Le contrôle de l'erreur dans la méthode de radiosité hiérarchique

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Submitted on 23 Feb 2004

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hiérarchique

Nicolas Holzschuch

To cite this version:

Nicolas Holzschuch. Le contrôle de l’erreur dans la méthode de radiosité hiérarchique. Interface homme-machine [cs.HC]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1996. Français. �tel-00004994�

Le controˆle de l’erreur dans la

me´thode de radiosite´ hie´rarchique

Nicolas H

The`se pre´sente´e pour l’obtention du titre de : Docteur de l’Universite´ Joseph Fourier – Grenoble I, spe´cialite´ Informatique (arreˆte´s ministe´riels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992), soutenue le 5 mars 1996.

Composition du jury :

Jacques VOIRON, professeur a` l’Universite´ Joseph Fourier, pre´sident ; Didier ARQUE` S, professeur a` l’Universite´ Marne-la-Valle´e, rapporteur ;

Frederik W. JANSEN, professeur a` la Technische Universiteit Delft, rapporteur ; Bernard PE´ ROCHE, professeur a` l’E´ cole des Mines de Saint-E´tienne ;

Claude PUECH, professeur a` l’Universite´ Joseph Fourier, directeur ; Franc¸ois SILLION, charge´ de recherche au CNRS, HDR.

The`se pre´pare´e au sein du laboratoire iMAGIS/IMAG. (iMAGIS est un projet commun entre le CNRS, l’INRIA, l’INPG et l’UJF).

Re´sume´

Nous pre´sentons ici plusieurs ame´liorations d’un algorithme de mode´lisation de l’e´clairage, la me´thode de radiosite´. Pour commencer, une analyse de´taille´e de la me´thode de radiosite´ hie´rarchique permet de souligner ses points faibles et de mettre en e´vidence deux ame´liorations simples : une e´valuation paresseuse des interactions entre les objets, et un nouveau crite`re de raffinement qui e´limine en grande partie les raffinements inutiles. Un bref rappel des proprie´te´s des fonctions de plusieurs variables et de leurs de´rive´es suit, qui permet d’abord de de´duire une re´e´criture de l’expression de la radiosite´, d’ou` un calcul nume´rique plus pre´cis. Les me´thodes d’estimation de l’erreur produite au cours du processus de mode´li-sation de la lumie`re sont introduites. Nous voyons alors comment les proprie´te´s de concavite´ de la fonction de radiosite´ permettent – graˆce au calcul des de´rive´es successives de la radiosite´ – un controˆle complet de l’erreur commise dans la mo-de´lisation des interactions entre les objets, et donc un encadrement pre´cis de la radiosite´. Nous pre´sentons un crite`re de raffinement base´ sur cette mode´lisation des interactions, et un algorithme complet de radiosite´ hie´rarchique inte´grant ce crite`re de raffinement, et donc permettant un controˆle de l’erreur commise sur la radiosite´ au cours de la re´solution. Finalement, nous pre´sentons les me´thodes de calcul pratique des de´rive´es successives de la radiosite´ (gradient et Hessien) dans le cas d’un e´metteur constant sans obstacles tout d’abord, puis dans le cas d’un e´metteur constant en pre´sence d’obstacles et dans le cas d’un e´metteur sur lequel la radiosite´ varie de fac¸on line´aire.

Mots clef : Images de synthe`se, simulation physique, radiosite´, radiosite´

hie´rar-chique, analyse d’algorithmes, facteurs de forme, controˆle de l’erreur, de´rive´es de la radiosite´, visibilite´, e´valuation paresseuse, fonctions de base d’ordre supe´rieur.

Abstract

We introduce several improvements to the hierarchical radiosity method. First, a complete analysis of a specific implementation of the hierarchical radios-ity method allows to point out its bottlenecks. Based on this analysis, we suggest two simple improvements: a lazy evaluation of top-level interactions, and a new refinement criterion, that greatly reduces the number of interactions, without loss of precision. A brief introduction to the properties of functions of several vari-ables and their derivatives follows, which allows a rewriting of the expression of radiosity, and hence a better numerical approximation. Methods for the estima-tion of the error produced during the radiosity computaestima-tions are analysed. We then introduce the concavity properties of the radiosity function that, combined with an exact computation of the radiosity derivatives, allow a complete control of the error on the interactions between patches, and hence a precise minoration and majoration of the radiosity on all the patches. We introduce a new refinement cri-terion based on this modelling of interactions, and a complete hierarchical radios-ity algorithm using this refinement criterion. The last part of the thesis is devoted to practical computations of the radiosity derivatives (gradient and Hessian), first for a constant emitter with total visibility, then for a constant emitter with partial visibility and for an emitter with linear radiosity.

Keywords: Computer Graphics, Image Synthesis, Physical Simulation,

Radios-ity, Hierarchical RadiosRadios-ity, Form-Factor Computation, Error Control, Radiosity Derivatives, Profiling, Visibility, Lazy Linking, Higher Order Basis Functions.

Table des matie`res

1 Introduction 19

A E´ tude de la me´thode de radiosite´ hie´rarchique 23

2 La me´thode de radiosite´ hie´rarchique 25

2.1 L’e´quation de l’e´clairage global : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

2.2 Re´solution formelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

2.3 Premie`re re´solution nume´rique : le lancer de rayons : : : : : : : : : : 27

2.4 Autre simplification : la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

2.5 Discre´tisation et premie`re re´solution : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30

2.6 Radiosite´ hie´rarchique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 3 Ame´liorations de l’algorithme original de radiosite´ hie´rarchique, base´es

sur l’analyse 37

3.1 Motivations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37

3.2 La visibilite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

3.3 Bilan e´nerge´tique: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

3.4 L’e´tape initiale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

3.5 E´ valuation paresseuse des interactions entre polygones de haut niveau: 43

3.6 Raffinement excessif : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47

3.7 Re´sultats : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49

B Le controˆle de l’erreur en radiosite´ hie´rarchique 55

4 Notions sur les fonctions de plusieurs variables utiles pour les calculs de

radiosite´ 57

4.1 Travaux ante´rieurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57

4.2 La notion de de´rive´e en dimension n : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58

4.3 Quelques cas particuliers inte´ressants : gradient, rotationnel et divergence 59 4.4 Les de´rive´es successives : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

4.5 Cas particulier des fonctions de deux variables : : : : : : : : : : : : : 63

4.6 Application a` la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

4.7 Calcul des de´rive´es successives de la radiosite´ pour un e´metteur quel-conque : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

4.8 Simplification de l’e´criture de la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : 68

4.9 Prospective: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71

5 La conjecture de concavite´ 73

5.1 Travaux ante´rieurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

5.2 Un cas particulier simple : un e´metteur ponctuel : : : : : : : : : : : : 73

5.3 Le cas d’un disque e´metteur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

5.4 Le cas d’un carre´ e´metteur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81

5.5 Le principe de Curie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

5.6 La conjecture de concavite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

5.7 Lorsque la visibilite´ n’est pas totale : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86

6 Analyse de l’erreur dans les algorithmes de radiosite´ 89

6.1 Travaux ante´rieurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89

6.2 Mesurer l’erreur au cours des calculs de radiosite´ : : : : : : : : : : : 89

6.3 Mesurer l’erreur apre`s les calculs de radiosite´ : : : : : : : : : : : : : 90

6.4 Les diffe´rentes sources d’erreur dans un algorithme de radiosite´ : : : : 92

6.5 Exemples d’oracles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

6.6 Ce que l’on attend d’un oracle de raffinement : : : : : : : : : : : : : 94

6.7 L’erreur de discre´tisation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94

6.8 L’influence de l’erreur locale sur l’erreur globale : : : : : : : : : : : 95

7 Controˆle de l’erreur en radiosite´ a` l’aide des de´rive´es successives 101

7.1 Encadrement de l’erreur commise sur une interaction donne´e : : : : : 101

7.2 Le cas de la visibilite´ partielle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113

7.3 Inte´gration au sein d’un algorithme de radiosite´ hie´rarchique : : : : : 125

7.4 Ame´liorations e´ventuelles de l’algorithme : : : : : : : : : : : : : : : 131

7.5 Conclusion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132

C Le gradient et le Hessien de la radiosite´ 133

8 Cas des e´metteurs constants : calcul du Jacobien et du Hessien 135

8.1 Travaux ante´rieurs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 8.2 L’expression de la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 8.3 Le gradient de la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 8.4 Calculs et imple´mentation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 8.5 E´ tude de complexite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139 8.6 Imple´mentation et re´sultats: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141 8.7 Le Hessien de la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142 8.8 Imple´mentation du Hessien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145

