Hybrid and nonlinear control of power converters

HAL Id: tel-00769950

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00769950

Submitted on 4 Jan 2013

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Hybrid and nonlinear control of power converters

Aya Alawieh

To cite this version:

Aya Alawieh. Hybrid and nonlinear control of power converters. Other [cond-mat.other]. Université

Paris Sud - Paris XI, 2012. English. �NNT : 2012PA112202�. �tel-00769950�

1111111111111111111111111111111111111111111

1

1

11111111111111111111111111111111234567849A1BC748D82E1

1

234561743849A561B1CDEFDF1F18FDEF1F1E1F1

8DEDE1F1F1C !F1"C88C#

1

1

5$EF1F1CE%1F1C !F1"5&C#11

1

7C3'5(61B1' E)F11

1

1

1

9F861E61E97C91

1

FF1F1&*+,-+&,.&1

1

1

/1

1

1

C1CC46F1

1

1

0 $E11(EF1311'1F132FF1

1

1

1

1

1

E11 1!1

9F149863A11111111111111117EFDF1F1FDFDF13(9C415&C1

"D11 1!11 5DEF65A7(A801111111117EFDF1F1FDFDF13(9C415&C1

1111111111111111111111111111111111111111195A3A993:6111

1

"#$" "%11&1!1

1

23456789A17B1CB3D1E11 11111111116F13474;1 111111111'FF41C:'65631

F3A8B351E111

11111111116176(76C1

111111111'FF41('13F$F11

111111111111111111111111111111111111111119$F139(41

111111111'FF41:E2FE111111

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111'E!DED1F13 1:'31

69A8B351E11

1

A$F<E186(30A8111111111'FF1DE413(A71

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1234567897A8956AB6C6

DAEF8AF8565464AB656443546D6

F564B7985B8695896B7956

6 8B56 !FF6 "B85#6 $%6 %$&6 '(6 4B86 )*55#6 +8A51

6

1

Contents A knowlegments i Publi ations ii Résumé Détaillé iv Introdu tion 1 Chapter 1 4 1 Preliminaries 5

1.1 Swit hing Power onverters . . . 6

1.1.1 Minimum ongurable swit hing storagestru tures . . . 6

1.1.1.1 Swit hing-indu tor ell . . . 7

1.1.1.2 Swit hing- apa itor ell . . . 9

1.1.1.3 Duality of voltage and urrent onverters . . . 12

1.1.1.4 Pra ti al urrent DC-DC onverters . . . 12

1.1.2 Fourth-order onverters. . . 14

1.1.2.1 Two-indu tor-two-swit h ir uit utset . . . 14

1.1.3 Continuous and dis ontinuous ondu tion mode . . . 16

1.2 PI stabilization of swit hed power onverters . . . 18

1.2.1 Introdu tion . . . 18

1.2.2 PI stabilization . . . 20

1.3 Immersion and invarian e approa h . . . 20

1.3.1 Immersion and invarian e prin iple . . . 20

1.3.2 Parameters estimation using I&I. . . 22

1.3.3 Constru tion of the I&I nonlinear observer . . . 23

2 RobustFeedba kControlofDC-DCPower ConvertersinDis ontinuous

Condu tion Mode 27

2.1 Introdu tion . . . 28

2.2 Mathemati al Modeland ProblemFormulation . . . 29

2.3 A Robust Swit hing Algorithm . . . 32

2.4 Estimationof the Time Constants . . . 35

2.5 SimulationsResults . . . 36 2.6 Experimentalsystem . . . 37 2.7 ExperimentalResults . . . 37 2.8 Approximationmethod . . . 42 2.9 Con lusion . . . 50 Chapter 3 54 3 PI Stabilizationof Power Converters with Partial State Measurements 55 3.1 Introdu tion . . . 56

3.2 ObserverDesign . . . 56

3.3 A GAS OutputFeedba k PI Controller . . . 60

3.4 Appli ationto the SEPIC . . . 63

3.5 Simulationand ExperimentalResults of the SEPIC . . . 67

3.5.1 Simulations . . . 67 3.5.2 Experiments . . . 71 3.6 Con lusions . . . 73 Con lusion 75 List of Figures 77 Bibliography 80

A knowlegments

Iwouldliketoexpressmysin eregratitudetomythesisadvisorRomeoOrtega,forgiving methe opportunity todevelop this resear h subje t. His wide knowledge and experien e have been of great value for me. His en ouraging and personalguidan e have provided a goodba kground for the present thesis.

Ialsowanttothankmy o-supervisor Fran oiseLamnabhi-lagarrigue,for herhelpduring my work inL2S.

Many thanks to the professor Roberto Grino at Universitat Polite ni a Catalunya, and theprofessor EduardoMendes atINP Grenoble, fora epting toreview my work aswell as for parti ipating in my jury ommittee. Their onstru tive suggestions on the thesis are reallyappre iated for me. I amgrateful that they a epted these tasks.

Iamalsograteful theprofessor EmmanuelGodoyatSupéle ,the do torAbdelkrim Ben- haib atCNAM Parisfor their ommitment totake part in my jury ommittee.

I will be always grateful of all my laboratory partners for the good moments that we shared.

Publi ations

•

Journal Papers

-Aya Alawieh, Harish Pillai,Romeo Ortega, AlessandroAstol, Eri Berthelot, "A simplerobust feedba k ontroller for voltage regulation of a boost onverter in dis- ontinuous ondu tion mode", submited to Control System MagazineCSM.

-AliJaafar,AyaAlawieh,RomeoOrtega,EmanuelGodoy,PierreLefran ,"PI Stabi-lizationof Power Converters with Partial State Measurements", IEEE Trans. Con-trolSystems Te hnology, Volume: PP, Issue: 99,Page(s): 1-9.

•

Conferen e Papers

-AyaAlawieh, Harish Pillai,Romeo Ortega,AlessandroAstol and Eri Berthelot, "Adaptive Control of the Boost Converter in Dis ontinuous Condu tion Mode", IFAC World Congress 2011, pp: 3310-3315,Milano, Italy.

-AyaAlawieh,AliJaafar,RomeoOrtega,EmanuelGodoy,PierreLefran , "Observer-BasedPassive PI Stabilizationof PowerConverters", ACC Ameri anControl Con-feren e2012, pp:1448-1453, Montréal,Canada.

-Aya Alawieh, Romeo Ortega, "Adaptive Control of the Bu k-boost Converter in Dis ontinuousCondu tion Mode", a epted atCLCA, 15th Latinameri anControl Conferen e 2012,Lima, Peru.

Résumé Détaillé

Introdu tion

Lessystèmeséle troniques ommutéssontdeplusenplusutilisésdansplusieursdomaines domestiques ou industriels: les é rans à ristaux liquides, les appareils éle troménagers, l'é lairage,les ordinateurs personnels, les entrales éle triques, lesvéhi ules de transport et ainsi de suite. L'e a ité des opérations de toutes lesappli ations dépend du travail essentielréalisépar des systèmeséle troniques à ommutation,dont le omportementest déterminépar une inter onnexionet un ontrle appropriés des dispositifsanalogiqueset numériques.

