Chapitre 1. Découverte de la TI-Nspire CAS 1

(1)

Philippe Fortin (Lycée Louis Barthou – Pau) / Roland Pomès (Lycée René Cassin – Bayonne)

1

Chapitre

Ce chapitre est surtout destiné aux nouveaux utilisateurs. Il permet de commencer à découvrir certaines des nombreuses possibilités de l’unité nomade TI-Nspire CAS.

1. Avant de commencer…

1.1

Le concept de classeurs (ou documents).

Contrairement aux calculatrices classiques, TI-Nspire travaille sur des documents comme ceux que l’on manipule sur un ordinateur. On ne travaille plus dans une zone de travail unique comme sur une calculatrice ordinaire, mais à l’intérieur de différents Classeurs que l’on pourra transférer de machine à machine, ou entre un ordinateur et une unité nomade. Chaque classeur peut contenir différentes Activités, elles-mêmes constituées d’une ou plusieurs Pages. Par ailleurs, chaque page d’une activité permet d’utiliser différentes Applications : Calculs, Graphiques & géométrie, Tableur & listes, Éditeur mathématique, Données & statistiques.

Il est également possible d’utiliser un Éditeur de programmes, nous y reviendrons dans le chapitre 14, qui présente la programmation sur TI-Nspire.

1.2

Les différents modes d’affichage

Sur l’unité nomade, on peut se trouver à trois niveaux différents : Vue d’ensemble (Explorateur de fichiers)

Cet explorateur offre une vue d’ensemble sur les différents classeurs présents dans la calculatrice.

Ils sont répartis entre différents dossiers.

Si on appuie sur

x

(centre du Nav Pad), ou sur

·

, le classeur sélectionné sera ouvert.

Chapitre 1.

Découverte de

la TI-Nspire CAS

(2)

Vue globale du contenu d’un classeur

Les différentes pages y sont représentées par des miniatures.

L’exemple ci-contre correspond à un classeur divisé en deux activités. La première comporte 2 pages, la seconde en comporte 6.

Ce niveau permet de supprimer des pages, de les déplacer ou encore de sélectionner une page pour y accéder directement.

Si on appuie sur

x

^{ou sur}

·

, la page sélec- tionnée sera ouverte.

Vue d’une page

Les onglets que l’on peut voir en haut de l’écran indiquent la position de la page actuellement affichée. Nous sommes actuellement sur la page 2 de la première activité.

Cet affichage est le « mode normal » dans lequel on va se trouver lorsque l’on travaille à l’intérieur d’un classeur.

Pour passer d’un niveau d’affichage à l’autre, on appuie sur

/

puis sur la partie supérieure ou inférieure du Nav Pad.

/©

Vue d’une page  Vue globale du classeur  Explorateur.

/¨

Explorateur  Vue globale du classeur  Vue d’une page.

1.3

Créer un nouveau classeur, ajouter une page…

Tout cela se fait très simplement en appuyant sur la touche

c

.

On obtient un menu permettant d’ajouter une page Calculs, Graphique & géométrie, Tableurs & listes, Éditeur mathématiques ou Données & statistiques au classeur en cours d’utilisation, ou de créer un nouveau classeur avec une page contenant l’une de ces applications si aucun classeur n’est actuellement ouvert.

Ce menu permet également de passer directement au niveau de l’explorateur de classeurs (choix 7:Mes Classeurs), d’afficher ou régler les paramètres de fonctionnement (8:Infos Système) ou d’accéder à des informations utiles sur l’utilisation de TI-Nspire (choix 9:Astuces).

On peut sélectionner le choix souhaité avec le Nav Pad, puis appuyer sur

x

ou sur

·

, ou utiliser la touche numérique portant le numéro du choix souhaité.

(3)

Découverte de la TI-Nspire CAS 3

© T³ France 2008 / Photocopie autorisée

Par exemple

c6

crée un nouveau classeur,

c1

ajoute une page Calculs au classeur en cours, ou crée un nouveau classeur avec une page Calculs si aucun classeur n’était déjà ouvert.

2. Un premier exemple

Soit f x x x

a f

^ ⁴ x^_⁵ ^

2 1

.

On demande d'étudier les variations, les asymptotes éventuelles, les points d’intersection avec les axes puis de calculer la surface délimitée par la courbe, son asymptote oblique, et les droites d’équations

x1 et x2.

2.1

Définition de la fonction

La première chose à faire est d’ouvrir un nouveau classeur. On appuie sur la touche

c

^,

et on sélectionne le choix 6:Nouveau Classeur.

Si un classeur était précédemment ouvert, on obtient un message nous proposant de le sauver.

(Nous reviendrons sur ce point par la suite.) On obtient ensuite l’écran ci-contre.

Nous allons commencer par définir cette fonction dans l’application Calculs.

On peut donc sélectionner le premier choix avec le Nav Pad, ou appuyer sur la touche

1

^.

On peut à présent définir la fonction.

On pourrait procéder comme sur une machine conventionnelle en utilisant des parenthèses :

f(x):=(4x^2-5x-1)/(2x+1)

·

Mais sur TI-Nspire CAS, on peut saisir l’expression sous sa forme mathématique habituelle en utilisant les modèles prédéfinis. Ici, on veut définir un quotient, il suffit d’utiliser

/p

pour le faire apparaître.

(4)

On complète ensuite l’expression.

Trois syntaxes équivalentes sont utilisables pour définir une fonction dépendant de x :

f(x) := expression define f(x) = expression expression f(x)

(on utilise ici la touche

h

⁾

2.2

Un aperçu de la courbe représentative

Si votre précédente machine était une machine graphique, vous avez peut-être pris l’habitude de jeter systématiquement un rapide coup d’œil à la courbe représentative de la fonction à étudier. Même si ce n’est pas réellement indispensable nous pouvons facilement le faire sur la TI-Nspire CAS…

On appuie à nouveau sur la touche

c

^{et on}

choisit l’application Graphiques & géométrie.

 Un classeur est déjà ouvert, le message situé dans le bas de l’écran indique donc qu’une page avec cette application sera ajoutée au classeur actuel.

La nouvelle page est insérée, et on peut observer qu’un curseur clignote en bas de l’écran, à l’emplacement où l’expression de la (première) fonction à représenter doit être saisie. On veut ici représenter la fonction f, définie à l’étape précédente. Il suffit donc de saisir : f(x)

·

La courbe est aussitôt construite, et le bas de l’écran permettrait de saisir une nouvelle expression à représenter. Comme ce n’est pas le cas, nous pouvons appuyer sur la touche

d

. On obtient alors l’écran ci-contre.

2.3

Modification du cadrage

On dispose de plusieurs possibilités pour définir le cadrage. On peut utiliser le menu contextuel

/b

(c’est l’équivalent d’un clic droit sur une souris), et choisir 4:Zoom pour accéder à toutes les possibilités classiques (Réglages de la fenêtre, différents types de zooms…). On peut aussi accéder à ce menu en pressant la touche

b

, ce qui affiche toutes les commandes disponibles dans l’application Graphiques &

géométrie, puis en choisissant 4:Fenêtre.

