière d’événements.

1. A⊂B : la réalisation de Aimplique celle de B.

2. A∪B désigne l’événement “A ou B”, il se produit si au moins un des événements est réalisé.

3. A∩B désigne l’événement “A etB”, il se produit si A etB sont tous les deux réalisés.

4. Soient deux parties disjointesA etB, c’est-à-dire telles que A∩B =∅. Les événements A etB sont dits incompatibles.

5. Soit un système d’événementsA_i, i∈ I. Les événements A_i sont dits globalement incompatibles si \

i∈I

A_i =∅.

Remarque 2.1.1 Si lesAi sont deux à deux incompatibles alors ils sont globalement incompatibles, par contre la réciproqueest fausse.

Exemple 2.1.2 Avec3 événementsA₁,A₂ etA₃ :

Figure 2.1

on a donc bien A₁∩A₂∩A₃ =∅ maisA₁∩A₂ 6=∅, ce qui illustre la remarque précédente.

2.2 Probabilité

2.2.1 Axiome de probabilité

Soient une expérience aléatoire et Ω l’univers associé, P(Ω)l’ensemble des événements. On définit une probabilité comme une application qui à un événement associe un nombre qui mesure les chances de réalisation de cet événement. Mathématiquement parlant, une probabilité est une application

p: P(Ω) → R⁺

A 7→ p(A)∈[0; 1]

On dit que p(A) est la probabilité de l’événementA. L’applicationp vérifie les axiomes suivants 1. p(Ω) = 1

2. siA∩B =∅ (les événements sont incompatibles) alors p(A∪B) =p(A) +p(B).

Remarque 2.2.1 Le couple(Ω,P(Ω))estprobabilisépar la définition de la probabilitép. Pour probabiliser (Ω,P(Ω)), il existe une infinité de probabilités possibles. Le choix de la probabilité résulte d’hypothèses faites sur l’épreuve aléatoire.

(18)

2.3. ENSEMBLES PROBABILISÉS 15

2.2.2 Conséquences 1. p(∅) = 0

Preuve : On a ∅ ∪ ∅=∅ et∅ ∩ ∅=∅ donc p(∅) =p(∅) +p(∅)⇒p(∅) = 0.

2. p(A) +p(A) = 1 Preuve :

A∩A=∅ A∪A= Ω

⇒p(Ω) = 1 =p(A) +p(A).

3. A⊂B⇒p(A)≤p(B) Preuve :

A∪(B−A) =b A∩(B−A) =∅

⇒p(B) =p(A) +p(B−A).Comme p(B−A)∈R⁺ on ap(A)≤p(B).

4. A⊂Ω⇒0≤p(A)≤1

Preuve :∅ ⊂A⊂Ω⇒p(∅)≤p(A)≤p(Ω)donc 0≤p(A)≤1.

5. p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B) Preuve :

A∪B =B∪(A/B) B∩(A/B) =∅

⇒p(A∪B) =p(B) +p(A/B) d’après le deuxième axiome de la probabilité, (A/B)∪(A∩B) =A

(A/B)∩(A∩B) =∅

⇒p(A) =p(A∩B) +p(A/B),

p(A∪B)−p(B) =p(A/B) =p(A)−p(A∩B) donc p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B).

6. p(A∪B∪C) =p(A) +p(B) +p(C)−p(A∩B)−p(A∩C)−p(B∩C) +p(A∩B∩C)

Preuve : En posantB∪C=Xon obtientp(A∪B∪C) =p(A∪X) =p(A)+p(X)−p(A∩X)d’après le ré- sultat précédent. Orp(X) =p(B∪C) =p(B)+p(C)−p(B∩C)etA∩X=A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

Par conséquent,p(A∩X) =p(A∩B)+p(A∩C)−p(A∩B∩A∩C) =p(A∩B)+p(A∩C)−p(A∩B∩C).

En remplaçant cette expression dans p(A∪B∪C) on obtient l’égalité.

