Méthode des éléments finis espace-temps : adaptation du maillage en cours d'évolution du contact

Texte intégral

(1)Méthode des éléments finis espace-temps : adaptation du maillage en cours d’évolution du contact Lucas Adélaïde. To cite this version: Lucas Adélaïde. Méthode des éléments finis espace-temps : adaptation du maillage en cours d’évolution du contact. Mécanique [physics.med-ph]. Université de Montpellier II, 2001. Français. �tel-00609164�. HAL Id: tel-00609164 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00609164 Submitted on 18 Jul 2011. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) ACADEMIE DE MONTPELLIER. UNIVERSITE MONTPELLIER II | SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC |. THESE Presentee a l'Universite des Sciences et Techniques du Languedoc de Montpellier pour obtenir le diplôme de DOCTORAT Specialite : Mecanique, Genie Mecanique et Genie Civil Ecole Doctorale : Information, Structures, Systemes Formation Doctorale : Mecanique des Materiaux et des Milieux Complexes, des Structures et des Systemes. METHODE DES ELEMENTS FINIS ESPACE-TEMPS : ADAPTATION DU MAILLAGE EN COURS D'EVOLUTION AVEC CONTACT par. Lucas (Hector) ADE LAIDE Soutenue le 21 decembre 2001 devant le jury compose de : MM. M. JEAN Directeur de Recherches emerite, IMT Marseille President C. BOHATIER Professeur, Montpellier II Directeur de these F. JOURDAN Ma^tre de Conferences, Montpellier II Co-directeur C. BAJER Directeur de Recherches, IPPT Pologne Rapporteur P. COOREVITS Professeur, Picardie Jules Verne Rapporteur F. LEBON Professeur, Lyon I Examinateur.

(3) 0.

(4) 1. Table des matieres Introduction 1 Presentation generale de la methode. 1.1 Modelisation Generale . . . . . . . . . . . . 1.2 La methode des elements

(5) nis espace-temps (STFEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Principe de la STFEM . . . . . . . . 1.2.3 Formulation en vitesses . . . . . . . . 1.2.4 Formulation en deplacements . . . .. .................. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 3 7. 7. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . 9 . 9 . 9 . 13 . 19. 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Cas d'un systeme a un degre de liberte . . . . . . . . . . 2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Formulation du probleme et resolution analytique 2.2.3 Discretisation du probleme . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Cas en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Formulation du probleme . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Interpolation et discretisation . . . . . . . . . . . 2.3.4 Resultats Numeriques . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 2 Formulation en vitesses. 3 Formulation en deplacements. 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cas d'un systeme a un degre de liberte . . . . . 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Discretisation du probleme . . . . . . . . 3.2.3 Di erents schemas de resolution utilises . 3.2.4 Resultats numeriques . . . . . . . . . . . 3.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Formulation Variationnelle en 1D . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 25 25 26 26 26 27 33 33 33 33 36 44 46. 47 47 47 47 48 52 58 60 60.

(6) 2 3.3.1 Introduction . . . . . . . . . 3.3.2 Formulation du probleme . . 3.3.3 Interpolation . . . . . . . . 3.3.4 Discretisation du probleme . 3.3.5 Remaillage . . . . . . . . . . 3.3.6 Conclusion . . . . . . . . . . 3.4 Formulation en 2D et en 3D . . . . 3.4.1 Interpolation . . . . . . . . 3.4.2 Discretisation . . . . . . . . 3.4.3 Maillage espace-temps 4D . 3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 4.1 Rappels sur les lois de contact et de frottement . . . 4.1.1 Loi de contact unilateral . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Equations du probleme avec contact frottant . 4.1.4 Discretisation du probleme . . . . . . . . . . . 4.2 Algorithme de resolution du contact avec frottement . 4.3 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Tests numeriques et Applications . . . . . . . . . . . 4.4.1 Chute d'un lopin sur un plan in

(7) niment rigide 4.4.2 (( Emboutissage )) . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Ecrasement d'un lopin par un outil . . . . . . 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 4 Contact et Frottement en elasto-dynamique HPP. Conclusion et perspectives Annexe I Annexe II Bibliographie. 60 61 62 62 70 80 81 81 81 86 88. 89. 89 89 91 92 93 97 101 102 102 110 114 119. 121 123 125 129.

(8) Introduction. Introduction La plupart des methodes de calcul utilisees en mecanique des solides, pour resoudre des problemes non stationnaires sont basees sur un decouplage entre le temps et l'espace. Dans la majorite des logiciels existants, les calculs s'e ectuent par une discretisation de l'espace en utilisant des methodes comme, par exemple, la Methode des Elements Finis et ensuite une discretisation dans le temps par di erences

(9) nies. On pourrait se demander : Que se passerait-il, si la discretisation en espace et en temps s'e ectuait sans aucune separation? De la, beaucoup de questions se posent, entre autres : Serait-il possible de gagner en temps de calculs et en precision? En resume, quel est l'interêt de cette methode? La Methode des Elements

(10) nis Espace-Temps (STFEM), que nous presenterons dans ce memoire se distingue des autres methodes du fait de la possibilite de non separation des variables espace et temps. Dans les premiers articles parus tels que [51], un e ort de generalisation de la methode des elements

(11) nis sur le domaine espace-temps est realisee, sans que l'on puisse parler reellement de STFEM. De nouvelles idees emmergerent en ce qui concerne l'integration en temps. Les variables temps et espace sont interpolees par des fonctions di erentes et separees, [51]. La premiere approximation completement et clairement espace-temps est realisee pour un exemple de vibrations structurelles par Kaczkowski et Langer, [42], [43]. Des lors, il est possible d'avoir des variables temps et espace interpolees par des fonctions dependantes a la fois du temps et de l'espace. Ainsi nous pouvons parler d'une methode qu'on appellera la Methode des Elements Finis Espace-Temps. La STFEM n'est pas une methode tres repandue. Elle peut être consideree comme une extension de la methode des elements

(12) nis classique. La STFEM est une methode d'elements

(13) nis un peu particuliere, dans le sens ou elle s'applique, a un probleme aux limites issu d'un probleme d'evolution. Actuellement, plusieurs approches existent, on peut citer, la methode a grands increments de temps, [18], [19], [23], [24], [40], [45], la methode de (( Galerkin Discontinue )) [30], [31], [38], [44], [47], [48], et la notre qu'on nommera (( methode de Galerkin Semi-Discontinue )), [1], [2], [3], [4].. 3.

(14) 4. Introduction Dans la plupart des publications sur la methode de (( Galerkin Discontinue )) [30], [38], [47], [48], [44], [31] et sur la methode LATIN, [18], [19], [23], [24], [40], [45], les fonctions d'interpolation sont considerees comme etant le produit de fonctions d'espace et de temps. Nous verrons dans ce memoire qu'une attention particuliere sera portee a la non separation des variables. La raison de ce choix n'est pas motivee par des questions de precisions de resultats, mais plutôt par ce qui constitue le fond de notre etude a savoir le remaillage. Nous montrerons, en e et, que ce type d'interpolation est adapte au remaillage. Le remaillage espace-temps est base sur la construction de maillages espace-temps non structures (

(15) g.1). ~ t. ~ t. ~ x. maillage structuré et régulier. x ~. maillage non structuré. Fig. 1 { Exemple d'un maillage structure, regulier et d'un maillage non structure. Dans la plupart des articles ecrits par C. Bajer et C. Bohatier, [9], [10], [11], [12], [13], [14], [17], il est utilise des maillages structures. Mais deja, une notion de remaillage espace-temps est proposee, [11]. Nous en presenterons dans ce memoire une generalisation. Ce remaillage sera applique a di erents problemes mecaniques et notamment de contact avec frottement. Lors de problemes de contact, il est necessaire d'avoir un maillage

(16) n autour de la zone de contact. Le plus souvent, cette zone de contact est evolutive. Ainsi pour gagner du temps de calculs, il appara^t necessaire de construire un maillage evolutif qui suivrait la zone de contact. Ce memoire se compose de quatre parties. Dans la premiere, nous faisons une presentation generale de la methode des elements

(17) nis espace-temps. Nous proposons deux formulations variationnelles, une en vitesses et une en deplacements. Ensuite, nous illustrerons la formulation en vitesses, sur l'exemple d'un oscillateur simple et d'une barre en vibration. Nous expliquerons, pourquoi nous n'avons pas continue avec la formulation en vitesses. Dans la troisieme partie, nous presenterons la formulation en deplacements qui va permettre d'aller plus loin dans nos investigations. Nous validerons la methode par l'exemple de l'oscillateur simple, le cas test de la barre fera l'objet d'une comparaison numerique avec le logiciel de structures CAS-.

(18) Introduction TEM (version 99), du CEA (Commissariat a l'Energie Atomique) et con

(19) rmera notre approche. Nous irons plus loin en traitant des problemes plus complexes, comme l'adaptation du maillage en dimension 1 et 2. Pour

(20) nir, nous traiterons dans la derniere partie, des problemes non lineaires de contact avec frottement. Pour la resolution, nous proposerons une methode de type Gauss Seidel non lineaire. Les resultats numeriques seront presentes sur un exemple de chute libre d'un lopin sur un plan rigide, puis sur un impact entre une structure et un poincon. Ces resultats seront compares a ceux obtenus par le logiciel ANSYS et nous terminerons par un exemple de remaillage le long de la zone de contact.. 5.

(21) 6. Introduction.