9 Le gradient de radiosite´ en pre´sence d’obstacles 149

9.1 Premie`re e´tude, the´orique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 150

9.2 E´ tude de la de´rive´e de l’ope´rateur d’inte´gration : : : : : : : : : : : : 150

9.3 Le Jacobien d’un sommet, e´tude des quatre types de sommets : : : : : 152

9.4 Imple´mentation et re´sultats: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157

10 Extension au cas des e´metteurs non constants 163

10.1 Calcul de la radiosite´ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163

10.2 Calcul du gradient : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 165

10.3 Imple´mentation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166

Table des figures

2.1 Loi de re´flexion de Descartes : surfaces spe´culaires. : : : : : : : : : : 28

2.2 Loi de re´flexion de Lambert : surfaces diffuses. : : : : : : : : : : : : 28

2.3 Utilisation d’une ligne ou d’une colonne de M. : : : : : : : : : : : : 32

2.4 Radiosite´ hie´rarchique : chaque objet est de´compose´ en une hie´rarchie de facettes. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

2.5 Radiosite´ hie´rarchique : les interactions entre les objets. : : : : : : : : 33

3.1 Les temps relatifs de chaque e´tape.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

3.2 Les pertes relatives d’e´nergie

E

3.3 Proportion des liens pour lesquels BF ne de´passe pasε. : : : : : : : : 43

3.4 Algorithme original. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45

3.5 Pseudo-code pour notre algorithme. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45

3.6 Pourcentage du nombre d’e´le´ments conserve´s apre`s la re´duction. : : : 49

3.7 Pourcentage du nombre de liens conserve´s apre`s la re´duction. : : : : : 50

3.8 Rapport des temps de calcul avec et sans la re´duction. : : : : : : : : : 50

3.9 La salle a` manger avec l’algorithme original et le maillage produit. : : 51

3.10 La salle a` manger avec l’e´valuation paresseuse, et la diffe´rence avec 3.9. 52 3.11 La salle a` manger avec re´duction du nombre de liens, et le maillage

pro-duit. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

3.12 Diffe´rence entre 3.11 et 3.9, a` gauche, entre 3.11 et 3.10 a` droite. : : : 53

3.13 Bureau et Chercheur : deux mode`les de bureaux. : : : : : : : : : : : : 53

3.14 Stagiaire et He´ve´a : deux sce`nes plus complexes. : : : : : : : : : : : 54

4.1 Exemples de fonctions non-diffe´rentiables. : : : : : : : : : : : : : : 59

4.2 Le gradient de´finit un plan tangent.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60

4.3 Cas d’un point ou` le Hessien est de´fini-ne´gatif. : : : : : : : : : : : : 62

4.4 Cas d’un point ou` le Hessien n’est pas de´fini. : : : : : : : : : : : : : 63

4.5 Une fonction convexe est au dessus de ses plans tangents. : : : : : : : 63

4.6 Ge´ome´trie du proble`me. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

5.1 Cas d’un point e´metteur et d’un plan re´cepteur. : : : : : : : : : : : : 74

5.2 Radiosite´ due a` un point e´metteur. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74

5.3 La de´rive´e de la radiosite´ suivant un vecteur, et la ligne de niveau 0.: : 75

5.4 La de´rive´e seconde de la radiosite´ suivant un vecteur et la ligne de ni-veau 0. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

5.5 La concavite´ de la radiosite´ : rt,s

2_{et la ligne de niveau 0.}

5.6 La radiosite´ et ses plans tangents. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76

5.7 La radiosite´ sur une droite isole´e. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77

5.8 Les de´rive´es de la radiosite´ par rapport au vecteur directeur de cette droite. 77 5.9 Deux e´le´ments de surface d’une sphe`re en interaction. : : : : : : : : : 79

5.10 Une coupole sphe´rique illuminant un point de la sphe`re. : : : : : : : : 79

5.11 Un disque illuminant un point de la sphe`re. : : : : : : : : : : : : : : 80

5.12 Un carre´ e´metteur. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81

5.13 Radiosite´ due a` ce carre´ e´metteur. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82

5.14 De´rive´e suivant un vecteur de cette radiosite´ et la ligne de niveau 0. : : 82

5.15 De´terminant du Hessien (rt,s

2_{) pour cette radiosite´ et la ligne de}

ni-veau 0. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83

5.16 De´rive´e seconde suivant un vecteur de cette radiosite´ et la ligne de ni-veau 0. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83

5.17 Un e´metteur posse´dant un plan de syme´trie commun avec le re´cepteur : le maximum se trouve sur une droite. : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

5.18 Un e´metteur posse´dant deux plans de syme´trie commun avec le re´cep-teur : le maximum est localise´. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85

5.19 Un e´metteur qui n’est pas convexe rompt la conjecture. : : : : : : : : 86

5.20 Un obstacle, meˆme convexe, remet en cause la conjecture d’unimodalite´. 87 5.21 Un obstacle qui ne remet pas en cause l’unimodalite´. : : : : : : : : : 87

5.22 Un autre obstacle qui ne remet pas en cause l’unimodalite´.: : : : : : : 87

7.1 Le maximum se situe dans un demi-plan de´fini par le gradient. : : : : 102

7.2 Le maximum peut se situer a` l’inte´rieur du polygone. : : : : : : : : : 103

7.3 Le maximum est atteint sur la frontie`re. : : : : : : : : : : : : : : : : 104

7.4 Utilisation d’un e´metteur englobant pour trouver un majorant sur une areˆte. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105

7.5 Majoration avec les plans tangents. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107

7.6 La sce`ne de tests pour la visibilite´ totale,ε=0;0001. : : : : : : : : : 110

7.7 Le maillage produit par les trois algorithmes,ε=0;0001, etε=0;01. 111

7.8 L’e´metteur minimal est l’un des e´metteurs minimaux calcule´s.: : : : : 115

7.9 L’e´metteur maximal se construit comme une enveloppe convexe. : : : 116

7.10 Exemple d’e´metteur minimal et maximal, avec un des e´metteurs exacts. 117 7.11 Calcul de l’e´metteur maximal en pre´sence de plusieurs obstacles. : : : 118

7.12 Calcul de l’e´metteur minimal en pre´sence de plusieurs obstacles. : : : 118

7.13 La sce`ne de tests pour la visibilite´ partielle,ε=0;0001. : : : : : : : : 119

7.14 Les images produites par les trois algorithmes lorsqu’ils coı¨ncident. : : 120

7.15 Les images produites par l’algorithme heuristique.: : : : : : : : : : : 121

7.16 Les images produites par l’algorithme de raffinement simplifie´ pour les meˆmes valeurs deε. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122

7.17 Structures de donne´es employe´es pour mode´liser la radiosite´. : : : : : 127

7.18 Structures de donne´es employe´es pour mode´liser les interactions. : : : 129

7.19 Lors du raffinement d’un lien facette-facette, seule une partie des liens facette-sommets est a` recalculer. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129

