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Construction automatique de figures géometriques et
programmation logique avec contraintes
Denis Bouhineau
To cite this version:
Denis Bouhineau. Construction automatique de figures géometriques et programmation logique avec contraintes. Autre [cs.OH]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1997. Français. �tel-00004922�
Pour obtenir le titre de Docteur
de l'UniversitŽ Joseph Fourier-Grenoble I
(spŽcialitŽ informatique)
(Arr•tŽ ministŽriel du 5 Juillet 1984 et du 30 Mars 1992)
Construction automatique
de figures gŽomŽtriques
&
Programmation Logique avec Contraintes.
Th•se soutenue par
Denis Bouhineau
le 17 Juin 1997
Composition du jury :
Jacques Cohen
Patrice Enjalbert
P a u l J a c q u e t
Jean-Marie Laborde
Dominique Michelucci
Jean-Fran•ois Nicaud
Laurent Trilling
Th•se prŽparŽe au sein du laboratoire Logiciels Syst•mes RŽseaux de l'institut d'Informatique et de MathŽmatiques AppliquŽes de Grenoble.
Table des mati•res
I. Observations sur l'univers de la gŽomŽtrie ˆ la r•gle et au compas, en vue de sa
mise en Ïuvre automatique... 17
I-1. Preuves, transformations, constructions, et alg•bre en gŽomŽtrieÊ: ÊPetite histoire de quelques gŽomŽtries... 19
a) La gŽomŽtrie qui dŽbuta avec Euclide : Les gŽomŽtries synthŽtiques... 19
Euclide... 19
Hilbert ... 21
Lobachevsky... 22
b) La gŽomŽtrie avec et apr•s DescartesÊ: Les gŽomŽtries analytiques... 23
Descartes ... 23
Klein... 23
Tarsky ... 24
Wu 24 c) La gŽomŽtrie du jardinier et de l'astronomeÊ: gŽomŽtries des constructions... 26
d) La gŽomŽtrie pour l'informaticien ? gŽomŽtrie des nombres constructibles. ... 29
I-2. Les nombres constructibles: histoire et mathŽmatiques. ... 33
a) Section prŽalable : dŽfinitions et propriŽtŽs des points et nombres constructibles ˆ la r•gle et au compas. ... 33
ConstructibilitŽ gŽomŽtrique. ... 33
Nombres constructibles. ... 34
b) Histoire et rŽsultats sur les nombres constructibles. ... 37
c) Introduction de la notion de complexitŽ algŽbrique... 39
Constructions avec des droites. ... 40
Constructions avec des cercles. ... 41
Construction d'un triangle ŽquilatŽral... 42
Les polygones rŽguliers. ... 43
I-3. Constructions gŽomŽtriques ŽlŽmentaires, nombres constructibles et complexitŽ... 47
a) Constructions rationnelles... 48
DŽfinition... 48
Constructions rationnelles... 49
Milieu. ... 49
Autres constructions rationnelles ... 51
b) Constructions gŽomŽtriques non-rationnelles... 52
c) RŽcapitulatif des constructions rationnelles et non-rationnelles... 55
d) SpŽcifications gŽomŽtriques et complexitŽ. ... 56
I-4. ƒtude pratique de la complexitŽ de quelques situations gŽomŽtriques courantes, d'un ensemble de 512 thŽor•mes de gŽomŽtrie et de situations arbitrairement complexes. ... 59
a) ƒtude de quelques situations particuli•res. ... 59
GŽomŽtrie projective, affine ou ˆ la r•gle et avec outils rationnels. . . 59
Autour du cercle des neufs points... 60
Autour du probl•me de NapolŽon... 61
b) ƒtude de 512 thŽor•mes. ... 63
La source : les 512 thŽor•mes regroupŽs par Shang-Ching Chou... 63
ComplexitŽ algŽbrique de 512 thŽor•mes. ... 64
Analyse des rŽsultats... 66
ƒlŽments d'explication... 68
c) Quelques cas de figures complexes, et arbitrairement complexes d'un point de vue algŽbrique, Spirales... 69
Spirales Rationnelles ... 70
Spirales irrationnelles... 71
II. Le paradigme CLP(GŽomŽtrie)... 77
II-1. CLP - dŽfinition d'un paradigme de programmation... 79
a) Contraintes et Programmation LogiqueÊ: petite histoire des contributions ˆ la Programmation Logique avec Contraintes. ... 79
Programmation Logique (Prolog)... 80
Programmation par contraintes... 82
PrŽmisses de la programmation logique avec contraintes. ... 82
b) Le paradigme de programmationÊ: CLP. ... 83 Histoire contemporaine... 83 Programmation CLP... 84 Contraintes numŽriques. ... 85 Environnement. ... 85 Exemple... 87
c) Quelques exemples de langages CLP. ... 87
II-2. CLP (GŽomŽtrie) : dŽfinition du domaine... 89
a) DŽfinition d'un domaine et tentative de reprŽsentation... 89
b) ReprŽsentation ˆ l'aide d'une structure na•ve... 90
Notation... 92
Addition et soustraction. ... 92
Multiplication et division... 93
Extraction d'une racine carrŽe (provisoire). ... 94
Ordre et ŽgalitŽ. ... 94
Commentaires. ... 94
c) ReprŽsentation normale du domaine et arithmŽtique associŽe... 96
ReprŽsentation normale. ... 96 ArithmŽtique... 100 d) ExtensibilitŽ du domaine. ... 101 Propositions ... 101 Mise en place. ... 101 Exemple... 102
e) ComplexitŽ de la reprŽsentation et de l'arithmŽtique associŽe... 103
Conclusion de ce chapitre :... 104
II-3. CLP (GŽomŽtrie) : algorithme de satisfaction de syst•mes de contraintes.. 107
a) Algorithme na•f de rŽsolution de syst•mes d'Žquations non-linŽaires. . . . 108
Exemples... 109
Commentaires. ... 110
b) Algorithme de rŽsolution de syst•mes de contraintes quadratiques. . . 110
Algorithme... 112
ComplexitŽ, correction et complŽtude. ... 112
c) Recherche de relations linŽaires. ... 113
d) Algorithme d'Žlimination de Gauss et nombres constructibles. ... 115
RŽsolution d'un syst•me linŽaire sur les nombres constructibles. . . 115
Correction et complŽtude... 117
e) ComplŽtude gŽomŽtrique... 118
ComplŽtude pour les spŽcifications constructives... 118
ComplŽtude pour les constructions sans ajouts. ... 120
II-4. RŽsultats... 123
a) ReprŽsentation des figures gŽomŽtriques... 123
Langage gŽomŽtrique... 124
ReprŽsentation algŽbrique... 124
Choix de la grille... 125
b) Figures gŽomŽtriques o• l'algorithme est complet. ... 126
Probl•mes linŽaires. ... 127
SpŽcifications constructives... 128
c) RŽsultats positifs. ... 130
Segment portŽ par deux droites connaissant son milieu. ... 130
Cercle passant par 3 points donnŽs. ... 130
Triangle ŽquilatŽral ˆ partir d'un sommet et de son centre de gravitŽ g. 131 Cas 1. ... 131 Cas 2. ... 132 Triangle inscrit... 132 d) RŽsultats nŽgatifs... 133 Probl•mes ardus... 133 Probl•mes "faciles" ... 133
Triangle rectangle isoc•le ... 134
e) RŽcapitulatif pour le triangle et ses ŽlŽments caractŽristiques. ... 134
Triangle et orthocentre... 135
Triangle et centre de gravitŽ... 135
Triangle et cercle circonscrit. ... 136
Une Žtude plus large. ... 137
III. Applications... 141
III-1. Simplification d'expressions arithmŽtiques avec racines carrŽes pour le calcul formel. ... 143
a) ReprŽsentation d'expressions avec racines carrŽes en calcul formel . . . 143
Modes de reprŽsentation d'une suite... 143
ƒvaluation d'une formule boolŽenne... 145
b) Algorithme de simplification, exemples. ... 146
c) Comparaison avec l'algorithme de simplification de Borodin, Fagin, Hopcroft et Tompa. ... 147
III-2. VŽrification de contraintes redondantes en gŽomŽtrie. ... 149
a) Aspect algŽbrique... 149
ArithmŽtique exacte. ... 149
ArithmŽtique usuelle. ... 150
ArithmŽtiques ŽvoluŽes... 150
b) Aspect gŽomŽtrique : Recherche d'une construction rationnelle... 151
Point sur cercle. ... 152
Inverse par rapport au cercle... 153
Bissectrice... 154
Intersection avec un cercle. ... 155
RŽsultats... 156
III-3. DŽmonstration numŽrique exacte de thŽor•mes de gŽomŽtrie. ... 159
a) MŽthodes de dŽmonstrations automatiques... 160
DŽmonstrations automatiques algŽbriques : Wentsun Wu... 160
DŽmonstrations automatiques numŽriques : Hong. ... 162
b) MŽthodologie de dŽmonstration automatique par Žvaluation numŽrique exacte. ... 165
Majoration de la forme du reste R(É)... 165
Choix d'un cas particulier unique pour effectuer la transposition de la preuve algŽbrique ˆ une Žvaluation numŽrique... 167
c)VŽrification de contraintes numŽriques redondantes. ... 168
d) DŽmonstration de thŽor•mes significatifs. ... 168
ThŽor•me de l'orthocentre ... 168
ThŽor•me du centro•de. ... 169
ThŽor•me de Pappus... 170
III-4. Environnements informatisŽs d'apprentissage humain de la gŽomŽtrie.... 175
a) Environnements informatisŽs impŽratifs ou dŽclaratifs d'apprentissage humain de la gŽomŽtrie. ... 176
Exemples... 177
RŽsolution d'un probl•me de construction en utilisant la mŽthode des lieux... 177
Autour de la dŽmonstration d'un thŽor•me, illustration d'une notion de hiŽrarchie de classes de figures ... 179
Transformations du plan, invariants et boites noires... 181
Vers une approche dŽclarative... 182
GŽomŽtrie des animations et gŽomŽtrie dŽclarative... 182
Statut d'un objet dans une figure dynamique ... 183
Description du syst•me. ... 184
b) GŽnŽration d'exemples et de contre-exemples gŽomŽtriques dans un "prŽceptoriel". ... 185
Production de contre-exemples... 186
Exemples... 189
c) RŽalisation d'un environnement de dessin gŽomŽtrique ˆ main levŽe... 192
Acquisition d'un dessin rŽalisŽ interactivement par l'utilisateur... 193
InfŽrence automatique d'une spŽcification logique ˆ partir du dessin proposŽ... 193
Conclusion gŽnŽrale du manuscrit... 197
Bibliographies... 201 Bibliographie personnelle:... 201 Bibliographie internationale: ... 202 Bibliographie locale :... 211 Annexes... 212 - Annexe 1-... 212 - Annexe 2-... 213 - Annexe 3-... 213 - Annexe 4-... 217 - Annexe 5-... 218 - Annexe 6-... 219
Remerciements
Les quelques annŽes passŽes au sein de l'Žquipe PLIAGE ont ŽtŽ placŽes sous le signe de l'enthousiasme, celui de Laurent Trilling, bien sžr, et sous le signe de la bonne humeur qui r•gne autour de lui. C'est donc en premier ˆ lui et ˆ tous ceux que j'ai frŽquentŽ ces derni•res annŽes que j'adresse mes remerciements les plus sinc•res. C'est avec confiance que je leur transmet mon travail et les encourage ˆ continuer dans la rŽalisation d'environnements d'enseignement de la gŽomŽtrie et la promotion de la programmation logique : StŽphane Channac, Pierre Ostier, Edmundo Palacios, Pascal Coste, Paul Amblard, Michel Levy, Jeanne Paumier-Idt, GŽrard Vivier.