(22) Presentation generale de la methode. 7. Chapitre 1 Presentation generale de la methode 1.1 Modelisation Generale ud @0. ds ~n ~z. gd ~y. @1. fd. dx. ~x. Fig. 1.1 { Un exemple de domaine en 3D espace. Dans ce chapitre, nous allons ecrire les equations du probleme mecanique que nous souhaitons traiter. Les hypotheses des petites perturbations (H.P.P) seront adoptees. On considere un systeme mecanique occupant un domaine de l'espace euclidien. Le systeme est soumis a une densite d'e orts volumiques fd imposees sur , une densite d'e orts surfaciques gd imposees sur @1 et des deplacements imposes ud sur @0 , (

(23) g.1.1). Le probleme a resoudre est le suivant : Trouver le deplacement u et le tenseur des contraintes de Cauchy veri

(24) ant : * l'equation du mouvement :. u(x; t) div((x; t)) fd(x; t) = 0 8x 2 ; 8t 2 [0; +1[ ou est la densite de masse:.

(25) 1 { Presentation generale de la methode. 8 * les conditions aux limites en forces :. (x; t)n(x; t) = gd(x; t) 8x 2 @1 ; 8t 2 [0; +1[ * les conditions aux limites en deplacements :. u(x; t) = ud(x; t) 8x 2 @0 ; 8t 2 [0; +1[ * les conditions initiales :. u(x; 0) = u0(x) 8x 2 u_ (x; 0) = v0(x) 8x 2 * la loi de comportement elastique :. (x; t) = a"(x; t) 8x 2 ; 8t 2 [0; +1[ Il s'agit d'un probleme d'evolution. La formulation variationnelle primale associee au probleme precedent s'ecrit : Trouver u 2 U ad tel que :. Z. uu dx +. Z. a"(u). : "(u) dx =. Z. fd. u dx +. Z @1. gdu ds 8u 2 U0ad; 8t 2 [0; +1[(1.1). ou u est le deplacement virtuel,. U ad =. 8u < :. "assez regulier" tq: u(x; t) = ud(x; t); sur @0 [0; T ]; u(x; 0) = u0(x); u_ (x; 0) = v0(x). 9 = ;. est l'ensemble des deplacements veri

(26) ant les conditions aux limites cinematiques et les conditions initiales,. U0ad. =. u tq: u(x; 0) = 0; 8x 2 @ 0 u_ (x; 0) = 0 8x 2 @0. est l'ensemble du champ des deplacements virtuels veri

(27) ant les conditions aux limites cinematiques nulles et a est le tenseur de Hooke..

(28) La methode des elements

(29) nis espace-temps. (STFEM). 9. 1.2 La methode des elements

(30) nis espace-temps (STFEM). 1.2.1 Introduction. Classiquement, pour resoudre la formulation variationnelle precedente (1.1), on utilise la separation des variables espace et temps. En appliquant la methode des elements

(31) nis (FEM), on est amene a resoudre a chaque instant t, le systeme di erentiel suivant : Mu + Cu_ + Ku = F , ou * M est la matrice de masse; * C est la matrice d'amortissement; * K est la matrice de rigidite; * F est le vecteur des forces exterieures; * u est le vecteur des deplacements. Cette equation represente un systeme di erentiel d'ordre 2 que l'on peut resoudre numeriquement. En mecanique, se sont developpees certaines methodes bien adaptees aux proprietes particulieres qu'ont les matrices M et K. On parlera plutôt des methodes d'integration directe qui peuvent être soient implicites ou explicites. Ces methodes resolvent l'equation di erentielle par incrementation dans le temps, on peut citer la methode des di erences

(32) nies qui est la plus utilisee. Dans la suite, nous allons presenter la STFEM. Dans cette partie, nous tâcherons d'expliquer le principe de la methode.. 1.2.2 Principe de la STFEM. De nouvelles methodes ont ete developpees pour traiter des problemes bien determines. On peut dire que la STFEM en est une et aussi une extension de la methode des elements

(33) nis classique (FEM). La STFEM est une methode d'elements

(34) nis un peu particuliere, dans le sens ou elle s'applique, non pas a un probleme aux limites, mais a un probleme d'evolution. Le domaine a discretiser est non borne D = [0; +1[. Le principe de notre approche est de passer d'un probleme d'evolution a un probleme aux limites. Plusieurs approches existent, on peut citer, la methode a grands increment de temps, [18], [19], [23], [24], [40], [45], la methode de (( Galerkin Discontinue )), [30], [31], [38], [44], [47], [48], et la notre qu'on nommera methode de (( Galerkin Semi-Discontinue )), [1], [2], [3], [4]. Pour toutes ces methodes, le point de depart est une formulation variationnelle dont le domaine d'integration est [0; T ]. Elle s'ecrit :.

(35) 1 { Presentation generale de la methode. 10 Trouver u 2 U ad tel que :. Z TZ 0. uudxdt. Z Z. T. 0. ou. U ad =. 8u < :. fd. +. udxdt. Z TZ 0. +. a"(u) : "(u)dxdt =. Z Z. T. 0. @1. gd udsdt 8u(x; t) 2 U0ad. "assez regulier" tq: u(x; t) = ud(x; t); sur @0 [0; T ]; u(x; 0) = u0(x); u_ (x; 0) = v0(x). (1.2). 9 = ;. est l'ensemble des deplacements veri

(36) ant les conditions aux limites cinematiques et les conditions initiales, U0ad = fu tq: u(x; t) = 0 8x 2 @0 [0; T ]g est l'ensemble des deplacements virtuels veri

(37) ant les conditions aux limites cinematiques nulles. Methode a Grands Increments de Temps (LATIN) : La methode LATIN a ete developpee par P. Ladeveze [45] en petites perturbations et generalisee aux grandes deformations avec des problemes d'endommagement et de contact avec frottement par P. Bussy [19]. Elle est basee sur un algorithme iteratif qui donne, a chaque iteration, une approximation de la solution sur tout l'intervalle de temps, [23], [40]. Cette methode separe les dicultes, les non linearites sont traitees de facon locale en espace tandis que les problemes globaux restent lineaires. Elle utilise deux ensembles, Ad et , pour de

(38) nir un processus iteratif construisant une suite de couples appartenant successivement a ces deux ensembles, qui convergent vers la solution du probleme. Ou Ad est l'ensemble des couples S = ("; ) de

(39) nies sur [0; T ] veri

(40) ant les conditions cinematiques et les equations du mouvement et est l'ensemble des couples S^ = (^"; ^ ) de

(41) nies sur [0; T ] veri

(42) ant les lois de comportement. La methode est divisee en deux etapes, les etapes locales determinant des contraintes et des deformations veri

(43) ant la loi de comportement et les etapes globales fournissant une approximation admissible de la solution en contrainte et en deplacement sur tout l'intervalle d'etude. Une des principales particularites de la methode LATIN est la separation des variables espace et temps. Les inconnues du probleme s'ecrivent de la maniere suivante : les variables cinematiques :.


(45) nis espace-temps. u_ n+1(x; t) "_n+1(x; t). u_ n(x; t) = "_n(x; t) =. les variables duales :. _n+1 (x; t) _ n+1(x; t). _n (x; t) = _ n(x; t) =. (STFEM) pn X i=1. pn X i=1. 11. gi(t)wi(x);. gi(t) i(x). pn X i=1. pn X i=1. vi(t)i(x); hi(t)

(46) i(x). ou = u, gi, hi sont des fonctions de

(47) nies sur [0; T ] et wi, i, i,

(48) i sont des variables qui dependent seulement des variables espaces representees par x et pn est un parametre de la methode. En resume, cette methode debouche sur l'utilisation de la FEM et des resolutions de problemes non lineaires en utilisant des methodes de type Newton ou Newton modi

(49) e. Il faut dire qu'elle est bien adaptee au calcul d'erreur [24]. Methode de Galerkin Discontinue : Comme pour la methode a grands increments de temps, le domaine d'integration est le même a savoir [0; T ]. Decomposons ]0; T [ en N intervalles de temps In = ]tn; tn+1[ avec n representant le numero du pas de temps courant. Le principe de la methode est detaillee dans [44]. Cette approche est basee sur la prise en compte des discontinutes des variables. Les discontinutes peuvent être d'origine physique ou de discretisation. Leur prise en compte est assuree par l'ajout de multiplicateurs de Lagrange dans la formulation variationnelle. Pour ne pas alourdir les notations, nous ecrirons les formulations variationnelles, en introduisant seulement les discontinutes dans le temps. Dans les articles [31], [32], toutes les discontinutes sont prises en compte. La formulation variationnelle s'ecrit : Trouver le deplacement u tel que pour tout deplacement virtuel w admissible :. B (w; u)n = L(w)n n = 1; 2; :::; N. ou. B (w; u)n =. Z In. w:_ (M u + Ku)dt + w_ n+:M u_ +n 1 + wn. (1.3) 1. + :Ku+ n 1. (1.4).

(50) 1 { Presentation generale de la methode. 12. Z. L(w)n =. In. L(w)1 =. w:Fdt _ + w_ 1+:M u_ n 1 + w0+ :Kun. Z I1. w:Fdt _ + w_ n+ :Mv0 + wn. 1. 1. + :Ku 0. (1.5) (1.6). et. u(t + ) et un = u(tn ) = lim u(t ) u+n = u(t+n ) = lim !0 n !0 n u_ +n = u_ (t+n ) = lim u_ (t + ) et u_ n = u_ (tn ) = lim u_ (t ) !0 n !0 n Les matrices M et K ainsi que le vecteur F ont ete de

(51) nis dans l'introduction de cette partie. Les deux derniers termes des equations (1.4), (1.5) et (1.6) imposent les conditions initiales pour chaque intervalle de temps. En introduisant, les fonctions d'interpolation dans l'equation (1.3), cela conduit a un systeme d'equations de la forme suivante :. KG q = fG. (1.7). ou KG et fG sont respectivement la matrice relative aux termes de masse et de rigidite et le vecteur relatif aux e orts et q le vecteur deplacement a un temps donne. Une variante de cette approche est developpee dans les articles de Hughes [31], [32], elle est nommee methode (( Galerkin/least square )). Des termes (( least-squares )) aussi connus sous le nom de termes de (( Petrov-Galerkin )) sont ajoutes a l'equation (1.3) et donnent l'equation (1.8),. B (w; u)n +. Z. L(w)n +. ZIn. [w: _ (M w + Kw):M 1(M u + Ku)]dt =. In. [w: _ (M w + Kw):M 1 F ]dt n = 1; 2; :::; N. (1.8). ou est un parametre ayant la même dimension que le temps. Ces termes de Petrov-Galerkin stabilisent les resultats numeriques sans pour cela degrader la precision de la methode. Le systeme resultant s'ecrit de la maniere suivante :. KGL q = fGL ou KGL et fGL sont respectivement la matrice relative aux termes de masse et de rigidite et le vecteur relatif aux e orts. On peut constater qu'a la convergence, les termes ajoutes sont nuls. L'idee est d'introduire une generalisation de ces termes dus aux discontinutes. Les fonctions d'interpolation peuvent être en theorie des polynômes de degre quelconque. En.