7.20 Mode´lisation des interactions. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130

7.21 Propagation de l’e´nergie.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130

8.1 Cas ou` l’e´metteur est un polygone.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136

8.2 La ge´ome´trie de notre sce`ne de tests.: : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

8.3 La radiosite´ sur le re´cepteur. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142

8.4 La norme du gradient de la radiosite´ sur le re´cepteur. : : : : : : : : : 142

8.5 Inte´gration du gradient sur le re´cepteur. : : : : : : : : : : : : : : : : 143

8.6 Diffe´rence entre l’inte´gration du gradient et la radiosite´. : : : : : : : : 143

8.7 Le de´terminant du Hessien de la radiosite´. : : : : : : : : : : : : : : : 146

8.8 La de´rive´e de la radiosite´ suivant x. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 146

8.9 La de´rive´e seconde de la radiosite´ suivant x. : : : : : : : : : : : : : : 147

9.1 Exemple d’e´metteur partiellement bloque´. : : : : : : : : : : : : : : : 149

9.2 Areˆtes du contour de A2(x). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152

9.3 Diffe´rents types de sommets.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153

9.4 Type 2 : intersection d’une areˆte re´elle et d’une areˆte virtuelle.: : : : : 153

9.5 Type 3 : intersection de deux areˆtes virtuelles dues au meˆme obstacle. : 154

9.6 Type 4 : intersection de deux areˆtes virtuelles provenant de deux obs-tacles diffe´rents. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 155

9.7 La radiosite´ et la norme du gradient en pre´sence d’obstacles. : : : : : 158

9.8 Les deux composantes du gradient en pre´sence d’obstacles. : : : : : : 158

9.9 Lorsque l’obstacle se situe plus pre`s de la source. : : : : : : : : : : : 158

9.10 Les deux composantes du gradient en pre´sence d’obstacles. : : : : : : 159

10.1 Une sce`ne de tests pour un e´metteur sur lequel la radiosite´ n’est pas constante. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167

10.2 La radiosite´ due a` cet e´metteur.: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167

Liste des tableaux

3.1 Description des cinq sce`nes de test. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

3.2 L’importance de l’e´tape initiale dans le temps de calcul total (en se-condes). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42

3.3 Temps ne´cessaire pour dix ite´rations (et temps ne´cessaire pour produire la premie`re image).: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

7.1 Tests de nos crite`res de raffinement. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109

7.2 Diffe´rence locale de l’e´nergie pour les algorithmes de raffinement. : : 112

7.3 Mesure de l’e´nergie totale pour nos crite`res de raffinement. : : : : : : 113

7.4 Nombre de facettes produits par les crite`res de raffinement en pre´sence d’obstacles. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 123

7.5 Diffe´rence locale de l’e´nergie en situation de visibilite´ partielle. : : : : 124

7.6 Mesure de l’e´nergie totale en pre´sence d’obstacles. : : : : : : : : : : 124

8.1 Temps de calcul compare´s des ope´rateurs utilise´s. : : : : : : : : : : : 139

8.2 Couˆts compare´s du gradient et de la radiosite´ (nombre d’additions e´qui-valent). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

8.3 Couˆts compare´s du Hessien et de la radiosite´ (nombre d’additions e´qui-valent). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145

Remerciements

J

pre´-sider ce jury. Ma gratitude va e´galement a` M. Didier Arque`s et M. Frederik Jan-sen, qui ont accepte´ d’eˆtre les rapporteurs de cette the`se, et qui ont accompli ce travail dans des de´lais tre`s courts, malgre´ leur emploi du temps charge´. Je remercie e´ga-lement M. Bernard Pe´roche qui a bien voulu faire partie de ce jury de the`se et dont j’ai appre´cie´ a` diverses reprises le contact stimulant.

Tout au long de mes recherches, Claude Puech a montre´ une e´tonnante capacite´ d’analyse rapide et de critique constructive de mes orientations de travail : ses conseils ont toujours e´te´ d’une pertinence et d’une acuite´ extreˆmes, montrant sa comple`te com-pre´hension du sujet, de ses inte´reˆts et de ses points faibles. Sa connaissance des arcanes de l’enseignement supe´rieur a e´te´ pre´cieuse pour le financement de cette the`se. Pour tout cela, je le remercie.

Franc¸ois Sillion a e´te´ pour moi a` la fois un directeur de recherches et un exemple de rigueur intellectuelle. Je tiens a` le remercier pour ses conseils, qui m’ont e´vite´ de me disperser au cours de la the`se, et pour sa disponibilite´ constante, malgre´ un emploi du temps familial et professionnel charge´. Sa grande expe´rience, dans le domaine de l’informatique comme dans celui des sciences physiques, lui a permis de nombreuses fois de re´soudre d’un mot un proble`me qui m’avait occupe´ pendant des heures.

Depuis son arrive´e dans l’e´quipe iMAGIS, George Drettakis a assure´, lors de nom-breuses discussions constructives, un roˆle de conseil a` la fois efficace et stimulant. J’ai notamment appre´cie´ son e´tonnante capacite´ a` repe´rer une piste de recherches promet-teuse au sein d’une explication e´ventuellement embrouille´e, et sa parfaite connaissance de tout ce qui concerne la mode´lisation de l’e´clairage.

Une partie de ce travail a e´te´ de´clenche´e par les conversations que j’ai pu avoir lors de mon se´jour au Fraunhofer Institut de Darmstadt avec Stefan Mu¨ller et les membres de son e´quipe : Wolfram Kresse, Dirk Reiners, Mathias Unbescheiden et Colette El Ca-cho. Je les remercie ici pour m’avoir donne´ une vision plus claire des besoins en matie`re d’utilisation industrielle des me´thodes de mode´lisation de l’e´clairage.

La rare qualite´ de l’ambiance qui re`gne au sein de l’e´quipe iMAGIS, les e´changes permanents entre les membres de l’e´quipe, et la solidarite´ manifeste ont e´te´ pre´cieuses tout au long des anne´es. Outre un soutien moral constant et appre´cie´, ils m’ont permis de connaıˆtre les algorithmes utilise´s dans le graphisme et l’image de synthe`se. Si je n’ai pas utilise´ de surfaces implicites, ce n’est pas faute d’avoir essaye´ !

Plus particulie`rement, je remercie Dominique Gascuel pour son encadrement et ses conseils en matie`re de gestion du syste`me ; Alexis Lamouret pour son amical voisinage

depuis le DEA ; Fre´de´ric Durand pour sa constante disponibilite´, sa gentillesse, son hu-mour et pour les naˆns au fromage ; Mathieu Desbrun sans la ge´ne´rosite´ et la disponibi-lite´ de qui l’ambiance au sein de l’e´quipe ne serait pas ce qu’elle est ; et Franc¸ois Faure pour son amitie´.

Je tiens a` rendre hommage a` mes anciens maıˆtres, Andre´ Warusfel, Jean-Pierre Sar-mant et Andre´ Jacquelin, pour m’avoir communique´, outre la connaissance de leur ma-tie`re, des exemples a` la fois de rigueur et d’enthousiasme. Cet enthousiasme pour l’en-seignement et la recherche m’a influence´ durablement, notamment dans mes choix au cours de mes e´tudes.

Ma gratitude va aussi a` tous ceux qui m’ont soutenu de leur amitie´ et aide´ depuis de nombreuses anne´es : Jacques Garrigue (ETA), Erwan David (Carlos), Loı¨c Grenie´ (Sur-jector), Marc Herzlich, Alain Gounon et Karim Belabas (KB), E´ tienne de la Vaissie`re, Olivia Mailly, Pascale Brillet et Marie-Catherine Olivi. Depuis notre installation a` Gre-noble, j’ai beaucoup appre´cie´ le soutien, l’amicale pre´sence et la solidarite´ de Mathias Houssay, de Mathieu Savin et Marie-Laure Leroy, de Se´bastien Bornot et des moniteurs du CIES.

Je veux remercier tous ceux qui ont e´te´ mes e´tudiants au cours des quatre dernie`res anne´es, et qui ont supporte´ avec patience et humour les maladresses et les distractions d’un de´butant. Tous, a` E´ vry, a` Marne-la-Valle´e et a` Grenoble, ils m’ont e´norme´ment apporte´, et mon seul regret est de ne pouvoir les remercier tous ici nomme´ment.

Ce que j’ai appris et rec¸u d’Antoine Chambert-Loir est immense. Outre son en-thousiasme pour toutes choses, ses qualite´s humaines et son immense culture pluri-disciplinaire, je n’oublie pas sa disponibilite´ et ses conseils, directs et pertinents. Sur-tout, c’est lui qui m’a enseigne´ la grande valeur de l’amitie´.