Remarque 2.2.2

– Dans le cas où les événements A,B etC sont incompatibles deux à deux, on obtient p(A∪B∪C) =p(A) +p(B) +p(C)

– On peut généraliser cette propriété à névénements incompatibles deux à deux

p [

i∈I

A_i

!

=X

i∈I

p(A_i) avec A_i∩A_j =∅ pouri6=j

2.3 Ensembles probabilisés

2.3.1 Ensembles finis probabilisés

1. SoitΩun ensemble fini de cardinal n∈N^? donné par :

(19)

Ω ={w₁, w₂, . . . , w_n} On définit une probabilité de la façon suivante

• p_i =p({w_i})≥0

•

n

X

i=1

p_i = 1

Remarque 2.3.1 SiA est une partie deΩ,p(A) = X

wi∈A

p({w_i}).

2. On dit qu’on a équiprobabilité sur Ω si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, autrement dit si

p({ω₁}) =p({ω₂}) =. . .=p({ω_n}).

Remarque 2.3.2 Si on a équiprobabilité surΩalors, d’après la définition d’une probabilité, on a p({ω₁}) =p({ω₂}) =. . .=p({ω_n}) = 1

n. et, pour tout événement A,

p(A) = k

n = Card(A) Card(Ω)

où, on le rappelle, Card(A)désigne le nombre d’éléments contenus dans l’ensembleA.

Remarque 2.3.3 Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé cubique. Supposons que le dé soit équilibré (ou non truqué ou non pipé), dans ce cas, si pi est la probabilité d’obtenir la faceiavec i∈ {1,2, . . . ,6},p1=p2=p3=p4 =p5 =p6 = 1

6.

Soit A l’événement “le numéro de la face supérieure du dé est pair”. Alors p(A) = 3

6 de par l’équipro- babilité des événements élémentaires. En effet, p(A) =p({2} ∪ {4} ∪ {6}) =p({2}) +p({4}) +p({6}) car les événements (élémentaires) {2},{4}et{6}sont incompatibles deux à deux.

2.3.2 Ensembles infinis dénombrables probabilisés

Un ensembleΩ est un ensemble dénombrable infinis’il existe une bijection deN ou de N^∗ dansΩ. Il peut s’écrire sous la forme :

Ω ={w₁, w2, w3, . . . , wn, . . . .}

On définit une probabilité psur (Ω,P(Ω))en attribuant à chaquewi une probabilitépi =p({w_i})≥0 telle

que X

i∈N^∗

pi= 1.

Exemple 2.3.1 On réalise une expérience qui n’a que deux issues possibles (l’échec ou la réussite) jusqu’à ce qu’elle réussisse. On s’intéresse au nombre de réalisations nécessaires à la réussite. Ce nombre est variable, Ω =N^∗ donc Ω est un ensemble infini dénombrable.

• p1 = p({1}) = 1

2, la “réussite” apparaît lors de la première réalisation,

• p₂ = p({2}) = 1 2 ×1

2 = 1

4, la “réussite” apparaît lors de la deuxième réalisation, ...

• p_n = p({n}) = 1

2

n−1 1 2

= 1

2 n

, la “réussite” apparaît lors de lan-ième réalisation donc les(n−1)premières réalisations ont donné un “échec”

...

(20)

2.4. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 17

Ainsi, X

i∈N^∗

pi = 1 2+

1 2

2

+. . .+ 1

2 n

+. . ..

Pour déterminer cette somme, on rappelle la formule

n

X

i=1

1 2

i

= 1 2 −

1 2

n+1

1−1 2

.

En effet,

n

X

i=1

pi est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison 1 2. De plus, lim

n→∞

1 2

n+1

= 0 donc X

i∈N^∗

pi = lim

n→+∞

n

X

i=1

1 2

i

= 1 2 1− 1

2

= 1.