(53) nis espace-temps. (STFEM). 13. pratique (voir [44], [47], [48]), ces polynômes sont de degre deux et des produits de fonctions du temps et d'espace. Ces approches sont le plus souvent, utilisees en dynamique pour limiter les vibrations. En fait, l'ajout de ces termes de discontinutes jouent le rôle d'amortissement numerique et sont essentiellement utilises pour ces proprietes la. Remarque : les matrices KG et KGL sont pleines et non-symetriques. Methode de Galerkin Semi-Discontinue (STFEM) : Notre approche se distingue de la precedente par le fait que, nous tenons compte seulement des discontinutes aux instants initial et

(54) nal (avec les mêmes notations qu'au paragraphe precedent) :. u_ (x; 0+ ) = lim u_ (t + ) = v0+ et u_ (x; 0 ) = lim u_ (t ) = v0 ; !0 0 !0 0 u_ (x; T +) = lim u_ (t + ) = vT+ et u_ (x; T ) = lim u_ (t ) = vT : !0 N !0 N ou v0+, v0 sont les vitesses a l'instant t = 0 dues a la discontinute eventuelle de vitesses et vT+, vT sont les vitesses a l'instant t = T dues a la discontinute eventuelle de vitesses. Cependant, elle constitue une nouveaute par le fait que nous portons l'accent sur la non separation des variables espace et temps. La raison pour laquelle, nous nous interessons a ce type d'interpolation est que les elements

(55) nis espace-temps associes sont adaptes au remaillage. C'est ce que nous montrerons par la suite. La formulation variationnelle associee a notre approche peut s'ecrire de deux manieres di erentes. On peut choisir de privilegier la variable deplacement ou la variable vitesse.. 1.2.3 Formulation en vitesses Formulation variationnelle Dans ce paragraphe, nous allons transformer la formulation variationnelle pour faire appara^tre la vitesse comme unique inconnue. Nous presentons cette formulation en premier, car c'est celle que nous avons utilise au debut de notre etude. L'idee etait de se baser sur les travaux realises par C. Bajer et C. Bohatier dans [9], [10], [11], [12], [13], [14], [17]. Soit ]0; T [, un domaine espace-temps (

(56) g.1.2). Le probleme aux limites a resoudre associe est le suivant :.

(57) 1 { Presentation generale de la methode. 14. fd. ~t. gd. ud. ~x. ~y. fd. gd. ud. Fig. 1.2 { Exemple d'un domaine espace-temps en 2D. Trouver le deplacement u et le tenseur des contraintes de Cauchy tels que :. 8 equation du mouvement : > > u(x; t) div((x; t)) fd(x; t) = 0 presque partout (p:p:) > > conditions aux limites : > > (x; t)n(x; t) = gd (x; t) > > conditions aux limites en deplacements : > > u(x; t) = ud(x; t) > > aux limites en vitesses : > < uconditions _ (x; t) = vd(x; t) conditions initiales en deplacements : > > u(x; t) = u0(x; 0) > > conditions initiales en vitesses : > > + ) = v + et u_ (x; 0 ) = v u _ ( x; 0 > 0 0 > conditions

(58) nales en vitesses : > > u_ (x; T +) = vT+ et u_ (x; T ) = vT > > de comportement : > : loi (x; t) = a"(x; t). 8(x; t) 2 ]0; T [ 8(x; t) 2 @1 [0; T ] 8(x; t) 2 @0 [0; T ] 8(x; t) 2 @0 [0; T ] 8(x; t) 2 f0g 8(x; t) 2 f0g 8(x; t) 2 fT g 8(x; t) 2 ]0; T [. (1.9). La formulation variationnelle associe au probleme precedent peut s'ecrire de la sorte : Trouver v 2 V ad tel que :. Z TZ 0. vv _ dxdt. Z T Z 0. @1. +. Z TZ 0. gd vdsdt +. Z. a"(u). : "(v)dxdt. =. T (x)v(x; T )dx +. Z TZ Z0. fdvdxdt +. 0(x)v(x; 0)dx 8v 2 V0ad (1.10).


(60) nis espace-temps. (STFEM). 15. ou , v est la vitesse virtuelle, 8 v "assez regulier" tq: u(x; t) = u (x; t); sur @ [0; T ]; 9 > > d 0 > > + + v(x; 0 ) = v0 ; < = ad v ( x; 0 ) = v ; V = > 0 > +) = v + ; v ( x; T > > T : ; v(x; T ) = vT est l'ensemble des vitesses veri

(61) ant les conditions aux limites cinematiques et les conditions initiales et

(62) nales,. V0ad = fv tq: v(x; t) = 0 8(x; t) 2 @0 [0; T ]g est l'ensemble du champ de vitesses virtuelles veri

(63) ant les conditions aux limites cinematiques nulles, 0 et T sont des multiplicateurs de Lagrange associes aux discontinutes de vitesses aux instants initial et

(64) nal. Pour faire appara^tre la vitesse dans la deuxieme integrale de l'equation precedente, on remplace "(u) par son expression qui est :. Zt. "(u) = "(u0) + "(. t0. v d );. alors avec t0 = 0,. Z TZ 0. a"(u). : "(v)dxdt. =. Z TZ 0. a"(u0). : "(v)dxdt. +. Z TZ 0. Zt. a"(. 0. v d ) : "(v)dxdt (1.11). A partir des relations (1.10) et (1.11), la formulation variationnelle du probleme a resoudre s'ecrit de la maniere suivante : Trouver v 2 V ad tel que :. Z TZ 0. vv _ dxdt. Z TZ. Z T 0Z 0. @1. +. a"(u0) gd. Z TZ 0. Zt. a"(. 0. : "(v)dxdt. vdsdt. +. Z. T. v d ) : "(v)dxdt =. +. Z TZ 0. fd vdxdt +. (x)v(x; T )dx. Interpolation des grandeurs cinematiques. +. Z. 0(x)v(x; 0)dx 8 v 2 V0ad (1.12). Dans cette approche, l'interpolation espace-temps est faite en utilisant les polynômes de Lagrange et les elements

(65) nis sont isoparametriques..

(66) 1 { Presentation generale de la methode. 16. v(x; t) =. =. 8 e9 > < V.1 > = e e . [Ne]fVeg = [N1 ] : : : [Nne ] > . > : Vnee ;. 8 ue > 1 > e v > 1 > w1e > > ... 2 Ne 0 0 : : : : : : : : : Ne 0 0 3 > < 1 ne 4 0 N1e 0 : : : : : : : : : 0 Nnee 0 5 > ... ... 0 0 N1e : : : : : : : : : 0 0 Nnee > > > uene > > e > : wvnnee. e. 9 > > > > > > > = > > > > > > > ;. ou ne est le nombre total de nuds de l'element Ee, uei, vie, wie les vitesses nodales, Nie et sont respectivement les fonctions d'interpolation et le vecteur des vitesses nodales du nud i. Alors que [Ne] et fVe g sont respectivement la matrice des fonctions d'interpolation et le vecteur des vitesses nodales sur l'element Ee . Dans la suite, de maniere a alleger les notations nous noterons,. Vie. v(x; t) = NeVe : Pour le deplacement et l'acceleration, on a respectivement;. u(x; t) = u(x; t0) + et. Zt t0. v(x; ) d = u(x; t0) + f. Zt t0. Ne(x; ) d gVe. e (x; t) = v_ (x; t) = u(x; t) = @N @t (x; t)Ve:. R. Nous precisons que @N@te et tt0 Ne(x; ) d sont respectivement les matrices des derivees premieres et des primitives desRfonctions d'interpolation sur l'element Ee. t Le tenseur des deformations "( 0 v d ) veri

(67) e sur chaque element. "(. Zt 0. v d ) = [. Zt 0. Be(x; ) d ]Ve ;. Be est la matrice, classiquement appelee (( derivee des fonctions de bases )) par rapport aux variables d'espace. Notons Zt 0 Be(x; t) = Be (x; ) d: 0.