Christophe «Plume» Bonnet est un des dernier spe´cimens d’humaniste qu’il m’ait e´te´ donne´ de rencontrer. Sa maıˆtrise parfaite des subtilite´s de la langue franc¸aise, allie´e a` une connaissance de la science informatique et de tous ses raffinements m’ont toujours impressionne´. Mais ce que je retiens surtout de lui, c’est sa capacite´ a` deviner a` l’avance les endroits ou` l’on a besoin d’aide, et a` apporter un soutien discret autant qu’efficace, et la force de son amitie´.

Ce travail doit beaucoup a` mes parents, que je veux remercier ici pour tout leur soutien affectif, pour la liberte´ de choix qu’ils m’ont laisse´ au cours de mes e´tudes et pour l’exemple qu’ils repre´sentent pour moi. Je n’oublie pas non plus tout ce que je dois au soutien fraternel et a` la bonne humeur constante d’Elisabeth, de Claire et de Marie-Laure.

Et puis... et puis il y a celle dont je ne parlerai pas parce que c’est personnel, celle qui a pourtant tout fait dans ce travail de recherche, celle qui a partage´ tous les instants de ma the`se, et qui a fait bien plus encore : Myriam.

1.

Introduction

Toute la conduite de notre vie de´pend de nos sens, entre lesquels celui de la vue e´tant le plus universel et le plus noble, il n’y a point de doute que les inventions qui servent a` augmenter sa puissance ne soient des plus utiles qui puissent eˆtre.

Rene´ DESCARTES, La Dioptrique, 1637.

D

Descartes avait en vue les inventions re´centes de son temps, notamment les lunettes d’approche.

L’ide´e meˆme de pouvoir calculer artificiellement l’image d’une sce`ne donne´e a` par-tir d’une mode´lisation des proprie´te´s ge´ome´triques lui e´tait totalement e´trange`re. Ce-pendant, ce meˆme discours premier contient de´ja` une mode´lisation de proprie´te´s de re´-flectivite´ des corps, a` la fois pour les re´flecteurs «polis» – nous disons aujourd’hui spe´-culaires – que pour «les corps qui sont colore´s et non polis », ceux que nous appelons aujourd’hui lambertiens.

Mais si la mode´lisation des proprie´te´s de la lumie`re et des corps re´fle´chissants peut eˆtre remonte´e aussi loin que leXVIIesie`cle, l’utilisation effective de ces meˆme

proprie´-te´s est plus re´cente. En 1936, Moon et Parry [30] calculent l’intensite´ de l’e´clairage en diffe´rents points d’une pie`ce, pour ve´rifier s’il est possible d’y travailler dans de bonnes conditions.

Plus proche de nous, l’utilisation de logiciels de trace´s d’ombres, par des urbanistes dans un but de planification des constructions en milieu urbain commence au de´but des anne´es 70, avec l’algorithme scan-line (voir Appel, 1968 [1]), l’anceˆtre du lancer de rayons. La recherche suivie dans le domaine de la synthe`se d’image depuis cette date a permis dans un premier temps d’augmenter la qualite´ visuelle des images produites. Ce n’est que plus re´cemment, avec les travaux de Goral, Torrance et Greenberg, en 1984 [15], qu’apparaıˆt la recherche du re´alisme physique, la pre´cision dans la mode´-lisation des proprie´te´s physiques de la lumie`re.

Les applications industrielles de la synthe`se d’images se de´veloppent a` mesure que les de´veloppements de la recherche rendent la technique accessible. Par exemple, le Fraunhofer Institut de Darmstadt est charge´ de mode´liser le futur ae´roport de Francfort avant sa construction, pour permettre au maıˆtre d’œuvre de ve´rifier visuellement les tra-vaux des architectes, et notamment le confort – en termes d’e´clairage – des postes de travail. De la meˆme manie`re, il est courant pour les compagnies de radiote´le´phone de

mode´liser la diffusion des ondes du radiote´le´phone en milieu urbain, afin de pouvoir minimiser le nombre de points de re´e´mission. Dans de telles applications industrielles, il est important de pouvoir controˆler l’erreur commise au cours du processus de simu-lation et de mode´lisation de la lumie`re.

La me´thode de radiosite´, parce qu’elle mode´lise des interactions entre e´le´ments de surfaces au lieu d’effectuer des calculs ponctuellement rend possible une mode´lisation globale de l’ensemble des interactions, et donc un controˆle de l’erreur sur ces inter-actions. La complexite´ quadratique de la me´thode de radiosite´ originale rend un tel controˆle tre`s couˆteux, et donc impossible en pratique. En revanche, la me´thode de radio-site´ hie´rarchique, due a` Hanrahan ([16, 17]), et dont la complexite´ est line´aire par rap-port au nombre d’interactions, rend possible un controˆle de l’erreur commise au cours du processus de simulation de l’e´clairage.

Ce controˆle de l’erreur passe par une mode´lisation pre´cise des interactions entre les objets composant la sce`ne. Cette mode´lisation des interactions avec calcul de l’er-reur commise est l’un des de´fis les plus stimulants pour la recherche dans les anne´es a` venir. Des travaux ante´rieurs ont montre´ qu’un controˆle pre´cis de l’erreur commise, parce qu’il permet d’e´conomiser les ressources syste`me, en concentrant les calculs sur les points vraiment de´licats, aboutit sur des sce`nes complexes a` un gain de temps no-table (voir Lischinski et al., [26]).

Le controˆle de l’erreur au cours de la simulation de l’e´clairage passe par un controˆle de l’erreur commise sur chaque interaction. Ce controˆle ne peut se faire uniquement a` partir des valeurs de la radiosite´ que l’on sait, par ailleurs, calculer avec pre´cision en chaque point. La connaissance des de´rive´es successives de la radiosite´ est un outil fondamental pour le controˆle de l’erreur.

Nous verrons d’abord en quoi la me´thode de radiosite´, et en particulier la me´thode de radiosite´ hie´rarchique se distingue des autres algorithmes de synthe`se d’images. Les diffe´rentes e´volutions de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique depuis son introduction en 1990 seront e´galement e´tudie´es.

Une analyse comple`te de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique fera l’objet du cha-pitre 3. Elle re´ve´lera quelques points faibles et donnera deux ame´liorations de cet al-gorithme permettant de re´duire conside´rablement les temps de calcul sans diminuer la pre´cision de l’algorithme.

Nous verrons ensuite, au chapitre 4, comment la notion de de´rive´e s’e´tend aux fonc-tions de plusieurs variables, telles que la radiosite´. Les ope´rateurs de de´rivation for-melle permettent une reformulation de l’expression de la radiosite´ qui facilite un calcul approche´ quelle que soit l’expression de la radiosite´ sur l’e´metteur. Nous verrons aussi qu’il est possible de calculer de fac¸on approche´e les de´rive´es successives de la radiosite´ quelle que soit la radiosite´ sur l’e´metteur.

Cependant, la connaissance de quantite´s de´finies ponctuellement (locales) ne per-met de de´duire des informations valables sur toute une surface (globales) qu’en pre´-sence d’informations supple´mentaires sur la fonction e´tudie´e. Les informations ne´ces-saires au controˆle de l’erreur en radiosite´ seront introduites au chapitre 5.

L’e´tude de l’erreur dans les algorithmes de radiosite´, a` la fois a posteriori et au cours des calculs sera l’objet de notre chapitre 6.

C’est a` l’aide des informations fournies au chapitre 5 et des me´thodes de´finies au chapitre 6 qu’il est possible de construire un crite`re de raffinement base´ sur un controˆle de l’erreur commise sur chaque interaction. Ce crite`re et son inte´gration dans un algo-rithme de radiosite´ hie´rarchique sera l’objet de notre chapitre 7.