2.4 Probabilité conditionnelle

2.4.1 Définition

1. Étant donné un espace probabilisé(Ω,P(Ω), p),Aétant un événement de probabilité non nulle, consi- dérons l’application notée p_Atelle que

p_A: P(Ω) → R⁺

X 7→ p_A(X) = p(A∩X) p(A) 2. L’applicationp_A est une probabilité. En effet,

• p_A(Ω) = p(A∩Ω)

p(A) = p(A) p(A) = 1

• SiX∩Y =∅,pA(X∪Y) =p(A∩(X∪Y))

p(A) mais on peut remarquer queA∩(X∪Y) = (A∩X)∪ (A∩Y)et(A∩X)∩(A∩Y) =A∩X∩Y =X∩Y =∅. Par conséquent,

p_A(X∪Y) = p(A∩X) +p(A∩Y)

p(A) = p(A∩X)

p(A) +p(A∩Y) p(A) . Finalement, siX∩Y =∅alorspA(X∪Y) =pA(X) +pA(Y).

3. p_A(X) = p(A∩X)

p(A) est encore notéep(X/A)et est appeléeprobabilité conditionnelle deXsachant A ou probabilité de X sachant A ouprobabilité de X une fois A réalisé.

Remarque 2.4.1

– L’applicationp_A est une probabilité, elle vérifie donc les propriétés de la probabilité, en particulier

• pA(∅) = 0

• p_A(X) +p_A(X) = 1

– Sip(A)6= 0 etp(B)6= 0alors

p_A(B) = p(A∩B)

p(A) =p(B/A) etp_B(A) = p(A∩B)

p(B) =p(A/B) Donc

p(A∩B) =p(A)×p(B/A) =p(B)×p(A/B) – Pour trois événementsA,B etC, on a :

p(A)×p(B/A)×p(C/A∩B) =p(A)×p(B∩A)

p(A) ×p(A∩B∩C) p(A∩B)

(21)

donc

p(A∩B∩C) =p(A)×p(B/A)×p(C/A∩B)

2.4.2 Exemple

Un technicien doit régler de toute urgence un problème électrique sur une machine. La partie défaillante étant hors de vue mais pas hors d’atteinte, notre réparateur a la possibilité de déconnecter 3 fusibles noirs (numérotés N1, N2, N3) et 2 fusibles rouges (numérotés R1, R2), indiscernables au toucher malheureusement pour lui. Il doit déconnecter deux fusibles rouges successivement pour régler le problème.

On a les éventualités suivantes :

(N₁, R₁) ; (N₁, R₂) ; (N₂, R₁) ; (N₂, R₂) ; (N₃, R₁) ; (N₃, R₂) ; (R₁, N₁) ; (R₂, N₁) ; (R1, N2) ; (R2, N2) ; (R1, N3) ; (R2, N3) ; (R1, R2) ; (N1, N2) ; (N1, N3) ; (N2, N3) ; (R2, R1) ; (N2, N1) ; (N3, N1) ; (N3, N2)

On dénombre donc 20 résultats possibles. On peut retrouver ce nombre en utilisant des techniques de dé- nombrement : notre problème peut être asssimilé à un arrangement d’ordre 2des5fusibles. On en dénombre A²₅= 5!

3! = 5×4 = 20.

• On considère les événements :

– A: “déconnecter un fusible rouge au premier essai”.

– B : “déconnecter un fusible rouge au second essai”.

On a p(A) = 2

5, p(A∩B) = 2 5× 1

4 = 2 20 = 1

10, p(B) = 8 20 = 2

5. Ainsi, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, p(B/A) = p(A∩B)

p(A) = 2 20

8 20

= 1 4.

• Sans utiliser la définition dep(B/A), l’événementA étant réalisé (on a déconnecté un fusible rouge au premier essai) dans les 8 cas suivants

(R₁, N₁) ; (R₁, N₂) ; (R₁, N₃) ; (R₁, R₂) ; (N₁, R₁) ; (N₂, R₁) ; (N₃, R₁) ; (R₂, R₁), quelle est la probabilité deB?p(B/A) = 2

8 = 1

4 c’est-à-dire que sur les8cas de réalisation deA,2cas donnent la réalisation de B, les cas (R₁, R₂) et(R₂, R₁).