(5)

La TI-Nspire CAS offre aussi une manière d’agir sur le cadrage. Appuyer sur

d

^pour

faire disparaître le menu précédent, et déplacer le curseur à proximité d’une graduation sur les axes.

Le curseur prend alors la forme d’une main ouverte.

Pour refermer cette main, ce qui permettra de déplacer la graduation, vous pouvez au choix - appuyer de manière prolongée sur

x

- utiliser la combinaison

/x

La main se referme, et il est possible de déplacer le point associé à la graduation. Lorsque l’affichage correspond à ce qui est souhaité, appuyer sur

d

^.

 Pour agir sur un seul des deux axes, il suffit de maintenir la touche

g

appuyée tout en déplaçant le point.

Il est possible de définir directement le cadrage en choisissant l’option Réglages de la fenêtre. On peut définir l’espacement entre les graduations sur les axes, ou laisser cet espacement se régler de manière automatique en fonction de l’amplitude entre les valeurs maximales et minimales.

Pour afficher ces valeurs extrêmes sur les axes, il suffit d’approcher le curseur de l’un des axes, puis d’appuyer sur

/b

. Le second choix du menu contextuel (Attributs) permet de faire apparaître une barre verticale représentant les différents attributs. On passe de l’un à l’autre avec les touches haut et bas du Nav Pad, et on change la valeur de l’attribut en utilisant les touches gauche et droite. Une fois que l’on a fait son choix, il suffit d’appuyer sur le bouton central

x

^.

 Il est possible de gagner de la place pour l’affichage de la courbe en utilisant le raccourci clavier

/G

qui permet de masquer ou de réafficher la zone de saisie des expressions.

Vous trouverez plus d’informations sur l’utilisation de l’application Graphiques & géométrie dans le manuel du logiciel TI-Nspire CAS, ou dans celui de l’unité nomade. Nous en verrons également une autre utilisation dans la suite de ce chapitre.

(6)

2.4

Intersections avec les axes

Nous allons ici utiliser l’outil de calcul formel. Nous avons déjà ouvert une page Calculs dans notre document, et nous pouvons continuer à l’utiliser. C’est la page 1.1 de notre document. Nous sommes actuellement sur la page 1.2. Pour passer de l’une à l’autre, il suffit d’appuyer sur la touche

/

^puis

sur le coté gauche ou droit du Nav Pad.

Pour obtenir l’intersection avec l’axe des ordonnées, il suffit de calculer f

a f

0 .

Pour l’intersection avec l’ des abscisses, on doit résoudre l’équation .

axe f x

a f

^⁰

Cela peut se faire en entrant : solve(f(x)=0,x)

Vous pouvez taper directement cette instruction en utilisant le clavier alphabétique, ou utiliser la touche

b

, puis en choisissant Algèbre, puis

Résolution.

 Les fonctions les plus utiles pour l’algèbre (résolution d’équations, factorisation, développement, liste des valeurs annulant une expression, valeur approchée, réduction au même dénominateur, décomposition d’une fraction, résolution numérique approchée, transformations trigonométriques, calcul sur les complexes, extraction du numérateur ou du dénominateur…) se trouvent dans le menu Algèbre.

 Les fonctions les plus utiles pour l’analyse : calcul de dérivées, calcul de primitives, limites, sommes et produits de termes, extrema d’une fonction, développements limités par la formule de Taylor, résolution d’équations différentielles se trouvent dans le menu Analyse.

 Vous trouverez également de nombreuses fonctions utiles dans le menu Nombres. En particulier ce menu contient un sous-menu Complexes (partie réelle, imaginaire, conjugué, etc…)

On peut également choisir d’utiliser la fonction zeros, qui recherche les valeurs annulant une expression. Il suffit d’entrer : zeros(f(x),x)

2.5

Calculs approchés

Il est souvent utile d’obtenir également des valeurs approchées (par exemple en physique…).

Il existe plusieurs façons de procéder sur la TI-Nspire CAS.

La plus simple consiste à appuyer sur

/·

pour valider un calcul.

(7)

zeros(f(x),x)

/·

Le nombre de décimales affichées est paramétrable, tout comme d’autres éléments (unité utilisée pour les mesures d’angles, mode réel ou complexe, etc.).

Pour accéder à ces différents réglages, on peut par exemple utiliser la touche

c

puis choisir Infos système. On obtient alors un menu permettant d’effectuer ce réglage localement, au niveau du classeur, ou globalement au niveau du système (il s’appliquera alors à tous les classeurs, sauf ceux faisant l’objet de réglages locaux spécifiques).

2.6

Étude du sens de variation

Il suffit de calculer la dérivée de la fonction, puis d’en étudier le signe.

Pour la première étape, on sélectionne l’opérateur de dérivation dans la palette des modèles disponibles : on appuie sur

/r

, puis on sélectionne l’opérateur avec le Nav Pad (on se déplace d’un modèle à l’autre, puis on valide en appuyant sur le bouton central).

Il reste à rechercher les racines de l’équation, en utilisant la fonction solve ou la fonction zeros.

(8)

On entre le nom de cette fonction avec les touches alphabétiques du clavier ou par l’intermédiaire du menu Algèbre, puis on remonte dans l’historique des calculs avec le Nav Pad.

On valide en appuyant sur le bouton central, et il ne reste plus qu'à compléter la commande en tapant

,x puis

·

. Inutile de saisir la parenthèse fermante : elle a déjà été automatiquement insérée.

2.7

Calcul des valeurs des extrema

Nous avons actuellement la liste des deux racines de la dérivée affichée à l’écran. Nous devons calculer les images de ces deux nombres par f. Il suffit de demander l’image de cette liste par f.

1. On compose le début de la ligne : f(

2. On utilise le Nav Pad pour remonter dans l’historique des calculs et désigner le résultat à utiliser.

3. On valide avec le bouton central.

4. La parenthèse fermante est déjà là. On appuie donc sur

·

.

(9)

 Vous pouvez remonter plus loin dans la liste des résultats déjà calculés. On peut également sélectionner une expression calculée, pour la copier dans la zone d’édition et la modifier. Si nécessaire, on peut copier une expression d’une page à l’autre en utilisant les raccourcis

/C

et

/V

^.

2.8

Étude des limites

On sélectionne le modèle permettant de saisir une limite en appuyant sur les touches

/r

^{, puis on}

sélectionne l’opérateur avec le Nav Pad (on se déplace d’un modèle à l’autre, puis on valide en appuyant sur le bouton central). Il suffit ensuite de compléter les différentes zones du modèle.

 On peut utiliser le raccourci clavier

/j

pour saisir le symbole infini. La touche

j

^utilisée

pour saisir le i des nombres complexes se trouve dans la première colonne.

 L’un des champs du modèle permettant d’entrer une limite est optionnel.

Il est utilisé pour les limites à gauche ou à droite.

On y place un + ou un -, comme dans la notation mathématique usuelle.

 Ne pas écrire le + lors de la recherche d’une limite en .