Je n'oublie pas les stagiaires avec qui j'ai travaillŽ, ceux qui ont quittŽ l'Žquipe PLIAGE et plus gŽnŽralement tous ceux, en commen•ant par Paul Jacquet, directeur du LSR, l'Žquipe administrative et technique, auxquels mon travail est redevable : Cyrille Desmoulins, Pierre Bourgeois, BŽatrice Poyet, Christophe Garcia, Florence NŽbon, Patrick Lixi, Lilianne Di Giacomo, Martine Pernice, Fran•ois Challier, Bernard Martinet.
Je remercie Žgalement les membres de mon jury d'avoir acceptŽ d'Žvaluer mon travail et de leur indulgence quant ˆ ses faiblesses. En particulier, je remercie Jacques Cohen, Dominique Michelucci et Patrice Enjalbert pour leur lecture critique du manuscrit et les nombreux commentaires qu'ils en ont tirŽ, me permettant ainsi d'en amŽliorer autant la forme que le fond.
Enfin, je remercie la communautŽ Cabri et au delˆ les membres du groupe EIAO du PRC-IA, dont Jean-Fran•ois Nicaud, Martial Vivet et Nicolas Balacheff, pour leur dŽvouement dans un domaine important ˆ mes yeux. Et, finalement je tiens ˆ remercier Žnergiquement Jean-Marie Laborde sans qui Cabri et, accessoirement, la quasi-totalitŽ des dessins de ce manuscrit ne seraient pas.
Introduction gŽnŽrale du manuscrit.
Cadre
ÊLe travail que nous prŽsentons se situe ˆ l'intersection de trois domaines au moinsÊ: la gŽomŽtrie, l'enseignement et l'informatique.
Le premier remonte ˆ la Gr•ce antique, c'est la gŽomŽtrie. Elle suscite ˆ nouveau un intŽr•t dž ˆ des considŽrations informatiques. Le renouveau de la gŽomŽtrie nous intŽresse sur deux points. Le premier point est l'av•nement des premiers dŽmonstrateurs automatiques de thŽor•mes utilisables en gŽomŽtrie. Depuis 1988, avec la dŽmonstration par Chang-Shing Chou de 512 thŽor•mes de gŽomŽtrie, le domaine de la dŽmonstration automatique propose des outils rŽalistes et efficaces. Le second point est liŽ ˆ l'enseignement de la gŽomŽtrie, ce qui permet un encha”nement vers le second domaine qui nous intŽresse.
Depuis 1986, des projets, tels que le projet IMAG1 CABRI-GŽom•tre initiŽ par
Jean-Marie Laborde, ont dŽfini ce que pourrait •tre un CAhier de BRouillon Informatique pour l'enseignement de la gŽomŽtrie. Ce "Brouillon" se rŽv•le •tre un vŽritable succ•s. L'apport de CABRI-GŽom•tre est double. D'une part, il introduit la notion de manipulation directe pour les figures gŽomŽtriques. Une figure construite avec CABRI-GŽom•tre peut •tre animŽe en "tirant" sur les points caractŽristiques de la construction. L'ensemble de la figure est reconstruit en temps rŽel en respectant la spŽcification initiale de la construction. D'autre part, pour l'enseignement, CABRI-GŽom•tre dŽfinit un nouveau paradigme, la "gŽomŽtrie dynamique". Cette nouvelle gŽomŽtrie qui s'intŽresse aux animations des figures gŽomŽtriques, nous semble d'une tr•s grande richesse pŽdagogique. Elle permet la dŽfinition, l'observation et l'utilisation des notions gŽomŽtriques dŽlicates d'invariant, de classe de figures et de lieu de points.
Le sujet concernŽ par l'informatique c'est la Programmation Logique avec Contraintes telle que l'ont dŽfinie Jean-Louis Lassez, Jaxon Joffar, Alain Colmerauer, Jacques Cohen, William Older et d'autres encoreÉ(PLC ou CLP, acronyme pour Constraints Logic Programming). Issue de travaux rŽcents des annŽes 1980, la programmation logique avec contraintes apporte ˆ la programmation logique (Prolog) la puissance qui lui manquait pour les traitements numŽriques. L'ambition de ce nouveau paradigme de programmation est la dŽfinition d'un cadre de programmation le plus dŽclaratif possible. Notons Žgalement que c'est l'un des environnements de programmation qui comporte le plus d'intelligence, ce qui laisse la libertŽ au programmeur d'exercer son intelligence ailleurs. Ainsi, la gestion de la mŽmoire lui est ŽpargnŽe et il peut se consacrer, dans certains cas, ˆ l'Žtude d'heuristiques.
Le cadre de notre travail est constituŽ par l'intersection de ces trois domaines. Cette intersection n'est pas vide. CABRI-GŽom•tre en fait dŽjˆ partie.
ProblŽmatique
L'ensemble des problŽmatiques poursuivies dans ce manuscrit se dŽcline selon les trois domaines dŽcrits prŽcŽdemment.
Pour l'enseignement, notre ambition est de prolonger ou complŽter le travail de CABRI-GŽom•tre. Plus prŽcisŽment, nous voulons proposer un Environnement InformatisŽ d'Apprentissage Humain de la gŽomŽtrie (en abrŽgŽ un EIAH de gŽomŽtrie) permettant la manipulation directe de figures gŽomŽtriques exactes obtenues ˆ partir d'une spŽcification
logique dŽclarative.
L'informatique appara”t nŽcessairement dans ce projet avec les deux problŽmatiques suivantes. D'une part, Žtant donnŽe une spŽcification gŽomŽtrique, comment construire
automatiquement une figure gŽomŽtrique qui vŽrifie cette spŽcification. D'autre part,
comment reprŽsenter de mani•re exacte le domaine des nombres constructibles (i.e. les nombres rŽels nŽcessaires ˆ la gŽomŽtrie de la r•gle et du compas) de telle sorte que les
spŽcifications redondantes soient autorisŽes et vŽrifiŽes ? L'apport ˆ la programmation logique avec contraintes est Žvident puisque ses objectifs rejoignent les n™tres (rŽsolution de syst•mes de contraintes tels que ceux qui dŽcrivent une spŽcification gŽomŽtrique, et vŽrification des contraintes redondantes). Les contraintes gŽomŽtriques correspondent en gŽnŽral ˆ des syst•mes de contraintes "quadratiques". Aussi ces deux probl•mes sont difficiles et intŽressants. Ils constituent la limite entre les probl•mes "linŽaires" qui sont associŽs aux nombres rationnels, et les probl•mes "non-linŽaires" qui sont associŽs aux rŽels. Si les probl•mes linŽaires sont bien traitŽs par la programmation logique avec contraintes, il n'y a pas de solution satisfaisante pour les probl•mes non-linŽaires.
Les Žtudes gŽomŽtriques nŽcessaires sont directement liŽes ˆ ce qui prŽc•de. Elles doivent nous permettre d'aborder les problŽmatiques suivantes. Quelle est la "complexitŽ
intrins•que" des figures gŽomŽtriques ? Est-il possible de "linŽariser" la construction d'une
figure gŽomŽtrique ? ÊEn quelque sorte, est-il possible d'Žchapper au probl•me de la non-linŽaritŽ ou au moins de la diminuer gr‰ce ˆ l'Žtude de la situation gŽomŽtrique.
L'encha”nement de ces problŽmatiques montre l'imbrication des probl•mes que nous voulons rŽsoudre. Il est primordial d'arriver ˆ rŽsoudre chaque probl•me pour rŽaliser notre objectif premier : la rŽalisation d'un EIAH de GŽomŽtrie exact et dŽclaratif.
DŽmarche
Pour la dŽmarche globale, revenons rapidement au cadre et ˆ la problŽmatique.
La dŽmarche globale s'organise autour de l'utilisation du langage de programmation PrologÊIII, reprŽsentatif de l'approche CLP. Une de nos problŽmatiques est la recherche de constructions automatiques de figures gŽomŽtriques. Le noyau proposŽ par la programmation logique avec contraintes pour atteindre cet objectif est constituŽ par une "boite noire" qui rŽsout les syst•mes de contraintes linŽaires sur les rationnels. C'est le rŽsolveur linŽaire de PrologÊIII dans notre cas. Les caractŽristiques algorithmiques du rŽsolveur linŽaire (Gauss ou simplexe) sont excellentes : correction, complŽtude et vŽrification des contraintes redondantes. Notre intention est d'Žtendre le domaine d'application du rŽsolveur linŽaire des rationnels aux nombres constructibles, et d'Žtendre la rŽsolution aux Žquations quadratiques.