2.4.3 Indépendance en probabilité

1. Étant donné un espace probabilisé(Ω,P(Ω), p), on dit que deux événementsAetBsontindépendants si et seulement si

p(A∩B) =p(A)×p(B) 2. Propriétés équivalentes : Sip(A)6= 0 etp(B)6= 0,

– les événements AetB sont indépendants si et seulement si p(A) =p(A/B)⇔p(B) =p(B/A), – la réalisation de A n’influence pasB; de même la réalisation deB n’influence pasA.

Remarque 2.4.2 On ne confondra pas “indépendance en probabilité” et“événements incompatibles”

qui se traduisent respectivement par p(A∩B) =p(A)p(B) etA∩B =∅.

3. Généralisation : Trois événements sont ditsglobalement indépendantsen probabilité s’ils sont deux à deux indépendants en probabilité c’est-à-dire si

• p(A∩B) =p(A)p(B)

• p(B∩B) =p(B)p(C)

• p(A∩C) =p(A)p(C)

(22)

2.4. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 19

4. SoientAetB deux événements indépendants alorsA etB sont indépendants.

En effet p(A∩B) = p(B)×p(A/B) or p(A/B) = 1−p(A/B) donc p(A∩B) =p(B)[1−p(A/B)] = p(B)[1−p(A)] carA etB sont indépendants. Enfin, p(A∩B) =p(B)p(A) ce qui signifie que Aet B sont indépendants.

Remarque 2.4.3 Il en est de même pourA etB,AetB.

Exercice 23 Une formation en Master GSI compte 4 garçons et 6 filles en première année, 6 garçons en seconde année. Combien doit-il y avoir de filles de seconde année si l’on veut que “sexe” et “année” soient des facteurs indépendants lors du choix au hasard d’un étudiant ?

2.4.4 La formule de Bayes

1. Soient(Ω,P(Ω), p) un espace probabilisé et un système complet d’événements B1, B2, . . . , Bn deux à deux incompatibles (Bi∩Bj =∅pour i6=j et [

i∈I

Bi= Ω), on dit que les(Bi)i∈I forment une partition deΩ.

Soit A un événement de probabilité non nulle, on peut alors écrire la formule de Bayes donnant la probabilité pour queB_i se réalise sachant A :

p(B_i/A) = p(B_i)×p(A/B_i) X

j∈I

p(Bj)×p(A/Bj)

Preuve:A=A∩Ω =A∩ [

i∈I

Bi

!

=[

i∈I

(A∩Bi). De plus,(A∩Bi)∩(A∩Bj) =A∩(Bi∩Bj) =A∩ ∅=∅ pouri6=j. Par conséquent,p(A) =X

i∈I

p(A∩Bi) =X

i∈I

p(Bi)×p(A/Bi). Or on sait quep(Bi/A)peut s’écrire sous la forme p(B_i/A) = p(A∩B_i)

p(A) = p(B_i)×p(A/B_i)

p(A) d’où la formule de Bayes.

2. Dans le cas d’un système complet de deux événementsB1 etB2 (B1∩B2=∅, B₁∪B2= Ω),

• p(B1/A) = p(B1)×p(A/B1)

p(B₁)×p(A/B₁) +p(B₂)×p(A/B₂)

• p(B₂/A) = p(B₂)×p(A/B₂)

p(B₂)×p(A/B₂) +p(B₁)×p(A/B₁)

3. Dans le cas d’un système complet de trois événementsB₁,B₂ etB₃ (B₁∩B₂=B₂∩B₃ =B₁∩B₃ =

∅, B₁∪B2∪B3 = Ω), on a par exemple

p(B1/A) = p(B1)×p(A/B1)

p(B1)×p(A/B1) +p(B2)×p(A/B2) +p(B3)×p(A/B3).