 Dans l’exemple précédent, il n’y a pas de limite en 1/2 car les limites à gauche et à droite sont distinctes. C’est la signification de la réponse undef obtenue dans l’écran de gauche.

Il est à présent possible de compléter notre tableau de variations par les valeurs de ces limites et par les valeurs aux deux extrema.

2.9

Étude des asymptotes

L’étude des limites montre l’existence d’une première asymptote “verticale” d’équation x 1 2. Nous allons à présent étudier l’asymptote “oblique”.

(10)

Notre fonction peut être écrite sous la forme ^f

 

2 1

x a x b c

   x

 .

Le dernier terme a une limite nulle à l’infini. La droite y ax b  est donc asymptote à la courbe. Il reste à obtenir les valeurs de a, b, c. La fonction expand permet d'obtenir directement la décomposition de la fraction rationnelle utilisée pour définir la fonction f. On peut saisir son nom directement, ou sélectionner Développer dans le menu Algèbre. Vous pouvez aussi utiliser propFrac.

expand(f(x),x)

·

^:

L’équation de l’asymptote est donc ^d

 

² ⁷

x  x2 et 5 c2.

Il est facile de visualiser l’asymptote sur la construction précédente.

Appuyer sur

/¦

pour passer à la page 2, puis utiliser si nécessaire la touche

e

pour placer le curseur dans la zone permettant de saisir une nouvelle fonction.

Cela permet de vérifier graphiquement que cette droite semble bien être asymptote à la courbe.

2.10

Calcul d’aires

Cette partie est immédiate avec une TI-Nspire CAS. On peut prévoir graphiquement, et vérifier par le calcul, que la différence entre ^f

 

^x ^et^d

 

^x ^²^x^^{7 /}2 est positive lorsque x est compris entre 1 et 2.

D’après ce qui précède, ^f

   

^x ^^d ^x ^^{2 2}



⁵^x^¹



L’écran suivant a été obtenu en zoomant sur cette zone. Nous pouvons faire les calculs d’aires sur une nouvelle page de notre classeur.

(11)

Il reste à intégrer cette différence pour obtenir l’aire, exprimée en unités d’aire.

On peut commencer par un calcul de primitive :

ou demander directement la valeur de l’intégrale :

3. Un exercice de géométrie

Voici le texte d’un exercice posé à l’oral de CCP en 2007 (il a été publié dans l’Officiel de la Taupe 2007-2008). On considère un triangle dont les 3 sommets se trouvent sur une hyperbole équilatère. On demande d’établir une propriété concernant l’orthocentre de ce triangle.

3.1

Ouverture d’un nouveau classeur

On commence par demander la création d’un nouveau classeur. Sur l’unité nomade, on ne travaille qu’avec un seul classeur ouvert à la fois (sur la version logicielle, on peut travailler avec plusieurs, comme c’est le cas avec la majorité des applications de type traitement texte, tableur, etc…). Le système nous propose donc de sauvegarder notre travail.

(12)

Choisir Non si le classeur déjà ouvert n’est pas destiné à être réutilisé.

Dans le cas contraire, choisir Oui. Sélectionner ensuite dans la liste déroulante le nom du dossier dans lequel placer ce classeur, puis saisir le nom à utiliser pour l’enregistrement.

Lorsque l’on appuie sur

·

, le nouveau classeur s’ouvre immédiatement.

 Les différents dossiers sont visibles au niveau de l’explorateur. Ce dernier permet d’en assurer la gestion courante : création d’un nouveau dossier, changement de nom, suppression. Pour accéder à ces différentes possibilités vous pouvez utiliser le menu de l’explorateur accessible en appuyant sur la touche

b

, ou le menu contextuel accessible par

/b

^.

3.2

La construction géométrique, outil de conjecture

On peut ensuite entrer l’équation de l’hyperbole dans la ligne de saisie, puis modifier le cadrage. Pour la suite, nous n’avons pas besoin d’afficher l’équation dans le bas de l’écran. On supprime donc cet affichage en utilisant

/G

^.

(13)

On peut ensuite construire un triangle dont les 3 sommets sont sur l’hyperbole. On sélectionne l’outil

Triangle dans le menu Figures. Sur la version 1.4, cela s’obtient en utilisant les touches

b82

^.

On déplace ensuite le curseur de façon à le placer sur un point de l’hyperbole. Celle-ci passe en pointillés et le message « Point sur » s’affiche. Placer le point en pressant le bouton

x

. Une fois que c’est fait, il suffit de se déplacer vers un autre point, et de cliquer à nouveau. On termine par le 3^ème point

Lorsque le dernier point est placé, le triangle apparait en gras pendant un court instant, puis est affiché en utilisant un trait d’épaisseur normale. N’oubliez pas de cliquer sur

d

pour quitter l’outil triangle.

Tout cela est très simple, mais il est important de s’assurer à chaque étape que le message Point sur est bien affiché, et que l’hyperbole est bien affichée en pointillés avant de cliquer.

Que faire en cas d’erreur ? Sur TI-Nspire CAS, on peut (en principe !) toujours réparer une action incorrecte… Utiliser (plusieurs fois si nécessaire) le raccourci clavier

/Z

pour annuler les dernières actions. Pour rétablir une opération annulée par erreur, utiliser

/Y

^.

On peut choisir d’utiliser un niveau de gris pour remplir le triangle. Placer le curseur sur l’un des côtés du triangle. Lorsque celui-ci clignote, sélectionner le menu contextuel

/b

^{, puis}^Attributs^{, et}

modifier la couleur de remplissage dans le premier attribut. Appuyer sur

x

pour valider votre choix.

(14)

On peut ensuite construire les hauteurs.

Il n’existe pas d’outil permettant de le faire directement, on va donc revenir à la définition : ce sont les droites perpendiculaires à un côté passant par le sommet opposé.

1. Sélectionner l’outil Perpendiculaire dans le menu Constructions, 2. Cliquer sur l’un des côtés,

3. Cliquer ensuite sur le point opposé.

Si on se place à un endroit comme dans l’écran ci-dessous à gauche, il y a une ambiguïté… Veut-on une droite perpendiculaire à l’axe, ou au côté ?

Pour choisir entre les différents objets possibles, il faut appuyer sur la touche

e

. Le message « Axe x » est alors remplacé par « côté », et ce côté clignote (écran de droite).

(15)

Après avoir terminé la construction de la 3^ième hauteur, appuyer sur

d

pour ne pas risquer de commencer la construction d’une 4^ième droite perpendiculaire à l’occasion d’un clic malencontreux.

À ce stade, le suspense est encore total, puisque les hauteurs se coupent en dehors de la partie visible de l’écran graphique.

On peut placer sur une zone vide de l’écran, et utiliser

/x

puis déplacer la fenêtre graphique avec le Nav Pad. On peut aussi jouer sur le cadrage…

Si comme dans l’écran ci-dessus, les droites n’ont pas été prolongées suffisamment pour que le point d’intersection apparaisse, sélectionner l’outil Point d’intersection dans le menu Points et droites puis cliquer sur 2 hauteurs.