Ce crite`re de raffinement repose sur un calcul pre´cis des de´rive´es successives de la radiosite´. Ce calcul, en raison du caracte`re plus technique des me´thodes utilise´es, a e´te´ place´ en fin d’ouvrage. Il sera l’objet des chapitres 8, 9 et 10. Nous verrons d’abord le cas d’un e´metteur sur lequel la radiosite´ est constante, en l’absence d’obstacles, avec calcul de la de´rive´e et de la de´rive´e seconde et imple´mentation, puis nous verrons la pre´sence d’obstacles, avec calcul et imple´mentation de la de´rive´e, et calcul de la de´rive´e seconde, et enfin l’extension a` un e´metteur sur lequel la radiosite´ n’est pas constante, avec cependant un controˆle de l’erreur commise sur l’approximation.

Premie`re partie

E

´ tude de la me´thode de radiosite´

2.

La me´thode de radiosite´ hie´rarchique

Et il me suffit ici de vous avertir que les rayons, qui tombent sur les corps qui sont colore´s et non polis, se re´fle´chissent ordinairement de tous coˆte´s, encore meˆme qu’ils ne viennent que d’un seul coˆte´ (...)

Rene´ DESCARTES, La Dioptrique, 1637.

A

un objet en repartent habituellement dans toutes les directions. Aussi l’e´clai-rement d’un point d’un objet influence t-il l’e´clail’e´clai-rement de tous les objets qui sont visibles de ce point.

Pour quantifier pre´cise´ment cette influence, il est utile d’avoir recours a` un bilan e´nerge´tique.

2.1

L’e´quation de l’e´clairage global

En the´orie, tout point de l’espace peut e´mettre de l’e´nergie lumineuse, soit en lui-meˆme – c’est le cas par exemple d’une flamme de bougie – soit sous l’excitation d’un autre e´metteur – c’est le cas d’un gaz phosphorescent ou d’une surface re´fle´chissante. L’e´nergie e´mise en un point est e´gale a` la somme de l’e´nergie e´mise par ce point en propre et a` l’e´nergie e´mise en ce point sous l’excitation de l’e´nergie rec¸ue.

Si l’on suppose que le milieu n’a pas d’influence sur les transferts d’e´nergie, et si l’on suppose en outre que les seuls transferts d’e´nergie en jeu concernent l’e´nergie lu-mineuse (en excluant, par exemple les transformations d’e´nergie lulu-mineuse en e´nergie cine´tique1ou vice-versa) le proble`me subit une premie`re simplification : les seuls e´met-teurs d’e´nergie sont les surfaces des objets ge´ome´triques pre´sents dans la sce`ne.

Pour mode´liser l’image perc¸ue par l’œil, il faut connaıˆtre l’e´nergie e´mise par les sur-faces visibles de l’œil. L’e´nergie e´mise par ces sursur-faces de´pend e´videmment de l’e´ner-gie qu’elles ont rec¸u.

Une quantite´ plus aise´e a` manipuler que l’e´nergie est la luminance, de´finie comme l’e´nergie e´mise dans une certaine direction, par unite´ de temps, par unite´ de surface perpendiculaire a` la direction de propagation, par unite´ d’angle solide.

1:La transformation d’e´nergie lumineuse en e´nergie cine´tique peut se produire dans un radiome`tre.

La transformation inverse peut se produire, par exemple, lorsque les freins d’une voiture sont chauffe´s a` blanc.

Une proprie´te´ utile de la luminance est que la luminance quittant un point x en di-rection d’un point y, L(x;y)est e´gale a` la luminance arrivant au point y venant du point

x.

Par ailleurs, la plupart des re´cepteurs, tels que l’œil humain ou les appareils pho-tographiques sont sensibles a` la luminance et non a` l’e´nergie. La connaissance de la luminance en chacun des points des surfaces de la sce`ne visibles de l’œil est donc suf-fisante pour obtenir une image.

Dans le cas le plus ge´ne´ral, l’e´quilibre e´nerge´tique permet d’exprimer la luminance quittant le point x dans la direction(θ0;ϕ0)comme :

L(x;θ0;ϕ0)=Le(x;θ0;ϕ0)+ Z

Ωρbd

(x;θ0;ϕ0;θ;ϕ)Li(x;θ;ϕ)cosθdω

(2.1) – L(x;θ0;ϕ0) est la luminance quittant le point x dans la direction de´finie par

l’angle (en coordonne´es sphe´riques)(θ0;ϕ0);

– Le(x;θ0;ϕ0)est la luminance e´mise par le point x dans la meˆme direction. C’est

une proprie´te´ de la surface qui porte le point x ;

– Ωest l’ensemble des directions(θ;ϕ)possibles (la sphe`re),

– Li(x;θ;ϕ)est la luminance qui arrive au point x depuis la direction(θ;ϕ);

– Li(x;θ;ϕ)cosθdωest le flux incident e´le´mentaire au point x, provenant de la

di-rection(θ;ϕ). C’est la puissance par unite´ de surface qui arrive au point x en

pro-venant de l’angle solide e´le´mentaire dωcentre´ autour de la direction(θ;ϕ);

– ρbd(x;θ0;ϕ0;θ;ϕ)est la fonction de re´flectance bi-directionnelle au point x. C’est

– par de´finition – le rapport de la luminance re´fle´chie dans la direction(θ0;ϕ0)

et du flux incident e´le´mentaire dans la direction(θ;ϕ);

– dωest l’angle solide e´le´mentaire autour de la direction(θ;ϕ).

La re´flectance bi-directionnelle est une quantite´ physique d’unite´ sr,1

, qui peut va-rier de ze´ro a` l’infini. Une quantite´ plus intuitive est la re´flectance directionnelle, un nombre sans dimension compris entre 0 et 1, qui repre´sente la fraction du flux incident suivant une direction qui repart (dans toutes les directions). La re´flectance direction-nelle est de´finie par :

ρd(x;θ;ϕ)= Z

Ωρbd

(x;θ0;ϕ0;θ;ϕ)cosθ0dω0 (2.2)

L’e´quation 2.1 est une e´quation inte´grale. La fonction a` calculer L apparaıˆt sous le signe d’inte´gration dans le terme de droite, aussi bien que dans le terme de gauche. Dans les cas les plus ge´ne´raux, les e´quations de ce type n’ont pas de solution analytique, et l’on doit se rabattre sur des approximations nume´riques.

2.2

Re´solution formelle

Toutefois, on peut re´soudre formellement l’e´quation 2.1 en introduisant un ope´ra-teur

R

(

R

Ωρbd

(x;θ0;ϕ0;θ;ϕ)Li(x;θ;ϕ)cosθdω (2.3)

L’ope´rateur

R

L’e´quation 2.1 s’e´crit alors sous forme simplifie´e :

L=Le+

R

Ce qui peut se re´soudre, formellement :

(I,

R

L=(I,

R

Le Et en utilisant une se´rie de Neumann :

L=

+∞

∑

n=0

R

Cette re´solution formelle a un sens physique : l’ope´rateur

R

Ainsi,

R

e=Leest la luminance e´mise en propre.

R

1_L

e=

R

qui a e´te´ re´fle´chie une fois par ces surfaces,

R

ela luminance re´fle´chie deux fois, et ainsi de suite. La luminance e´mise au total est e´gale a` la luminance e´mise en propre plus la luminance re´fle´chie un fois, plus la luminance re´fle´chie deux fois, et ainsi de suite.

2.3

Premie`re re´solution nume´rique : le lancer de rayons

La formalisation de l’e´quation 2.1 date de 1986, et a e´te´ faite par James Kajiya [25]. Bien avant cette mise en e´quation du proble`me global, de`s 1980 en fait (voir Whit-ted [47]), les chercheurs et les industriels utilisaient une me´thode de re´solution appro-che´e du proble`me de l’e´clairage, le lancer de rayons.

La simplification apporte´e est simple : on suppose que tous les objets pre´sents dans la sce`ne sont des re´flecteurs parfaits au sens de Descartes, c’est-a`-dire qu’un rayon lu-mineux frappant une surface en faisant un angleθiavec la normale a` cette surface repart en faisant un angleθr=θi(voir figure 2.1).