Exercice 24 On suppose que les essais d’un test médical sur une population ont conduit à admettre pour un individu les probabilités suivantes, le test servant à dépister une certaine maladie.

– Probabilité pour qu’un malade ait un test positif (donc probabilité pour que le test soit positif sachant que la personne est malade) : p(T /M) = 0,95.

– Probabilité pour qu’un non-malade ait un test négatif (donc probabilité pour que le test soit négatif sachant que la personne est saine) :p(T /M) = 0,95.

– Probabilité pour qu’un individu soit atteint de la maladiep(M) = 0,01.

Quelle est la probabilité pour qu’un individu qui a donné lieu à un test positif soit atteint de la maladie ?

(23)

2.5 Exercices

Exercice 25 On mesure les longueurs des boulons d’une certaine boîte de100.

On obtient les résultats suivants : Longueur

[4; 4,2[ [4,2; 4,4[ [4,4; 4,6[ [4,6; 5[

en cm

Effectifs 17 24 51 8

On tire au hasard un boulon. Calculez les probabilités des événements suivants : 1. Le boulon mesure moins de4,2 cm.

2. Le boulon mesure plus de4,4cm.

Un boulon est utilisable si sa longueur est comprise entre 4,2 et4,6 cm.

3. Quelle est la probabilité qu’un boulon soit utilisable ?

4. On achète50boîtes de 100boulons. Combien peut-on espérer de boulons utilisables ?

Exercice 26 Deux ateliers, notés A et B, d’une même entreprise produisent chaque jour respectivement 1000et800puces électroniques d’un même modèle.2%des pièces produites par l’atelier A et3%des pièces produites par l’atelier B sont défectueuses.

1. Complétez le tableau suivant qui décrit la production journalière .

Nombre Nombre

de puces de puces non Total défectueuses défectueuses

Nombre de puces produites

par l’atelier A Nombre de puces produites

par l’atelier B

Total 1800

2. Un jour donné, on choisit au hasard une puce parmi les 1800 puces produites par les deux ateliers. On est dans une situation d’équiprobabilité. On considère les événements suivants :

A: “la puce choisie provient de l’atelier A”, B : “la puce choisie provient de l’atelier B”, D: “la puce choisie est défectueuse”, D : “la puce choisie n’est pas défectueuse”.

Déterminez exclusivement à l’aide du tableau précédent les probabilités suivantes : (a) p(D),p(A∩D),p(A/D).

(b) p(D),p(B∩D),p(B/D).

3. Vérifiez quep(A∩D) =p(A/D)×p(D) et quep(B∩D) =p(B/D)×p(D).

Exercice 27 Dans un lot de pièces fabriquées, il y a3%de pièces défectueuses. Le mécanisme de contrôle des pièces est aléatoire. Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,96 et si elle est défectueuse elle est refusée avec une probabilité de 0,98. Calculez les probabilités suivantes :

p₀ : pour qu’une pièce soit mauvaise et acceptée,

(24)

2.5. EXERCICES 21

p₁ : pour qu’il y ait une erreur dans le contrôle, p2 : pour qu’une pièce soit acceptée,

p₃ : pour qu’une pièce soit mauvaise, sachant qu’elle est acceptée.

Exercice 28 Trois machines A, B et C produisent respectivement 60%, 30% et 10% de la production des pièces d’une entreprise. La machine A (respectivement B et C) produit 2% (respectivement 3%et 4%) d’objets défectueux.

1. On choisit une pièce au hasard à la sortie de l’usine. Calculez la probabilité de l’événement : “La pièce est défectueuse”.

2. On choisit une pièce au hasard à la sortie de l’usine et on voit qu’elle est défectueuse. Calculez la probabilité de l’événement : “Cette pièce a été fabriquée par la machine B”.