(69) nis espace-temps. (STFEM). 17. En ce qui concerne l'interpolation des vitesses virtuelles, nous nous laissons la possibilite de ne pas utiliser la même interpolation que les vitesses reelles. Notons Ve le vecteur des vitesses virtuelles nodales sur l'element Ee , ainsi, v(x; t) = NeVe:. Le tenseur gradient symetrique des vitesses virtuelles "(v(x; t)) est interpole de la maniere suivante "(v(x; t)) = BeVe ou Be est la derivee de la matrice des fonctions de bases Ne par rapport aux variables d'espace. Di erentes fonctions d'interpolation seront testees au chapitre suivant.. Di erents types d'elements

(70) nis espace-temps : Deux types d'elements

(71) nis sont utilises, les multiplex et les simplex (

(72) g.1.3).. Les multiplex sont des elements dont les fonctions d'interpolation sont le produit d'une fonction d'espace par une fonction du temps. Les simplex sont des elements dont les fonctions d'interpolation sont lineaires en temps et espace. Dans la STFEM, les fonctions d'interpolation sont appliquees aux domaines spatial et temporel, ainsi, pour des structures de dimension n (avec n = 1; 2; 3), les elements espace-temps sont de dimension n + 1.. Calcul des matrices elementaires et du second membre. Les matrices elementaires Me relative aux forces d'inertie et Ke relative aux forces internes sont de

(73) nies ainsi :. ZZ Ee. vv _ dxdt. Zt. ZZ Ee. a"(. 0. v d ). =. (Ve)T. : "(v)dxdt. Z Z Ee. =. ( Ne. (Ve)T. )T. . @Ne dxdt V = (V )T M V e e e e @t. . Z Z Ee. (Be )T aBe0 dxdt. (1.13). Ve = (Ve)T Ke Ve (1.14). Les vecteurs elementaires Fde et Ged relatifs aux forces externes sont de

(74) nis par :. ZZ Ee. ZZ. gd Ee T(@1 [0;T ]). fd. vdxdt. vdsdt. =. =. (Ve)T. (Ve)T. Z Z. Ee. (Ne. )T f. . d dxdt. Z Z Ee T(@1 [0;T ]). = (Ve)T Fde. . (Ne)T gddsdt. (1.15). = (Ve)T Ged (1.16).

(75) 1 { Presentation generale de la methode. 18. Espace. Simplex. 1D. ~ t. ~ t ~ x. Multiplex. ~ x. ~ x. 2D ~ y. ~ t x ~. ~ t. ~ y ~ x. ~ y ~ x. 3D ~ z y ~. 4D. 4D. ~ x. Fig. 1.3 { Exemples d'elements

(76) nis espace-temps.


(78) nis espace-temps. (STFEM). 19. D'autre part, les quantites suivantes relatives aux deformations initiales sont connues et font partie du second membre.. ZZ Ee. a"(u0) : "(v)dxdt. =. ZZ Ee. a"0 : "(v)dxdt. =. (Ve)T. Z Z Ee. (Be. )T a". 0dxdt. . = (Ve)T Ede. Le vecteur elementaire e relatif aux discontinutes aux instant initial et

(79) nal est de

(80) ni ainsi :. Z. Ee. T vT (x; T )dx. +. Z. Ee. 0v0(x; 0)dx = (Ve)T e. La discretisation du probleme conduit au systeme lineaire suivant : (M + K )V = F. E + () TV = F. E+. ou M est la matrice assemblee des matrices elementaires espace-temps Me, K est la matrice assemblee des matrices elementaires espace-temps Ke , F est le vecteur nodal assemble espace-temps des vecteurs nodaux elementaires Fde + Ged , E est le vecteur nodal assemble espace-temps des vecteurs nodaux elementaires Ede , est le vecteur nodal assemble espacetemps des vecteurs nodaux elementaires des e et V est le vecteur nodal des vitesses.. R. Cette approche demande le calcul de 0t v d qui est un terme techniquement dicile a calculer, d'autant plus dicile lorsque l'on augmente la dimension de l'espace et lorsque l'on a un maillage espace-temps non structure. Cette diculte, nous a conduit a proposer une autre approche. Cependant, des resultats numeriques obtenus avec la formulation en vitesses seront presentes au chapitre suivant.. 1.2.4 Formulation en deplacements. Formulation variationnelle. Le premier terme de la formulation variationnelle (1.2) est integre par parties et a cause des discontinutes initiale et

(81) nale, on obtient :. Z TZ Z TZ uu dxdt = u_ u_ dxdt 0Z. 0. Z. [u_ (x; 0+) u_ (x; 0 )]u(x; 0)dx. [u_ (x; T +) u_ (x; T )]u(x; T )dx (1.17). On note 0(x) = (u_ (x; 0+) u_ (x; 0 )) et T (x) = (u_ (x; T +) u_ (x; T )) les quantites duales dues aux sauts de vitesses. Ainsi la formulation variationnelle en deplacements s'ecrit : Trouver u 2 U ad tel que :.

(82) 1 { Presentation generale de la methode. 20. Z TZ. u_ u_ dx dt. Z T Z. 0. 0. @1. +. Z TZ 0. gd u ds dt +. Z. a"(u). : "(u) dx dt. T u(x; T ) dx +. Z. =. Z TZ 0. fdu dx dt +. 0u(x; 0) dx 8u 2 U0ad. ou , u est le deplacement virtuel,. U ad =. 8 u tq: u(x; t) = u (x; t); > d > u (0) = u > 0; < u_ (x; 0+ ) = v0+; u_ (x; 0 ) = v0 ; > > +) = v+; u _ ( x; T > T : u_ (x; T ) = vT. (1.18). 9 > > = > > > ;. sur @0 [0; T ]; > >. est l'ensemble des deplacements veri

(83) ant les conditions aux limites cinematiques et les conditions initiales et

(84) nales,. U0ad = fu tq: u(x; t) = 0 sur @0 [0; T ]g est l'ensemble des deplacements virtuels veri

(85) ant les conditions aux limites cinematiques nulles.. Interpolation des grandeurs cinematiques. Les deplacements sont interpoles de la même maniere que pour les vitesses. u(x; t) = Ne (x; t)Ue sur chaque element

(86) ni Ee. Le tenseur des deformations est interpole comme suit :. 8 e9 > < U.1 > = e e "(u(x; t)) = BeUe = B1 : : : Bn > .. > : Une ;. La même interpolation est utilisee pour les deplacements virtuels u. en consequence; * u(x; t) = NeUe sur Ee, * u_ (x; t) = @N@te Ue sur Ee, * "(u(x; t)) = Be Ue sur Ee. ou Ue est le vecteur des deplacements virtuels sur l'element Ee,.


(88) nis espace-temps. (STFEM). 21. Calcul des matrices elementaires et du second membre La matrice elementaire Me relative aux forces d'inertie et Ke relative aux forces internes sont de

(89) nies ainsi :. ZZ Ee. ZZ Ee. # " Z Z T @N @N e e dxdt Ue = (U )T Me Ue u_ u_ dxdt = (U )T e. a"(u). : "(u)dxdt. @t. Ee. =. (Ue)T. Z Z. (Be )T aBedxdt. Ee. e. @t. . Ue = (Ue)T Ke Ue. Les vecteurs elementaires Fde et Ged relatifs aux forces externes sont de

(90) nis par :. ZZ Ee. ZZ Ee\(@1 [0;T ]). gd. fd. udxdt. udsdt. =. =. (Ue)T. (Ue)T. Z Z Ee. (Ne. )T f. d dxdt. Z Z Ee \(@1 [0;T ]). . = (Ue)T Fde. (Ne )T gd dsdt. . = (Ue)T Ged. et e est le vecteur elementaire de

(91) ni de la sorte :. Z Ee. 0. (x)u(x; 0)dx. +. Z Ee. T (x)u(x; T )dx = (Ue)T e. La discretisation du probleme conduit au systeme lineaire suivant : (M + K )U = F + () TU = F + ou M est la matrice assemblee des matrices elementaires Me relatives aux termes d'inertie, K est la matrice assemblee des matrices elementaires Ke relatives aux e orts interieurs, F est le vecteur nodal assemble des vecteurs nodaux elementaires Fde + Ged relatifs aux e ort exterieurs, est le vecteur nodal contenant les sauts de vitesses aux instants initial et

(92) nal (vecteur assemble des vecteurs elementaires e) et U est le vecteur nodal des deplacements. Nous remarquons que les matrices M et K sont symetriques. Si le maillage est strati

(93) e dans le temps c'est-a-dire que le maillage est construit par couches de nuds successives dans le temps tel que le maillage de type

(94) g.1.4,

(95) g.1.5 ou

(96) g.1.6, et si la numerotation des nuds est faite de telle facon que les nuds de mêmes coordonnees temporelles aient des numeros proches les uns des autres, alors le systeme precedent devient :.

(97) 1 { Presentation generale de la methode. 22. t4. 22. 21. t3. t2. 15. 16. 9. 10. 23. 24. 17. 11. 25. 26. 18. 19. 20. 12. 13. 14 2e couche temporelle. 5. t1. 6. 7. 8. ~t. 1e couche temporelle ~x. t0. 1. 2. 3. 4. Fig. 1.4 { Exemple d'un maillage espace-temps a base de triangles sur plusieurs couches. temporelles.


(99) nis espace-temps. 0T 11 B T21 B B 0 B B ... TU = B B ... B B B . B @ ... ... T12 T22 T32 .... 0 0 T23 0 T33 T34 ... ... ... ... : : : : : : Tn 1;n ::: ::: 0. (STFEM). 10 1 0 F0 + 0 U0 C B C B F1 U C 1 C B B C B C B U2 C B F2 C B C ... ... C B B C B C B = C B C B C ... ... C B B C B C B C B C B Tn 1;n C A @ ... A @ .... ::: ::: ::: ... .... 2. 23. ::: ::: ::: ... .... Tn 1;n 1 Tn;n 1 Tn;n. Fn + T. Un. 1 C C C C C C C C C C A. (1.19). ou Ui est le vecteur deplacement assemble des nuds qui ont les mêmes coordonnees temporelles c'est-a-dire le vecteur nodal des deplacements a l'instant ti, n est le nombre de pas de temps. Si a t = ti, le maillage espace comprend k nuds, numerotes de p a p + k, alors Ui s'ecrira de la sorte :. 0 u p B v p B B w p B . B .. B B ... Ui = B B B ... B B B u B @ vp+k p+k. wp+k. 1 C C C C C C C C C C C C C C A. Les variables ui,vi et wi representent les degres de liberte (d.d.l.) du deplacement associes au nud i. Grâce a ce type de numerotation, nous constatons que la matrice totale T est une matrice bande. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1. 2. 3. 4. 5. 6. ~t ~x. Fig. 1.5 { Exemple d'un maillage espace-temps a base de triangles.