Des solutions gŽnŽrales ˆ ces deux probl•mes sont proposŽes depuis longtemps par les mathŽmatiques. Ceci nous assure de la dŽcidabilitŽ de ces probl•mes. Mais les contraintes de l'informatique ne sont pas les m•mes que celles des mathŽmatiques. Le langage des mathŽmatiques, o• "existence" ne signifie pas nŽcessairement "obtention", et la complexitŽ des "algorithmes" mathŽmatiques ne conviennent pas toujours ˆ une application directe en informatique. C'est le cas ici. Aussi, nous devons dŽvelopper nos propres structures de donnŽes pour reprŽsenter les nombres constructibles, et nos propres algorithmes pour rŽsoudre le probl•me de la construction automatique de figures gŽomŽtriques.
Pour la rŽsolution du probl•me de construction, nous employons au maximum le rŽsolveur linŽaire. De plus nous introduisons un mŽcanisme pour rŽsoudre les Žquations du second degrŽ en une seule variable. Cet algorithme est correct et simple, mais il introduit des nombres irrationnels (les nombres constructibles). Par ailleurs, la classe des probl•mes qu'il rŽsout est faible. Aussi, pour augmenter cette classe nous enrichissons les syst•mes de contraintes ˆ rŽsoudre par des contraintes gŽomŽtriques redondantes (par exemple en ajoutant les cordes communes ˆ une figure comportant des points ˆ l'intersection de deux cercles).
En ce qui concerne la structure des donnŽes reprŽsentant les nombres constructibles, notre dŽmarche part d'une reprŽsentation na•ve. Cette reprŽsentation dŽfinit les nombres avec racine carrŽe (les nombres constructibles) selon une structure formelle a+b*` c o• a, b et c sont desÖ constantes. Les insuffisances de cette reprŽsentation vis ˆ vis du rŽsolveur linŽaire et de la vŽrification des contraintes redondantes impose la recherche d'une reprŽsentation normale.
Cette reprŽsentation normale constitue l'un des rŽsultats thŽoriques importants de notre travail. Cependant, cette reprŽsentation est de complexitŽ exponentielle. Son utilisation nŽcessite donc que l'on se penche sur la complexitŽ des situations gŽomŽtriques courantes. C'est ce que nous entreprenons avec l'Žtude de 512 thŽor•mes de gŽomŽtrie. Les rŽsultats de cette Žtude constituent un rŽsultat expŽrimental important de ce manuscrit. En dŽpend la dŽfinition d'environnements d'apprentissage humain de la gŽomŽtrie. La rŽalisation de ces EIAH doit constituer le rŽsultat pratique de ce manuscrit.
Pour une dŽmarche a priori qui justifie notre plan, un point d'ŽpistŽmologie est nŽcessaire.
Bien sžr, l'informatique est une science ˆ part enti•re, autonome, dont les prŽoccupations propres sont des sujets de recherche en soi. C'est une science normale, au sens de Kuhn2 , qui
a dŽveloppŽ son propre univers et ses paradigmes. Mais aussi, l'informatique est un outil nŽcessaire que s'est appropriŽ la rŽflexion scientifique moderne, au m•me titre que la logique ou les mathŽmatiques. En particulier, la gŽomŽtrie et les sciences de l'Žducation se servent de l'informatique.
ConsidŽrant l'informatique comme une science normale, nous devons nous attacher ˆ dŽvelopper les notions de correction, de complŽtude et de complexitŽ attachŽes aux algorithmes mis en Ïuvre.
ConsidŽrant l'informatique comme moyen, notre objectif Žtant l'enseignement de la gŽomŽtrie, nous devons entreprendre une Žtude de la gŽomŽtrie avec cette question : ÇQue peut
nous apprendre la gŽomŽtrie, en tant que science normale sur la "gŽomŽtrie scolaire" telle que l'usage des enseignants la limite ? Et plus prŽcisŽment que peut-elle nous apprendre qui intŽresse l'informatique, en vue d'une modŽlisation du domaine ?È
Par suite, notre manuscrit doit s'organiser autour des trois axes GŽomŽtrie, Informatique et Enseignement. Nous choisissons de consacrer une partie pour chaque axe, et nous ordonnons selon l'ordre qui suit. La premi•re partie et la derni•re Žtant respectivement en de•ˆ et au delˆ de l'informatique "fondamentale" que dŽveloppe la seconde :
1 GŽomŽtrie.
2 ModŽlisation informatique du domaine. 3 Application ˆ l'enseignement.
La dŽmarche pratique suit le plan suivant.
La premi•re partie de ce manuscrit porte sur la gŽomŽtrie de la r•gle et du compas. En apparence, les prŽoccupations informatiques sont absentes de cette partie. En fait, elles sous-tendent l'ensemble des travaux qui y sont prŽsentŽs. Le premier chapitre entreprend un historique informel de la gŽomŽtrie. il aboutit ˆ la gŽomŽtrie des constructions et ˆ la gŽomŽtrie des nombres qui nous intŽressent. Le second chapitre poursuit l'Žtude historique prŽcŽdente et dŽveloppe la notion de nombre constructible. Le troisi•me chapitre entreprend une recherche de constructions "rationnelles". Cette recherche est justifiŽe par nos capacitŽs en tant qu'informaticien ˆ reprŽsenter "facilement" les nombres rationnels et ˆ nos difficultŽs ˆ reprŽsenter les nombres rŽels. Cette recherche est entreprise sur le plan thŽorique ainsi que sur le plan expŽrimental. Elle prend une importance dŽcisive au chapitre quatre avec l'analyse de 512 situations de thŽor•mes classiques de la gŽomŽtrie euclidienne. Le dŽfi de ce quatri•me chapitre est de trouver des constructions rationnelles pour l'ensemble de ces 512 situations. Les rŽsultats expŽrimentaux et formels de cette Žtude fournissent la mati•re sur laquelle notre travail d'informaticien peut s'Žtablir pour la seconde partie du manuscrit.
La seconde partie porte sur l'informatique et le paradigme de programmation CLP. Elle poursuit un double objectif : reprŽsenter le domaine des nombres constructibles et construire automatiquement des figures gŽomŽtriques ˆ partir de spŽcifications gŽomŽtriques. Chacun de ces deux probl•mes est d'autant plus difficile qu'il faut produire des figures gŽomŽtriques exactes. Le premier chapitre commence avec un court historique de la programmation logique avec contraintes. Un panorama des langages de programmation de la communautŽ CLP est donnŽ. L'intersection de ce panorama avec le domaine de la gŽomŽtrie est ŽtudiŽe. Le second chapitre porte sur le premier objectif que nous nous sommes fixŽ (reprŽsentation du domaine). Le troisi•me chapitre porte sur le second objectif (rŽsolution des syst•mes d'Žquations quadratiques). Nous appelons CLP(GŽomŽtrie) le rŽsultat des efforts produits dans ces deux chapitres. Le quatri•me chapitre de cette partie porte sur l'utilisation na•ve de CLP(GŽomŽtrie) pour la gŽomŽtrie euclidienne. En particulier, la gŽomŽtrie du triangle est abordŽe.
La derni•re partie porte sur la prŽsentation d'applications de l'outil informatique CLP(GŽomŽtrie) dŽfini au cours de la seconde partie. Bien Žvidemment, l'objectif gŽnŽral est la rŽalisation d'un EIAH de gŽomŽtrie. Ceci dit, l'outil CLP(GŽomŽtrie) permet aussi la dŽfinition d'autres applications qui tendent vers l'enseignement. Nous proposons au premier chapitre un mod•le de reprŽsentation des expressions numŽriques avec racines carrŽes. Notre ambition est
de proposer une reprŽsentation normale qui soit la plus proche de l'expression initiale. Le domaine d'application visŽ est l'enseignement scientifique du secondaire o• mathŽmatiques, sciences physiques et chimie emploient ces expressions. Deux applications de CLP(GŽomŽtrie) sont aussi prŽsentŽes qui m•nent ˆ la dŽmonstration automatique au second et troisi•me chapitreÊ: vŽrification de syst•mes de contraintes non-linŽaires redondantes et dŽmonstration automatique numŽrique en gŽomŽtrie. Pour la vŽrification de syst•mes de contraintes non-linŽaires redondantes notre dŽmarche est fondŽe sur d'une part l'utilisation de l'arithmŽtique normale prŽsentŽe en seconde partie et d'autre part sur une recherche de procŽdures de construction rationnelles qui reprend les rŽsultats de la premi•re partie. Pour le chapitre sur dŽmonstration automatique numŽrique en gŽomŽtrie, nous commen•ons par un exposŽ des mŽthodes usuelles de dŽmonstration automatique qui ont suivi les travaux de Wenstun Wu : mŽthodes algŽbriques (Type Chou) et mŽthodes numŽriques (type Hong). Puis nous proposons une mŽthode de dŽmonstration automatique qui prolonge les travaux de Hong. Enfin, nous abordons notre objectif premierÊau dernier chapitre : la rŽalisation d'un environnement informatisŽ d'apprentissage humain de la gŽomŽtrie. Cet EIAH de la gŽomŽtrie dŽveloppe une approche dŽclarative dans l'apprentissage des concepts gŽomŽtriques qui prolonge naturellement la notion de manipulation directe. Elle a pour objectif supplŽmentaire l'acquisition et la manipulation de figures gŽomŽtriques exactes.
PrŽambule
Notation :
les prŽdicats Prolog sont prŽsentŽs dans la syntaxe Marseillaise de PrologÊIII, ils sont prŽcŽdŽs d'un commentaire informel qui donne le profil du prŽdicat ˆ la mani•re de Lan Nguyen Phuong : Un syst•me dŽclaratif de types pour Prolog, th•se de l'UniversitŽ Joseph Fourier, Grenoble-I, Septembre 1992.