Le calcul de l’image de synthe`se se fait alors en suivant tous les rayons lumineux dans leur trajet de la source lumineuse jusqu’a` l’œil. Les re´sultats peuvent eˆtre spectacu-laires et utiles. Cependant, dans certaines applications, le lancer de rayons est victime de la supposition de de´part : tre`s peu de surfaces sont des re´flecteurs spe´culaires par-faits au sens de la loi de Descartes. Il peut en re´sulter des effets spe´ciaux inde´sirables. D’autre part, le lancer de rayons est une me´thode de re´solution ponctuelle, donnant des informations ponctuelles. On n’a pas de controˆle sur l’exactitude des valeurs calcule´es.

rayon

incident _réfléchirayon

n

θi θr

FIG. 2.1 – Loi de re´flexion de Descartes : surfaces spe´culaires.

2.4

Autre simplification : la radiosite´

La me´thode de radiosite´, de´finie en 1984 par Goral et al. [15], introduit une autre simplification pour re´soudre l’e´quation 2.1 : on fait l’hypothe`se que toutes les surfaces intervenant dans la sce`ne sont des surfaces diffuses. C’est-a`-dire qu’un rayon frappant une surface est re´fle´chie de fac¸on uniforme dans toutes les directions (voir figure 2.2).

rayon incident

FIG. 2.2 – Loi de re´flexion de Lambert : surfaces diffuses.

La re´flectance bi-directionnelle est par de´finition inde´pendante des directions inci-dentes et re´fle´chies :

ρbd(x;θ0;ϕ0;θ;ϕ)ρbd(x)

La valeur de la re´flectance directionnelle que nous avons introduit plus haut (e´qua-tion 2.2) est ainsi :

ρd(x)=ρbd(x) Z

Ωcosθ0dω0

Cette re´flectance repre´sente la portion de l’e´nergie arrivant en x suivant une direction donne´e qui est renvoye´e dans toutes les directions.

Comme la surface est suppose´e diffuse, la luminance ne de´pend e´galement que de la position du point et non des directions :

L(x;θ;ϕ)L(x)

On introduit la radiosite´ B(x), qui est la puissance en un point, par unite´ de surface ;

c’est-a`-dire l’inte´grale de la luminance sur toutes les directions :

B(x)= Z ΩL (x;θ;ϕ)cosθdω La radiosite´ se simplifie : B(x) = L(x) Z Ωcosθdω = L(x) Z π 0 Z 2π 0 cosθsinθdθdϕ = πL(x) (2.6)

En reportant B(x)etρddans l’e´quation 2.1 :

1 πB(x)= 1 πE(x)+ 1 πρd(x) Z ΩLi (x;θ;ϕ)cosθdω (2.7)

E(x)est l’exitance, ou la puissance par unite´ de surface e´mise au point x. En multipliant

l’e´quation 2.7 parπ: B(x)=E(x)+ρd(x) Z ΩLi (x;θ;ϕ)cosθdω (2.8) Si on pose : H(x)= Z ΩLi (x;θ;ϕ)cosθdω (2.9) on a : B(x)=E(x)+ρd(x)H(x) (2.10)

C’est-a`-dire que la radiosite´ e´mise au point x est e´gale a` la radiosite´ e´mise en propre par le point x et au produit de la re´flectance au point x par le flux incident au point x venant de toutes les directions possibles.

Cette inte´grale sur toutes les directions possibles de´pend en fait de la radiosite´ en tous les points visibles de x. Cette de´pendance n’est pas explicite dans l’e´criture de H(x)

dans l’e´quation 2.9. Pour l’expliciter, il suffit de transformer l’inte´grale sur les direc-tions en une inte´grale sur les surfaces.

Si un point y est visible du point x dans la direction(θ;ϕ), alors x est aussi visible

de y, dans une direction(θ 0

;ϕ 0

). Or la luminance quittant le point y en direction de x est

e´gale a` la luminance arrivant au point x en provenance de la direction de y.

Li(x;θ;ϕ)=L(y;θ 0

;ϕ 0

Comme le point y se trouve sur une surface e´galement diffuse : L(y;θ 0 ;ϕ 0 )= B(y) π

L’e´quation 2.8 peut ainsi eˆtre transforme´e en une inte´gration sur des surfaces, en expli-citant l’angle solide e´le´mentaire :

dω=

cosθ0

dy r2

et en prenant pour domaine d’inte´gration l’ensemble des surfaces qui sont visibles de

x. Pour simplifier le domaine d’inte´gration, il est e´quivalent d’introduire une fonction

de visibilite´ V(x;y), qui vaut 1 si x et y sont visibles l’un de l’autre, et 0 sinon. Auquel

cas, B(x)=E(x)+ρd(x) Z y2S B(y) cosθcosθ0 πr2 V(x;y)dy (2.11)

ou` S est l’ensemble des surfaces composant la sce`ne.

De meˆme que pour

R

H

B(x)=E(x)+ρd(x)(

H

H

2.5

Discre´tisation et premie`re re´solution

L’e´quation 2.11 est impossible a` re´soudre dans le cas ge´ne´ral2. La me´thode la plus classique de re´solution, introduite par Goral et al. en 1984 [15] passe par une discre´tisa-tion de l’environnement. On de´compose la sce`ne S en facettes(Pi)

i2[1;N], sur lesquelles

on suppose les parame`tres du proble`me constants.

On note Ail’aire de la facette Pi, et l’on discre´tise une valeur X(x)en prenant sa

valeur moyenne Xisur la facette Pi:

Xi= 1 Ai Z x2Pi X(x)

L’e´quation continue 2.11 se discre´tise alors en :

Bi=Ei+ρi N

∑

Si l’on note Fi j l’expression de l’inte´grale, qui ne de´pend que de la ge´ome´trie des fa-cettes Piet Pj, on a : Bi=Ei+ρi N

∑

2:En fait, meˆme des cas tre`s simples, tels que deux objets plans de largeur finie, se touchant suivant

Fi j= 1 Ai Z x2Pi Z y2Pj cosθcosθ0 πr2 V(x;y)dy (2.15)

Fi j, que l’on appelle le facteur de forme entre les facettes Piet Pj, repre´sente la propor-tion de la puissance quittant la facette Piqui atteint la facette Pj.

Si l’on note B=[Bi]le vecteur forme´ de toutes les radiosite´s des facettes cre´e´es

lors de la discre´tisation, et de meˆme E=[Ei]le vecteur des exitances, et si l’on note

M=[Fi j]la matrice des facteurs de forme, l’e´quation discre´tise´e 2.14 s’e´crit :

B=E+MB

On peut re´soudre cette e´quation :

(I,M)B=E B=(I,M) ,1 E B= +∞

∑

La solution du proble`me discre´tise´ revient donc a` calculer la somme des MiE. Le calcul d’un seul coefficient de M ne´cessite une estimation de la visibilite´ entre deux facettes. Cette ope´ration ne peut se faire qu’en temps au moins logarithmique en moyenne, O(logm), et line´aire dans le cas le pire, O(m), ou` m est le nombre

d’obs-tacles dans la sce`ne. Le seul calcul de M est donc une e´tape en O(N

2_{log m}

)en moyenne,

O(N

2_m

)dans le cas le pire. Apre`s quoi l’on re´sout le syste`me en calculant les ite´re´es

successives de E par M. Chaque ite´ration couˆte O(N

2

).

Comme dans la re´solution the´orique (section 2.2), chaque ite´ration repre´sente une re´flexion de la lumie`re sur les surfaces composant la sce`ne : la premie`re ite´ration repre´-sente la lumie`re re´fle´chie une fois, la deuxie`me ite´ration la lumie`re qui a e´te´ re´fle´chie deux fois, et ainsi de suite. La convergence de la me´thode de radiosite´ classique provient du fait que toutes les re´flectances sont plus petites que un, car il n’y a pas de cre´ation d’e´nergie au moment de la re´flexion, donc que la radiosite´ diminue a` chaque re´flexion. On peut e´viter de calculer toute la matrice M lors de la re´solution. La plupart des algorithmes de radiosite´ se contentent d’en calculer une ligne ou une colonne a` la fois et de l’utiliser, soit pour propager la radiosite´ au de´part d’une facette, soit pour rassembler la radiosite´ rec¸ue par une facette (voir figure 2.3).