Exercice 29 Monsieur et Madame A ont quatre enfants. On suppose que la probabilité de naissance d’un garçon est la même que celle d’une fille. Calculez la probabilité des événements suivants :

A : “Monsieur et Madame A ont quatre filles”,

B : “Monsieur et Madame A ont trois filles et un garçon”, C : “Monsieur et Madame A ont deux filles et deux garçons”, D : “Monsieur et Madame A n’ont pas de fille”,

E : “Monsieur et Madame A ont au moins une fille”,

F : “Monsieur et Madame A ont au moins une fille et un garçon”.

Exercice 30 Soit(Ω,A, p) un espace de probabilité et soient A∈ AetB ∈ Atels que p(A) = 1

3, p(B) = 1

2, p(A∩B) = 1 5. Calculez p(A∪B),p(A),p(B),p(A∩B),p(A∪B),p(A∩B).

Exercice 31 Une urne contient cinq boules, trois rouges, numérotées 1,2,3 et deux noires, numérotées 1 et2. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. Les tirages sont équiprobables.

1. Quelle est la probabilité de l’événementA: “les deux boules tirées sont de la même couleur ” ?

2. Quelle est la probabilité de l’événementB : “la somme des numéros portés sur chacune des deux boules tirées est égale à 3” ?

3. Quelle est la probabilité deB sachant queA est réalisé ?

Exercice 32 Une urne A contient4boules rouges et2boules bleues. Une urne B contient5 boules rouges et6 boules bleues et une urne C contient 1boule rouge et9 boules bleues. On jette un dé parfait numéroté de 1 à6.

– Si le résultat est impair, on tire au hasard une boule de A.

– Si le résultat est ’2’ ou ’4’, on tire au hasard une boule de B.

– Si le résultat est ’6’, on tire au hasard une boule de C.

Sachant que la boule tirée est bleue, quelle est la probabilité qu’elle ait été tirée de l’urne C ?

Exercice 33 Dans un jeu de52 cartes, on choisit simultanément 3cartes.

1. Déterminez le nombre de tirages possibles.

2. Calculez la probabilité des événements suivants : A: “le tirage contient le roi de coeur”,

B : “le tirage contient un roi exactement”, C : “le tirage contient un coeur exactement”, D: “le tirage contient deux coeurs dont le roi”,

E : “le tirage contient au moins un coeur” (pensez au complémentaire),

(25)

2.5. EXERCICES 21

F : “le tirage contient exactement deux coeurs et exactement un roi”.

Exercice 34 On tire3boules d’un sac contenant 9 boules :4vertes, 3 rouges,1 blanche et1noire 1. successivement avec remise. Calculez la probabilité des événements suivants :

A: “le tirage contient3 boules vertes”,

B : “le tirage ne contient aucune boule rouge”, C : “le tirage contient3 boules blanches”,

D: “le tirage contient dans cet ordre : 2boules vertes et 1 boule rouge”, E : “le tirage contient2 vertes et1rouge”,

F : “le tirage contient1 verte,1rouge et 1noire”.

2. Mêmes questions si le tirage se fait successivement sans remise.

3. Mêmes questions si le tirage se fait simultanément.

(26)

(27)

Chapitre 3

Les variables aléatoires réelles

3.1 Introduction - Exemple

Une épreuve consiste à jeter deux dés discernablesA etB. On considère la somme des numéros apparus sur la face supérieure des dés. On peut symboliser les résultats à l’aide du tableau ci-dessous :

HH HH

HH A

B 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

L’univers Ω correspondant à cette expérience aléatoire est défini par

Ω ={(i, j), i= 1,2,3,4,5,6 etj= 1,2,3,4,5,6}, avec Card(Ω) = 6²= 36

où chaque événement élémentaire est équiprobable. On dispose donc d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω), p).

