Cours de Terminale S / Suites

Cours de Terminale S / Suites

E. Dostal juillet 2014

1 Suites 2

1.1 Notion de Suites . . . 2

1.2 Suites arithm´etiques et suites g´eom´etriques . . . 2

1.3 La d´emonstration par r´ecurrence . . . 3

1.4 Comportement global d’une suite . . . 4

1.5 Techniques d’´etude de la monotonie d’une suite . . . 5

1.6 Techniques pour prouver qu’une suite est major´ee (ou minor´ee ou born´ee) . . . 7

Chapitre 1

Suites

1.1

Notion de Suites

D´efinition 1 Une suite num´erique est une fonction de N dans R, d´efinie `a partir d’un certain rang n0 ∈ N

Remarques :

– La notation (Un) d´esigne la suite en tant qu’objet math´ematique, et Und´esigne l’image de l’entier

n (appel´e aussi terme d’indice n de la suite (Un)). Certaines suites ne sont d´efinies qu’`a partir d’un

certain rang.

– Une suite est donc d´efinie sur un intervalle du type [[n0, +∞[[. On note dans ce cas (Un)n≥n0

Exemples : Un= 1 n d´efinie pour n ∈ N ∗ Un= √ n − 5 d´efinie pour n ≥ 5

Il faut comprendre qu’il y a de multiples fa¸cons de d´efinir une suite. Nous en rencontrerons princi-palement de deux types. Celles qui sont d´efinies par une relation de r´ecurrence et la donn´ee de un ou plusieurs termes initiaux comme par exemple Un+2= Un+1+ Un et U0 = 0 ; U1= 1 (Suite de Fibonacci).

Et celles d´efinies de mani`ere explicite “en fonction de n” comme les exemples pr´ec´edents.

Illustration : Un=

√

n d´efinie pour n ∈ N Un= f (n)

1.2

Suites arithm´

etiques et suites g´

eom´

etriques

D´efinition 2 On dit qu’une suite (un) est arithm´etique s’il existe un nombre r´eel r tel que

pour tout n ∈ N,

un+1= un+ r

r est appel´e la raison de la suite.

Proposition 1 Soit (un) une suite arithm´etique de raison r.

Proposition 2 Poour tout entier naturel m et tout entier naturel p non nul, la somme Sp = Um+ ... + Um+p−1 de p termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (Un) est :

Sp= p

Um+ Um+p−1

2 Autrement dit,

S = nombre de termes premier terme + dernier terme 2 Cas particulier : n X k=1 k = n n + 1 2

D´efinition 3 On dit qu’une suite (un) est g´eom´etrique s’il existe un nombre r´eel q tel que

pour tout n ∈ N,

un+1= un× q

q est appel´e la raison de la suite.

Proposition 3 Soit (un) une suite g´eom´etrique de raison q.

∀m ∈ N et ∀p ∈ N, Um = Up× qm−p

Proposition 4 Pour tout entier naturel m et tout entier naturel p non nul, la somme Sp =

Um+ ... + Um+p−1 de p termes cons´ecutifs d’une suite g´eom´etrique (Un) de raison q 6= 1 est :

Sp = Um

1 − qp 1 − q

Autrement dit,

S = premier terme ×1 − raison

nombre de termes

1 − raison

1.3

La d´

emonstration par r´

ecurrence

Consid´erons la suite (Un) d´efinie pour tout n ∈ N, par :



Un+1= 2Un+ 1

U0= 0

Cette suite est d´efinie par r´ecurrence. On souhaite en obtenir une d´efinition fonctionnelle si cela est possible.