L’utilisation d’une ligne de la matrice correspond a` rassembler sur une facette toute la radiosite´ qu’elle rec¸oit des autres facettes de la sce`ne, tandis que l’utilisation d’une colonne e´quivaut a` tirer la radiosite´ de la facette correspondante en direction de toutes les autres facettes de la sce`ne. Si l’on trie les facettes en fonction de leur radiosite´ et que l’on tire les plus brillantes d’abord, l’algorithme converge bien plus rapidement (voir Cohen, 1988 [6]).

2.6

Radiosite´ hie´rarchique

2.6.1 Principes

L’un des proble`mes de la discre´tisation de´crite dans 2.5 est que l’on a de´compose´ chaque objet a` un seul niveau de de´tail, inde´pendamment de sa position par rapport a` d’autres objets.

2 6 6 6 4 X X .. . X 3 7 7 7 5 = 2 6 6 6 4 X X .. . X 3 7 7 7 5 2 6 6 4 X 3 7 7 5 2 6 6 4 X 3 7 7 5 = 2 6 6 4 XX :::XX 3 7 7 5 2 6 6 6 4 X X .. . X 3 7 7 7 5

FIG. 2.3 – Utilisation d’une ligne ou d’une colonne de M.

Supposons que nous nous inte´ressions a` la valeur de la radiosite´ en un point x. Nous avons vu plus haut que cette radiosite´ e´tait l’inte´grale, pour toutes les surfaces visibles de ce point, de leur luminance, multiplie´e par l’angle solide sous lequel elles sont vi-sibles de x. Ce qui nous inte´resse est une estimation de cette inte´grale, base´e sur une discre´tisation des surfaces visibles. On comprend que plus une surface est proche du point x, plus il sera utile de l’avoir discre´tise´e finement. Inversement, plus un objet est e´loigne´ et plus on peut se permettre une discre´tisation grossie`re. Si le niveau de dis-cre´tisation d’une surface est inde´pendant de l’objet avec lequel elle interagit, on court le risque, soit de manquer de pre´cision en certains points, soit d’effectuer des calculs inutiles en d’autres.

FIG. 2.4 – Radiosite´ hie´rarchique : chaque objet est de´compose´ en une hie´rarchie de

La me´thode de radiosite´ hie´rarchique, introduite par Patrick Hanrahan en 1990 [16], discre´tise les objets de fac¸on hie´rarchique. Chaque surface ge´ome´trique de la sce`ne donne´e en entre´e est de´compose´e en une hie´rarchie de facettes (voir figure 2.4).

FIG. 2.5 – Radiosite´ hie´rarchique : les interactions entre les objets.

L’interaction entre deux surfaces est mode´lise´e par des liens entre les diffe´rentes facettes qui composent ces surfaces (voir figure 2.5). Ainsi, l’interaction entre deux fa-cettes est-elle mode´lisable a` diffe´rents niveaux de pre´cision.

Comme la discre´tisation du proble`me et la me´thode de re´solution sont aussi des sources d’erreurs, il n’est pas ne´cessaire de mode´liser l’interaction entre objets au-dela` de la pre´cision minimale des autres parties de l’algorithme.

2.6.2 Structures de donne´es

Au de´part, l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique ne connaıˆt de la sce`ne que sa de´fi-nition ge´ome´trique. Ainsi, un plancher de 5 me`tres sur 5 est initialement donne´ comme un seul objet. Au cours de la re´solution ite´rative, chaque objet ge´ome´trique porte une hie´rarchie de facettes, chaque facette ayant une radiosite´ distincte. Cette hie´rarchie est organise´e sous la forme d’un arbre : la racine de l’arbre porte l’objet ge´ome´trique de base ; chacun des nœuds de l’arbre porte a` la fois une partie de cet objet, la radiosite´ estime´e pour cette partie, et la liste des interactions de cette facette avec le reste de la sce`ne.

Les interactions sont stocke´es sous forme de liens : chaque lien relie deux facettes, une facette source et une facette destination, et contient une estimation du facteur de forme de la facette destination vers la facette source. En vertu du principe du retour inverse de la lumie`re, s’il existe un lien de la facette p vers la facette q, il existe ne´ces-sairement un autre lien de la facette q vers la facette p.

2.6.3 Algorithme

L’algorithme ge´ne´ral est simple :

1. lors d’une e´tape de pre´-traitement, on examine la situation de visibilite´ de tous les couples d’objets ge´ome´triques, et on e´tablit un lien entre les racines des arbres de ces objets de`s qu’ils ne sont pas mutuellement invisibles ;

2. a` chaque e´tape du calcul, on examine tous les liens de la sce`ne, et l’on raffine ceux d’entre eux qui ne satisfont pas un certain crite`re de pre´cision ;

3. puis l’on propage l’e´nergie le long des liens e´tablis ;

4. enfin, pour chaque arbre, on propage l’e´nergie rec¸ue aux diffe´rents niveaux dans la hie´rarchie afin d’uniformiser la repre´sentation.

La dernie`re e´tape ne´cessite une explication : si chaque nœud de l’arbre porte une esti-mation de la radiosite´ moyenne pour sa facette, des interactions porte´es par les nœuds ascendants ou descendants influencent e´galement la radiosite´ du nœud. C’est cette in-fluence qu’il faut estimer pour que la radiosite´ porte´e par le nœud soit vraiment une moyenne. Toute la radiosite´ rec¸ue par le nœud « pe`re » lors de l’e´tape de propagation est passe´e a` ses «fils», tandis que le «pe`re» rec¸oit la moyenne de la radiosite´ rec¸ue par ses «fils ».

Cette propagation de l’information se fait par un parcours en profondeur d’abord de chacun des arbres concerne´s.

Par ailleurs, la propagation de l’e´nergie dans la sce`ne (e´tapes 3 et 4) le long des liens correspond a` une multiplication du vecteur des radiosite´s B par la matrice M, qui est ajoute´e a` la valeur ancienne de B. La valeur de B a` l’e´tape k est donc :

Bk=

k

∑

i=0

MiB0

Si B0est le vecteur des e´mittances E, on voit que la me´thode de radiosite´ hie´rarchique

converge vers la solution :

B=(I,M) ,1 E= +∞

∑

L’un des avantages de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique est qu’il raffine les objets au fur et a` mesure de la re´solution, en fonction de la pre´cision ne´cessaire. Toute la difficulte´ est dans l’estimation de la pre´cision actuelle de la mode´lisation, afin de prendre la de´cision de raffiner ou non l’interaction.

– Le premier algorithme, propose´ par Hanrahan en 1990 [16], partait de la consta-tation que les diffe´rentes me´thodes d’estimation du facteur de forme e´taient pre´-cises dans les cas ou` les objets e´taient de taille petite devant leur distance. Autre-ment dit, dans les cas ou` l’angle solide sous-tendant la surface e´tait petit ou dans les cas ou` le facteur de forme lui-meˆme e´tait petit. L’oracle de raffinement e´tait alors un test sur l’estimation du facteur de forme par rapport a` un certainεF;

– Le proble`me de cet oracle est qu’on peut raffiner fortement une interaction qui n’aura pas d’influence sur l’e´clairage de la sce`ne, par exemple une interaction entre deux surfaces peu e´claire´es. D’ou` l’ide´e d’un deuxie`me oracle, propose´ par Hanrahan en 1991 [17] : le raffinement est base´ sur la comparaison du produit de la radiosite´ et du facteur de forme avecεBF. C’est-a`-dire que l’on raffine une interaction seulement si l’impre´cision sur la radiosite´ qu’elle transporte de´passe un certain seuil ;

– Un troisie`me oracle de raffinement, introduit par Smits en 1992 [40], utilise le concept d’importance : l’importance Z est une quantite´ duale de la radiosite´, qui est solution d’une e´quation de transport duale de celle de la radiosite´.