De point de vue te hnique, la plupart des systèmes éle troniques ommutés peuvent être lassés omme onvertisseurs de puissan e. Ces systèmes peuvent être onsidérés ommedes réseaux omposés de ommutateurs àsemi- ondu teurs, par exemple, thyris-tors, transistors etdes diodes, ainsi que des éléments passifs, par exemple, des ondensa-teurs,des indu tan eset des résistan es, et des sour es de ourant-tension.

La lassi ation la plus fréquente de systèmes de onversion de puissan e est basée sur la forme d'onde des signaux d'entrée et de sortie, si elles sont en ourant alternatif (AC) ouà ourant ontinu(DC). Selon le ara tèrede lasour ed'entrée, ilspeuvent être onvertisseurs à sour e de tension ou onvertisseurs à sour e de ourant. En outre, les onvertisseurs peuvent être de faible,moyen ouhaut niveau de tensionet/ou de ourant. Lessystèmes à ommutationjouentunrle fondamentaldanstous lesenvironnements où la régulation, le ontrle et la onversion de l'énergie éle trique est une question lé. Ces dernières années, des ontraintes d'e a ité de et de qualité plus exigeantes sont imposées sur l'énergie éle trique dans des appli ations telles que les systèmes de puis-san e, les véhi ules de transport. Ce qui a déterminé un intérêt de nouvelles re her hes dans l'étudedes appro hes formelles pour l'analyse, la on eption et le ontrle des on-vertisseurs de puissan e. Dans e ontexte, l'analyse, la on eption et le ontrle des systèmes éle troniques ommuté est une question lé, et l'utilisation d'outils mathéma-tiquesavan éspeutêtre une appro he e a e pour lutter ontre lesexigen es roissantes de performan e et d'e a ité.

puis-de ir uitséle troniques, soitdans les appli ations industrielles(systèmes d'alimentation d'engins spatiaux, les matériels de télé ommuni ation) ou les appli ations personnelles (PC, matériel de bureau, appareils éle triques), et ave une gamme de puissan e de quelques milliwatts, pour le téléphone portable par exemple, à des mégawatts, pour les systèmes éle triques de transmission de puissan e.

Le problème de la modélisationet le ontrle de es systèmes d'éle tronique de puis-san e, 'est qu'ils ont des topologies de ir uit qui intègrent des éléments en temps on-tinu, omme des résistan es, des indu tan es, ondensateurs, et de sour es de tension et de ourant qui sont interfa és ave des appareils éle troniques tels que les diodes et les ommutateurs éle troniques tels que des thyristors, des transistors MOSFET. Cela on-duit à des types de systèmes hybrides qui impliquent un omportement d'un système en temps ontinu mélangé ave un omportement de ommutation logique à temps dis ret. Les systèmes de ontrle traditionnels a été basée sur des modèles moyennés où l'a tion des ommutateurs sont assimilés à des signaux ontinus allant dans un ertain interval fermé,

[0, 1]

, en négligeantla présen e d'ondulations.

Unelittérature ré ente sur les systèmeshybrides est apparue dans la ommunautéde ontrle dans les dernières années [25℄. Comme d'habitude dans la théorie du ontrle, l'obje tif prin ipalde lare her he s'est orientée vers ledéveloppement de méthodologies générales, surtout pour l'analyse [22℄ mais aussi pour la on eption du ontrleur, des lasses de systèmes dynamiques hybrides a motivation théorique. Pour ela, il est un vraiment besoin de développer un ontrle hybride et l'obje tif de ontrle ne sera pas la stabilisation d'un point d'équilibre,mais la génération d'une orbite périodique autour d'un pointde fon tionnementdésiré.

Motivé par e fait, dans la première partie de la thèse une perspe tive diérente a été adoptée, 'est le développement d'une solution pour des exemples pratiques. Nous allons onsidérer un onvertisseur de type boostetun onvertisseur bu k-boost en mode d'operationdis ontinue DCM,etnotreprin ipale ontributionsera unalgorithmede on-trle simple et robuste.

Négliger la présen e des ondulations permet de reformuler le problème de regulation du onvertisseur omme un problème d'équilibre lassique pour qui, des te hniques non-linéairesde on eptiondes ontrleurs,par exemple,mode deglissementetdelapassivité sont dire tement appli ables.

Développer le ontrle des systèmes non linéaires,qui intègre à un niveau fondamen-talla stru turedes systèmes physiquesetfournit des solutionsàdes problèmes pratiques d'ingénierie, a été la motivationde plusieurs ouvrages. Une ontributionprin ipale dans e domaine a été l'identi ation d'une grande lasse de onvertisseurs qui peuvent être

alepour les onvertisseurs de puissan eaétéproposé dans[39℄. La onstru tionné essite lamesure de l'état ompletdu système,qui est souvent indisponible dans lapratique.

L'obje tif prin ipal de la deuxième partie sera de montrer que l'appro he I&I de [37℄ peut être utilisé pour on evoir un observateur asymptotiquement onvergent d'ordre réduit pour une lasse bien dénie de onvertisseurs de puissan e, qui est ara térisé par une simple inégalité matri iellelinéaire (LMI). Par ailleurs, nous allons prouver que l'observateur I&I peut être ombiné ave le ontrleur PI en préservant lespropriétés de la stabilité asymptotique globale de la bou le. La nouvelle ommande est appliquée à régulerla tensiondu onvertisseur SEPIC.

Dans e resumé, nous allonspresenter les ontributions prin ipales de lathèse: Dans la première partie nous intéressons au problème de la régulation de la tension des onvertisseurs de puissan e fon tionnant dans le mode de ondu tion dis ontinue. Deux onvertisseurs de puissan e sont onsidérés: le onvertisseur boost et le onvertis-seurbu k-boost. L'obje tifde ommandeestlagénérationd'uneorbitepériodique. Notre prin ipale ontribution est un algorithme simple et robuste qui donne des formules ex-pli itespour lestemps de ommutationsans approximations. Lesrésultatsde simulation et expérimentales qui illustrent la robustesse du système à l'in ertitude des paramètres, ainsi quedes omparaisonsde performan e ave la pratique a tuelle,sont présentés.

Dans ladeuxièmepartie une lasse de onvertisseurs de puissan e quipeut être glob-alementstabiliséave un ontrleurPIaétéidentié. Parailleurs,nousallonsprouverque l'observateurI&Ipeutêtre ombinéave le ontrleurPItoutenpréservantlespropriétés de stabilité asymptotiqueglobalede labou lefermé. La lasse se ara térise par une in-égalitématri iellelinéairesimple. Lenouveau ontroleurest illustréave le onvertisseur très- populaire,etdi ileà ontroler,leSEPIC, pour lequel lesrésultatsexpérimentaux sont présentés.