En calculant les premiers termes, on conjecture :

pour tout n ∈ N, Un= 2n− 1

Comment confirmer, par une d´emonstration, la propri´et´e conjectur´ee ci dessus ? Notons P la propri´et´e d´efinie pour n ∈ N, par :

P (n) : Un= 2n− 1

Supposons un instant, que pour un certain entier n, on ait effectivement la propri´et´e P (n). Alors on aurait :

E. Dostal - 2014 CHAPITRE 1. SUITES

Ce qui est P (n + 1)

Autrement dit, si la propri´et´e est vraie `a un certain rang n alors elle l’est ´egalement au rang suivant. On dit que la propri´et´e P est h´er´editaire.

Faisons un bilan. On a v´erifi´e que la propri´et´e est vraie au rang n = 0, 1, 2, 3, 4 et 5. (On dit que la propri´et´e P est initialis´ee). Mais comme elle est h´er´editaire, elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7 etc... Si bien que notre propri´et´e est vraie `a tout rang.

Nous venons de faire un raisonnement par r´ecurrence

Axiome 5 Soit P une propri´et´e d´efinie sur N ( ou un intervalle I de N) Si :

– La propri´et´e est INITIALISEE `a un certain rang n0 (C’est `a dire P (n0) est vraie)

– La propri´et´e est HEREDITAIRE `a partir du rang n0 ( C’est `a dire : pour tout n ≥ n0,

P (n) ⇒ P (n + 1)) Alors :

La propri´et´e est vraie `a tout rang plus grand que n0.

Histoire : C’est Pascal (1623-1662, fran¸cais) qui, dans son Trait´e sur le triangle arithm´etique, ´

enon¸ca, pour la premi`ere fois, le principe de raisonnement de r´ecurrence.

Remarques :

1) Il existe un autre principe de r´ecurrence appel´e principe de r´ecurrence forte. On proc`ede `a l’´etape d’initialisation, puis dans l’´etape d’h´er´edit´e, on suppose non pas que la propri´et´e est vraie pour un certain entier naturel n mais que la propri´et´e est vraie pour tous les entiers naturels inf´erieurs ou ´egaux `

a n, et on d´emontre alors qu’elle est vraie au rang n + 1 .

2) Attention, il ne faut pas oublier l’´etape d’initialisation : une propri´et´e h´er´editaire mais non initialis´ee peut n’ˆetre vraie pour aucun entier naturel.

1.4

Comportement global d’une suite

1.4.1 Suites major´ees - minor´ees - born´ees

D´efinition 4

– Une suite (Un) est major´ee lorsqu’il existe un r´eel M tel que Un≤ M pour tout entier n.

– Une suite (Un) est minor´ee lorsqu’il existe un r´eel m tel que m ≤ Un pour tout entier n.

– Une suite est born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee.

Remarques :

1) Une suite (Un) est born´ee ssi il existe une r´eel positif M tel que |Un| ≤ M pour tout entier naturel n.

(`a demontrer)

1.4.2 Sens de variation d’une suite

D´efinition 5 Soit (Un) une suite de nombres r´eels.

– La suite (Un) est croissante (`a partir du rang n0) lorsque Un≤ Un+1 pour tout entier n ≥ n0.

– La suite (Un) est d´ecroissante (`a partir du rang n0) lorsque Un ≥ Un+1 pour tout entier

n ≥ n0.

– La suite (Un) est monotone (`a partir du rang n0) lorsqu’elle est croissante ou d´ecroissante `a

partir du rang n0.

– La suite (Un) est stationnaire s’il existe un entier n0 tel que Un = Un+1 pour tout entier

n ≥ n0.

– La suite (Un) est constante lorsque Un = Un+1 pour tout entier n du domaine de d´efinition

de (Un)

Remarque :

1. Pour comprendre la nuance entre une suite stationnaire et une suite constante, donnons un exemple. Notons E la partie enti`ere d’un r´eel et (Un) la suite d´efinie, pour n ∈ N∗, par :

Un= E(

1 n)

2. Il existe des suites qui sont ni croissantes, ni d´ecroissantes. Par exemple : Un= (−1)n.

3. Contrairement aux fonctions de la variable r´eelle, on ne d´efinit le sens de variation d’une suite que sur des intervalles de la forme [[n0, +∞[[, ce qui se passe sur les premiers termes reste ici anecdotique.