En rŽsumŽ, la dŽclaration "tri(Liste!,->Liste)" signifie que "tri" est un prŽdicat ˆ deux argument, le premier Žtant une liste dŽjˆ instanciŽe, le second est une variable ou une liste, si c'est une variable elle doit •tre instanciŽe par une liste. Un argument peut aussi •tre de la forme ?Type, si c'est un variable instanciŽe ou non, qui peut •tre instanciŽe ou non, mais en cas d'instanciation elle doit •tre instanciŽe avec un objet de type "Type"
De plus nous nous rŽfŽrons aux arguments du prŽdicat en utilisant la notation suivante : %1 reprŽsente le premier argument d'un prŽdicat, %2 le second etc.
Ainsi le prŽdicat "tri" a pour profil : tri(Liste!,->Liste) : %2 est la liste triŽe des ŽlŽments de la liste %1.
PrŽ-requis pour la suite :
GŽomŽtrie : niveau BaccalaurŽat,
Alg•bre : niveau Deug (ce travail comporte quelques notions d'alg•bre relatives aux ŽlŽments algŽbriques sur Q, un rappel de ces notions est fourni),
I. Observations sur l'univers de la gŽomŽtrie ˆ
la r•gle et au compas, en vue de sa mise en Ïuvre
automatique.
Introduction de la premi•re partie :
Cette partie porte essentiellement sur les nombres constructibles, notion commune ˆ la gŽomŽtrie et ˆ l'alg•bre. La gŽomŽtrie considŽrŽe est celle de la r•gle et du compas; l'alg•bre considŽrŽe est celle induite par l'utilisation des quatre opŽrations arithmŽtiques ŽlŽmentaires et de la racine carrŽe.
La notion de nombre constructible fut tout d'abord dŽcrite dans le contexte de la gŽomŽtrie au dix-septi•me si•cle par Descartes. Cette notion fut enrichie et ŽtudiŽe au dix-huiti•me si•cle par Wantzel. En particulier, elle permit la rŽsolution de quelques probl•mes fameux de construction gŽomŽtrique vieux de deux mille ans. Aujourd'hui, cette m•me notion nous est utile pour caractŽriser la faisabilitŽ et la complexitŽ d'une reprŽsentation exacte des coordonnŽes des figures gŽomŽtriques.
Cette partie s'ouvre sur un exposŽ informel de quelques points d'histoire de la gŽomŽtrie mettant en relief les diffŽrentes dŽfinitions de ce que l'usage nomme communŽment la gŽomŽtrie (chapitre 1).
Le concept de constructibilitŽ introduit dans ce premier chapitre, ainsi que la notion de nombres constructibles, sont dŽveloppŽs dans le chapitre 2. Une mesure de la complexitŽ des figures gŽomŽtriques est Žgalement introduite dans ce second chapitre. Toutes ces notions servent ˆ l'Žtude pratique de la gŽomŽtrie qui est entreprise ensuite.
Aux chapitres 3 et 4, les situations gŽomŽtriques usuelles sont examinŽes d'un point de vue pragmatique, liŽ ˆ une modŽlisation informatique du domaine de la gŽomŽtrie de la r•gle et du compas. Chapitre 3, les constructions gŽomŽtriques ŽlŽmentaires seules (perpendiculaires, mŽdiatrices, bissectrices, etcÉ) sont ŽtudiŽes. Chapitre 4, des situations gŽomŽtriques compl•tes sont prises en compte.
Cette partie se cl™t avec une Žtude de la complexitŽ de cinq cent douze thŽor•mes de gŽomŽtrie. Les rŽsultats de cette Žtude originale sont particuli•rement encourageants.
Notre objectif dans cette premi•re partie porte, dans un premier temps, sur la recherche de crit•res de complexitŽ pour qualifier les constructions gŽomŽtriques ˆ la r•gle et au compas. Ces crit•res nous sont donnŽs par la notion de nombre constructible, et la complexitŽ algŽbrique qui les caractŽrise. Dans un second temps, nous Žtudions au travers des situations gŽomŽtriques concr•tes comment optimiser les constructions gŽomŽtriques vis ˆ vis de ces crit•res de complexitŽ.
I-1. Preuves, transformations, constructions, et alg•bre en
gŽomŽtrieÊ: ÊPetite histoire de quelques gŽomŽtries.
Introduction :
L'histoire globale de la gŽomŽtrie reste ˆ Žcrire. En comparaison, les mathŽmatiques, ou les nombres ont inspirŽ plus d'historiens des sciences, tels que [Dahan-Damedico, Peiffer-86], [Dedron, Itard-59], [Bourbaki-69], etcÉ L'Žcriture d'une histoire de la gŽomŽtrie est une t‰che ardue, qui ne sera pas entreprise ici, car il n'y a pas une gŽomŽtrie, mais une multitude de gŽomŽtries. La plupart apparaissent aux si•cles derniers, ‰ge d'or pour la gŽomŽtrie, o• elles reprŽsentent la science par excellence. Elles offrent la caution d'une rigueur intellectuelle ˆ la philosophie3 et reprŽsentent le langage de la nature m•meÊ: ÇLa nature est Žcrite en caract•res
gŽomŽtriquesÈ
-GalilŽe-Mais qu'est-ce qu'une gŽomŽtrie ? Avant d'apporter quelques ŽlŽments de rŽponse, notons que certaines gŽomŽtries sont oubliŽes aujourd'hui ou ont changŽ de nom depuis. Ceci restreint ˆ peine le champ de ce terme "gŽomŽtrie". Ainsi, au dix-septi•me si•cle, se dŽveloppe la gŽomŽtrie "des indivisibles" avec d'illustres gŽom•tres, mathŽmaticiens et physiciensÊ: Pascal, Fermat, Kepler, Roberval, Torricelli,É L'intitulŽ original est aujourd'hui oubliŽ, remplacŽ par celui de calcul intŽgral, beaucoup plus reprŽsentatif d'une discipline importante4.
M•me si nous nous restreignons aux gŽomŽtries tel que le sens usuel les comprend, il y a eu et il reste plusieurs dŽfinitions. Chaque famille de dŽfinitions donne lieu ˆ des visions diffŽrentes de la gŽomŽtrie. Nous reconnaissons, pour notre part, quatre familles distinctes par ordre d'importance dans la culture mathŽmatique couranteÊ: gŽomŽtrie synthŽtique, gŽomŽtrie analytique, gŽomŽtrie des constructions et gŽomŽtrie des nombres constructibles.
a) La gŽomŽtrie qui dŽbuta avec Euclide : Les gŽomŽtries synthŽtiques.
Euclide
Les historiens de sciences s'accordent pour dire qu'Euclide est le premier ˆ dŽfinir correctement la notion formelle de gŽomŽtrie. Dans Les ŽlŽments, la gŽomŽtrie qu'il dŽcrit appara”t sous une forme qui correspond ˆ la notion moderne des syst•mes axiomatiques de
3 A l'Žpoque toute entreprise intellectuelle se devait de suivre une dŽmarche gŽomŽtrique. Le raisonnement
philosophique se nourrissait de la dŽmarche axiomatique de la gŽomŽtrie d'Euclide. (cf. D'Alembert et Pascal)
A
B
C
A prouverÊ: les deux carrŽs construits sur les petits cotŽs d'un triangle rectangle ont une aire totale Žgale ˆ celle du carrŽ construit sur l'hypotŽnuse, c'est ˆ dire :
AC2Ê=ÊAB2Ê+ÊBC2 IdŽe de la preuve d'EuclideÊ: voir [Dedron, Itard-59] pp. 352-353
Figure I.1-a: ThŽor•me de Pythagore.
dŽduction. La gŽomŽtrie d'Euclide est dŽfinie comme un triplet comportant un ensemble d'objets dits "gŽomŽtriques" (points, droites, segments, cercles, diam•tres, angles obtus, droits, aigus, triangles ŽquilatŽraux, rectangles, losanges, carrŽs,É), un ensemble de relations dites "gŽomŽtriques" (incidence, perpendicularitŽ, parallŽlisme, congruence, ordre,É), et des r•gles implicites ou explicites de transitions permettant de dŽduire de nouvelles propriŽtŽs d'une figure en possŽdant dŽjˆ. Parmi ces r•gles de transitions explicites, certaines ne nŽcessitent pas d'hypoth•ses sur la figure et peuvent •tre appliquŽes directement, elles sont appelŽes postulats ou axiomes.Ê
La distinction entre postulat et axiome est peu significative. L'emploi moderne du terme "axiome" prŽvaut, mais le terme de "postulat" constitue une rŽfŽrence plus forte au texte original d'Euclide. En effet, "postulat" signifie "demande", et les principes de base des ƒlŽments d'Euclide s'exprimaient non pas comme des propriŽtŽs dont la vŽracitŽ Žtait admise par principe comme chez Hilbert (des axiomes) , mais comme des demandes dont la satisfaction Žtaient accordŽe par principe (des postulats). Euclide demandait : 1) de pouvoir construire une droite reliant 2 points, 2) de pouvoir prolonger une droite, 3) de pouvoir dessiner un cercle de centre et de rayon connus, 4) d'avoir des angles droits toujours Žgaux, et 5) de toujours pouvoir construire le point d'intersection de deux droites non parall•les.
Le syst•me mis en place par Euclide avait pour vocation principale l'Žlaboration de dŽmonstrations et de preuves en gŽomŽtrie qui soient incontestables. Il rŽalisait ainsi un objectif hŽritŽ de PlatonÊ: dŽtacher la gŽomŽtrie du monde sensible pour en faire une science indŽpendante des fluctuations de sensibilitŽ des individus, de telle sorte que le savoir gŽomŽtrique soit universel. Un exemple de probl•me posŽ est donnŽ par le cŽl•bre thŽor•me de Pythagore illustrŽ figure I.1-a.
