D20542. Bonne mesure
ABCDE est un pentagone régulier de côté 1,AB etCD se coupent en F; la parallèle àAB menée parD coupe enG la perpendiculaire àCD menée parF. Déterminer la longueurDG, de préférence sans trigonométrie.
Solution
Chaque angle du pentagone tel queBCDvaut 3π/5, ainsiCBD=BDC = BF C=π/5 ; les trianglesBCDetDBF sont isocèles et semblables ; le rap- port de similitude est d’une part F D/BD = F D/F B =F D/F C, d’autre partF B/CD =F C/CD; c’est donc ϕ, nombre d’or, C partageant F D en moyenne et extrême raison.
Soit H le symétrique de B par rapport à CD, F BDH est un losange, DH//BF est sur DG, F G//BH car perpendiculaires à DF, BF GH est un parallélogramme. FinalementDH =BF =HG=ϕ.CD,
DG= 2ϕ.CD= 1 +√ 5.