Th´eor`eme 6 Soit (Un) une suite arithm´etique de raison r.

– La suite (Un) est strictement croissante ssi r > 0

– La suite (Un) est strictement d´ecroissante ssi r < 0

– La suite (Un) est constante ssi r = 0

Th´eor`eme 7 Soit q un r´eel non nul

– La suite (qn) est strictement croissante ssi q > 1 – La suite (qn) est strictement d´ecroissante ssi 0 < q < 1 – La suite (qn) est constante ssi q = 1

– La suite (qn) n’est pas monotone si q < 0

Th´eor`eme 8 Soit (Un) une suite g´eom´etrique de raison q.

– Si q > 0 et U0> 0 alors la suite (Un) a le mˆeme sens de variation que la suite (qn).

– Si q > 0 et U0< 0 alors la suite (Un) a le sens de variation contraire de la suite (qn).

– Si q = 0 alors la suite est stationnaire `a partir du rang 1, voir constante si U0 = 0.

– Si q < 0 alors la suite (Un) n’est pas monotone.

E. Dostal - 2014 CHAPITRE 1. SUITES

1.5.1 Technique fonctionnelle

Th´eor`eme 9 O`u l’on utilise le sens de variation de la fonction associ´ee

– Soit (Un) la suite d´efinie par Un = f (n) o`u f est une fonction d´efinie sur un intervalle du

type [a; +∞[ o`u a ∈ R.

– Si la fonction f est monotone sur [a; +∞[ alors la suite (Un) est monotone sur [[E(a)+1; +∞[[

et poss`ede le mˆeme sens de variation que f .

D´emonstration Cas ou f est croissante sur [a; +∞[ (les autres cas se prouvent de mani`ere analogue) Soit n ∈ [[E(a) + 1; +∞[[, comme f est croissante sur [E(a) + 1; +∞[ , on a alors :

Un+1− Un= f (n + 1) − f (n) ≥ 0

Donc (Un) est croissante sur [[E(a) + 1; +∞[[

De mˆeme la stricte monotonie de f entraine celle de (Un)

Exemple 1

Etudier les variations de la suite (Un) d´efinie , pour n ∈ N, par :

Un=

2n2+ 1 n2_{+ 5}

1.5.2 Techniques alg´ebriques

C’est l’utilisation pure et simple de la d´efinition

(Un) est croissante `a partir du rang n0 ⇔ pour tout n ≥ n0 on a Un+1− Un≥ 0

Exemple 2

Un= 2n + sin(n)

Variante :

Soit (Un) une suite `a termes strictements positifs.

Si pour tout entier n, Un+1 Un

≥ 1 alors (Un) est croissante.

Si pour tout entier n, 0 < Un+1 Un

≤ 1 alors (U_n) est d´ecroissante.

Exemple 3

Un=

2n

n2 pour n ≥ 1

Exemple 4

Cas d’une suite d´efinie par une somme :

Un= n X k=1 1 k2 pour n ∈ N ∗

1.5.3 Technique par r´ecurrence

pratique pour les suites du type Un+1= f (Un)

Exemple 5

Soit (Un) la suite d´efinie par :



Un+1=

√ Un

1.6

Techniques pour prouver qu’une suite est major´

ee (ou minor´

ee ou

born´

ee)

1.6.1 Technique alg´ebrique

Manipulation d’in´egalit´es

Exemple 6 : Un= (−1)n+ sinn n2 pour n ∈ N ∗ Exemple 7 Un= n X k=1 1 k2 pour n ∈ N ∗

Montrer que (Un) est major´ee par 2.

Exemple 8 Un= n X k=0 1 k!

o`u pour k ∈ N∗ on a k! = 1 × 2 × 3 × ... × k (factorielle de k) et par convention 0! = 1 Montrer que (Un) est major´ee par 3.