(100) 1 { Presentation generale de la methode. 24 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1. 2. 3. 4. 5. 6. ~t ~x. Fig. 1.6 { Exemple d'un maillage espace-temps a base de quadrilateres. Schema de resolution. Les matrices Tij sont de dimension 3ni 3nj , ou nk est le nombre de nuds espace au temps tk . Il est important de noter que la matrice totale T n'est jamais assemblee, seules les matrices Tij le sont. Connaissant 0, la premiere equation, T11U0 + T12U1 = F0 + 0 permet d'obtenir le deplacement nodal U1 a l'instant t = t1. La seconde equation donne U2, le deplacement nodal a l'instant t = t2 et ainsi de suite, nous obtenons tous les deplacements nodaux Ui aux instants t = ti. La derniere equation permet de trouver l'inconnue T . Nous verrons que dans le cas de remaillage par ajout de nuds dans l'espace ou le cas de maillages non strati

(101) es, le schema de resolution doit être quelque peu modi

(102) e..

(103) Formulation en vitesses. 25. Chapitre 2 Formulation en vitesses 2.1 Introduction Dans le chapitre precedent, nous avons presente une formulation en vitesses de la methode. Elle a deja ete utilisee par Bajer, Bohatier et Bonthoux dans leurs travaux, [11], [12], [14], [9], [13], [10], [17], et appliquee a des cas de visco-elasticite en dynamique avec les hypotheses H.P.P. et en grandes deformations. L'objectif de ce chapitre est de tester l'in uence du choix des fonctions virtuelles sur la precision des resultats numeriques. Pour mettre en evidence la methode et tester son ecacite, le premier test propose est l'etude de l'evolution d'un systeme a un degre de liberte inspire des travaux realises par Bohatier, [17]. Ensuite, nous traiterons un exemple en dimension (spatiale) 1, inspire des travaux realises par Bajer, Bohatier et Bonthoux, [11], [12], [14], [9], [13], [10], qui donnera les bases de la generalisation de l'algorithme propose a des problemes de dimension (spatiale) 2 et 3. k m. Fig. 2.1 { systeme masse ressort. ~x.

(104) 2 { Formulation en vitesses. 26. 2.2 Cas d'un systeme a un degre de liberte 2.2.1 Introduction. Nous considerons un systeme oscillant masse-ressort a un degre de liberte (

(105) g.2.1). Le probleme d'evolution sera considere comme une suite d'equilibres relatifs d'oscillations libres. De plus avec un systeme a un degre de liberte, le probleme se reduit a un probleme a une variable scalaire d'espace sur un intervalle de temps donne, dont on connait la solution analytique.. 2.2.2 Formulation du probleme et resolution analytique Enonce du probleme:. On cherche a decrire le comportement d'un oscillateur elementaire apres un lâcher initial, sans fournir ulterieurement d'energie par une force exterieure. On suppose que le point materiel de masse m peut se deplacer sans frottement selon l'axe choisi, que la pesanteur est negligee et que l'amortissement est nul. Ce lâcher est de

(106) ni, a l'instant t = 0, par une elongation initiale u0 = u(0). La modelisation des oscillations libres d'un point materiel se presente sous la forme generale de l'equation di erentielle suivante :. mu + ku = 0;. (2.1). Avec u le deplacement absolu, u_ et u la vitesse et l'acceleration correspondantes et k, le coecient de proportionnalite que l'on appelle souvent rigidite ou raideur du ressort. Les conditions initiales sont :. u(t ) = u 0. 0. u_ (t0) = v0. (2.2). Le probleme d'evolution associe s'ecrit alors ainsi :. 8 mu + ku = 0 8 t 2 ]0; +1[; < : uu_ ((tt00)) == vu00; En supposant que la solution est susamment reguliere et en tenant compte des relations precedentes (2:1) et (2:2), nous en deduissons la solution analytique suivante :.

(107) Cas d'un systeme a un degre de liberte. 27. u(t) = u0cos !t + v!0 sin !t. qk. (2.3). ou ! = m est la pulsation propre du systeme. De l'equation precedente, on en deduit la vitesse u_ que l'on notera v :. v(t) = u0!sin !t + v0cos !t:. (2.4). De plus, on remarque que v est la solution de l'equation suivante:. mv_ + ku = 0;. (2.5). Avec t>t0, on obtient :. u(t) = u0 +. Zt t0. v( ) d:. (2.6). 2.2.3 Discretisation du probleme. La resolution du probleme test propose ici est reduite a l'etude d'une seule variable espace qui est le deplacement du point materiel de masse m. A partir d'une interpolation en temps de la vitesse, nous allons pouvoir comparer la solution de la methode espace-temps a la solution analytique. A chaque pas de temps, le deplacement initial et la vitesse initiale sont connus, il reste alors a calculer le deplacement

(108) nal et la vitesse

(109) nale.. Discretisation de l'equation du mouvement. A partir du probleme d'evolution, le probleme aux limites qui lui est associe s'enonce de la sorte :. 8 dv > > < m dt + ku = 0 presque partout (p:p:) 8 t 2 ]0; T [ u(0) = u0; + > > : v(0++) = v0+ et v(0 ) = v0 ; v(T ) = vT et v(T ) = vT :. La formulation variationnelle associee au probleme aux limites s'ecrit :. (2.7).

(110) 2 { Formulation en vitesses. 28. Trouver la vitesse v(t) 2 V ad sur l'intervalle de temps [0; T ] veri

(111) ant le systeme cidessous :. Z T dv Z t (m dt + k v d ):v dt = T vT + 0 v0 8 v 2 V0ad 0. 0. (2.8). ou V ad est l'ensemble des vitesses et V0ad est l'ensemble des vitesses virtuelles. Ecrire l'equation (2.8), revient a ecrire celle ci-dessous :. Z T dv Zt 2 ( dt + ! v d ):v dt = mT vT + m0 v0 8 v 2 V0ad 0. 0. (2.9). Nous allons, tout d'abord, analyser l'e et du choix du champ des vitesses virtuelles sur les resultats a

(112) n de trouver le type de champs de vitesses le plus approprie pour la formulation. Pour pouvoir comparer nos resultats aux resultats analytiques, nous avons pris 0 = 0 et T = 0.. Interpolation des grandeurs cinematiques. La vitesse sera de

(113) nie par l'interpolation lineaire suivante :. 8 t 2 [t0; t1]; v(t) = v0(1 ) + v1. (2.10). avec = t h t0 et h = t1 t0 Le deplacement est calcule de la maniere suivante :. u(t) = u0 +. Zt t0. v(t) dt. D'apres les deux relations ci-dessus (2:10) et (2:11), on obtient :. u(t) = u0 +. Z 0. fv0(1 ) + v1 gh d. = u0 + v0 h2 (2 ) + v1 h2 2. Et de plus, apres derivation de la relation (2.10), on a : dv = v1 v0 dt h. (2.11).

(114) Cas d'un systeme a un degre de liberte. 29. Di erents types de champs de vitesses virtuelles envisages On note. u. 1 v1. = u(h) et u0 = u(0); = v(h) et v0 = v(0):. * equilibre global: Nous entendons par equilibre global, le fait que la vitesse virtuelle est consideree comme une constante (egale a 1) durant le pas de temps et nulle aux instants initial et

(115) nal, (

(116) g.2.2). De ces hypotheses, on en deduit de la formulation precedente sur l'intervalle de temps [t0; t1] = [0; h] que : v. 1. h. 0. t. Fig. 2.2 { Trace de la fonction virtuelle. u. 1 v1. = u0(1 = v0(1. 1 ! 2 h2 + 2 1 2 2 2! h +. 1 ! 4 h4 ) 12 1 4 4 12 ! h ). + v0(h 14 !2h3) + (h4); u0(!2h 16 !4h3) + (h4):. (2.12). * equilibre au milieu du pas de temps: v. 1. 0. h=2. h. t. Fig. 2.3 { Trace de la fonction virtuelle. Dans ce cas, la vitesse virtuelle v est localisee au milieu du pas de temps soit a h2 (cette vitesse est representee par une distribution localisee au milieu du pas de temps), (

(117) g.2.3), nous obtenons alors pour le deplacement :.

(118) 2 { Formulation en vitesses. 30. u( h2 ) = u0 + v0 h2 (2 ) + v1 h2 2. or = t h t0 comme t0 = 0 et t = h2 alors = 21 par consequent :. u( h2 ) = u0 + h8 (3v0 + v1):. (2.13). Et pour la vitesse, l'expression suivante : 1 !2h2 + 1 !4h4) 2 16. v1 = v0(1. u0(!2h. 1 !4h3) + (h4): 8. (2.14). * fonction test de type "chapeau": Dans ce cas, nous avons pris la vitesse virtuelle, (

(119) g.2.4), (satisfaisant la relation (2.9)) de la facon suivante : v. 1. 0. h=2. h. t. Fig. 2.4 { Trace de la fonction virtuelle. 2 t h[ sur ]0 ; 2 6 v = 4 h t 2 h 2(1 h ) sur ] 2 ; h[. On obtient :. u. 1 v1. = u0(1 = v0(1. 1 ! 2 h2 + 2 1 2 2 2! h +. 7 ! 4h4 ) 96 7 4 4 96 ! h ). + v0(h 41 !2h3) + (h4); u0(!2h 487 !4h3) + (h4):. * fonction test non nulle a t = h et telle que v = ht sur [0; h] : .. (2.15).