La mŽthode de dŽmonstration issue de la tradition euclidienne reste aujourd'hui tr•s vivante. En intelligence artificielle par exemple, les premiers dŽmonstrateurs en gŽomŽtries des annŽes 1970 (cf. [Gelernter-63]) Žtaient construits sur ces thŽories euclidiennes de la gŽomŽtrie. Malheureusement, la forte complexitŽ algorithmique des recherches de dŽmonstration dans les syst•mes axiomatiques de la gŽomŽtrie ne permit pas d'obtenir des rŽsultats concluants.
produisent des dŽmonstrateurs de gŽomŽtrie performants, un retour s'effectue vers la recherche de dŽmonstrations euclidiennes plus lisibles et pŽdagogiques, cf. [Wang-96].
En classe enfin, malgrŽ la difficultŽ inhŽrente ˆ la recherche de dŽmonstrations euclidiennes elle reste un pilier de l'apprentissage de la dŽmonstration formelle (hypoth•ses, r•gles de dŽduction -> conclusions).
Hilbert
Le progr•s essentiel du syst•me d'Euclide sur ceux de ces prŽdŽcesseurs tient dans ses axiomes ou postulats qui sont des ŽnoncŽs vrais admis sans dŽmonstration. Ce sont des preuves justes, sans hypoth•ses. Ce sont des donnŽes du syst•me axiomatique qui ne sont pas rattachŽes ˆ la rŽalitŽ, alors que les objets de la gŽomŽtrie (points, droites, cercles, ...) le restent.
Le plus cŽl•bre des postulats d'Euclide est le cinqui•me, dit postulat des parall•les. Ce postulat, si important, s'exprime aujourd'hui sous la forme de l'axiome de Playfair.
Axiome de PlayfairÊ: Pour un point et une droite, il y a une et une seule parall•le ˆ la droite
passant par le point.
Cependant le choix d'un syst•me d'axiomes ou de postulats n'est pas immŽdiat. Divers probl•mes apparaissentÊ: complŽtude, non-contradiction, indŽpendance et recherche d'un ensemble minimum d'axiomes. D•s la formulation de ce cinqui•me postulat et jusqu'au dix-huiti•me si•cle, les gŽom•tres cherch•rent ˆ prouver que cet ŽnoncŽ pouvait •tre dŽmontrŽ ˆ partir des autres postulats d'Euclide. ÇLa bataille pour dŽmontrer le cinqui•me postulat d'Euclide, qui dŽbuta peu apr•s la parution des ƒlŽments (i.e. 300 av. J.C.) continua jusqu'au beau milieu du dix-huiti•me si•cle, mais finalement les mathŽmaticiens rŽalis•rent que ce cinqui•me postulat Žtait indŽpendant des quatre autres.È in [Cederberg-89].
Hilbert poursuit dans la formalisation de la gŽomŽtrie en opŽrant une coupure encore plus radicale entre les concepts gŽomŽtriques et la rŽalitŽ qu'ils pourraient dŽcrire. Avec Hilbert, les concepts gŽomŽtriques ne sont pas rattachŽs explicitement ˆ la rŽalitŽ, et aucune dŽfinition de ces concepts n'est donnŽe ˆ partir d'autres objets rattachŽs ˆ la rŽalitŽ. Ainsi, la gŽomŽtrie entrait dans le domaine des MathŽmatiques les plus formelles.
Plus tard, les sciences expŽrimentales (la philosophie naturelle du dix-septi•me) eurent naturellement ˆ se demander si la nature Žtait euclidienne ou non. Sans pouvoir apporter de rŽponses dŽfinitives, ou m•me prŽliminaires ˆ cette question, nous noterons que ÇDes recherches depuis la seconde guerre mondiale indiquent que l'espace observŽ ˆ travers des jumelles binoculaires, est un espace hyperboliqueÈ [Cederberg-89] Mais qu'est-ce qu'un espace hyperbolique ? C'est justement ce que l'histoire va nous apprendre ci-apr•s, en poursuivant l'Žtude des descendants de la gŽomŽtrie euclidienne.
A
B
C
h
horizon
Mod•le de PoincarŽ pour la gŽomŽtrie hyperboliqueÊ:
Les points sont des points "euclidiens" intŽrieurs ˆ un cercle nommŽ horizon.
Les lignes sont des arcs de cercles "euclidiens" intŽrieurs ˆ l'horizon et orthogonaux ˆ lui.
Les perpendiculaires sont des arcs de cercles "euclidiens" orthogonaux. Figure I.1-b: Triangle et hauteurs en gŽomŽtrie
h y p e r b o l i q u e .
Lobachevsky
Et pourtant, l'axiomatisation de Hilbert et celles qui apparaissent ˆ la m•me pŽriode dŽcrivent essentiellement la m•me gŽomŽtrie. Si la gŽomŽtrie dŽfinie par Hilbert ne correspond pas exactement ˆ celle d'Euclide, l'esprit est le m•me. Hilbert, comme Euclide, veut axiomatiser la gŽomŽtrie observŽe dans la nature, et l'idŽe qu'il se fait de cette nature est sensiblement la m•me que celle d'Euclide. Le projet de cette nouvelle axiomatisation est d'obtenir une axiomatisation minimale de la gŽomŽtrie, et la solution au probl•me de dŽpendance ou d'indŽpendance du postulat des parall•les. Mais ce postulat rŽsiste, les gŽom•tres ne savent toujours pas s'il est indŽpendant ou non.
Le rŽsultat de cette recherche fut inattendu. Non seulement ce postulat est indŽpendant, mais encore il peut •tre remplacŽ par d'autres axiomes tr•s diffŽrents. Ainsi, d'autres gŽomŽtries axiomatiques voient leur naissance avec Lobachevsky et Riemann ˆ la m•me pŽriode. En particulier, les gŽomŽtries hyperboliques et elliptiques. La gŽomŽtrie usuelle fut alors appelŽe gŽomŽtrie euclidienne.
Ainsi, la gŽomŽtrie hyperbolique remplace l'axiome des parall•lesÊpar l'axiome suivant : tout couple de droites se coupe en un point et un seul. Un exemple de mod•le pour la gŽomŽtrie hyperbolique, le mod•le de PoincarŽ, et la construction de l'orthocentre d'un triangle, est donnŽ figure I.1-b.
Ë la m•me Žpoque, les gŽomŽtries finies voient le jour, suite ˆ des axiomatisations plus simples que celle de la gŽomŽtrie euclidienne. Un exemple d'axiomatisation et de mod•le d'une gŽomŽtrie finie est donnŽ figure I.1-c. C'est un exemple paradoxal de situation qui ne peut se produire en gŽomŽtrie euclidienne.
Essentiellement, ces gŽomŽtries ne comportent pas d'axiome de continuitŽ et dŽgagent les notions clŽs des syst•mes axiomatiques comme le note Judith CederbergÊ: ÇLes gŽomŽtries finies se sont dŽveloppŽes ˆ la fin du dix-neuvi•me si•cle en partie pour mettre en Žvidence et tester les notions de complŽtude, de consistance et d'indŽpendance intervenant dans les syst•mes axiomatiques.È Elles sont en effet fort intŽressantes ˆ Žtudier dans un cours portant sur ces notions et [Cederberg-89] en donne une illustration parfaite.
Elles permettent par ailleurs aussi de dŽgager certaines notions de gŽomŽtrie. Par exemple, quelques gŽomŽtries finies particuli•res Çillustrent quelques propriŽtŽs fondamentales
Mod•le comprenant sept points et sept droites, pour la gŽomŽtrie finie dŽfinie par les axiomes suivantsÊ:
- AxiomeÊ1Ê: Par tout couple de points passe une droite.
- AxiomeÊ2Ê: Tout couple de droites a un point en commun.
- AxiomeÊ3Ê: Pour chaque couple de point il existe un point alignŽ.
- AxiomeÊ4Ê: Il existe trois points non alignŽs.
Figure I.1-c: Exemple de mod•le pour une gŽomŽtrie finie.
des gŽomŽtries non euclidiennes et projectives.È in [Cederberg-89]. Mais qu'est-ce que la gŽomŽtrie projectiveÊdont parle Judith Cederberg ? La gŽomŽtrie projective tient une place importante dans l'histoire de la gŽomŽtrie. Elle appara”t au dix-septi•me si•cle avec Desargues, Pascal et Lahire, et n'a pour seuls concepts de base que ceux de points, de droite et d'incidence. L'ensemble des gŽomŽtries prŽsentŽes dans cette section I.1-b prennent le nom aujourd'hui de gŽomŽtries synthŽtiques. Une hiŽrarchie des gŽomŽtries synthŽtiques est dŽfinie naturellement suivant une hiŽrarchie des axiomatisations.
b) La gŽomŽtrie avec et apr•s DescartesÊ: Les gŽomŽtries analytiques.
Descartes
ÇAu 17i•me si•cle, Pierre de Fermat (1601-1665) et RenŽ Descartes (1596-1650) ont commencŽ ˆ utiliser des reprŽsentations algŽbriques des figures. Ils rŽalis•rent qu'en assignant ˆ chaque point du plan un couple de nombres rŽels, des techniques d'alg•bre pouvaient •tre employŽes dans l'Žtude de la gŽomŽtrie euclidienne.È in [Cederberg-89].
La gŽomŽtrie analytique est nŽe, ˆ laquelle Wallis, oubliŽ dans cette citation, a aussi contribuŽ. Pour longtemps, la gŽomŽtrie sera associŽe avec les coordonnŽes "cartŽsiennes", mŽlange d'arithmŽtique et de gŽomŽtrie euclidienne.
Ce mŽlange est dŽsapprouvŽ par nombres de gŽom•tres, comme Steiner, mais l'efficacitŽ de cette association en assure le succ•s. Les ŽnoncŽs du baccalaurŽat fran•ais, ces derni•res annŽes encore, comportent plus de gŽomŽtrie analytique, source de calculs faciles ˆ corriger, que de gŽomŽtrie euclidienne. Et pourtant, l'apparition de calculatrices de plus en plus perfectionnŽes, possŽdant des fonctions de calcul formel, rend la plupart de ces calculs caduques. Ceci rŽduit l'intŽr•t de la gŽomŽtrie analytique dans le domaine de l'apprentissage humain et doit renouveler celui de la gŽomŽtrie euclidienne. Cependant la gŽomŽtrie analytique continue ˆ •tre un pilier de l'enseignement de la gŽomŽtrie.