Commande Hybride Robuste des Convertisseurs de Puis-san e DC-DC en Mode de Condu tion Dis ontinue

Les interrupteurs idéals dans les onvertisseurs de puissan e sont généralement mis en oeuvreen utilisantdes dispositifssemi- ondu teursunidire tionnelsquipeuvent onduire àune nouveau mode de fon tionnement génériqueappelémode de ondu tion dis ontinu (DCM). Ce mode survient lorsque l'ondulation est susamment grande pour provoquer lapolaritédu signal ( ourantoutension)appliquée àl'interrupteurà inverser, en violant leshypothèsesde l'irréversibilité formulées dans laréalisationde l'interrupteur. Dansles topologies de onvertisseur lassique le mode dis ontinu apparaît très souvent pour une

Ladynamique du onvertisseur est signi ativementaltérée dans lemode de ondu -tion dis ontinu. Les te hniques existantes pour l'analyse et la on eption du ontrleur, notamment, les approximations de la dynamique moyenne (valable pour les ommuta-tions rapides)oupour lespetites ondulations,ne sont plus valables. Ave les approxima-tionsderniers le onvertisseur peutêtretraité ommeunsystème ontinu(éventuellement non linéaire),ave l'a tiondes ommutateurs assimilé àdes signaux ontinusallantdans un ertain interval fermé,

[0, 1]

. Négliger la présen e des ondulations permet de refor-mulerleproblèmederégulation ommeunproblèmedestabilisation lassiquepourlequel, plusieurste hniquesnon-linéairesde on eptiondes ontrleurs,parexemple,modes glis-sants [29℄ - [33℄ et à base de la passivité [34℄ - [36℄, sont dire tement appli ables. Dans la plupart de es littératures que le mode de fon tionnement ontinu CCM est onsid-éré. Une méthode de al ul des instants de temps de ommutationsur la base d'énergie du onvertisseur boost en fon tionnement DCM, oùlesondulations sont onsidérés aété proposé dans [28℄. Dans ettestratégie, lesinstantsde ommutationsont hoisis de sorte que le hangement d'énergie totale est égale à zéro. Les al uls né essaires ne sont pas simples dans ette stratégie, et seul lesrésultats de simulationsont présentés.

Le onvertisseur don est un système de hybride, quiprésente des omportementsdes systèmes àtemps ontinuetàtempsdis reten memetemps. Lessignesdistin tifsseront omme suit:

(i) Le ontrle n'est pas un signal ontinu,mais dire tement lespositionsdes ommu-tateurs, quiprennent des valeurs binaires

{0, 1}

,et dé idela ommutationentre les diérentes topologies du onvertisseur.

(ii) Enraisonde onsidérationste hnologiques,l'a tivationdes interrupteursest soumis à un temps minimum quidoit être pris en ompte.

(iii) En plus des ommutations induitespar les positions de ommutation,il y aura les ommutationsfor éesen raisondelaviolationdel'hypothèsede l'unidire tionnalité.

(iv) Comme l'ondulation ne peut être négligé,l'obje tif de ontrle n'est pas la stabili-sation d'un pointd'équilibre,mais la générationd'une orbitepériodique (ave une amplitude minimale")autourdu point de fon tionnement souhaité.

Unelittérature ré ente sur les systèmeshybrides est apparue dans la ommunautéde ontrle dans les dernières années [25℄. Comme d'habitude dans la théorie du ontrle, l'obje tif prin ipalde lare her he s'est orientée vers ledéveloppement de méthodologies générales, surtout pour l'analyse [22℄ mais aussi pour la on eption du ontrleur, des lasses de systèmes dynamiques hybrides à motivation théorique. Pour ela une

per-boost en mode d'operation dis ontinu DCM. La formulation du problème sera présenté dans lase tion suivante.

Modèle et formulation du problème

Deux types de onvertisseurs de puissan e sont onsiderés: le onvertisseur boost et le onvertisseur bu k-boostdonnés dans lesFigs. 1.4(b), et1.4( ).

Les ir uitspour lestrois topologies orrespondants auxtrois modes d'opérationsont dé rits dans les Figs. 2.1, et 2.2. Ces modes depend de la position de l'interrupteur et de la ondu tionde ladiode diode omme dé rit i-dessous. Les états sont le ourantde l'indu tan e

x

1

et la tension du ondensateur

x

2

. La dynamique dans les deux as sont dé ritspar le modèle:

˙x = A

i

x

+ b

i

v

in

, i

= 1, 2, 3,

oulepaire

(A

i

, b

i

)

onstitutlamatri edusystèmeetlamatri ed'entrée,i=1,2,3représente lemode de fon tionnement.

Dans le as du onvertisseur boost: Lespaires

(A

i

, b

i

)

pour lestrois topologies sont

Ω

1

:

A

1

=

"

_−r

L

L

−1

L

1

C

−1

CR

0

#

, b

1

=

"

1

L

0

#

Ω

2

:

A

2

=

"

0

0

0

_CR

−1

₀

#

, b

2

=

"

0

0

#

Ω

3

:

A

3

=

"

_−r

L

L

0

0

_CR

−1

₀

#

, b

3

=

"

1

L

0

#

.

Danslatopologie

Ω

3

,lorsquel'interrupteurestON,labatterieexterne

v

in

∈ R

+

fournit de l'énergiemagnétique al'indu tan e

L

, tandisque l'énergieéle triquedu ondensateur

C

estdé hargédansla harge,représentéei iparunerésistan e

R

0

. Lorsquel'interrupteur est OFFetladiode est ONle ir uitprend latopologie

Ω

1

,alors l'énergiesetransfertde l'indu teurau ondensateur, assurantla onstru tionde satensionde

x

2

etlaréalisation del'ampli ationsouhaitée. Latopologie

Ω

2

représentelemodede ondu tiondis ontinu. Dans le as du onvertisseur bu k-boost: Les paires

(A

i

, b

i

)

pour les trois topologies sont

Ω

1

:

A

1

=

"

_−r

L

L

−1

L

1

C

−1

CR

0

#

, b

1

=

"

0

0

#

Ω

2

:

A

2

=

"

0

0

0

−1

CR

0

#

, b

2

=

"

0

0

#

Ω

3

:

A

3

=

"

_−r

L

L

0

0

−1

CR

0

#

, b

3

=

"

1

L

0

#

.

Pour le onvertisseur bu kboostFig.2.2,l'indu tan egagnede l'énergiedans latopologie

Ω

3

etle ondensateur perd son énergiedanslestopologies

Ω

3

et

Ω

2

. Danslatopologie

Ω

1

l'indu tan e fournit de l'énergie au ondensateur.

Lesdeuxsystèmesévoluentdansl'ensemble

{x

1

>

0, x

2

>

0} =: R

2

+

pourlestopologies

Ω

1

et

Ω

3

, tandis que pour la topologie

Ω

2

, les traje toires sont limitées à l'ensemble

{x

1

= 0, x

2

>

0}

. Une traje toire typique dans le plan de phase

x

1

− x

2

est montrée

dans la gure Fig. 2.3, où

t

i

∈ R

+

,

i

= 1, 2, 3

, représente le temps pendant ha une des topologies.

Enraisonde onsidérationste hnologiques, un minimum de temps (dwell time),

t

D

∈

R

+

,estimposéàl'interrupteur. Si

t

D

estgrand,parrapportàla onstantedetemps

R

0

C

, le ourant

x

1

devient nul et une transition for ée de

Ω

1

à

Ω

2

est induite. D'autre part, les transitions de

Ω

2

à

Ω

3

et de

Ω

3

à

Ω

1

, déterminées par la position de l'interrupteur, sontdé idées parle ontrleur. Biensûr, estempsde transitionde ommutationdoivent respe ter la ontrainte de temps minimale.