(120) Cas d'un systeme a un degre de liberte. 31. v. 1. h. 0. t. Fig. 2.5 { Trace de la fonction virtuelle. Dans ce dernier cas etudie, la vitesse virtuelle, (

(121) g.2.5), satisfaisant la relation (2.9) est de

(122) nie de la facon suivante :. v = ht sur ]0; h[ = ]t0; t1[. d'apres la relation (2.9), on en deduit la vitesse et le deplacement, a l'instant t = t1 du point materiel de la facon suivante :. u. 1 v1. = u0(1 = v0(1. 1 ! 2 h2 + 22! 2 h2 + 3. 1 ! 4 h4 ) 8 1 ! 4 h4 ) 6. + v0(h 13 !2h3) + (h4); u0(!2h 14 !4h3) + (h4):. (2.16). Comparaisons et precisions des resultats selon le champ de vitesses choisi. A

(123) n de trouver quel est le meilleur choix en ce qui concerne le champ de vitesses virtuelles, nous e ectuons une evaluation de l'erreur numerique par rapport a la solution analytique, en analysant l'in uence du deplacement initial u0 avec une vitesse initiale v0 = 0 ainsi que celle de la vitesse initiale v0 avec un deplacement initial u0 = 0. On pose !2 = 1. * Tests avec v0 = 0:1 et u0 = 0 Nous considerons les 4 algorithmes vus precedemment et nous rassemblons les resultats numeriques sur le schema

(124) g.2.6. Parmi ces 4 algorithmes, celui a equilibre a mi-pas de temps donne de meilleurs resultats. * Tests avec v0 = 0 et u0 = 0:1 Les resultats numeriques sont rassembles dans la

(125) gure 2.7. De ces 4 algorithmes illustres dans la

(126) gure 2.7, celui a equilibre global donne de meilleurs resultats. Sur l'ensemble des 2

(127) gures 2.6 et 2.7, l'algorithme associe a la fonction "chapeau" est.

(128) 2 { Formulation en vitesses. 32 −3. 6. x 10. v*=t/h v*=1 v*=1 a t=h/2 v*=2(t/h) [0,1/2] et 2(1−t/h) [1/2,1]. erreur absolue en vitesse. 4. 2. 0. −2. −4. −6. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4 0.5 0.6 increment de temps h. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Fig. 2.6 { Di erence entre les vitesses des resultats numeriques et de la solution analytique. en fonction de l'increment de temps h pour les diverses methodes vues avec u0 = 0 et v0 = 0:1. −3. 10. x 10. erreur absolue en vitesse. v*=t/h v*=1 v*=1 a t=h/2 v*=2(t/h) [0,1/2] et 2(1−t/h) [1/2,1]. 5. 0. −5. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4 0.5 0.6 increment de temps h. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Fig. 2.7 { Di erence entre les vitesses des resultats numeriques et de la solution analytique. en fonction de l'increment de temps pour les diverses methodes vues avec v0 = 0 et u0 = 0:1.

(129) Cas en dimension 1. 33. le meilleur. Nous pouvons dire que lorsque la vitesse virtuelle est nulle au voisinage des bornes, les resultats sont meilleurs.. 2.2.4 Conclusion. Dans le cas du systeme a un degre de liberte, nous avons utilise di erents types de fonctions tests. Nous avons aussi remarque que celles qui donnaient de meilleurs resultats sont celles qui sont nulles aux bords. Par consequent, dans le cadre des fonctions d'interpolation lineaires pour les elements de type triangulaire d'une barre, les vitesses virtuelles peuvent être choisies et modi

(130) ees d'une maniere analogue aux procedes utilises pour l'oscillateur simple.. 2.3 Cas en dimension 1 2.3.1 Introduction. Nous allons appliquer le même procede que dans le cas d'un systeme a un degre de liberte. Dans le probleme test qui va suivre, nous traiterons les vibrations axiales d'une barre encastree soumise a une exitation en son extremite libre. Cette excitation provoque une onde qui se propage le long de la barre. Le but est de calculer ces vibrations par l'intermediaire de la STFEM et ensuite comparer ces resultats a ceux obtenus par d'autres methodes.. 2.3.2 Formulation du probleme 5. 4. 3. 2. 1. v0. Fig. 2.8 { Barre encastree et soumise a une impulsion en son extremite libre. Enonce du probleme : Nous considerons une barre elastique homogene de longueur L, d'axe (O,x) soumise a une excitation a une de ses extremites par l'intermediaire d'une vitesse imposee a l'instant initial t = t0 = 0 pour perturber son etat d'equilibre. On suppose, dans notre cas, que les vitesses et les e orts transversaux (comme la force de pesanteur) ainsi que tous e orts exterieurs sont negliges. Par consequent la seule composante.

(131) 2 { Formulation en vitesses. 34. de la vitesse qui est non nulle, c'est son abscisse. Dans ces conditions, la relation fondamentale de la dynamique (en H.P.P) se traduit par : @N = @v @x @t ou N represente l'e ort normal reparti dans la section de la barre. Et a partir de la loi de Hooke E" = NS = , on obtient : @N = ES @ 2u @x @x2 L'equation du mouvement s'ecrit alors @ 2 u = 0: @v ES @t @x2 D'apres les hypotheses emises precedemment les conditions initiales sont : u(L; 0) = u0 et v(L; 0) = @u @t (L; 0) = v0 En supposant que l'autre extremite est encastree, les conditions aux limites sont : u(0; t) = 0 et @u @t (0; t) = 0 Les di erentes caracteriques de cette barre sont son module de Young E , sa densite lineque de masse et l'aire de sa section S . En tenant compte des eventuelles discontinutes aux instants initial et

(132) nal, le probleme est : Trouver la vitesse v(x; t), solution de :. 8 s 2u > @ @v ES 2 > c = 0 p:p: 8 ( x; t ) 2 ]0 ; L [ ]0 ; T [ o u c = > > < u@t(0; t) =@x0 2 et u_ (0; t) = 0 > u(L; 0) = u0; > + ) = v + et v (x; 0 ) = v 8x 2 ]0; L] > v ( x; 0 > : v(x; T +) = v0T+ et v(x; T ) = v0 T 8x 2 ]0; L] p Remarque : ES= est appele celerite des ondes se propageant par la barre. ((. (2.17). )). La formulation variationnelle associee au probleme aux limites se decrit ainsi : Trouver v 2 V ad tel que :. Z T Z L @v 0. 0. @t. vdxdt. c2. Z T Z L @ 2u 0. 0. @x2. vdxdt. =. Z L T (x) 0. . v(x; T ) dx. +. Z L 0(x) 0. ad v (x; 0) dx 8v 2 V0 (2.18).

(133) Cas en dimension 1. 35. Dans la deuxieme integrale, on procede a une integration par parties. Quand v est susamment regulier, nous obtenons la relation ci-dessous :. Z T Z L @ 2u 0. Soit,. Z T Z L @ 2u 0. 0. @x2. @x2. 0. v dxdt. v dxdt. Z T Z L @u @v. =. 0. 0. @x @x dxdt +. Z T Z L @u @v. =. 0. @x @x dxdt +. 0. Z T @u. @x. 0. Z T @u L @x v. 0. (L; t)v(L; t). . 0. dt:. . @u (0; t)v(0; t) dt: @x. Puisque v 2 V0ad, on obtient :. Z T Z L @ 2u. @x2 d'ou la formulation suivante : 0. Z T Z L @v. 0. v dxdt. @t. 0. Comme. 0 c2. v dxdt. +. c2. Z @tT Z L @ Z t 0. =. 0. 0. 0. @x @x dxdt. Z T Z L @u @v 0. 0. u(x; t) = u(x; 0) +. alors, 0. +. c2. Z T Z L @u @v. @x @x dxdt Z L 0 (x) Z L T (x) v (x; T ) dx + v(x; 0) dx 8v 2 V0ad: = 0 0. 0. Z T Z L @v. v dxdt. @x. 0. Z T Z L @u 0. 0. @v. v dxdt + c2. Z @tL T (x). 0. v(x; ) d. @v dxdt + ( x; 0) @x @x. v(x; ) d @x dxdt =. Z T Z L @v 0. 0. Zt. Z L T 0. (2.19). . v(x; T ) dx. +. Z L 0 0. ad v (x; 0) dx 8v 2 V0. @v Z T Z L @v Z T Z L @ Z t 2 v(x; ) d @x dxdt "0 @x dxdt + c 0 0 0 0 @x 0 Z L 0(x). v(x; T ) dx + v(x; 0) dx 8v 2 V0ad (2.20) 0 0 ou "0 = "(x; 0) est la deformation initiale. La relation (2.20) represente la formulation variationnelle associee au probleme a resoudre (2.17). =.

(134) 2 { Formulation en vitesses. 36. 2.3.3 Interpolation et discretisation Interpolation. Comme dans le chapitre precedent, sur un element Ee , l'interpolation de la vitesse est donnee par la relation suivante : v(x; t) = Ne (x; t)Ve. ou Ne est la matrice des fonctions d'interpolation et Ve le vecteur des vitesses nodales.. v(x; t) = Par consequent,. ne X i=1. Ni(x; t)vi ou ne est le nombre de nuds par element:. @v (x; t) = @t. ne X @Ni. ne X @Ni. i=1. i=1. @v (x; t) = ( x; t ) v i et @t @x. @x (x; t)vi:. Discretisation du probleme. L'interpolation espace-temps est faite en utilisant les polynômes de Lagrange. Les elements

(135) nis sont choisis isoparametriques. On rappelle que ce n'est pas la même interpolation qui est utilisee pour les vitesses virtuelles v. Ve est appele le vecteur des vitesses virtuelles. Soient,. Z T Z L @v 0. 0. @t. v dxdt. =. (Ve)T. Z Z. @v Z TZ L @ Z t 2 c @x v(x; t) dt @x dxdt 0. 0. 0. Ee. = =. (Ne. )T @Ne dxdt. . @t. Ve = (Ve)T Me Ve. " Z Z T Z t # @ N d dxdt V @ Ne (Ve)T c2 e e @x @x. (Ve)T Ke Ve. Ee. 0. # "Z Z T Z T Z L @v @ N e T "0 @x dxdt = (Ve)T @x "0 dxdt = (Ve ) Ee 0. Z L T 0. . Ee. 0. v(x; T ) dx. +. Z L 0 0. . v(x; 0) dx. =. (Ve)T. Z Ee. (Ne. (x; T ))T T. + (Ne. La discretisation du probleme conduit au systeme lineaire suivant : (M + K )V = E + . (x; 0))T 0. . T dx = (Ve ) e.

