A337. Résilience * à *****
On désigne par φ(n) la fonction indicatrice d'Euler qui à tout entier n > 0 associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n. Par exemple φ(6) = 2 car les deux entiers 1 et 5 sont premiers avec 6.
Par convention, la résilience r(n) de l'entier n est égale au plus petit nombre d'itérations de la fonction φ composée r(n) fois de suite avec elle-même tel que: φ(φ(φ(..r(n) fois ..(φ(n))...) = 1. On écrit φ[r(n)] (n) = 1.
Par exemple r(6) = 2 car φ[2](6) = φ(φ(6)) = φ(2) = 1.
Q1 Déterminer le plus petit entier n > 2016 tel que r(n) = r(2016) + 2
Q2 Montrer que pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, on sait trouver un entier n tel que r(n) = k.
Application numérique : trouver un entier n1 à trois chiffres tel que r(n1) = 10 et un entier n2
à cinq chiffres tel que r(n2) = 17.
Q3 Pour tout entier k > 0 fixé à l'avance, trouver le plus grand entier n tel que r(n) = k.
Application numérique : k = 12.
Solution de Paul Voyer
Q1
r(2016) = 9
Le plus petit entier n > 2016 de résilience 11 est n = 2023
Q2
Toute valeur k est la résilience de n = 2k.
En effet, 2k est premier avec les n/2 = 2k-1 entiers impairs compris entre 1 et 2k, bornes comprises, d'où récurrence évidente.
Application numérique :
n1 (3 chiffres) = 641 r(641) = 10
n2 (5 chiffres) = 65537 r(65537) = 17 Q3
Pour tout k, l'entier n = 2*3(k-1) convient, il s'écrit 6*3(k-2), premier avec les n/3 entiers congrus à 1 et 5 modulo 6, d'où récurrence simple.
https://oeis.org/A003434 indique que c'est le plus grand entier n tel que r(n) = k.
(Ivan Neretin 24 mars 2015).
Application numérique : k = 12.
Le plus grand n tel que r(n) = 12 est 2*311 = 354 294.
Annexe
https://oeis.org/A003434 donne la correspondance de n vers r(n).
https://oeis.org/A007755 donne la table des plus petits entiers n de résilience r+1.
D'où le tableau :
r n 0 1 1 2 2 3 3 5 4 11 5 17 6 41 7 83 8 137 9 257 10 641 11 1097 12 2329 13 4369 14 10537 15 17477 16 35209 17 65537