Compte tenu de

t

1

 le temps qu'il faut pour le ourant pour passer à zéro  le on epteur doit dé ider les temps de ommutation

t

2

et

t

3

, qui devraient satisfaire la ontraintesur letemps

t

3

≥ t

D

,

t

1

+ t

2

≥ t

D

.

L'obje tif du ontrle est de générer un y le limite attra tif (de période

t

1

+ t

2

+ t

3

) ontenu dans labande

x

2

(t) ∈ [x

∗

2

− ǫ

1

, x

∗

2

+ ǫ

2

],

où

x

∗

2

∈ R

+

est la valeur moyenne souhaitée pour

x

2

et  pour réduire au minimum l'ondulation de la tension  les onstantes

ǫ

i

∈ R

+

sont aussi petits que possible. Bien que lagammedes valeurs de

x

1

(t)

n'est pas laprin ipale préo upation, pour des raisons pratiques, e ourant est égalementlimité àune borne supérieure

x

1

(t) ≤ x

M

1

.

Algorithme de ommande

Les al uls dans lase tion 2.3 onduisentà l'algorithme de ontrle suivant: Step 1. Fixer un point

(x

0

1

, x

0

2

) ∈ R

2

+

,tel que

t

3

donnépar:

t

3

= −

L

r

L

ln



1 −

r

L

x

0

1

v

in



.

vérie

t

3

≥ t

D

et

x

0

2

< x

∗

2

.

Step 2. A l'instant

t

0

≥ 0

quand

x(t

0

) = (x

0

1

, x

0

2

)

a tiver lepassage de

u

= 0

à

u

= 1

. Step 3. Attendre (en mode

Ω

1

)jusqu'à

x

1

(t) = 0

et mesurer

x

1

2

orrespondant.

Step 4. Cal uler

t

2

+ t

3

. Si

t

2

>

0

aller àl'étape5,sinondenir

t

2

:= t

D

− t

1

,puis passer à l'étape5.

1

2

si, pour la nouvelle valeur

(x

0

1

, x

0

2

)

,

t

3

≥ t

D

et

x

0

2

< x

∗

2

. Si oui, aller à l'étape 2, sinon

attendrepourun tempsplus long jusqu'à e quel'étatest onformeaux ontraintes, puis attribuer lanouvellevaleur

t

3

etpasser à l'étape 2.

Comme indiqué dans l'introdu tion, en fon tionnement normal, le ir uit fon tionne dans le DCM, d'où à l'étape 3

t

2

>

0

. En outre, il est lair que, dans des onditions idéales, lorsque les paramètres sont exa tement onnues et il n'ya pas de perturbations, lepointde

(x

0

1

, x

0

2

)

obtenuàl'étape6 oïn ide ave lepointinitial. Toutefois,en pratique il y aura un é art, d'où la né essité de re al uler les temps de ommutation en fon tion des mesures.

Cet algorithme peut être robustié vis à vis les in ertitudes dans les onstantes de temps. Ce al ulest presenté dans lase tion 2.4

L'utilitédu système de ontrle proposé aété évaluéepar des simulationsnumériques et des éxperimentations. Les résultats sont présentés respe tivement dans les se tions: 2.5 et2.6.

Stabilisation des Convertisseurs de Puissan e par PI ave des Mesures Partielles de l'État

Les ontroleurs se basant sur la passivité ont été très e a es pour les onvertisseurs de puissan e. Mais,pour générer lasortie pourlaquellelapassivité in rémentielle est établie [39℄,lamesure omplètede l'étatestgénéralementrequise. Pour des raisonsé onomiques et te hnologiques, il est souhaitable d'éviter la né essité d'avoir de apteurs dans les onvertisseurs de puissan e, etdon détendre l'hypothèse d'une mesurede l'état.

Laprin ipale ontributionde ettepartieestdemontrerquel'appro hedel'immersion etl'invarian e(I&I)de [37℄peutetreutiliséepour on evoirun observateuràordreréduit asymptotiquement onvergent pour une lasse déniede onvertisseurs de puissan e, qui se ara tériseparuneinégalitématri iellelinéairesimple(LMI).Parailleurs,l'observateur I&I peut etre ombiné ave le ontroleur PI proposé dans [39℄ préservant les propriétés GASde labou le fermée. Le nouveau ontroleurest appliqué pour réguler la tensiondu onvertisseur très - populaire, et di ile à ontroler, le SEPIC, pour lequel les résultats expérimentaux sont présentés.

Con eption de l'observateur

Nous onsidérons la lasse de onvertisseurs de puissan e ommutés ave des ondensa-teurs etdes indu tan es linéaires,dé ris dans la formehamiltonienne

˙x =

J

0

+

m

X

i=1

J

i

u

i

− R

!

∇H(x) + E

(1)

où

x

∈ R

n

, omposée des ux des indu teurs etdes harges des ondensateurs, est l'état du onvertisseur,

u

∈ R

m

désigne le rapport y lique, l'énergie totale sto kée dans les indu tan es et les ondensateurs est

H(x) =

1

2

x

⊤

_Qx,

_Q

_{= Q}

⊤

_>

_0,

(2)

∇ =

∂

∂x

,

J

i

= −J

⊤

i

∈ R

n×n

, i

∈ {0}

S

¯

m

_{:= {1, . . . , m}}

sontlesmatri esd'inter onne tions,

R

_{∈ R}

n×n

,

R

= R

⊤

≥ 0

est la matri e de dissipation, et le ve teur

E

∈ R

n

ontient les sour es de tension et ourantsexternes.

Leproblème d'observateur d'état est formulé ommesuit. Supposons

y

m

= Cx ∈ R

p

,

ave

p < n

et

C

∈ R

p×n

rang plein,est disponiblepourlamesure. Pourre onstruirel'état

x

on denitune matri e

S

∈ R

(n−p)×n

telle quela matri e arrée

T

:=

"

S

C

#

∈ R

n×n

(3)

est de rang plein et on onsidère le hangementde oordonnées

"

η

y

m

#

= T x.

Le problème est alors de produire une estimation pour le ve teur

η

∈ R

n−p

,

η

ˆ

∈ R

n−p

, pour dénir l'étatobservé omme

ˆ

x

:= T

−1

"

ˆ

η

y

m

#

=

h

D

1

D

2

i

"

_η

_ˆ

y

m

#

,

(4)

où, pour une référen e future, ona introduit les matri es

D

1

∈ R

n×(n−p)

and

D

2

∈ R

n×p

. Une lasse de onvertisseurs de puissan e pour laquelle le problème d'observation est résolu est ara tériséepar le LMI qui suit

Hypothèse 1. Etant donné

J

0

,

· · · , J

m

, R, Q

∈ R

n×n

,

S

_{∈ R}

(n−p)×n

, D

1

∈ R

n×(n−p)

,

C

∈ R

p×n

.

On denit

F

0

:= S(J

0

− R)QD

1

F

i

:= SJ

i

QD

1

,

i

∈ ¯

m

G

0

:= C(J

0

− R)QD

1

G

i

:= CJ

i

QD

1

,

i

∈ ¯

m.