(136) Cas en dimension 1. 37. Nous remarquons que les matrices M et K ne sont pas symetriques. Pour un maillage strati

(137) e (de type

(138) g.2.9,

(139) g.2.10 ou

(140) g.2.14), si la numerotation des nuds est faite de telle facon que les nuds qui ont les mêmes coordonnees temporelles aient les numeros les plus proches les uns des autres, alors le systeme precedent devient sur la premiere couche temporelle :. A B V E + 0 = 0 0 (M + K )V = TV = C D. E1 + 1. V1. (2.21). ou Vi est le vecteur vitesse assemble des nuds qui ont les mêmes coordonnees temporelles, par exemple si le maillage espace comprend k nuds, avec les nuds numerotes de 1 jusqu'au nud k alors V0 s'ecrit de la sorte :. 0v 1 1 B v 2 C C B V0 = B . . A @ . C vk. La variable vi est la vitesse du nud i. En utilisant ce type de numerotation, les matrices A, B , C et D sont bandes. Comme le cas de l'oscillateur simple, l'interpolation des vitesses choisie est lineaire sur chaque element et l'acceleration est alors constante.. Maillage en simplex Pour comprendre le processus, nous allons illustrer l'algorithme par un exemple detaille sur un mailllage simple constitue de 2 elements espace-temps (

(141) g.2.9). t1. 3. 4. A. ~t ~x. B t0. 1. 2. Fig. 2.9 { barre maillee avec deux simplex. Sur cette exemple, nous commencons par decrire, les fonctions d'interpolation sur l'element A :. . NA(x; t) = [N1(x; t); N2(x; t); N3(x; t)] = 1 ht ; Lx ; ht Lx. . (2.22).

(142) 2 { Formulation en vitesses. 38. ou h est le pas de temps. A partir de ces fonctions d'interpolation, on decrit le champ des vitesses qui est :. 2v 3 1 v(x; t) = NAVA = [N1; N2; N3] 4 v4 5 v3. Le champ des vitesses virtuelles est donne par :. v(x; t) = NAVA. 2 v 3 1 v(x; t) = [0; N2; N3] 4 v4 5. v3 ou NA et NA sont les matrices des fonctions d'interpolation reelles et virtuelles sur l'element A et VA et VA sont les vecteurs vitesses nodales reelles et virtuelles sur l'element A. On pose : MA =. 2 Z Z L h T @NA dxdt = 4 ( N ) A hx hx. Z LZ h 0. KA = =. @t. L. 0. L. 2 3 1 ; 0; 1 dxdt = L 4 x 5 L h h 6 t x h L 0. Z LZ h2 Z L Z h @ NA T @ Z t 4 NA dt dxdt = c2 c2 hx hx @x @x 0 0 0 L 2 0L 0 0 3 c2h2 4 0 1 1 5 ; 3L. EA = c2. 0. 0. 1 L1 L. 3 t t 5 0; ; dxdt L L. 1 1. Z L Z h @ NA T hx L. 0. 3. 0 0 0 1 0 1 5; 1 0 1. @x. "0 dxdt =. Z LZ h2 4 c2 hx 0. L. 0. 1 L1 L. 2 3 2 5 "0 dxdt = c h "0 4 2. 3. 0 1 5: 1. ou MA , KA et EA sont respectivement les matrices relatives aux termes d'inertie et aux e orts interieurs et le vecteur des ((deformations initiales)) sur l'element A. Les fonctions d'interpolation reelles et virtuelles sur l'element B sont :. . NB (x; t) = [N1(x; t); N2(x; t); N3(x; t)] = 1 Lx ; Lx ht ; ht. . (2.23).

(143) Cas en dimension 1. 39. et. . NB (x; t) = [0; 0; N3(x; t)] = 0; 0; ht. . (2.24). Ainsi, on note :. MB =. Z LZ 0. hx L. 0. 2 0 3 Z Z hx L L 1 @N 1 B T 4 0 5 0; h ; h dxdt; (NB ) @t dxdt = t 0 0 h. Z L Z hxL @ NB T @ Z t Z L Z hxL 2 0 3 t t 2 4 0 5 ; ; 0 dxdt; KB = c2 N B dt dxdt = c @x @x 0 L L 0 0 0 0 0 EB = Soit. Z L Z hxL @ NB T Z L Z hxL 2 0 3 2 4 0 5 "0 dxdt: c2 " 0 dxdt = c @x 0. 0. 20 MB = L 4 0 6. 0. 3. 2. 0 0 0 0 0 5 4 0 0 ; KB = 0 0 0 0 1 1 0 0 0. 0. 0. 3 203 5 et EB = 4 0 5 ; 0. (2.25). (2.26). ou MB , KB et EB sont respectivement les matrices relatives aux termes d'inertie et aux e orts interieurs et le vecteur relatif aux deformations initiales sur l'element B . Apres assemblage, nous obtenons :. 3. 2 6 E () L 64. 20. 0 0 0 0 0 0 0 0 77 V + c2h2 66 MV + KV = 1 0 1 05 6 L 4 1 1 1 1 2 0 0 0 6 () TV = E () 64 0L 00 L +0c2 h2 6 6 32 L2 L 6. Notons Ac1 et B1c les deux sous-matrices :. L L 6 6. ch 3L. 3. 2. 0 0 0 0 0 0 0 77 V = c2hL " 66 1 5 0 0 13 2 04 3 0 0 31 31 2 0 3 0 3 0 7 c2h " 66 0 77 : V = c2 h2 7 5 2 04 1 5 3L2 2 L+ch 1 6 3L. 3. 0 0 77 15 1.

(144) 2 { Formulation en vitesses. 40. Ac1 =. . L L6 6. 0. . L 6. D'ou le nouveau systeme :. et. B1c. L 6 L 6. + c322Lh22. c2 h2 3L L + c2 h2 6 3L. ch 3L. . :. . . . =. . V0 = 0 : 0 0 c c E1 V1 A1 B1 En supposant que la deformation initiale est nulle, la deuxieme equation devient : Ac1V0 + B1cV1 = 0: Cette equation donne V1, la vitesse nodale a l'instant t1 constituee des vitesses nodales v3 et v4. Pour trouver les autres vitesses nodales aux instants suivants, on applique l'algorithme cidessous:. Ac V + B c V = 0 1 1 1 0 c c. (2.27) Ai Vi 1 + Bi Vi = Ei ou Ei est calcule a la

(145) n du pas i 1. En pratique, la matrice totale n'est jamais assemblee, seulement les matrices Aci et Bic le sont. t1. 3. 4. B. ~t. A. ~x. t0. 1. 2. Fig. 2.10 { barre maillee avec deux simplex. Dans le cas, ou le maillage est choisi comme dans la

(146) gure 2.10, on obtient les deux sous-matrices non nulles qui suivent :. Ac1 =. . L 6. L L6 6. . B1c. L + c2 h2. L 6 L 6. c2 h2 3L c2 h2 3L. . et = 6 h23L : 0 + 3L Pour avoir une idee du pro

(147) l des matrices dans le cas de plus de nuds, on suppose que le maillage espace contient 12 nuds. Avec un maillage du type

(148) g.2.9, on constate que la matrice Ac1 est triangulaire inferieure

(149) g.2.12 et la matrices B1c est tri-diagonale

(150) g.2.11. Et avec un maillage du type

(151) g.2.10, on constate que la matrice Ac1 est triangulaire superieure

(152) g.2.13 et la matrice B1c est tri-diagonale

(153) g.2.11. Il faut donc une resolution lineaire pour resoudre le systeme (2.27)..

(154) Cas en dimension 1. 41 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Fig. 2.11 { pro

(155) l de la matrice B1c quelque soit le type du maillage 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Fig. 2.12 { pro

(156) l de la matrice Ac1 a partir d'un maillage du type de la

(157) gure (2.9) 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Fig. 2.13 { pro

(158) l de la matrice Ac1 a partir d'un maillage du type de la

(159) gure (2.10).

(160) 2 { Formulation en vitesses. 42. Maillage en multiplex. Dans ce paragraphe, nous allons traiter le même exemple cette fois-ci avec des multiplex (

(161) g.2.14). t1. 3. 4. 1. 2. ~t ~x. t0. Fig. 2.14 { barre maillee avec un multiplex. On utilise une barre avec les mêmes caracteristiques, un pas de temps h et une longueur, L. Dans ce cas, le maillage est constitue d'un seul element rectangulaire. Les fonctions d'interpolation associees a cet element sont de

(162) nies par :. N (x; t) = [N1(x; t); N2(x; t); N3(x; t); N4(x; t)] (2.28) = (1 ht )(1 Lx ); (1 ht ) Lx ; ht (1 Lx ); ht Lx : (2.29) A partir de ces fonctions d'interpolation, on decrit le champ de vitesses qui est : 2v 3 1 7 6 v v(x; t) = NV = [N1; N2; N3; N4] 64 v2 75 4 v3 Le champ de vitesses virtuelles est donne par : v(x; t) = N V . 2 v 3 1 7 6 v 2 v (x; t) = [0; 0; N3 ; N4] 64 v 75 : 4. v3. On pose :. 2 Z L Z h T @N Z LZ h6 1 64 (1 M= (N ) dxdt = 0. 0. @t. h. 0. 0. 0 0. x)t x tL h Lh. 3 77 h 5. i (1 Lx ); Lx ; 1 Lx ; Lx dxdt;.