Le point semble bien être sur l’hyperbole… On peut alors déplacer les 3 sommets du triangle pour s’assurer que cela reste vrai dans d’autres configurations.

(16)

Placer le curseur sur l’un de ces points,

/x

, puis le déplacer avec le Nav Pad.

3.3

Une preuve analytique

Il est temps à présent de passer à la démonstration analytique. On va pour cela rechercher les équations de 2 hauteurs, puis rechercher les coordonnées du point d’intersection.

On insère une page Calculs en appuyant sur

c1

, puis on définit une fonction calculant l’équation de la hauteur orthogonale au côté défini par 2 points P et Q passant par un point R (ces trois points seront représentés par une matrice 21).

 Nous avons utilisé le modèle spécifique aux matrices 21.

Le modèle suivant permet d’entrer des matrices de taille quelconque.

Pour écrire cette définition, on utilise les idées suivantes : 1. Par définition de cette hauteur, on a :

( , , )

M x H P Q R RM PQ

y

   

  

 

2. En traduisant l’orthogonalité par une condition sur le produit scalaire, on obtient

( , , )x 0

M H P Q R RM PQ

y

    

  

 

3. Par ailleurs, si ¹

1

M x y

   

  et ²

2

N x y

   

 , alors le calcul de N M permet d’obtenir la matrice 21 dont les composantes sont celles du vecteur MN

, c'est-à-dire ² ¹

2 1

x x

y y

  

  

 .

4. Enfin, le produit scalaire de deux vecteurs représentés par 2 matrices colonnes de même dimension s’obtient en utilisant la fonction dotP.

(17)

Il est important de comprendre que lorsque l’on définit cette fonction, on ne précise pas encore quelles seront les coordonnées des points. On désigne simplement ces 3 points par les lettres p, q et r. Ce n’est que lorsque l’on utilisera cette fonction que l’on précisera leurs coordonnées.

Voici par exemple les calculs qui seront effectués lors de l’appel de 1 3 1

, ,

2 4 -1

     

     

     

 

eqh .

1 3

, ,

2 4 -

p   q   r  

     

      1

1

1 1

x x x

y r y y

        

   

        

       

3 1 2

4 2 2

q p      

       

     

^, ¹ ^, ² ²



¹

 

² ¹



1 2

x x

r q p x y x y

y y

       

        

          

   

dotp dotp 2 2

La fonction eqh renvoie l’égalité : x , 0 r q p y

  

  

  

  

dotp  , c'est-à-dire 2x2y0. Cherchons maintenant les équations de deux hauteurs de notre triangle.

Pour cela, on applique eqh au triplet 1 a a

  

   , 1

b b

  

   , 1

c c

  

  

puis au triplet 1 c c

  

   , 1

a a

  

   , 1

b b

  

  

et on stocke les résultats obtenus dans deux variables e1 et e2 :

L’étape suivante consiste à demander la résolution du système défini par ces deux équations, avec x et y comme inconnues. Nous pourrons ainsi déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle.

Pour résoudre un système d’équations, on utilise un modèle particulier de la palette (accolades):

(18)

 On a utilisé le modèle pour entrer ce système de 2 équations.

On peut également utiliser un modèle pour les systèmes de taille quelconque.

Ne pas confondre avec les 2 modèles et utilisés pour les fonctions par morceaux.

Dans l’écran précédent, on a obtenu une expression assez compliquée car celle-ci prend en compte les différents cas particuliers (A B A C ,  ,...).

Pour éviter cela, nous pouvons spécifier des contraintes permettant d’éliminer ces situations. Il suffit de reprendre l’expression précédente en la complétant par :

|ab and ac and bc and a0 and b0 and c0

Le premier symbole est la barre verticale (2^ième touche ronde sur la première rangée), qui signifie

« sachant que » pour la TI-Nspire CAS. Le signe  s’obtient par la combinaison de touches

/=

^.

Voici ce que l’on obtient :

Nous venons de démontrer que l’orthocentre du triangle dont les sommets sont les points

, ,

1 1 1

a b c

A B C

a b c

     

     

     

est le point

1 H abc

abc

  

 

 

.

Ses coordonnées vérifient l’équation 1

H H

y  x et il est donc sur la même hyperbole.

4. Un exemple d’utilisation de Tableur & listes

Il serait dommage de conclure ce chapitre consacré à la découverte de TI-Nspire CAS sans parler de l’application Tableur & listes.

Considérons l’exemple classique de la suite de Fibonacci, définie par

0 1

2 1

1 1

n n

u u

u _ u _ u

 

 

   n



4.1

Calcul des termes

On voudrait obtenir les valeurs u u₂, ,...,₃ u₂₀ des termes de cette suite.

On ouvre l’application Tableur & listes :

c3

, et on place les 3 premières valeurs de n dans les cellules a1, a2 et a3, la valeur dans dans u₀ b1 et celle de dans u₁ b2.

(19)

Dans b3, on écrit =b1+b2, ce qui permet d’obtenir la valeur du terme , et surtout d’initialiser le calcul des termes pour les cellules suivantes.

u2

Nous allons maintenant compléter la liste des valeurs de n dans la colonne A.

On sélectionne ensuite les 3 premières cellules de la colonne A, puis le choix Saisie rapide dans le menu contextuel accessible en appuyant sur

/b

^.

On utilise ensuite le NavPad pour étendre la sélection vers le bas, jusqu’à la ligne 21, et on appuie sur le bouton central.

TI-Nspire reconnait les premiers termes d’une suite arithmétique de raison 1 dans les cellules a1, a2,

a3, et complète donc les cellules suivantes en suivant le même schéma.¹

Il nous reste maintenant à obtenir le calcul des différents termes de la suite.

1 Il aurait été possible de placer 0 dans la cellule a1, =a1+1 dans a2, puis de copier le contenu de la cellule a2 vers le bas.

(20)

On se place ensuite sur la cellule b3, contenant la formule de calcul du terme de la suite à partir des deux termes précédents, et on étend cette définition vers le bas en utilisant une nouvelle fois l’outil

Saisie Rapide dans le menu contextuel.

4.2

Changement des valeurs initiales

Considérons à présent la suite définie par

0

1

2 1

1 1 2

n n

u u

u_ u _ u

 

 



  n



Il suffit de changer la cellule b3 qui contient la valeur de . Tous les termes sont aussitôt recalculés, et comme on peut le voir dans l’écran ci-dessous, cela se fait sous forme exacte !

u1

 Pour obtenir les résultats sous forme décimale approchée, et non sous forme exacte, il suffit de saisir l’un des premiers termes sous forme décimale : on peut placer 1. en b1 ou 0.5 en b2.

En effet, lorsque l’un des éléments d’un calcul est un nombre écrit sous forme décimale, le résultat est également obtenu sous forme décimale.

Il n’est donc pas totalement équivalent d’écrire 1 ou 1. dans la cellule b1 !

(21)

4.3

Représentation graphique

Il faut donner un nom à chacune des deux premières colonnes, en l’inscrivant dans l’entête :

On sélectionne ensuite les deux colonnes, puis le choix Graphe rapide dans le menu contextuel.