Considérons l’application X : Ω → R

(i, j) 7→ i+j L’ensemble des valeurs prises par X est appelé univers image et vaut

X(Ω) ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

On définit ainsi une fonction de probabilité p_X associée à la variableX, déduite de ppar p_X(x) =p({X=x}) =p({X⁻¹(x)})

Par exemple, pX(3) =p({X = 3}) =p({(1,2),(2,1)}) = 2 36 = 1

18.

X est une variable aléatoire réelle car associée à une épreuve aléatoire réelle (à valeurs dansR) et sa fonction de probabilitépX est déduite dep.

x_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

p({X=xi}) 1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1

36 1

23

(28)

24 CHAPITRE 3. LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES

En notant p_i =p({X=x_i}) on aX

i

p_i= 1.

Remarque 3.1.1 À la même épreuve aléatoire on peut associer plusieurs variables aléatoires par exemple Y(i, j) =i.j,Z(i, j) = sup(i, j), . . .

3.2 Définitions et propriétés

1. Unevariable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé(Ω, p(Ω), p) est une application deΩ dansR définie par

X: Ω → R

ωi 7→ X(ωi) =xi

L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X s’appelle l’univers image et est défini par X(Ω) ={x₁, x₂, . . . , x_n}.ω_iétant un des résultats possibles de l’expérience,X(ω_i)est en quelque sorte la caractéristique de ω_i qui nous intéresse.

Comme on ne peut pas prévoir avec certitude quel ωi on obtiendra à l’issue de l’expérience aléatoire, on ne peut pas non plus prévoir avec certitude quelle valeur prendra X(ω_i). C’est pourquoi la fonction X est souvent interprétée comme une “grandeur aléatoire”. On note

{X=x_i}={ω_i ∈Ω/X(ω_i) =x_i} Chaque événement {X=x_i}a une probabilité p_i de se produire

p({X=x_i}) =p_X(x_i) =p_i 2. On appelleloi de probabilitéde la variable aléatoire X l’application

f :X(Ω) → [0; 1]

x_i 7→ f(x_i) =p({X=x_i})

Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire revient à déterminer la probabilité de chacun des événements {X=x_i} c’est-à-direp_i =p({X=x_i}). On vérifiera alors que

X

i

pi = 1

3. On peut citer les propriétés essentielles suivantes :

SiX etY sont deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω,P(Ω), p) alors X.Y, X+Y, aX+bY, X+a, aX, X²

sont des variables aléatoires (aetbétant deux réels).

Exemple 3.2.1 Soit l’épreuve consistant à jeter un dé équilibré, Ω = {1,2,3,4,5,6} est l’univers associé à cette expérience. La distribution de probabilité est équiprobable (puisque le dé est équilibré).

Soient les variables aléatoires définies comme suit :

• X : Ω → R ωi 7→ X(ωi) =

( 1 si ω_i ∈ {1,2,3,5}

0 si ω_i ∈ {4,6} .

L’univers image de la variableX estX(Ω) ={0,1}. Sa loi de probabilité est définie par p_X(1) =p({X= 1}) =p({1,2,3,5}) = 4

6 = 2 3, pX(0) =p({X= 0}) =p({4,6}) = 2

6 = 1 3.

(29)

3.3. TYPES DE VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES 25

• Y : Ω → R

ωi 7→ Y(ωi) =ω_i² .

L’univers image de la variable Y est Y(Ω) = {1,4,9,16,25,36}. Sa loi de probabilité est définie par

Valeurs de Y :y_i 1 4 9 16 25 36 Total p({Y =y_i}) =p_i 1

6 1 6

1 6

1

6 1

Considérons la variable Z =X+ 2. Cette variable a pour distribution de probabilité Valeurs de Z :zi 2 3 Total

p({Z =zi}) =pi

1 3

2

3 1

Considérons la variable T = 2X. Cette variable a pour distribution de probabilité Valeurs de T :ti 0 2 Total

p{T =ti}=pi

1 3

2

3 1

Considérons les variables U =X+Y etV =X×Y. On a les résultats suivants :