(163) Cas en dimension 1. K = =. 43. Z L Z h @ N T @ Z t N dt dxdt 0 0 2@x 3 @x 0 0 c2 Z L Z h 66 0 77 t(1 t ); t(1 t ); t2 ; t2 dxdt; L2 0 0 4 ht 5 2h 2h 2h 2h t. c2. h. E=. c2. Z L Z h @ N T 0. @x. 0. 2 c2 Z L Z h 66 4. "0 dxdt = L. 0. 0. 0 0. t th h. 3 77 " dxdt: 50. Soit,. 2 6 M = L 64 6. 2 2 26 K = c h 64 8L. E=. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 21 1 21 1 1 21 1 2 0 0. 3. 0 0. 5 35 3. 3 77 5. 0 0 0 0 77 1 15 1 1. 5 53 3. 2 c2h " 66 04 2. 0 0 1 1. 3 77 5. Par consequent, pour le vecteur vitesse nodale V = (v1; v2; v3; v4) et apres assemblage, on a :. . ou. Ac1. =. . L+ 6 L 12. 5 c2 h2 24 2L 2 5ch 24 L. 0 0 Ac1 B1c L 12 L+ 6. V 0 . 5 c2 h2 24 2L2 5ch 24 L. 0. =. V1. . On aboutit au même algorithme, a savoir :. et. E1 :. B1c =. . L+ 6 L 12. c2 h2 8L c2 h2 8L. L 12 L+ 6. c2 h2 8L c2 h2 8L. .

(164) 2 { Formulation en vitesses. 44. Ac V + B c V = 0 1 1 1 0 c c. (2.30) Ai Vi 1 + Bi Vi = Ei On peut constater que dans ce cas, les matrices Ac1 et B1c sont symetriques. Si le maillage espace contient 12 nuds, les matrices Ac1 et B1c restent symetriques et sont en plus tri-diagonales

(165) g.2.15. 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 10 11 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. Fig. 2.15 { pro

(166) l des matrices Ac1 et B1c. 2.3.4 Resultats Numeriques. Dans la suite du chapitre, nous e ectuerons tous nos calculs sur des maillages reguliers en simplex et en multiplex. Pour faciliter les calculs, nous posons c2 = 1. Cette evaluation est faite avec une longueur L = 1 m. La vitesse initiale v0 et le pas de temps h varierons a notre convenance, pour deceler a partir de quelle valeur ou pour quelles valeurs les resultats s'ameliorent ou sont susants. Les

(167) gures 2.16a, 2.16b, 2.17, 2.18 et 2.19 montrent les resultats obtenus en faisant varier certains parametres, la

(168) nesse du maillage, la vitesse initiale ainsi que le pas de temps. Les deplacements sont observes au bout libre de la barre et sur une periode. On de

(169) nit les simplex2.9 comme etant du même type que ceux de la

(170) gure 2.9 et les simplex2.10 comme etant du même type que ceux sur la

(171) gure 2.10. Dans les

(172) gures 2.16a et 2.16b, nous avons rassemble les resultats numeriques concernant les deplacements et les vitesses du point extremite de la barre pour un maillage grossier de deux elements espace. Dans les

(173) gures 2.16a, 2.17, 2.18, 2.19, nous avons rassemble les resultats numeriques concernant les deplacements du point extremite de la barre pour des maillages de plus en plus

(174) n et pour des pas de temps di erents. Les multiplex, les simplex et CASTEM donnent des resultats comparables. L'amplitude des vibrations entre le deplacement issu d'un maillage a base de multiplex, d'un maillage a base de simplex2.10 et d'un maillage.

(175) Cas en dimension 1. 45. a base de simplex2.9 est dû probablement au type de discretisation choisi. figa. : deplacement. figb. vitesse. 0.002. 0.005 0.004 0.003. 0.001. vitesse (m/s). deplacement (m). 0.002. 0.000. 0.001 0.000 −0.001 −0.002. −0.001. −0.002. multiplex simplex2.9 simplex2.10 castem 0. 1. multiplex simplex2.9 simplex2.10 castem. −0.003 −0.004 2 temps (s). 3. 4. −0.005. 0. 1. 2 temps (s). 3. 4. Fig. 2.16 { Deplacement et vitesse avec 2 elements espace, un pas de temps h = 0:001s et. une vitesse initiale v0 = 0:004 m:s. 1. 0.002. deplacement (m). 0.001. 0.000. −0.001. −0.002. multiplex simplex2.9 simplex2.10 castem 0. 1. 2 temps (s). 3. 4. Fig. 2.17 { Deplacement avec 20 elements espace, un pas de temps h = 0:01s et une vitesse. initiale v0 = 0:04 m:s. 1.

(176) 2 { Formulation en vitesses. 46 0.002. deplacement (m). 0.001. 0.000. multiplex simplex2.9 simplex2.10 castem. −0.001. −0.002. 0. 1. 2 temps (s). 3. 4. Fig. 2.18 { Deplacement avec 20 elements espace, un pas de temps h = 0:001s et une vitesse. initiale v0 = 0:04 m:s. 1. 0.002. deplacement (m). 0.001. 0.000. −0.001. −0.002. multiplex simplex2.9 simplex2.10 castem 0. 1. 2 temps (s). 3. 4. Fig. 2.19 { Deplacement avec 100 elements espace, un pas de temps h = 0:01s et une vitesse. initiale v0 = 0:2 m:s. 1. 2.4 Conclusion Di erents types d'interpolation pour la vitesse virtuelle ont ete testes. Parmi les cas traites, il appara^t, que les cas ou les vitesses virtuelles sont prises nulles aux bords des intervalles de temps ]ti; ti+1[ donnent les meilleurs resultats. Le cas ou les fonctions virtuelles sont interpolees de la même maniere que les fonctions reelles sera traite au chapitre suivant. Les resultats numeriques obtenus dans ce chapitre sont en bonne adequation avec les resultats analytiques et ceux obtenus par le logiciel CASTEM..

(177) Formulation en deplacements. 47. Chapitre 3 Formulation en deplacements 3.1 Introduction Dans le chapitre precedent nous avons signale les limites de la formulation en vitesses. Nous avons constate que le systeme lineaire obtenu en utilisant la formulation en vitesses n'a pas de proprietes interessantes. De plus le calcul du deplacement conduit a des problemes techniques pour des maillages non reguliers dans un espace de dimension de plus en plus grande. En consequence, nous allons nous pencher sur la formulation en deplacements. Nous allons reprendre les mêmes tests vus dans le chapitre precedent c'est-a-dire les tests sur l'oscillateur et la barre. Des exemples de remaillages espace et temps sont presentes sur des problemes en 1D espace. Une generalisation de la methode est proposee aux cas 2D et 3D espace.. 3.2 Cas d'un systeme a un degre de liberte 3.2.1 Introduction. L'interêt de ce test (

(178) g.2.1) est de pouvoir comparer nos resultats a la solution analytique et a ceux obtenus par di erences

(179) nies.. Probleme aux limites. Rappelons que le probleme d'evolution s'ecrit :. 8 mu + ku = 0 8 t 2 ]0; +1[; < : uu_ ((tt00)) == vu00;.

(180) 3 { Formulation en deplacements. 48. A partir du probleme d'evolution, le probleme aux limites qui lui est associe s'enonce de la sorte :. 8 u + ku dt = 0 p:p: 8 t 2 ]0; T [ > < mu(0) = u0 ; + + > : vv(0(T +)) == vv0T+ etet vv(0(T ) )==vv0 T; :. (3.1). Probleme variationnel associe. La formulation variationnelle associee au probleme aux limites precedent s'ecrit : Trouver les deplacements u(t) 2 U ad sur l'intervalle de temps [0; T ] veri

(181) ant l'equation ci-dessous :. Z t1 t0. ( mu_ u_ + kuu) dt = mT uT + m0u0 8 u 2 U0ad. (3.2). ou U ad est l'ensemble des deplacements veri

(182) ant les conditions aux limites cinematiques, les conditions initiales et

(183) nales, u est le champ de deplacements virtuels et U0ad est l'ensemble du champ de deplacements virtuels et T = vT+ vT et 0 = v0+ v0 sont les sauts de vitesses respectivement aux instants t = 0 et t = T . Dans la formulation variationnelle, nous avons pris en compte les discontinutes de par les termes T et 0. Ecrire l'equation (3.2), c'est ecrire aussi :. Z t1 t0. ( u:_ u_ + !2u:u) dt = T uT + 0u0 8 u 2 U0ad. (3.3). 3.2.2 Discretisation du probleme Interpolation. u1. u2. 1. 1. 2. 1661. 1. element de reference Er. u1 . u2. 1. 2. t1. t2 t1. 6 t 6 t2. element reel Ee. Fig. 3.1 { De

(184) nition des elements de reference et reel. t.

(185) Cas d'un systeme a un degre de liberte. 49. Ni N1 1. 1 N2 0. N1. 1 1. Ni. N2. ti. Element de reference. ti+1 Element reel. Fig. 3.2 { Representation des fonctions d'interpolation lineaires de reference et reelles. Comme dans le chapitre precedent, nous choisissons une interpolation lineaire pour le champ des deplacements. Sur l'element de reference, le deplacement est donne par :. . 1. u() = Nr ()Ur = 2 (1 ); 21 (1 + ) Ur ou Nr et Ur sont respectivement la matrice des fonctions d'interpolation et le vecteur des deplacements nodaux sur l'element de reference. Sur l'element reel, le deplacement a la forme suivante :. t2 t t t1 u(t) = Ne (t)Ue = t ; t Ue 21 21. ou t21 = t2 t1. Remarque : les fontions u et @u @t sont continues sur l'element mais seule u est continue sur la frontiere de l'element. Comme dans le premier chapitre, sur un element Ee , l'interpolation du champ de deplacements est donnee par la relation suivante : u(t) = Ne (t)Ue.. u(t) =. ne X i=1. Ni(t)ui ou ne est le nombre de nuds par element:. Par consequent, la derivee premiere du deplacement par rapport a la variable temps est exprimee par la relation suivante :. v = u_ = @u @t (t) =. ne X @Ni i=1. @t (t)ui:.