(5)

Z

_{∈ R}

(n−p)×p

,

P

= P

⊤

∈ R

(n−p)×(n−p)

solution des LMI suivantes

P

>

0

sym

{P F

0

+ ZG

0

} < 0

sym

{P F

i

+ ZG

i

} = 0, i ∈ ¯

m,

(6)

où sym

{·}

désignela partie symétrique.

Proposition 1. Considérons le onvertisseur de puissan e (1), (2) vériant l'hypothèse 1. Dénissons

A

:

R

m

→ R

n×n

A(u) := (J

0

− R)Q +

m

X

i=1

J

i

Qu

i

,

(7)

ave

u

:=

ol

(u

1

, . . . , u

m

)

. l'observateur I&I a dimension

(n − p)

˙ξ = (S + ΓC)[A(u)((D

2

− D

1

Γ)y

m

+ D

1

ξ) + E]

ˆ

η

_{= ξ − Γy}

m

(8)

où

Γ = P

−1

Z

_{∈ R}

(n−p)×p

(9)

ave

P

et

Z

la solution des LMI, assure la onvergen e exponentielle globale de l'erreur d'observation. Pour toutes les onditionsinitiales

x

(0) ∈ R

n

_{, ξ}

(0) ∈ R

n−p

, et tout

u(t)

, il existe

α, k

∈ R

+

tel que

|ˆη(t) − η(t)| ≤ ke

−αt

|ˆη(0) − η(0)|,

pour tout

t

≥ 0

, où

| · |

est lanorme eu lidienne.

Lapreuve de ette proposition est donné dans lase tion 3.1.

Controlleur PI à retour de sortie GAS

Dans ette se tion, nous proposons d'utiliser l'observateur I&I de la se tion pré édente, ave le ontroleur PI du [39℄, préservant la GAS de la bou le fermé. An de simpli-er notre présentation (une légère variation) des prin ipaux résultats rapportés dans le hapitre1 sont d'abord rappelés i-dessous.

Proposition 2. Considérons un onvertisseur de puissan e dé rit par (1). Soit

x

⋆

_{∈ R}

n

un point d'équilibre admissible,alors, il satisfait

0 =

J

0

+

m

X

i=1

J

i

u

∗

i

− R

!

Qx

⋆

+ E,

(10) pour ertains

u

⋆

∈ R

m

. On denit l'entrée in rémentale

˜

u

_{:= u − u}

⋆

,

et lesignal de sortie

y

_{= Cx,}

ave

C := −







(x

⋆

₎

⊤

_QJ

1

Q

. . .

(x

⋆

₎

⊤

_QJ

m

Q





 ∈ R

m×n

.

(11)

1. L'appli ation

u

˜

→ y

est passive. Plus pré isément, le système vérie l'inégalité de dissipation

˙

H

_{≤ y}

⊤

u,

˜

(12)

ave la fon tion de sto kage

H

:

_R

n

→ R

+

H(˜

x) =

1

2

x

˜

⊤

_Q˜

_x,

(13) ou

x

˜

:= x − x

⋆

.

2. Le onvertisseur de puissan e en bou le fermée ave le régulateur PI

˙

w

= y

u

_{= −K}

p

y

− K

i

w,

(14)

ave

K

p

= K

⊤

p

>

0, K

i

= K

i

⊤

>

0

assure que l'équilibre

(x, w) = (x

⋆

,

_−K

i

−1

u

⋆

),

est GAS si

y

estdete table. Autrementdit, sipourtoute solution

(x(t), w(t))

de labou le fermée du système, l'impli ation suivante est vraie:

y

_{(t) ≡ 0}

_⇒

lim

t→∞

x(t) = x

⋆

,

lim

t→∞

w

(t) = −K

−1

i

u

⋆

.

(15)

1,ave unétatd'équilibre

x

⋆

etuneentrée orrespondante

u

⋆

. Supposons (15)de la propo-sition détient. le ontrolleur PI ave l'observateur

˙

w

_{= C ˆx}

u

_{= −K}

p

C ˆx − K

i

w

(16)

où

x

ˆ

est l'estimation de l'état généré par l'intermédiaire (4), (7), (8)and (9), assure que l'équilibre

(x, w, z) = (x

⋆

_,

−K

i

−1

u

⋆

_,

₀₎

est GAS.

Lapreuve de ette proposition est également fournidans lase tion 3.3.

Appli ation au SEPIC

Le SEPIC est un des onvertisseur de puissan e qui a trouvé une large appli ation dans l'industrie par e qu'il est relativement simple et peut fon tionner aussi bien en mode elevateuretabaisseur[49℄. Endépitdesasimilitudeave le onvertisseur Cukbien onnu, ilest largementre onnuquela on eptiond'un ontroleurpour obtenirun omportement de haute performan e est un problème majeur ouvert.

Ensupposant qu'ilest en modede ondu tion ontinue, son modèle moyen, peut etre exprimésous formehamiltonienne(1)ave

n

= 4

etlesdénitions

x

=

ol

(φ

1

, φ

2

, q

1

, q

2

), E =

ol

(V

in

,

0, 0, 0)

R

=

diag



r

L

1

, r

L

2

,

0,

1

r



Q

=

diag



1

L

1

,

1

L

2

,

1

C

1

,

1

C

2



J

0

=











0

0

_{−1 −1}

0

0

0

1

1

0

0

0

1 −1

0

0











J

1

=











0

0

1

1

0

_{0 −1 −1}

−1 1

0

0

−1 1

0

0











ou

φ

i

sont lesux dans lesindu teurs

L

i

,

q

i

les harges dans les ondensateurs

C

i

,

u

est l'indi e de modulation,

V

in

est la tension d'alimentation onstante dire te,

L

i

,

C

i

,

r

L

i

, sont les paramètresSEPIC et

r

est la résistan e de harge.

L'obje tif du ontrole est la régulation de la tension de sortie à une valeur donnée onstante

V

⋆

, i.e., la régulation de la harge

x

4

pour une référen e souhaitée

x

⋆

4

>

0

où

C

2

V

⋆

= x

⋆

4

. Il est supposé que la seule variable disponible pour la mesure est la tension de sortie, parsuite

p

= 1

, et

C

= (0 0 0 1).

La proposition i-dessous qui  par la proposition 1 établit l'existen e d'un observateur I&I GAS. L' appli ation dire te de la proposition prouve alors qu'un ontroleur PI par retour de sortierend le SEPIC GAS.

Proposition 4. Fixons

P

13

>

0

et posons

P

22

=

1

r

L

2

P

13

+ K

(17)

P

33

= (r

L

2

+

L

2

C

1

r

L

2

)P

13

+

L

2

C

1

K.

(18) Il existe

K

min

>

0

tel que, pour tous

K

≥ K

min les matri es

P

=







L

2

L

1

P

22

0

P

13

0

P

22

P

13

P

13

P

13

P

33







et

Z

=







−P

13

−P

13

L

2

(

P

_C

22

1

−

P

33

L

1

)





 .

sontsolutions desLMI del'Hypothèse1pourlemodèledu SEPIC.Par ailleurs,

K

devrait satisfaire les deux onditions suivantes:

1

4r

3

L

2

C

1

L

4

2

L

1

K

2

+ (

1

2r

L

2

L

2

L

1

+

1

r

3

_L

2

C

1

L

3

2

L

1

)KP

13

+

(

1

r

L

2

L

1

+

1

r

3

L

2

C

1

L

2

₂

L

1

−

1

r

L

2

L

2

L

1

−

1

r

L

2

)P

2

13

>

0.