1.6.2 Technique fonctionnelle

Exemple 1 :

Un=

2n2+ 1 n2_{+ 5}

1.6.3 Technique par r´ecurrence

Exemple 1 :

Un+1=

p

E. Dostal - 2014 CHAPITRE 1. SUITES

1.7

Comportement asymptotique d’une suite

1.7.1 Suites convergentes

D´efinition 6 Suite convergente

– On dit qu’une suite converge (ou admet une limite finie) lorsqu’il existe un r´eel l tel que : tout intervalle ouvert I centr´e en l contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang

– Lorsque (Un) converge vers l, on note alors : l = lim n→+∞Un

– Une suite non convergente est appel´ee suite divergente

En formulant diff´erement cette d´efinition, on obtient plusieurs variantes toutes ´equivalentes : (Un) converge lorsqu’il exite un r´eel l tel que :

1. Tout intervalle I =]l − ε; l + ε[(ε ∈ R∗+) contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain

rang

2. Pour tout r´eel ε ∈ R∗+, il existe un rang N `a partir duquel tous les Un v´erifient Un∈]l − ε; l + ε[

3. Pour tout r´eel ε ∈ R∗+, il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait :

n ≥ N ⇔ |Un− l| < ε

Graphiquement, cela se traduit ainsi :

Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) `a partir duquel tous les points de la repr´esentation graphique de la suite sont situ´es dans cette bande.

Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (Un) converge vers

3

2 ce que le th´eor`eme des gendarmes confirmera.

Proposition 10 Unicit´e de la limite

Histoire : Cantor (1845 - 1918, allemand) a utilis´e les suites pour ´elaborer une construction rigoureuse et d´efinitive des nombres r´eels, d´ej`a entreprise par M´eray (1835 - 1911, fran¸cais). Un nombre apparaˆıt comme la limite d’une suite de nombres rationnels.

Proposition 11

E. Dostal - 2014 CHAPITRE 1. SUITES

Exercice

Soit (Un) une suite born´ee et (Vn) une suite convergeante vers 0.

D´emontrer que la suite (UnVn) converge vers 0.

Th´eor`eme 12 Th´eor`eme d’encadrement ou des “gendarmes”

Soient (Un) , (Vn) et (Wn) trois suites telles que :

• A partir d’un certain rang : Un≤ Vn≤ Wn

• (Un) et (Wn) convergent vers le mˆeme r´eel l.

Alors (Vn) converge vers l.

(d´emonstration admise)

Exemples :

1. D´eterminer la limite de la suite (Vn) d´efinie par : Vn=

3n + 5 ∗ (−1)n 2n

2. D´eterminer la limite de la suite (Un) d´efinie par : Un=

√ n2_{+ 1}

n pour n ≥ 1

Th´eor`eme 13

– Toute suite croissante et major´ee converge. – Toute suite d´ecroissante et minor´ee converge d´emonstration admise (hors programme)

Applications :

• La suite (U_n) d´efinie par Un = n

X

k=1

1

k2 pour n ∈ N

∗_{, pour n ≥ 1 est croissante et major´ee donc}

convergente. (sa limite est difficile `a d´eterminer, elle vaut π

2

6 • La suite (U_n) d´efinie par Un=

n

X

k=0

1

k! est croissante et major´ee donc convergente. On montrera que sa limites est irrationnelle. (Nombre e qui sera d´efini ult´erieurement)

Proposition 14 Soit (Un) une suite de r´eels d´efinie dans N convergente vers l.

– Si (Un) est croissante, alors pour tout n ∈ N , Un≤ l

1.7.2 Limite infinie en l’infini

D´efinition 7 Suite divergente vers +∞

On dit qu’une suite diverge vers +∞ lorsque tout intervalle ouvert du type ]A; +∞[ (o`u A > 0) contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

En formulant diff´eremment cette d´efinition, on obtient plusieurs variantes toutes ´equivalentes :

(Un) diverge vers +∞ lorsque :

1. Pour tout A ∈ R∗+, l’intervalle ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain

rang.