Peu apr•s la dŽcouverte des gŽomŽtries axiomatiques et la naissance de la gŽomŽtrie analytique, la notion de gŽomŽtrie est redŽfinie par Klein dans le programme d'Erlangen (1872). Avec Klein, la gŽomŽtrie appara”t non plus construite ˆ partir de concepts plus ou moins identifiables ˆ des objets et des propriŽtŽs observables dans la nature, mais en prenant comme point de dŽpart les transformations du plan : ÇUne gŽomŽtrie dŽfinit l'Žtude des propriŽtŽs d'un ensemble S restant invariantes (inchangŽes) quand les ŽlŽments de S subissent une transformation d'un certain groupe de transformations.È in [Cederberg-89].
Cette nouvelle dŽfinition renforce l'introduction de l'alg•bre et de l'arithmŽtique au sens large dans la gŽomŽtrie. Avant m•me l'av•nement du calcul formel, la gŽomŽtrie associŽe ˆ la recherche de preuves (en abrŽgŽ gŽomŽtrie de la preuve, qui regroupe gŽomŽtries synthŽtiques et analytiques) imagine utiliser le passage de la gŽomŽtrie vers l'alg•bre pour produire des preuves ou dŽmonstrations.
Tarsky
Un dŽveloppement majeur est donnŽ ˆ la gŽomŽtrie de la preuve avec les travaux avant-guerre de Tarsky. La gŽomŽtrie de Tarsky est analytique. M•me plus, Tarsky prŽsente la gŽomŽtrie "ŽlŽmentaire" comme Žquivalente ˆ l'arithmŽtique "ŽlŽmentaire".
Le principal rŽsultat de Tarsky porte sur la notion de complŽtude des syst•mes axiomatiques de la gŽomŽtrie. La gŽomŽtrie (dont Tarsky donne une dŽfinition supplŽmentaireÊ: d'o• le terme gŽomŽtrie ŽlŽmentaire utilisŽ ci dessus), ainsi que l'arithmŽtique ŽlŽmentaire (qui, entre autres, ne contient pas tous les rŽels et qui est Žquivalente ˆ la gŽomŽtrie ŽlŽmentaire) sont des syst•mes formels dŽcidables. Clairement, toute propriŽtŽ bien Žcrite est dŽcidable, elle peut •tre dŽmontrŽe si elle est vraie, et rŽfutŽe si elle est fausse.
L'importance de ce rŽsultat appara”t par contraste avec les travaux de Gšdel. Ë la m•me Žpoque, Gšdel dŽmontrait son rŽsultat d'incomplŽtude.
ThŽor•me d'incomplŽtude de GšdelÊ: Tout syst•me axiomatique de dŽduction formelle
suffisamment complexe pour dŽcrire l'arithmŽtique est incompletÊ: il comporte des propriŽtŽs vraies qui ne trouveront pas de dŽmonstrations, des propriŽtŽs dont la vŽritŽ ou la faussetŽ ne saura •tre dŽterminŽe, enfin des propriŽtŽs fausses dont on ne pourra prouver la faussetŽ.
La diffŽrence entre la gŽomŽtrie ŽlŽmentaire et l'arithmŽtique usuelle tient dans la notion essentielle d'arithmŽtique (+ et *) sur les entier. Cette notion permet la dŽfinition d'un procŽdŽ de diagonalisation "ˆ la God‘l" qui n'apparait pas en gŽomŽtrie ŽlŽmentaire. Elle garantit ˆ l'arithmŽtique une puissance bien plus grande, mais au prix d'une perte de dŽcidabilitŽ dont la gŽomŽtrie ŽlŽmentaire ne souffre pas. Ë l'appui de sa th•se, Tarsky exhibe une procŽdure pour dŽterminer la validitŽ d'une proposition quelconque (finie) de gŽomŽtrie ŽlŽmentaire. Malheureusement, la complexitŽ algorithmique de cette procŽdure (associŽe ˆ la dŽcomposition cylindrique de Collins) est doublement exponentielle et limite son emploi.
W u
Beaucoup plus rŽcemment, l'av•nement du calcul formel sur ordinateur et l'aisance avec laquelle les manipulations algŽbriques sont possibles entra”nent la naissance de nouvelles
Euclidienne
GŽomŽtries
(prŽsentŽes dans ces pages) Non-Euclidienne Hyperbolique Elliptique Projective ordre metrique pas d'ordre GŽomŽtrie affine GŽomŽtrie mŽtrique GŽomŽtrie d'Hilbert GŽomŽtrie de Tarsky RxR
ArchimŽdien Non-ArchimŽdien HiŽrarchie de gŽomŽtries proposŽe
par Shang-Ching Chou.
F i g u r e Ê I . 1 - d : H i Ž r a r c h i e s d e s g Ž o m Ž t r i e s .
gŽomŽtries. Elles sont dŽcrites ˆ la suite de Wu par Chou et ses disciples, cf. figureÊI.1-d. Ces nouvelles gŽomŽtries, introduites pour la nŽcessitŽ des nouveaux algorithmes de dŽcisions, rŽalisent en pratique l'objectif de Tarsky et Descartes de rŽduire la gŽomŽtrie ˆ l'alg•bre. Elles permettent de dŽcider mŽcaniquement (par le calcul) la validitŽ d'une propriŽtŽ gŽomŽtrique. Le plus souvent, elles rŽduisent la gŽomŽtrie euclidienne au domaine de validitŽ et de complŽtude des algorithmes de dŽcisions employŽs.
Les nouvelles gŽomŽtries dŽfinies rŽv•lent dans la classification des thŽor•mes qu'ils peuvent dŽcider, les difficultŽs qui subsistent en alg•bre pour transposer toutes les notions gŽomŽtriques. Ainsi les notions d'ordre ou de cl™ture de corps diffŽrent entre gŽomŽtrie et alg•bre. La notion d'ordre, si aisŽe ˆ comprendre en gŽomŽtrie, est le plus souvent difficile ˆ mettre en oeuvre en alg•bre au travers des idŽaux de polyn™mes (mŽthodologie usuelle pour reprŽsenter les figures gŽomŽtriques, via les bases de Gršbner, ou d'autres dŽcompositions). Et inversement, la notion de corps clos, naturelle dans les bases de Gršbner qui "travaillent" dans C et non dans R, est absente de la gŽomŽtrie. Cette absence est souvent ŽludŽe. Et pourtant, deux cercles du plan peuvent ne pas se couper !
Les premiers dŽmonstrateurs performants de gŽomŽtrie apparaissent dans les annŽes quatre-vingts, et fournissent des preuves en des temps convenables, dans des environnements aisŽment disponibles, Macintosh, ou calculatrice dans certains cas. L'objectif actuel des recherches dans ce domaine est l'amŽlioration de la nature gŽomŽtrique des dŽmonstrations.
Ë propos des dŽmonstrations produites par ces algorithmes de dŽcision, il faut noter la nature algŽbrique de ces dŽmonstrations. Pour un oeil humain, ces dŽmonstrations sont
illisibles et difficiles ˆ vŽrifier. Par ailleurs, elles produisent des conditions de non-dŽgŽnŽrescence du thŽor•me parfois dŽlicates ˆ interprŽter en termes gŽomŽtriques.
En ce qui nous concerne, nous notons qu'une prŽfŽrence est donnŽe, par ces dŽmonstrateurs, aux propositions portant sur une figure donnŽe sous la forme d'une construction, cf. [Chou et Gao-92]. La norme pour les constructions Žtant de ne considŽrer que celles obtenues ˆ la r•gle et au compas.
c) La gŽomŽtrie du jardinier et de l'astronomeÊ: gŽomŽtries des
constructions.
L'ensemble des gŽomŽtries dŽcrites jusqu'ici ont pour origine une rŽflexion sur la notion de thŽor•me (c'est ˆ dire d'invariant pour Klein) et/ou sur la notion de preuve (en prenant une terminologie ˆ la Lakatos). Ce sont essentiellement des gŽomŽtries de la preuve. Mais rŽduire la gŽomŽtrie ˆ la recherche de thŽor•mes ou de preuves, c'est oublier la moitiŽ ou presque des richesses de la gŽomŽtrie. C'est oublier quelques uns de ses plus beaux dŽveloppements au sein des mathŽmatiques, avec l'alg•bre pour compliceÊ: la gŽomŽtrie des constructions, celle qu'utilise par exemple le jardinier pour dessiner au cordeau, tour ˆ tour r•gle et compas, les jardins "ˆ la fran•aise".
C'est oublier aussi l'origine, le cÏur de la gŽomŽtrie, les ŽlŽments sur lesquelles elle s'est fondŽeÊ: la r•gle et le compas. Pourquoi la gŽomŽtrie s'est-elle dŽveloppŽe, avec Euclide, en prenant comme objets de base le point, la droite et le cercleÊ? Bien sžr, ce choix s'explique par la simplicitŽ de ces figures. Par ailleurs l'exemple de la droite et du cercle nous est donnŽ par la nature avec l'horizon et le Soleil. Enfin le caract•re idŽal de ces deux figures, sans dŽbut ni fin, qui rŽalisent parfaitement les symŽtries de translation et de rotation, en font des ŽlŽments de base de la gŽomŽtrie. Mais ces explications ne suffisent pas ˆ expliquer ces choix. C'est Platon et son Žcole, l'AcadŽmie5, qui avant Euclide porte la responsabilitŽ du choix de la droite et du
cercle.
En fait, bien plus que le cercle, c'est le compas qui est choisi. Comme figures idŽales pouvant servir ˆ la dŽfinition de la gŽomŽtrie euclidienne, la cha”nette, la parabole, la spirale usuelle6 peuvent •tre choisies. Mais seul le cercle poss•de un moyen de construction facile,
fiable et accessible ˆ tous, le compas (ou le cordeau). De m•me, la droite rel•ve d'un moyen de construction trivial, la r•gle. Depuis Platon, le choix de la r•gle et du compas reste stable, comme l'est le mod•le de la dŽmonstration donnŽe par Euclide.