ω_i 1 2 3 4 5 6

p(ωi) 1 6

1 6

X(ωi) 1 1 1 0 1 0

Y(ω_i) 1 4 9 16 25 36 (X+Y)(ω_i) 2 5 10 16 26 36 (X×Y)(ω_i) 1 4 9 0 25 0

L’univers image de la variable U =X+Y est U(Ω) ={2,5,10,16,26,36}, celui de la variable V est V(Ω) ={0,1,4,9,25}. Les distributions des variables aléatoires U etV sont :

U =X+Y 2 5 10 16 26 36 Total

p_U 1

6 1 6

1 6

1

6 1

V =X×Y 0 1 4 9 25 Total

pV

2 6 = 1

3 1 6

1 6

1

6 1

3.3 Types de variables aléatoires réelles

SoitX une variable aléatoire réelle, on envisage trois types de variables aléatoires réelles.

• discrète finie, si l’ensemble X(Ω)est fini. Les variables précédentes en sont des exemples.

• discrète infinie, si l’ensembleX(Ω)est infini dénombrable.

Exemple 3.3.1 Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une pièce de monnaie, on considère la variable aléatoire X qui désigne le rang d’apparition du premier “face” obtenu. L’univers image est N^?. L’événement{X=k}est obtenu en lançantkfois la pièce, lesk−1premiers résultats étant “pile”, lek-ième face. D’où

(30)

26 CHAPITRE 3. LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES

p({X=k}) = 1

2 ×. . .×1 2

| {z }

k−1 fois

×1 2 =

1 2

k−1

×1 2 =

1 2

k

• continue, siX(Ω)est un intervalle deR ou une réunion d’intervalles.

Cette distinction est importante car les techniques développées pour étudier les variables aléatoires sont très différentes selon que les variables sont discrètes ou continues.

3.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète

3.4.1 Définition

Soit une variable aléatoireX définie sur un espace probabilisé(Ω,P(Ω), p). Lafonction de répartition de X est définie par

F :R → [0; 1]

a 7→ F(a) =p({X≤a}) 3.4.2 Représentation graphique - Exemple

Une boîte contient 4 boules numérotées de 1 à 4. Une deuxième boîte contient 3 boules numérotées de 1 à 3. On prélève au hasard une boule de la première boîte puis une boule de la seconde boîte. Soit X la variable aléatoire représentant la valeur absolue de la différence des nombres indiqués sur les boules tirées.

On se propose de

– déterminer la loi de probabilité de la variableX, – représenter graphiquement sa fonction de répartition.

1. Si B1 et B2 sont respectivement les boules tirées dans la première et dans la deuxième boîte, on a le tableau ci-dessous :

H HH

HHH B₁

B₂

1 2 3

1 0 1 2

2 1 0 1

3 2 1 0

4 3 2 1

L’univers associé à l’expérience décrite précédemment est défini par Ω = {(i, j), i = 1,2,3,4 etj = 1,2,3}. La variable aléatoireX est définie par

X : Ω → R (i, j) 7→ |i−j|

oùietj sont respectivement les numéros des boules des urnesB1 etB2. L’univers image de la variable X estX(Ω) ={0,1,2,3}.

– L’événement{X= 0} est obtenu de 3 façons :

• en tirant les boules n^o1 des boîtes 1 et 2 dont la probabilité est 1 4 ×1

3 = 1

12, les événements liés aux deux boîtes étant indépendants,

• en tirant les boules n^o2 des boîtes 1 et 2 dont la probabilité est aussi 1 12,

• en tirant les boules n^o3 des boîtes 1 et 2 de probabilité 1 12. Par conséquent,p({X= 0}) = 1

12 + 1 12 + 1

12 = 3 12 = 1

4.

– L’événement{X= 1} est obtenu avec les couples (1,2),(2,1),(3,2),(2,3)et(4,3). Donc