L’écran est alors divisé en deux parties, et la représentation graphique des termes de la suite est affichée dans la partie droite, avec un cadrage tenant compte des valeurs minimales et maximales du contenu des deux colonnes.

On peut choisir de personnaliser la répartition entre les deux zones de l’écran en sélectionnant Format de page dans le menu Outils (accessible par

/#

⁾

(22)

Choisir ensuite Personnaliser le partage d’écran

puis utiliser le Nav Pad pour augmenter la partie utilisée pour la représentation graphique des termes de la suite.

On peut observer la croissance très rapide des termes de cette suite.

Nous verrons dans les autres chapitres de ce livre d’autres fonctionnalités qui n’ont pas encore été abordées pour l’instant. En particulier, l’application Données & statistiques sera largement utilisée dans le chapitre 13 sur les probabilités et les statistiques.

Vous pourrez également découvrir l’application Éditeur mathématique dans le chapitre 3.

Mais avant d’aller plus loin, nous devons prendre le temps de découvrir dans le chapitre 2 quelques points essentiels pour la bonne utilisation d’un système de calcul formel.

(23)

2

Chapitre

L’utilisation d’un outil de calcul formel, comme de tout autre outil un peu évolué, nécessite un certain apprentissage. Il est indispensable de prendre très rapidement conscience des particularités et des limites de l'utilisation d'un outil de ce type. La plus grande partie du contenu de ce chapitre n'est pas spécifique à l'utilisation de tel ou tel modèle de calculatrice, ou de logiciel de calcul formel.

1. Utilisation des calculatrices “classiques”

Avant d'aller plus loin dans l'étude des particularités d'utilisation d'un logiciel de calcul formel, il n'est peut-être pas inutile de rappeler que l'utilisation de n'importe quel outil de calcul, y compris purement numérique, peut causer des erreurs liées à la façon dont seront traitées les données.

1.1 Erreur numérique lors d'un calcul isolé

Pour commencer, une calculatrice numérique ne peut pas manipuler de nombres réels dont le développement décimal n'est pas limité à 12, 13 ou 14 décimales (suivant les modèles). De ce fait, des calculs simples comme ^{3 1/ 3}^

 

peuvent éventuellement conduire à des résultats inexacts.

En particulier, il ne faudra jamais tester l'égalité de deux nombres décimaux dans un programme, il est largement préférable d'utiliser un test pour voir si la valeur absolue de la différence de ces nombres est bien inférieure à une certaine valeur. Imaginons par exemple un programme chargé de résoudre les équations du second degré.

Typiquement, un tel programme va comporter un test sur les valeurs de delta.

Que va-t-il se passer avec l'équation x²+2 2x+ =2 0 ?

Si l'on calcule un discriminant associé à une équation de ce type, suivant la calculatrice utilisée, il est tout à fait possible d'obtenir un résultat non nul, éventuellement négatif ! On va retrouver la même situation dans d'autres cas, comme par exemple pour l'étude de la colinéarité de deux vecteurs.

Certaines machines “trichent” un peu et arrondissent les résultats très petits... ce n'est bien sûr qu'une solution très approximative, et qui peut conduire à d'autres erreurs... (par exemple lorsque l'on étudie si une matrice est inversible à partir de la valeur de son déterminant...).

1.2 Cumul d'erreurs

Naturellement ce type d'erreur va avoir des conséquences encore plus importantes si l'on effectue des calculs en cascades, comme par exemple lors d'un calcul des valeurs des termes d'une suite définie par récurrence. Le résultat final est parfois totalement incorrect.

Chapitre 2.

Bien utiliser un outil

de calcul formel

(24)

Un exemple classique est celui de la suite définie par u_n₊₁=(n+1)u_n-1 avec u₀= -e 1.

On peut montrer que cette suite possède une limite nulle, alors que l'on obtient des résultats totalement aberrants, et contradictoires d'un modèle de calculatrice à l'autre, lorsque l'on tente de faire un calcul numérique des termes de cette suite (lors du calcul de , l'erreur précédente est multipliée par n... on obtient donc très rapidement des erreurs considérables...).

un

1.3 Représentations graphiques chaotiques...

On peut être tenté de prévoir la valeur d'une limite en utilisant sa calculatrice.

Considérons ainsi

( ) (

¹⁰

)

10

ln 1 x

f x x

= + .

Quelle est la limite de cette fonction en 0 ? Nous savons qu'elle est égale à 1. Pourtant, la représentation graphique obtenue sur une calculatrice est assez surprenante :

Il ne s’agit pas d’un « bug ». On obtient le même type de courbe sur tout autre logiciel (ici, Maple¹) :

1Maple est une marque déposée de Waterloo Maple Inc.

(25)

Limites des outils de calcul formel 3

On peut compléter cette exploration par le calcul de quelques valeurs :

Comment interpréter tout les valeurs nulles obtenues au voisinage de 0 ?

C'est facile si l'on sait par exemple que sera arrondi à 1, que le logarithme de cette expression sera donc égal à 0, et que la division par ne changera rien à cela !

1 10+ ^-14

10^-¹⁴

2. La simplification des expressions

Un des problèmes que l’on rencontre très vite lorsque l'on manipule un logiciel de calcul formel, que ce soit sur une calculatrice ou un ordinateur, concerne la forme parfois inattendue d'un résultat, qui, bien que correct, n'est pas exprimé sous la “forme simplifiée” à laquelle on s'attendait. Il faut absolument comprendre qu'il est bien difficile lorsque l’on fait des calculs sur des expressions symboliques de définir ce qu’est la forme simplifiée d’une expression.

La plus simple à utiliser… pourrait-on être tenté de répondre.

Commençons par un exemple simple, lié à l'étude des fonctions polynômes. Lorsqu'il s'agit de calculer les valeurs d'un polynôme en un point, on peut convenir que la forme simplifiée est la forme qui nécessite un minimum d'opérations.

Par exemple, pour calculer les valeurs du polynôme

( )

243 ⁵ 405 ⁴ 270 ³ 90 ² 15 1

p x = x + x + x + x + x+

c'est-à-dire de

( )

243 405 270 90 15 1

p x = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +x x x x ⋅ ⋅ ⋅ +x x x ⋅ ⋅ + ⋅ +x x x on doit, a priori, effectuer 15 multiplications et 5 additions.

Une idée classique consiste à utiliser une forme équivalente de l'expression, mais moins coûteuse lors que l'on souhaite effectuer des calculs. La méthode de Hörner consiste à écrire ce polynôme sous la forme :

( )

¹

(

¹⁵

(

⁹⁰

(

²⁷⁰

(

^{405 243}

) ) ) )

p x = + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x x x x x

Il ne faut pas se laisser abuser par la présence de nombreuses parenthèses. Cette expression est effectivement moins coûteuse en calculs que l'expression initiale du polynôme. Il suffit maintenant de calculer 5 produits et 5 sommes.