Beaucoup plus tard, ˆ la Renaissance, la r•gle et le compas sont choisis et employŽs par divers corps de mŽtiers assez ŽloignŽs (jardiniers, architectes, astronomes), pour leur qualitŽ intrins•que principaleÊ : la prŽcision des tracŽs. Et m•me, avec l'apparition de procŽdŽs de construction plus perfectionnŽs et plus immŽdiats utilisant d'autres figures gŽomŽtriques et
5AcadŽmie, qui signifie "portique" (celui qui se trouvait ˆ l'entrŽe de l'Žcole de Platon), et dont la lŽgende
raconte qu'il portait l'inscription "Que nul n'entre ici s'il n'est gŽom•tre" (en grec, cela s'entend).
6 ÇSpirale usuelle dite d'Archim•de, o• un point m se dŽplace sur une droite D avec une vitesse constante
C1 D2 D5 C7 D10 C11 D12 o P3 P4 P6 P8 P9 M M' N N' A Construction du pentagone rŽgulier (AMNM'N') ˆ la r•gle et au compas ˆ partir du centre O et du sommet A :
- construction de C1, cercle de centre O passant par A
- construction de la droite D2, des points P3, et P4 milieu de [O,P3], de la perpendiculaire D5 passant par O ˆ D2, du point P6 sur P5 et C1,
- construction du cercle C7, de centre P3 passant par P6, des points P8 sur 2 et 7, et P9 milieu de [O,P8],
- construction de la
perpendiculaire D10 ˆ D2 passant par P9, des points M et M' sur C1 et D10, du cercle C11, du points N de la droite D12 et du point N'.
Figure I.1.e : Construction ˆ la r•gle et au compas.
d'autres outils, le crit•re de choix, celui de la prŽcision des tracŽs, fut souvent en faveur de la r•gle et du compas. A ce sujet, une mesure de la complexitŽ des figures fut mise en place, pour comparer deux constructions, la longueur de chacune reprŽsentant sa complexitŽÊ: la complexitŽ d'Anaxia.
Au dix-septi•me si•cle, la r•gle et le compas sont mis en concurrence pour savoir lequel de ces deux instruments est le plus prŽcis. Ainsi na”t la gŽomŽtrie du compas seul. De m•me, na”t celle de la r•gle seule. Par la suite, diverses gŽomŽtries liŽs ˆ d'autres procŽdŽs et ensembles de procŽdŽs de construction voient le jour. Notons les ensembles suivantsÊ: la r•gle accompagnŽe selon les cas d'un traceur de parall•les, d'une Žquerre, d'un cercle unique (centrŽ ˆ l'origine et unitaire par exemple), d'un bissecteur, ou encore d'un transporteur de distances (compas non tra•ant, ou compas ˆ pointe s•che).
La gŽomŽtrie du compas seul pour mentionner les travaux et rŽsultats de Mohr et surtout de Macheroni avaient des prŽoccupations utilitairesÊ: les applications visŽes Žtaient la construction de cadrans solaires et la graduation d'instruments d'astronomie de haute prŽcision.
La gŽomŽtrie de la r•gle seule progressera en suivant les travaux au dix-septi•me si•cle de Desargues, Pascal et Lahire en gŽomŽtrie projective. La gŽomŽtrie projective fut redŽcouverte ˆ l'occasion, et servit largement d'inspiration.
Nous reviendrons sur les gŽomŽtries de la r•gle seule, et du compas seul ˆ la section suivante pour les rŽsultats de constructibilitŽ de Mohr, Steiner et Poncelet.
Encore plus ŽloignŽe de la gŽomŽtrie euclidienne, se trouve la gŽomŽtrie des pliages (Žquivalente ˆ celle de la r•gle accompagnŽe d'un bissecteur). Notons enfin la gŽomŽtrie qui se dŽroule sur une feuille finie, elle pose des probl•mes concrets de constructions intŽressant et pŽdagogiques, comme le montre la figure I.1.f.
D D'
Probl•me :
Comment construire la bissectrice de deux droites D et D' donnŽes sur une feuille (finie), quand les deux droites donnŽes se coupent en dehors de la feuille ?
(Solution ci-contre) Figure I.1.f: Construction d'une bissectrice sur une feuille.
L'Žquivalent des thŽor•mes ˆ dŽmontrer et des nouvelles propriŽtŽs ˆ dŽcouvrir en gŽomŽtrie synthŽtique (ou analytique) consiste dans cette gŽomŽtrie en la recherche de constructions de figures particuli•res ou en la recherche de nouvelles constructions plus rapides, plus prŽcises.
L'utilisation de la r•gle et du compas ne constituait pas un cadre limitant. D'autres outils de constructions ou d'autres courbes accessoires ont ŽtŽ utilisŽs (la r•gle de Nicom•de qui permet le dessin de la concho•de du m•me Nicom•de, la quadratrice de Dinostrate, l'intŽgraphe,...)
Des rŽsolutions pragmatiques de plusieurs types, utilisant ces instruments ou procŽdŽs de constructions, ont ainsi ŽtŽ donnŽesÊ:
- RŽsolutions graphiques quand la courbe peut •tre obtenue point par point ˆ la r•gle et au compas (c'est ˆ dire lorsque le point gŽnŽrique de la courbe auxiliaire est constructible ˆ la r•gle et au compas)
- RŽsolutions mŽcaniques quand la courbe ne peut •tre obtenue point par point continžment ˆ la r•gle et au compas mais seulement par un syst•me mŽcanique, et rŽsolutions approchŽes.
L'exemple le plus frappant est donnŽ par la recherche d'une construction de p.
Dans tous les cas, ces rŽsolutions pragmatiques aux probl•mes difficiles de constructions ne constituaient pas une solution finale. Les gŽom•tres poursuivaient leur recherche pour trouver une construction ˆ la r•gle et au compas rŽpondant aux canons de la gŽomŽtrie.
Parmi les probl•mes de construction difficiles, les plus connus sont la quadrature du cercle (construire un carrŽ ayant une surface Žgale ˆ celle d'un cercle), la trisection d'un angle, et la duplication du cube. Tout comme la recherche d'une dŽmonstration du cinqui•me postulat d'Euclide, ces trois probl•mes ne re•urent une rŽponse qu'ˆ l'aube de l'•re moderne, pr•s de 2000 ans apr•s avoir ŽtŽ formulŽs. Et c'est sur un rŽsultat nŽgatif, lˆ aussi7, que se termina cette
qu•te.
d) La gŽomŽtrie pour l'informaticien ? gŽomŽtrie des nombres
constructibles.
Pour clore cette courte histoire de la gŽomŽtrie, il faut Žtudier les rapports qu'ont entretenu la gŽomŽtrie et les nombres. Ce morceau d'histoire est traitŽ succinctement dans cette section, car le sujet est repris plus finement dans le chapitre qui suit. D'une certaine mani•re, c'est l'histoire qui intŽresse le plus l'informaticien, car elle concerne les nombres, donnŽes qui vont lui servir ˆ reprŽsenter la gŽomŽtrie.
La connaissance populaire associe facilement Descartes avec le passage de la gŽomŽtrie aux nombres, mais en fait, les relations entre la gŽomŽtrie et les nombres existaient bien avant Descartes. La gŽomŽtrie servait ˆ l'alg•bre depuis la Gr•ce antique. Descartes n'a fait qu'inverser le lien qui unissait nombres et figures gŽomŽtriques, auparavant la gŽomŽtrie servait aux calculs arithmŽtiques et non l'inverse.
C'est l'une des histoires les plus fascinantes et les plus intŽressantes, et pourtant l'une des moins connues et enseignŽes. Souvent, dans les histoires des nombres, des chiffres des syst•mes de numŽrations -qui sont nombreuses- cette histoire est oubliŽe. C'est un exemple o• l'ingŽniositŽ humaine s'est particuli•rement exercŽe pour accorder une thŽorie humaine, a priori Žvidente, reprŽsentant sans dŽfaillir une notion immŽdiate, celle des nombres, avec une rŽalitŽ plus ŽloignŽe, apprŽhendŽe par notre seule intuition, celle de la mesure des longueurs et surfaces. Le probl•me consiste ˆ modŽliser l'intuition des rŽels que nous avons, ˆ partir des notions de longueurs, avec les outils que nous offre la thŽorie des nombres entiers. Il s'agit en m•me temps d'Žclaircir le rapport entre la gŽomŽtrie et les nombres, sujet ŽtudiŽ d•s Euclide.
Le terme essentiel de ces travaux, la commensurabilitŽ, la recherche d'un rapport commun entre deux longueurs, montre l'effort pour trouver l'adŽquation d'une thŽorie avec la rŽalitŽ. Elle a ŽtŽ d•s le dŽpart au centre des prŽoccupations des mathŽmaticiens gŽom•tres.
Le premier thŽor•me qui regroupe la gŽomŽtrie et la thŽorie des nombres est aussi l'un des plus anciens thŽor•mes de gŽomŽtrie, c'est le thŽor•me de Thal•s. Connus depuis longtemps, c'est un rapport d'homothŽtie qui exprime une simple r•gle de trois. Avec ce thŽor•me et la r•gle seulement, les gŽom•tres grecs se rendent compte qu'ils peuvent exprimer tous les nombres entiers et rationnels en termes de longueurs et de rapports de longueur. La rŽciproque leur semble immŽdiate. Et par suite, l'Žcole pythagoricienne prend le nombre entier comme l'ŽlŽment de base de toute longueur, et accorde ˆ l'entier un caract•re divin.
L'Žtude des nombres entiers prend son essor avec l'Žcole pythagoricienne. Les nombres "entiers" sont naturellement associŽs ˆ la gŽomŽtrie sous forme figurative. Les nombres sont "linŽaires", "plans" ou "solides". Ils prennent toutes les formes possibles, "triangulaires", "carrŽs", "oblongs", "pentagonaux", "pyramidaux", cf. figure I.1-g.