B = E+MB

Z = R+

t_MZ

R est le vecteur des e´missions d’importance, dit aussi vecteur de re´ception. Ainsi, l’importance Zp d’une facette p correspond-elle a` l’influence qu’aura cette fa-cette sur les fafa-cettes qui e´mettent de l’importance (celles telles que Ri6=0). Un

cas particulier tre`s simple et tre`s efficace consiste a` prendre pour unique facette e´mettrice d’importance une facette place´e a` l’emplacement de l’œil ou de la ca-me´ra qui observe la sce`ne. Naturellement, l’importance n’est pas limite´e a` ce seul cas particulier (voir section 6.8.2).

2.6.5 Complexite´

La complexite´ de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique est un point important, et c’est la`-dessus que repose sa supe´riorite´ sur les autres algorithmes.

– E´ tant donne´ une sce`ne de m objets, le pre´-traitement ne´cessite l’e´tablissement de m(m,1)

2 relations. Chacune de ces relations ne´cessite un calcul de visibilite´,

donc on a une complexite´ de l’e´tape pre´liminaire en O(m

2_{log m} ), voire O(m 3 ) en temps et O(m 2 )en me´moire ;

– Lorsqu’on raffine une interaction, on remplace l’ancienne interaction par quatre interactions, d’une part, et on ajoute quatre nouvelles facettes d’autre part. Le nombre d’interactions est donc lie´ au nombre de facettes terminales, soit de feuilles dans la hie´rarchie, lequel est lie´ au nombre total de facettes, c’est-a`-dire de nœuds dans la hie´rarchie. Si N est le nombre total de facettes, le nombre d’in-teractions est donc O(N). La complexite´ d’une e´tape de raffinement et

propa-gation est ainsi O(N). Ce re´sultat est a` comparer avec la me´thode de radiosite´

classique, ou` la matrice des facteurs de forme contient N2coefficients. On a ici mode´lise´ une matrice N2par O(N)blocs ;

– La complexite´ globale de l’algorithme de´pend donc a` la fois de m et de N. Chaque e´tape de raffinement peut ne´cessiter un calcul de visibilite´ – lequel est en O(logm), voire O(m). La place me´moire est en O(m

2

+N). La relation entre

m et N de´pend de la ge´ome´trie de la sce`ne concerne´e. Si la sce`ne comprend de

nombreuses petites surfaces visibles les unes des autres, Nm, et la radiosite´

hie´rarchique n’a rien apporte´. Si la sce`ne comprend de grands polygones qu’il faut raffiner, Nm.

Ainsi, dans le pire des cas, la me´thode de radiosite´ hie´rarchique est en O(m

3

+Nm),

alors que la me´thode classique est en O(N

2_m

3.

Ame´liorations de l’algorithme original de

radiosite´ hie´rarchique, base´es sur

l’analyse

N

hie´rar-chique. Elle confirme que les tests de visibilite´ sont la partie la plus couˆteuse de l’algorithme. Par ailleurs analyser le comportement de l’algorithme per-met de construire deux ame´liorations sensibles. Une e´valuation «paresseuse» des liens entre les surfaces de haut niveau de´finissant la sce`ne e´limine la plus grande partie du travail de pre´-traitement ne´cessaire a` l’e´valuation de ces liens. Qui plus est, le nombre de liens ne´cessaires pour mode´liser l’interaction entre deux surfaces mutuellement vi-sibles peut eˆtre re´duit graˆce a` un nouvel oracle de raffinement. Les re´sultats expe´rimen-taux montrent que le travail d’e´tablissement des liens initiaux peut eˆtre largement e´vite´ et le nombre de liens substantiellement re´duit sans perte de qualite´ pour l’image pro-duite, et que ces modifications acce´le`rent sensiblement l’algorithme de radiosite´ hie´-rarchique.

3.1

Motivations

Pour e´tudier le comportement de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique, nous avons lance´ le programme de radiosite´ hie´rarchique original (de´crit par Hanrahan [16, 17]) sur un ensemble de cinq sce`nes d’inte´rieur, de complexite´ croissante (de 170 a` 2355 poly-gones initiaux). Ces sce`nes proviennent de diffe´rents programmes de recherche, et ont des aspects ge´ome´triques notablement diffe´rents. En les utilisant, nous voulons identi-fier des proprie´te´s ge´ne´rales des sce`nes d’inte´rieur, et e´viter ainsi le proble`me classique d’une ge´ne´ralisation abusive base´e sur l’e´tude d’une seule sce`ne ou d’un seul ensemble de sce`nes similaires.

Les sce`nes de test sont «Bureau», qui est la sce`ne originale utilise´e dans l’article de Hanrahan [17], «Salle a` manger » qui est la sce`ne no7 d’un ensemble de 10 sce`nes de re´fe´rence distribue´es par Peter Shirley pour le Fifth Eurographics Workshop on

Rende-ring, «Chercheur» et «Stagiaire» qui sont des sce`nes contenant des mode`les de bureaux

et de chaises le´ge`rement plus sophistique´s, et finalement «He´ve´a», qui contient un mo-de`le complexe d’arbre, et de nombreux proble`mes de visibilite´ mutuelle. Le tableau 3.1

1:Une partie de ce travail a fait l’objet d’une publication en anglais au Fifth Eurographics Workshop

TAB. 3.1 – Description des cinq sce`nes de test.

Nom n Description

Bureau 170 Un bureau

Salle a` manger 402 Une table et quatre chaises Chercheur 1006 Deux bureaux et six chaises Stagiaire 1647 Quatre bureaux et dix chaises He´ve´a 2355 Un he´ve´a et trois sources lumineuses

donne pour chaque sce`ne le nombre n de polygones initiaux et une bre`ve description. Voyez les figures 3.9, 3.13 et 3.14 pour un aperc¸u de ces sce`nes.

Les parame`tres du programme ont, pour chaque sce`ne, e´te´ ajuste´s afin de donner la meilleure image possible le plus rapidement possible. Cet ajustement fait, en un sens, que les conditions expe´rimentales n’e´taient pas les meˆmes pour les diffe´rentes sce`nes. D’un autre coˆte´, les e´chelles des sce`nes e´tant diffe´rentes a` cause de leurs origines va-rie´es, les parame`tres base´s sur ces dimensions, au moins, devaient eˆtre modifie´s. Dans l’ide´al, il aurait fallu pouvoir lancer le programme avec les meˆmes parame`tres pour chaque sce`ne.

3.2

La visibilite´

La premie`re observation tire´e de l’analyse de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique est la quantification de l’importance des calculs de visibilite´ dans le couˆt total de l’al-gorithme de radiosite´ hie´rarchique. Ainsi qu’il l’a souvent e´te´ postule´ dans les travaux ante´rieurs, tels que ceux de Teller et Lischinski en 1993 [41, 42, 27], les calculs de vi-sibilite´ repre´sentent une portion tre`s importante du couˆt total. La figure 3.1 montre le temps passe´ par le programme dans les diffe´rentes e´tapes de l’algorithme de radiosite´ hie´rarchique.

Pour pre´senter les re´sultats de fac¸on lisible, l’algorithme a e´te´ de´coupe´ en e´tapes correspondant aux e´tapes logiques de l’algorithme. Ainsi, «Visibilite´» correspond aux calculs de visibilite´ effectue´s, « Facteur de Forme » aux calculs de facteurs de forme en dehors de la visibilite´2. «Raffinement » est le temps passe´ par l’algorithme dans la proce´dure de raffinement des liens (y compris les diffe´rents oracles et la subdivision des facettes) ; «Propagation» correspond au temps mis pour propager l’e´nergie le long des liens de facette a` facette e´tablis au cours de l’e´tape de raffinement ; enfin, «Hie´rarchie» correspond a` la propagation de l’e´nergie rec¸ue dans la hie´rarchie de facettes construite sur chaque polygone, ce qui se fait par une parcours en profondeur d’abord de chaque arbre.

Cette dernie`re e´tape est tre`s simplement proportionnelle au nombre total de facettes cre´e´es, inde´pendamment de la position des diffe´rents objets dans la sce`ne ou de la quan-tite´ d’e´nergie e´change´e.

Il est important de noter que tre`s rapidement (au bout de quatre a` six ite´rations)