Dans ce cas particulier, une bien meilleure méthode consiste à factoriser ce polynôme :

( ) (

³ ¹

)

⁵

p x = x+

(26)

Cette factorisation est également particulièrement intéressante si l'on veut résoudre l'équation ou encore obtenir une forme simplifiée de la fonction dérivée.

( )

⁰

p x =

Faut-il pour autant en déduire que l'on doit systématiquement rechercher une forme factorisée lorsque l'on a besoin de faire des calculs de ce type avec des fonctions polynômes ?

Il suffit de prendre par exemple le polynôme défini par

( )

⁵ 32 q x =x -

pour se convaincre du contraire. La forme factorisée (à coefficients entiers) est

( ) (

²

) (

⁴ ² ³ ⁴ ² ⁸ ¹⁶

)

q x = -x x + x + x + x+

et on ne peut pas dire qu'elle soit beaucoup plus efficace lorsqu'il s'agit de calculer des valeurs, ni même pour une étude de signe, où il est plus simple d'utiliser la monotonie de xx⁵ que d'étudier le signe du produit

(

^x^-²

) (

^x⁴⁺²^x³⁺⁴^x²⁺⁸^x⁺¹⁶

)

Cet exemple illustre bien la difficulté que pose l'écriture d'un logiciel de calcul formel… il n'existe bien souvent pas de méthode optimale, utilisable avec toute une catégorie d'objets, et apte à résoudre dans les meilleures conditions possibles un problème donné.

En ce qui concerne la simplification des expressions, deux types d'attitude sont possibles.

 Laisser à l'utilisateur un contrôle complet des simplifications à effectuer.

 Choisir de proposer systématiquement une forme simplifiée relativement optimale.

Maple, par exemple, laisse un contrôle total à l'utilisateur qui peut décider d'utiliser telle ou telle règle de simplification, tout en en ignorant d'autres.

Séduisant... Mais considérons à présent l'expression

( )

⁵

( )

⁵

32 5 32 5

5 1 5 5 1 5

A= +

- + +

obtenue lors du calcul du quatrième terme de la suite de Fibonacci en utilisant les méthodes classiques de calcul des termes d'une suite récurrente double.

Nous savons que les termes de cette suite définie par

2 1

n n

u ₊ =u ₊ +u_n

0 1 1

u =u =

(27)

sont tous des entiers, ce qui est loin d'être évident avec l'expression précédente.

Il existe donc une forme plus simple de cette expression, que l'on peut d'ailleurs obtenir très simplement en calculant les premiers termes de la suite.

Voyons comment cette simplification peut être conduite avec Maple.

Cette fois l'utilisation de la fonction simplify n'a pas été suffisante, et l'on a dû utiliser des fonctions de mise en forme plus élaborées (normal ou radsimp dans cet exemple), avec les options appropriées pour parvenir au résultat souhaité.

À l'inverse, la TI-Nspire CAS vise à assurer un maximum de facilité à son utilisateur. C'est pourquoi certaines simplifications seront automatiquement effectuées, comme on peut le voir sur les écrans suivants qui reprennent nos deux exemples précédents.

Il est bien évident que l'on gagne énormément en simplicité d'utilisation, mais il faut bien voir que l'on perd, en revanche, toute possibilité de simplification partielle.

3. Les risques de la simplification automatique…

Nous avons déjà vu que la notion de forme simplifiée d'une expression est souvent très dépendante du contexte, et de la suite que l'on souhaite donner aux différents calculs. Nous allons aborder ici le problème de la validité de ces simplifications, et des conséquences que cela peut avoir dans la suite des calculs.

Prenons par exemple le cas des fractions rationnelles. On peut les laisser telles qu'elles ont été saisies, ou au contraire choisir de les simplifier de manière automatique.

(28)

Par exemple, Maple ne fait ces simplifications qu'à la demande :

En revanche, la TI-Nspire CAS va automatiquement réaliser ce type de simplifications :

 Noter l’affichage du message en bas de l’écran. L’expression simplifiée n’a effectivement pas le même ensemble de définition que l’expression initiale (celle-ci n’est pas définie en 1)

Ce deuxième choix va généralement permettre d'obtenir des résultats sous une forme plus utilisable, mais il faut être conscient que cela va également avoir des conséquences dans certains cas. Prenons l'exemple de la recherche du numérateur d'une fonction.

Avec Maple, on doit utiliser la fonction numer :

Que se passe-t-il avec une TI-Nspire CAS si l'on souhaite effectuer le même calcul ?

Pour comprendre ce résultat, on doit savoir que la TI-Nspire CAS commence toujours par simplifier les fractions rationnelles. Lors de l'évaluation de l'expression

2 1

getdenum 1 x

x æ - ÷ö

ç ÷

ç ÷÷

ç -è ø

(29)

on commence par simplifier le quotient

2 1

1 x

x -

- , ce qui conduit à x+1, puis on recherche le numérateur de cette expression.

Dans cet exemple, il était facile de prévoir cette situation. Il existe néanmoins des cas où l'on peut obtenir un résultat faux ou incomplet alors que le problème étudié ne faisait pas, a priori, intervenir des fractions rationnelles. Considérons par exemple le système

1 1 mx y x my ì + = ïïíï + = ïî

Un système de calcul formel utilisant les formules de Cramer, sans se soucier de leur validité, va obtenir

2

1 1

1 1 x y m

m m

= = - =

- + ^.

L'utilisateur risque alors de croire que ce résultat est valable pour toutes les valeurs de m autres que , et penser qu'il y a une solution unique

-1 1

x= =y 2 pour m=1. Ce qui est totalement faux.

Cette absence de prise en compte des cas particuliers est une caractéristique essentielle des logiciels de calcul formel les plus courants.

4. Le domaine utilisé pour les calculs

4.1

Calcul avec des entiers

Quelle est la valeur de

 

^¹ ²ⁿ ou encore de ^sin

 

ⁿ^ ^?

À vrai dire, on n’a pas vraiment besoin d’un logiciel de calcul formel pour répondre à ces questions ! Il est indispensable de savoir ce qui va se passer pour comprendre la « non-simplification » apparente de certains résultats.

Voici par exemple un calcul d’intégrale qui peut intervenir lors de l’étude des séries de Fourier :

On peut être déçu par la forme du résultat… Le logiciel semble ne pas « savoir » que cos(2n) 1 et que . En fait, cela est parfaitement normal dans la mesure où ce logiciel « ne sait pas » non plus que est un entier ! On retrouverait le même type de résultat sur tout autre logiciel de calcul formel.

 

sin 2n 0 n

(30)

Sur la TI-Nspire CAS, on utilisera une variable reconnue par le système comme désignant un entier quelconque :

 On trouvera le caractère n dans l’onglet 4 du catalogue, ou dans la table des symboles accessibles par

/k

. Les variables n0, n1…n255 sont toutes considérées comme désignant des entiers arbitraires.

4.2

Calcul dans l’ensemble des nombres complexes

Tous les logiciels de calcul formel travaillent a priori dans l'ensemble des nombres complexes, ce qui peut poser quelques problèmes...