Finalement les gŽom•tres statuent que deux longueurs sont commensurables si l'une et l'autre dŽmultipliŽes par des coefficients entiers respectifs sont alors Žgales. La question "toutes les longueurs sont-elles commensurablesÊ?" vient naturellement puisque tous les nombres connus alors (les nombres rationnels) le sont.
1 4 3 1 3 5 1 2 9
Trois sŽries de trois nombres : - Nombres linŽairesÊ: 1, 2, 3; c'est ˆ dire tous les nombres entiers.
- Nombres triangulairesÊ: 1, 3, 5; c'est ˆ dire tous les nombres de la forme n(n+1)/2.
- Nombres carrŽsÊ: 1, 4, 9; c'est ˆ dire tous les entiers carrŽs.
Figure I.1-g : Les nombres pythagoriciens.
Mais avant de rŽpondre ˆ cette question, notons que le dogme pythagoricien est critiquŽ. Les paradoxes de ZŽnon d'ƒlŽe appartiennent ˆ cet univers. ZŽnon d'ƒlŽe, contemporain des pythagoriciens, s'Žtablit contre ceux-ci et dŽnonce au travers de ses paradoxes l'emploi d'un paradigme unique pour dŽcrire la rŽalitŽ. Ainsi, contre l'idŽe de la continuitŽ et la divisibilitŽ infinie de l'Žther, ZŽnon observe le parcours d'une fl•che qui, ˆ force de ne franchir que la moitiŽ du chemin qui lui reste, n'arrive jamais ˆ son but. Contre l'idŽe de quantification de l'espace, ZŽnon observe la m•me fl•che immobile dans l'espace, car immobile ˆ chaque instant. Il est intŽressant de constater que le choix d'un mod•le pour dŽcrire le rŽel reste toujours un Žpineux probl•me, et que le choix entre le continu et le discontinu se pose quand le physicien veut parler de sable ou de fluide. Bien sžr, d'autres modŽlisations sont aujourd'hui offertes, ce qui rend le probl•me du choix encore plus dŽlicat.
Pour rŽpondre ˆ ces critiques, la "physique" se dŽmarqua du dogme pythagoricien, en introduisant la thŽorie de l'atome, l'insŽcable, dž ˆ DŽmocrite et avant lui ˆ Leucippe.
Pour la question de la commensurabilitŽ entre longueurs, la rŽponse vint d'un second thŽor•me de gŽomŽtrie tr•s ancien aussi, bien que moins que le thŽor•me de Thal•s. Il s'agit du thŽor•me de Pythagore, rŽunissant gŽomŽtrie et thŽorie des nombres. La rŽponse donnŽe par le thŽor•me de Pythagore fut une catastrophe. La rŽponse Žtait nŽgative, toutes les longueurs n'Žtaient pas commensurables.
Le thŽor•me de Pythagore avait entra”nŽ la dŽcouverte des irrationnels, et en particulier de la racine carrŽe de 2, rapport de la longueur de la diagonale d'un carrŽ ˆ la longueur du cotŽ, c'est ˆ dire rapport de l'hypotŽnuse au cotŽ d'un triangle rectangle isoc•le (triangle scal•ne pour Platon). Platon montre, dans le MŽnon, que ce nombre n'est pas rationnel. Il ne va pas pour autant lui donner de statut.
Pour cette m•me dŽmonstration de l'incommensurabilitŽ, c'est ˆ dire l'irrationalitŽ de Ö2, quelque temps plus t™t Hypostase de MŽtaponte fut noyŽ, cf. [Dahan-Damedico, Peiffer-86]. En effet, l'Žcole pythagoricienne, ˆ laquelle appartenait MŽtaponte, formait une secte au sens moderne. Cette Žcole Žtait tr•s stricte sur la conservation du silence sur cette irrationalitŽ. Le secret devait •tre conservŽ car les pythagoriciens vivaient dans la croyance que les dieux avaient
crŽŽ les ŽlŽments, la nature et les hommes avec des nombres entiers. Ainsi la nature faite d'entiers exprimait la perfection que les dieux lui avaient donnŽe. La dŽcouverte des irrationnels dans la nature Žtait le signe pour les pythagoriciens d'une imperfection de la nature et donc des dieux. La rŽvŽlation de cette imperfection risquait d'entra”ner la col•re des dieux, c'Žtait donc un sujet qu'il fallait garder secret. ÇSelon Proclus, Euclide aurait commentŽ la lŽgende d'apr•s laquelle celui qui le premier avait divulguŽ l'irrationalitŽ de Ö2 aurait pŽri noyŽ dans un naufrage : les auteurs de la lŽgende ont voulu parler par allŽgorie. Ils ont voulu dire que tout ce qui est irrationnel et privŽ de forme doit demeurer cachŽ. Que si l'‰me veut pŽnŽtrer dans cette rŽgion secr•te et la laisser ouverte, alors elle est entra”nŽe dans la mer du devenir et noyŽe dans l'incessant mouvement de ses courants.È in [Dahan-Damedico, Peiffer-86].
Pour Aristote et Platon, c'Žtait un secret connu fort inquiŽtant. Apr•s la dŽcouverte de l'irrationalitŽ de Ö2, d'autres survinrent pour les racines carrŽes de 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 17 comme le commente Platon. Par suite, quand Euclide Žcrivit les ƒlŽments, il savait que la r•gle ne sera pas suffisante pour construire tous les nombres. Ce fut une raison d'employer comme second outil de construction le compas. Le compas permet de rŽsoudre le probl•me de l'incommensurabilitŽ des racines carrŽes connues, puisqu'il permet de construire le nombre recherchŽ. Ainsi, ces nombres deviennent commensurables ˆ l'aide du compas8.
A l'aube de l'•re chrŽtienne, les gŽom•tres croyaient avoir ainsi atteint la fin des probl•mes concernant les relations entre nombres et longueurs. MalgrŽ les probl•mes de construction citŽs au paragraphe prŽcŽdent, les gŽom•tres pensaient pouvoir construire tout nombre ˆ la r•gle et au compas. Plus m•me, puisque Platon dans le MŽnon affirme que tous les nombres sont constructibles ˆ l'aide de fractions rationnelles et des deux racines carrŽes Ö2 et Ö3 seulement. Avec Ö2 et Ö3, Platon pensait avoir trouvŽ parmi tous les rŽels une formule simple pour p. Cette erreur vient probablement d'une mŽprise pardonnable car Ö2+Ö3 est tr•s proche de p qui Žtait recherchŽ avec beaucoup d'intŽr•t par les gŽom•tres.
L'histoire attendra le renouveau mathŽmatique du dix-septi•me si•cle pour rectifier les erreurs et trouver les solutions aux probl•mes. La premi•re Žtape fut l'apparition avec Descartes d'une formalisation des nombres constructibles. Un si•cle plus tard avec les travaux de Galois
8Jean-Claude Carrega trouve ici la raison principale du choix du compasÊ:ÇLes pythagoriciens
connaissaient bien les entiers naturels permettant le dŽnombrement, ainsi que les fractions d'entiers naturels, celles-ci leur permettaient entre autres de mesurer les segments [...] On a cru que l'on pouvait ainsi mesurer tous les segments, mais les consŽquences du thŽor•me de Pythagore (vers 550 av. J.C.) allaient provoquer un crise. On obtient en effet ˆ partir d'un triangle rectangle isoc•le ABC, (BC/AB)2Ê=Ê2, et l'on dŽmontre qu'il n'existe pas de fraction p/q telles que (p/q)2Ê=Ê2. Ainsi les segments AB et BC sont incommensurables ˆ l'aide des fractions. Il fallait donc accepter de nouveaux nombres, mais ces nouveau nombres quel statut leur donner ? On remarque que le segment BC est obtenu ˆ partir du segment AB par une construction ˆ la r•gle et au compas.Ê[...] On peut donc penser, mais ceci, n'est qu'une hypoth•se, que les constructions ˆ la r•gle et au compas ont ŽtŽ mises en avant pour servir de cautions gŽomŽtriques aux nouveaux nombres mis en Žvidence par le thŽor•me de Pythagore. De plus, en s'interdisant d'autres types de construction on se prŽservait contre de nouvelles crises.È in [Carrega-89]. Ë la fin, nous pouvons voir une rŽfŽrence discr•te ˆ Lakatos, volontaire ou non.
comme initiateur, de Wantzel pour l'essentiel et de Hilbert en ce qui concerne quelques raffinements, les mathŽmaticiens purent exploiter compl•tement le lien unissant nombres et gŽomŽtrie. Ces travaux algŽbriques introduisant la notion de nombres constructibles ont permis l'obtention de rŽsultats purement gŽomŽtriques sur la constructibilitŽ ˆ la r•gle et au compas.
Quant au probl•me mŽtaphysique du lien entre thŽorie et rŽalitŽ, entre nombres et longueurs, il reste malheureusement entier. Tout comme reste entier le probl•me de l'efficacitŽ ou de la rŽfutabilitŽ des mod•les euclidiens et non euclidiens pour reprŽsenter l'espace. Cette autre question est un rŽsultat que l'on doit plut™t ˆ la dŽcouverte des thŽories non euclidiennes.
Conclusion de ce chapitre :
Des quatre types de gŽomŽtries observŽs ici, gŽomŽtries synthŽtiques, gŽomŽtries analytiques, gŽomŽtries des constructions et gŽomŽtries des nombres, les deux derni•res retiennent particuli•rement notre attention. Le domaine de la gŽomŽtrie de construction pour nous donner quelques rŽsultats thŽoriques de rŽfŽrence sur la constructibilitŽ de figures gŽomŽtriques; la gŽomŽtrie des nombres pour nous donner aussi quelques rŽsultats thŽoriques de rŽfŽrence et pour servir de base ˆ une rŽflexion sur la possibilitŽ de reprŽsenter numŽriquement les coordonnŽes intervenant dans une situation gŽomŽtrique. Ces ŽlŽments sont abordŽs dans le chapitre suivant, en reprenant l'histoire des nombres intervenant en gŽomŽtrie afin d'observer plus systŽmatiquement les dŽveloppements modernes.