(19)

r

L

1

r

L

2

L

2

2

L

2

₁

K

2

_{+ (2}

r

L

1

r

L

2

L

2

L

2

₁

−

r

2

L

1

L

2

₁

C

1

2

)P

13

K

−

1

L

2

₂

P

2

13

>

0.

(20)

Ces onditions sont obtenues après une démonstration détaillée expliquée dans le hapitre3. Commeles oe ientsde

K

2

sur les otés droitede (19) et(20) sontpositifs, il est lair que, pour tout

P

13

hoisi, il existe

K >

0

telles que les deux inégalités sont satisfaites. Lenouveau ontroleurest illustréave le onvertisseur SEPIC, pourlequel les simulations etles résultatsexpérimentauxsont présentés dans lase tion 3.5.

Introdu tion

Swit hed ele troni systems are used in a huge number of everyday domesti and in-dustrial utilities: liquid rystal displays, home applian es, lighting, personal omputers, power plants, transportation vehi les and so on. E ient operationsof allsu h appli a-tionsdepend onthe essential"hidden work"doneby swit hed ele troni systems, whose behaviour is determined by a suitable inter onne tion and ontrol of analog and digital devi es.

Fromthe engineeringpointofview, mostswit hedele troni systems anbe lassied as power onverters. These systems an be viewed as networks omposed of semi on-du torswit hes, e.g., thyristors, transistorsand diodes, alongwith passiveelements,e.g., indu tors apa itors and resistors,and urrent-voltage sour es.

Themost ommon lassi ationofpower onversionsystemsisbasedonthewaveform ofthe input andoutput signals,inthe ase whether they are alternating urrent (AC) or dire t urrent(DC),thus: DCtoDC,DCtoAC,ACtoDCandACtoAC. Dependingon the hara terofthe inputsour e,they maybevoltage-sour e onverters or urrent-sour e onverters. Moreover, onverters may be of low, mediumor high voltage and/or urrent level.

Swit hed systems playafundamentalrole inallthoseenvironments whereregulation, ontroland onversionof theele tri alenergyisakey issue. Inre entyears, ontinuously more demanding e ien y and quality onstraints are imposed on the ele tri al energy inappli ationssu h asele tri aldrives, power systems and transportationvehi les. This hasdeterminedanewresear hinterestinthe studyofformalapproa hesforthe analysis, design and ontrol of power onverters. In this ontext the analysis, design and ontrol ofswit hed ele troni systems isa key issue, and theuse ofadvan edmathemati altools an be an ee tive approa h for ta kling in reasing requirements in performan e and e ien y.

As a motivation of this work,we onsider the DC-DC power onverters, due to there widerange of appli ability,and presen e inall kindof ele troni ir uits,from industrial appli ations(spa e raft powersystems, DCmotor drives, tele ommuni ationequipment) to personal appli ations (PCs, o e equipment, ele tri al applian e, and with a power rangefrom milliwatts,mobile phone, for example,to megawatts, inele tri power

trans-The problem of modeling and ontrol of these power ele troni s systems is that they have ir uit topologies that in lude ontinuous time elements like resistors, indu tors, apa itors, and voltage and urrent sour es that are interfa ed with ele troni devi es like diodes, and ele troni swit hes su h as thyristors, transistors, and MOSFETs. This leads to hybrid system types that involve ontinuous-time system behavior mixed with dis rete-timelogi swit hingbehavior. Traditional ontrols hemeswasbasedonaveraged models where the a tion of the swit hes are assimilatedto ontinuous signals ranging in some losed interval, e.g.,

[0, 1]

, then negle ting the presen e of ripples. A burgeoning literature onhybrid systems has emerged in the ontrol ommunity in the last few years [25℄. As usualin ontroltheory,the mainthrust ofthe resear h hasbeen towardsthe de-velopmentofgeneralmethodologies,mainlyforanalysis[22℄butalsofor ontrollerdesign, of lasses of theoreti ally motivated, hybriddynami al systems. That is,there isa truly need to develop hybrid ontrol, and the ontrol obje tive willbe not the stabilization of an equilibrium point but the generation of a periodi orbit around a desired operating point. Motivated by this fa t, in the rst part of the thesis a dierent perspe tive was adopted, namely the development of a solution for a spe i example of pra ti al rele-van e. We will onsider a boost and a bu k-boost onverter operating in DCM, and our main ontributionwillbea simple robust ontrolalgorithm.

Negle ting the presen e of the ripple permits to re ast the onverter regulation as a lassi al equilibrium problem for whi h, by now standard, nonlinear ontroller design te hniques, e.g. sliding mode and passivity based are dire tly appli able.

Developing ontrol of nonlinear systems that in orporates at afundamentallevelthe systems physi alstru ture and providessolutions to pra ti alengineering problems, was themotivationofseveralworks. Amain ontributioninthisdomainwastheidenti ation of alarge lass of onverters that an bestabilizedviaadaptivePI ontrol. A pro edure to design globally asymptoti ally stabilizinglinear proportional plus integral ontrollers for swit hed power onverters was proposed in [39℄. The onstru tion requires the mea-surement of the full state of the system whi h is oftenunavailable inpra ti e. The main obje tive of the se ond part will be to show that the I&I approa h of [37℄ an be used to design an asymptoti ally onvergent redu ed order observer for a welldened lass of power onverters, whi h is hara terized by a simple linear matrix inequality (LMI). Moreover, we will prove that the I&I observer an be ombined with the PI ontroller preserving the GAS properties of the losedloop. The new ( ertaintyequivalent) on-troller is applied to regulate the voltage of the widelypopular, and di ult to ontrol, singleended primary indu tor onverter (SEPIC).

The rst hapter presents some ba kground materials, on epts and results. We beginrstwithanintrodu tionaboutswit hingpower onverters,thenthedierent ondu tion modes: the ontinuous and dis ontinuous ondu tion modes of power onverters. The results of stabilization via adaptive PI ontrol of a large lass of onverters using the key property of passivity of the nonlinear in remental model, and the pro edure to design the globally asymptoti ally stabilizing ontrollers for these onvertersarethenpresented. Afterabriefintrodu tionwherethe mainideas of immersion and invarian e are illustrated, then the design prin iple of observers forgeneral nonlinear systems provided by

I&I

are given.

In hapter 2 we are interested in the problem of voltage regulation of power on-verters operating in dis ontinuous ondu ting mode. Two power onverters are onsidered: the boost onverter and the bu k-boost onverter. The system does not admit a ( ontinuoustime) average modelapproximation, hen e is a bona de hybridsystem where the ontrol obje tiveis the generation of a periodi orbit and the a tuator ommands are swit hing times. Our main ontribution is a simple robust algorithm that gives expli it formulas for the swit hing times without ap-proximations. Simulation and experimental results that illustrate the robustness of the s heme to parameter un ertainty, as well as performan e omparisons with urrentpra ti e, are presented.