Considérons par exemple une fonction comme

( )

¹

2 f x x

x

= - -

Peut-on calculer la valeur de cette fonction au point ? La réponse est bien évidemment non, si l'on pense à un calcul dans l'ensemble des nombres réels. Le problème, c'est que la notation

3 x= -

x peut avoir également un sens dans l'ensemble des nombres complexes, et désigner le nombre a, nul si

ou tel que

 0 x=

a = x

 ^arg

( )

^a ⁼^a ^{[2 ]}^p avec ^, 2 2 a ù p pù

ú ú

Î -úû úû et pour .

( )

^[2

a p

2 =arg x ]

¹0 x

Cette nouvelle fonction vérifie bien

( )

^x ²⁼^x mais elle ne possède pas les mêmes propriétés que la fonction racine carrée classiquement définie dans l'ensemble des nombres positifs. Par exemple, avec x et y complexes quelconques, les égalités

x2= x ou encore

x y = x y

ne sont plus vérifiées ! C'est d'ailleurs pour cela que certains mathématiciens avaient décidé d'exclure la notation -1. (Pour éviter des calculs du type - = - ´ - = - - =¹ ¹ ¹

( )( )

¹ ¹ ^{1 1 ???}= ).

Il est de la même façon tout à fait possible de définir le logarithme d'un complexe, ou encore l'arcsinus d'un nombre supérieur à 1… Revenons au calcul de

(31)

( )

¹

2 f x x

x

= -

-

au point x=-3… Si l'on se place dans l'ensemble des nombres complexes, on aura

( )

³ ⁴ ⁴ ² ²

5 5 5 5

f i

i

- = - = = =

-

5 .

Le résultat final, parfaitement réel, ne laisse pas entrevoir la nature complexe des calculs intermédiaires. Ce n'est absolument pas une anomalie, et c'est bien dans cet esprit qu'avaient été introduits les complexes (par exemple pour pouvoir faire certains calculs intermédiaires lors de la résolution d'une équation du troisième degré… tout en recherchant des solutions qui seraient parfaitement réelles).

Le problème réside seulement dans le risque de confusion que peut faire l'utilisateur du fait de la similitude de notation entre des fonctions purement réelles, définies sur des intervalles bien particuliers, et ces fonctions de la variable complexe. Cette situation est dans une certaine mesure aggravée sur des calculatrices offrant le choix du mode de fonctionnement réel ou complexe. Ainsi, en mode réel, la TI-Nspire CAS s'interdit seulement d'afficher un résultat final complexe lorsque l'on traite un problème réel, mais que cela ne signifie pas que tous les calculs intermédiaires ont été faits dans l'ensemble des réels. En conséquence, on risque d'obtenir des résultats incorrects lors de l'utilisation des fonctions racine carrée, logarithme, ou encore trigonométriques inverses lorsque celles-ci ne sont pas utilisées sur leur ensemble de définition.

L'autre problème concerne l'absence d'utilisation, ou au contraire l'utilisation systématique, de certaines règles de calcul spécifiques aux seuls nombres réels, lorsque l'on utilise des fonctions comme la conjugaison, la partie réelle, ou encore la partie imaginaire…

Quelle est la forme simplifiée de ^Re

(

^{x iy}⁺

)

? Voici la réponse de Maple :

Maple considère par défaut que les variables qu'il rencontre sont complexes. Ce n'est que lorsque l'on indique explicitement que les variables manipulées sont des réels que l'on obtient une simplification de l'expression.

Les concepteurs de la TI-Nspire CAS ont choisi un point de vue différent.

Par défaut, toutes les variables symboliques non affectées sont réelles.

Cela permet d'obtenir directement la simplification d'expressions comme ^Re

(

^{x iy}⁺

)

ou encore x iy

x iy + - .

Sur une TI-Nspire CAS, pour manipuler une variable symbolique complexe, et éviter l'utilisation de règles de simplification spécifiques aux variables réelles, il faut lui donner un nom se terminant par le caractère _ (que l’on obtient avec

/_

sur l’unité nomade) qui indique la nature particulière de cette variable.

(32)

 Dans le 3^ième calcul, la variable a été considérée comme étant réelle, et donc égale à son conjugué… Ce n’est pas le cas dans le 4^ième, grâce à la présence du tiret bas à la fin du nom.

Il faut enfin savoir que certaines fonctions ne donneront pas la même valeur, suivant que l'on est en mode réel ou complexe. Calculons la racine cubique de -8 avec Maple :

Un peu surprenant, mais pourtant tout à fait prévisible si l'on sait que Maple travaille dans l'ensemble des complexes. Pour calculer le module du résultat, on prend la racine cubique au sens usuel du module de -8, c'est à dire de 8, et on obtient r=2.

Pour calculer l'argument, on utilise la valeur de l'argument du nombre contenue dans l'intervalle .

-8

]

^-^{p p}^,

]

On divise ensuite cette valeur par 3. On obtient ainsi 3 q=p.

D'où ^{/ 3} 1 3

2 2 cos sin 2 1

3 3 2 2

z= ei^p = æççççè æ öçççè øp÷÷÷÷+i æ öçççè øp÷÷÷÷ö÷÷÷÷ø= æççççè +i ö÷÷÷÷÷ø= +i 3 .

Sur une TI-Nspire CAS, on obtiendra la valeur “habituelle”, c'est à dire lorsque l’on est en mode réel mais on retrouvera la valeur donnée par Maple lorsque l’on est en mode complexe (rectangulaire ou polaire).

-2

(33)

5. La comparaison de deux expressions

Nous allons maintenant rechercher une primitive de

( ) ( ) ( )

sin 1

cos 1

f x x

x

= -

+ . Avec Maple, on obtient

( )

^tan ^{ln 1 tan}²

2 2

x x

f x dx= - æ öçççè ø÷÷÷÷+ æççççè + æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø÷÷÷ö÷ø

ò

^÷ ^.

Voici le résultat obtenu avec une TI-Nspire CAS, placée en moderéel:

Les deux résultats sont suffisamment éloignés pour dérouter plus d'un utilisateur.

Si l'on n'a pas en tête l'existence de formules permettant d'exprimer cos

( )

x en fonction de tan

(

x/ 2

)

, on risque d'avoir quelques difficultés à trouver un lien entre ces deux expressions. Il existe de plus des cas où ce type de comparaison sera beaucoup plus difficile, comme par exemple lors de la résolution d'équations différentielles faisant intervenir des constantes d'intégration, ou même parfois dans la simple expression de racines d'une équation polynomiale faisant intervenir des racines carrées imbriquées.

En particulier, il est donc totalement utopique de penser qu'il toujours facile de vérifier un résultat obtenu à partir d'un calcul manuel à l'aide de votre calculatrice.

En fait, il n'existe que quelques cas dans lesquels on est absolument assuré de pouvoir vérifier si deux expressions sont identiques ou non. C'est en particulier vrai pour les expressions polynomiales (qu'il suffit de développer) ainsi que pour les polynômes trigonométriques (que l'on pourra linéariser² totalement).

Dans de nombreuses autres situations, il ne restera guère que la possibilité de comparer numériquement les expressions obtenues...