2. Pour tout A ∈ R∗+ il existe un rang N tel que pour tout indice n, on ait : n ≥ N ⇒ Un> A

On d´efinit de mˆeme la divergence vers −∞ `a l’aide d’intervalles du type ] − ∞; A[

Proposition 15 Toute suite croissante et non major´ee diverge vers +∞

d´emonstration :

Quelques limites de r´ef´erences :

lim n→+∞ 1 n = 0 n→+∞lim 1 n2 = 0 _n→+∞lim √ n = +∞ lim n→+∞n 2 _{= +∞}

(d´emonstration hors programme)

Exemples :

1. Divergence vers +∞ de la s´erie harmonique Hn= n

X

k=1

1 k

2. Etudier la limite de la suite (Un) d´efinie par Un=

3n2− 2n + 4 4n2_{+ 1}

3. Autres cas de divergence Un= (−1)n

4. D´emontrer que les suites (sinn) et (cosn) divergent

Th´eor`eme 16 Soient (Un) et (Vn) deux suites telles que : pour tout n, Un≤ Vn

• Si (U_n) diverge vers +∞ alors (Vn) aussi.

E. Dostal - 2014 CHAPITRE 1. SUITES

Exemples :

1. Etudier la limite de la suite (Un) d´efinie pour tout n ∈ N par : Un= 2 cos n + 3 · (−1)n− 3n

2. Etudier la limite de la suite (Un) d´efinie pour tout n ∈ N par : Un= n4(cos n − 2)

3. l’affirmation “une suite qui diverge vers +∞ est n´ecessairement croissante est-elle vraie ?

1.7.3 Th´eor`emes d’op´erations

Les tableaux suivants rassemblent les th´eor`emes d’op´erations, admis, relatifs aux suites.

Th´eor`eme 17 Limite d’une somme

Si (Un) a pour limite l l l +∞ −∞ +∞

et si (Vn) a pour limite l0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors (Un+ Vn) a pour limite l + l0 +∞ −∞ +∞ −∞ F.A.D.

Th´eor`eme 18 Limite d’un produit

Si (Un) a pour limite l l 6= 0 ∞ 0

et si (Vn) a pour limite l0 ∞ ∞ ∞

alors (UnVn) a pour limite ll0 ∞ ∞ F.A.D.

Comprendre dans ce tableau, qu’il faudra en plus une ´etude des signes pour d´eterminer `a quel ∞ on a affaire.

Th´eor`eme 19 Limite d’un quotient

Si (Un) a pour limite l l ∞ ∞ l 6= 0 ∞ 0 et si (Vn) a pour limite l0 6= 0 ∞ l0 6= 0 ∞ 0 0 0 alors (Un Vn ) a pour limite l l0 0 ∞ F.A.D. ∞ ∞ F.A.D.

En particulier, lorsque le d´enominateur tend vers 0, il sera important d’en d´eterminer le signe afin de savoir si on obtient finalement +∞ ou −∞.

1.7.4 Suites arithm´etiques et g´eom´etriques

Th´eor`eme 20 Soit (Un) une suite arithm´etique de raison r

• Si r > 0 alors la suite (Un) diverge vers +∞

• Si r < 0 alors la suite (U_n) diverge vers −∞ • Si r = 0 alors la suite converge vers U₀

Th´eor`eme 21 Pour tout r´eel a positif et quelque soit l’entier naturel n,

(1 + a)n≥ 1 + n a

Th´eor`eme 22 Soit q un r´eel non nul,

• Si −1 < q < 1 alors la suite (qn_{) converge vers 0.}

• Si q = 1 alors la suite (qn_{) est constante et ´egale `a 1.}

• Si q > 1 alors la suite (qn_{) diverge vers +∞.}