In hapter 3 a lass of power onverters that an be globally stabilized with an outputfeedba k PI ontroller has beenidentied. Moreover, we willprovethat the I&Iobserver anbe ombinedwiththe PI ontroller preserving theGASproperties of the losedloop. The lass is hara terized by a simple linear matrix inequality. The new ontroller is illustrated with the widelypopular, and di ult to ontrol, singleended primary indu tor onverter, for whi h simulation and experimental resultsare presented.

Chapter 1

Preliminaries

Contents

1.1 Swit hing Power onverters . . . 6 1.1.1 Minimum ongurable swit hing storagestru tures . . . 6 1.1.2 Fourth-order onverters . . . 14 1.1.3 Continuousand dis ontinuous ondu tion mode . . . 16 1.2 PIstabilization of swit hed power onverters . . . 18 1.2.1 Introdu tion. . . 18 1.2.2 PI stabilization . . . 20 1.3 Immersionand invarian e approa h . . . 20 1.3.1 Immersionand invarian e prin iple . . . 20 1.3.2 Parameters estimation usingI&I . . . 22 1.3.3 Constru tion of theI&Inonlinear observer. . . 23

In this hapter some ba kgroundmaterials, on epts and results are presented. We begin rst with anintrodu tionabout swit hing power onverters, providing the dierenttopologiesfroma ir uittheoryperspe tive,thenthedierent ondu tionmodes: the ontinuous and dis ontinuous ondu tion modes of power onverters. In this se tion the DC-DC power onverters that willbe onsidered in this thesis are presented.

The resultsof stabilizationvia adaptivePI ontrolof alarge lass of onverters using the key property of passivity of the nonlinear in remental model, and the pro edure to design the globally asymptoti ally stabilizing ontrollers for these onverters are then presented in the next se tion.

Aftera briefintrodu tionwherethe main ideasof immersionand invarian eare illus-trated, then the design prin iple of observers for general nonlinear systems provided by

1.1 Swit hing Power onverters

Swit hing power onverters are in existen e for almost ve de ades. They ontrol the ow of power between two systems by hanging the hara ter of ele tri al energy: from dire t urrent to alternating urrent, from one voltage level to another voltage, or in some otherway. The most ommon lassi ationof power onversion systemsisbasedon the waveform of the input and output signals, in the ase whether they are alternating urrent (AC) or dire t urrent (DC), thus: DC toDC, DC to AC, AC to DC and AC to AC [1℄, [2℄. Depending on the hara ter of the input sour e, they may be the family of voltage-sour e onvertersortheless-knownfamilyof urrent-sour e onverters. Moreover, onverters may be of low, medium or high voltage and/or urrent level. Another sort of lassi ation may be performed a ording tothe size of the output signal obtained from the input signal; if the onverter a omplishes a lower output signal it is well known as step-down, and if it obtainsa largersignal, it isknown asstep-up.

DC-DC power onverters, with whi h this thesis is on erned, forms a major hunk of these systems. They have re ently aroused the interest in the urrent market due to there wide range of appli ability.

Thisse tionprovidesrstfroma ir uittheoryperspe tive,howfundamental onvert-ers are derived, how they are related, and how they an be integrated to result in more ompli ated typesof onverters. Thenthe twomodes of ondu tionof power onverters: the ontinuous and dis ontinuous ondu tion mode are explained.

1.1.1 Minimum ongurable swit hing storage stru tures

Swit hing power onversion en ompasses two types of onversions, namely voltage on-version and urrent onversion. Power onverters whi h ele troni ally onvert an energy sour e of one voltage level to another voltage level are known as voltage onverters. In this respe t, urrent onverters are power ele troni s that onvert anenergy sour e from one urrent level to another urrent level [3℄. The basi me hanism of performing an ideally lossless voltage or urrent onversion involves the rapid repeated onne tion and dis onne tionofthe voltageor urrentsour etoanappropriatestoragedevi e,namelyan indu tor or apa itor,ina ontrolledmannerviaele troni swit hes,su hthatthe energy is transferred atthe appropriatevoltage or urrent levelbeforebeingreleased tothe out-put load in the desired form. In onguring su h power onverters, it is important that the voltage sour es are never onne ted dire tly to a apa itor and the urrent sour es are never onne ted dire tly toan indu tor. From a theoreti al viewpoint,there are two simplest ongurable swit hing storagestru tures possible,namely astar- onne ted two-swit h indu tor elland a delta- onne ted two-swit h apa itor ell. We willnext give a dis ussion on these storage ells and howthey are onguredto give the various possible

V

in

3

1

2

4

V

o

−

−

+

+

Figure1.1: DC-DC voltage onverter using the swit hing-indu tor ell.

1.1.1.1 Swit hing-indu tor ell

The swit hing-indu tor ell omprises a storage indu tor and two swit hes arranged in a star onne tion as depi ted in Fig. 1.1. Sin e urrent owing through an indu tor must be ontinuous and annot be ome zero instantaneously, the two swit hes must be designed to operate omplementarily su h a losed- ir uit ontinuous path will always exist for the ow of the indu tor urrent. For this reason, this swit hing-indu tor ell represents the minimum ongurable swit hing indu tor stru ture possible. To qualify for a lossless onversion pro ess, the swit hing-indu tor ell must be implemented with aninputvoltagesour etogether with anoutputvoltagesink,whi hformsthe basis fora voltage-to-voltage onverter.

As illustrated in Fig. 1.2, there are three possible ways of onguring the swit hing-indu tor ell while still maintaining the star- onne tion stru ture. Ea h an be realized by swapping the positions of any two of the three ir uit elements. Forproperoperation ofsu ha ongurationwith itsinputsour eandoutputsink,thereshouldbenoinstan e when the two swit hes are on urrently turned on. This will ause a dire t short ir uit ofeitherthe sour e,the sink,orthesour ewith the sinkforthe respe tive ongurations giveninFig. 1.2. Additionally,whenthereis urrentowingintheindu tor,thereshould beno instan e when both the swit hes are simultaneously turned o.

By repla ing the voltage sink in Fig. 1.1 with a more realisti and pra ti al ir uit representation in the form of a resistor- apa itor sink as illustrated in Fig. 1.3, and by onsidering the three possible ongurations of the swit hing-indu tor ell given in Fig. 1.2,three fundamentaltypesof voltage onverters an be obtained. They are the voltage bu k, boost, and bu k-boost onverters, whi h represent the fundamental topologies of the voltage onverters. The s hemati s of these onverters are given in Fig. 1.4 . For e onomi alreasons, oneofthetwoswit hesisrepla edbyadiode. Theprimarydieren e between the topologies is that ea h onverter has a dierent voltage onversion ratio

M

su h that

M

(D) =

V

o

V

in

8 1. Preliminaries

3

1

2

4

(a)

3

1

2

4

(b) PSfrag repla ements

3

1

2

4

( )

Figure1.2: Thethreepossible ongurationsof theswit hing-indu tor ell. (a)Stru ture 1, (b) Stru ture 2, ( ) Stru ture 3.

T

on

and the period

T

whi h is the sum of turn-on and turn-o time periods,

T

on

+ T

of f

, of the a tiveswit h

S

, i.e.

D

=

T

on

(T

on

+T

of f

)

.