2 Cette linéarisation s'obtient avec la fonction tcollect sur la TI-Nspire CAS, ou en utilisant la fonction combine avec l'option trig avec Maple.

(34)

6. L’explosion de la complexité des calculs…

C’est un point sur lequel il faut être particulièrement vigilant, en particulier lors de l’écriture de programmes… Lorsque l’on exécute un algorithme comportant par exemple une boucle avec une centaine d’itérations sur un outil de calcul numérique, on peut prévoir quel sera le temps nécessaire pour effectuer cette série de calculs. Sur les outils actuels, ce temps sera généralement toujours très faible, quelque soit les nombres que l’on fournira à cet algorithme.

Aucune difficulté par exemple pour calculer la valeur numérique des 100 premiers termes de la suite

définie par ₁ ² 1

n n n

u _  u u  et u₀ 1.

En revanche, l’exécution d’un « simple » programme de calcul de ce type peut mettre en difficulté un système de calcul formel. Pour comprendre pourquoi, il suffit de demander les valeurs des premiers termes de la suite. Voici ce que l’on obtient en mode numérique :

1.732050808 2.394170171 3.020963585 3.625904655 4.215814184

Mais voici les valeurs de u u u u u₁, , , ,₂ ₃ ₄ ₅ obtenues avec un outil de calcul formel :

Quand on voit la complexité du terme , on imagine facilement la difficulté qu’il y aurait à calculer (et surtout à tenter de simplifier) le terme …

u5

u₁₀₀

Dans le cas présent, il est probable que c’est effectivement une valeur numérique de u₁₀₀ qui nous intéresse. Pour l’obtenir, il suffit d’initialiser la suite avec une valeur décimale, et non avec une valeur entière. C’est ce qui est fait, avec succès dans le premier écran ci-dessous (à gauche).

En revanche, dans l’écran de droite, on a lancé le calcul avec une valeur initiale entière 1 (pas de point décimal après le 1), et tous les calculs sont alors faits par défaut de manière exacte…

Il est alors impossible d’obtenir un résultat, même après plusieurs minutes de calculs !

 Pour interrompre le calcul dans la situation de droite, on peut appuyer sur la touche

w

^.

(35)

3

Chapitre

L’objectif de ce chapitre est de vous présenter les méthodes que vous pourrez appliquer dans différents domaines pour faciliter considérablement l’utilisation quotidienne de votre calculatrice.

Sommaire

1. Quelques erreurs à éviter !... 3 1.1 Bien noter les produits... 3 1.2 La saisie des symboles spéciaux... 4 1.3 Le choix de l’unité d’angle... 4 1.4 Connaître la syntaxe des fonctions... 5 1.5 Résultat exact ou approché ?... 6 1.6 Utilisation des unités... 6 1.7 Mauvaise utilisation des fonctions statistiques... 6 1.8 Mode réel ou complexe ?... 6 2. Optimiser la saisie des expressions... 9 2.1 L’historique des calculs... 9 2.2 Le catalogue des fonctions... 9 2.3 Raccourcis clavier... 11 3. Éviter les changements de mode inutiles... 11 3.1 Calcul exact ou approché ?... 11 3.2 Travailler occasionnellement avec des degrés... 11 3.3 Obtenir un complexe sous forme polaire... 12 4. Quelques fonctionnalités utiles…... 13 4.1 Utilisation de contraintes... 13 4.2 Substitution... 13 4.3 Choix de la mise en forme d’une expression... 14

Chapitre 3.

Bien utiliser

la TI-Nspire CAS

(36)

5. L’application Éditeur mathématique... 14 5.1 Saisie des caractères spéciaux... 14 5.2 Mise en forme du texte... 15 5.3 Saisie d’une expression mathématique... 15 5.4 Calcul d’une expression mathématique dans l’éditeur... 16 5.5 Vecteurs, angles…... 16 6. Travailler avec les unités... 17 6.1 Comment entrer un nombre avec des unités... 17 6.2 Conversion... 19 7. Que faire en cas de fausse manipulation ?... 19 8. Sauvegarde... 20

(37)

Bien utiliser la TI-Nspire CAS 3

1. Quelques erreurs à éviter !

Nous avons vu dans le chapitre 2 les problèmes qui peuvent être rencontrés lors de l'utilisation d'un outil de calcul formel. Vous trouverez ici quelques conseils pratiques vous permettant d'éviter de nombreuses erreurs sur votre TI-Nspire CAS.

1.1

Bien noter les produits

Dans la majorité des cas, il est indispensable d’utiliser la touche

r

pour noter les produits :

 ab est le nom d’une variable, et non le produit de a par b.

 y(x+1) désigne le résultat obtenu en appliquant la fonction y à l’expression x1.

Cela peut être très important si vous souhaitez par exemple développer une expression. Le premier calcul semble échouer, alors qu’il ne s’agit en fait que d’une erreur de saisie.

Voici un autre type de p ncontré lors de la résolution de . Dans l'écran de gauche, l'oubli du signe multiplication peut laisser croire que la calculatrice ne sait pas résoudre cette équation. Il suffit de l’ajouter pour obtenir l’expression de la solution.

roblème re

   y y x

a f

1

 La calculatrice détecte elle même une éventuelle erreur lorsque vous utilisez une expression comme par exemple x x 1. Elle affiche alors un message spécifique :

(38)

1.2

La saisie des symboles spéciaux

Attention, il ne faut pas confondre :

 le nombre complexe i avec la lettre i

également accessible au clavier. Pour entrer ce symbole, on doit utiliser la touche

j

 le  utilisé pour la saisie de la fonction exponentielle, avec la lettre e accessible au clavier.

Pour entrer ce symbole, utiliser

/k

.

1.3

Le choix de l’unité d’angle

Ce point est particulièrement important en raison de ses conséquences sur la construction des courbes et les calculs trigonométriques.

Voici ci-contre le résultat (bien décevant à première vue...) que l'on obtient lors du calcul de

cos

F

x

H I

3

K

2

 en mode degrés.

On rencontrerait aussi de sérieux problèmes en cherchant à représenter une fonction trigo- nométrique…

Pour modifier le choix de l’unité d’angle, appuyez sur

c8

, puis choisissez Réglages du classeur ou Réglages du système. Dans le premier cas on modifie seulement les réglages concernant le classeur en cours d’utilisation, sans impact sur ce qui se passera à l’ouverture d’un autre classeur. On passe ensuite d’un champ à l’autre avec la touche

e

et on choisit entre les différentes valeurs possibles à l’aide du Nav Pad. Une fois les modifications terminées, appuyez sur

·

^.

À présent, il est possible de construire correctement des courbes, de faire des calculs trigonométriques, des calculs de limites, etc.

 Le symbole RAD ou DEG apparaissant dans le haut de l’écran permet de contrôler facilement le mode en cours d’utilisation.

Dans la pratique, il est sans doute préférable de rester en mode Radian. Nous verrons que cela n’empêche pas de faire des calculs occasionnels sur des angles exprimés en degrés.