For example, the voltage onversion ratios

M

(D)

for the respe tive onverters when they are operating in the ontinuous indu tor ondu tion mode ( urrent ow of the in-du tor never falls tozero) are:

•

Voltage bu k onverter:

V

o

V

in

= D

(1.1)

•

Voltage boost onverter:

V

o

V

in

=

1

1 − D

(1.2)

•

Voltage bu k-boost onverter:

V

o

V

in

=

D

1 − D

(1.3)

From these equations, one an expe t sin e the duty ratio is onned as

0 < D < 1

, the voltagebu k onverter anonlyprodu eanoutputvoltagesmallerthantheinputvoltage,

i.e.

V

o

< V

in

; a voltage boost onverter an only produ e an output voltage bigger than

the inputvoltage,i.e.

V

o

> V

in

;whereas avoltagebu k-boost onverterwillhave

V

o

< V

in

9

V

o

V

o

−

+

+

_=⇒

_R

Figure1.3: Voltage sinkrepla ed by resistor- apa itor sink.

ondu tion mode, the onverters inherit a dierent set of onversion ratios (given later inse tion 1.1.3). Nevertheless, their properties of stepping up or stepping down voltage levelsremain the same regardless of the ondu tionmode.

1.1.1.2 Swit hing- apa itor ell

Theswit hing- apa itor ell omprisesastorage apa itorandtwoswit hesarranged ina delta onne tionas depi tedinFig. 1.5. The voltage ofa apa itor has tobe maintained ontinuous and annot be ome zero instantaneously. The presen e of the two swit hes isimportantin the sen e that they must be syn hronised tooperate omplementarilyto ensure that there is no ir umstan e that the apa itor has a dire t short ir uit. This gives the minimum ongurable swit hing- apa itor ell must be implemented with an input urrent sour eand anoutput urrent sink. This formsthe basis for the urrent-to- urrent onverters.

As illustrated in Fig. 1.6, there are three possible ways of onguring the swit hing- apa itor ellwhilestillmaintainingthe delta- onne tionstru ture. Ea h an berealised by swapping the positions of any two of three ir uit elements. For proper operation of su h a onguration with its input sour e and output sink, there should be no instan e when the two swit hes are on urrently turned o. This will ause a dire t open ir uit of either the sour e (in ase (a)) or the sink (in ase (b)), ora short ir uit between the urrentsour eand the urrentsink(in ase ( ))for therespe tive ongurations given in Fig. 1.6. Additionally, when there is stored harge in the apa itor, there should be no instan e whenboth the swit hes are simultaneously turnedon, thus avoiding a apa itor short ir uit.

By onsidering the three possible ongurations of the swit hing- apa itor ell given inFig. 1.6, threefundamentaltypes of urrent onverters an beobtained. They are the urrentbu k,boost,andbu k-boost onverters,whi hareinrealitythedual ounterparts of the voltage onverters given in Fig. 1.4. These onverters represent the fundamental topologies in the family of urrent onverters. The s hemati s of these onverters are given in g. 1.7. For e onomi al reasons, one of the two swit hes an be repla ed by a diode. Here ea hofthesetopologiespossessesadierent urrent onversion ratio

M

,su h

10 1. Preliminaries

V

in

_Load

_V

_o

S

D

L

C

−

+

+

(a) PSfrag repla ements

V

in

S

Load

V

o

D

L

C

−

+

+

(b) PSfrag repla ements

V

in

_Load

_V

_o

S

_D

L

C

−

+

+

( )

Figure1.4: ThethreefundamentalDC-DCvoltage onverters. (a)Voltagebu k onverter, (b) Voltage boost onverter, ( ) Voltage bu k-boost onverter.

PSfrag repla ements

I

i

3

1

2

4

I

o

↑

_↓

PSfrag repla ements

3

1

2

4

+

(a) PSfrag repla ements

3

1

2

4

+

(b) PSfrag repla ements

3

1

2

4

+

( )

Figure1.6: Thethreepossible ongurationsoftheswit hing- apa itor ell. (a)Stru ture 1,(b) Stru ture 2, ( ) Stru ture 3.

that

M(D

′

) =

I

o

I

i

, where

D

′

= 1 − D

and

D

=

T

on

(T

on

+T

of f

)

represents the duty y le of S. The urrent onversion ratios

M

(D

′

)

for the respe tive onverters when they are op-erating inthe ontinous voltage ondu tion mode( voltageof the apa itornever fallsto zero) are:

•

Current bu k onverter:

I

o

I

i

= D

′

(1.4)

•

Current boost onverter:

I

o

I

i

=

1

1 − D

′

(1.5)

•

Current bu k-boost onverter:

I

o

I

i

=

D

′

1 − D

′

(1.6)

It is lear from the equations that for a bu k urrent onverter, the output urrent is alwayssmallerthan itsinput,i.e.

I

o

< I

i

;for the urrentboost onverter, output urrent is always bigger than the input urrent, i.e.

I

o

> I

i

; and for the urrent bu k-boost onverter,

I

o

< I

i

when

0 < D

′

<

0.5

and

I

o

> I

i

when

0.5 < D

′

<

1

.

1.1.1.3 Duality of voltage and urrent onverters

The family of urrent onverters are basi ally the dual ounterparts of the voltage on-verters. So far, we have demonstrated the formulation of these onverters from basi ir uit rules and framework of a swit hing-indu tor ell and a swit hing- apa itor ell. Interestingly, usingthe prin ipleof ir uit duality,it ispossibletoextra t the same fam-ilyof urrent onverters fromthe voltage onverters,and onversely, thefamilyofvoltage onverters fromthe urrent onverters.

1.1.1.4 Pra ti al urrent DC-DC onverters

Whilethereportedfamilyof urrentDC-DC onvertersinFig. 1.7aretheoreti ally feasi-ble, inreality,itisun ommonthatpra ti al urrentsour eand urrentsinkare available. Hen e, amorepra ti als enariowouldbetorepla ethe urrentsour esand urrentsinks with their ir uit equivalentof voltage sour esand sinks, whi hare respe tivelyshown in Fig. 1.8. This willresult in aninteresting family of urrent bu k, boostand bu k-boost onverters that are based on voltage sour es and sinks, as depi ted in Fig. 1.9. Note that the derived onverterspossesses twoindu tors and two apa itors andthey must be operated onlyinthe ontinuousindu tor ondu tionmode su hthat the urrentsofboth the indu tors are always ontinuous(topreserve the originalproperty of a urrent sour e and urrent sink). The presented urrent bu k and boost onverters and their modied

1

2

3

4

I

i

I

o

S

D

C

+

↑

↓

(a)

1

2

3

4

PSfrag repla ements

I

i

I

o

S

D

C

+

↑

↓

(b)

1

2

3

4

PSfrag repla ements

I

i

_I

o

S

_D

C

+

↑

↓

( )

Figure 1.7: The three fundamental DC-DC urrent onverters. (a) Current bu k on-verter, (b) Current boost onverter, ( ) Current bu k-boost onverter.

14 1. Preliminaries

I

i

V

in

−

+

L

↑

=⇒

(a)

I

o

V

o

+

C

R

L

↓

=⇒

(b)

Figure 1.8: (a) Current sour e repla ed by an equivalent of voltage sour e and series indu tor and (b) Current sink repla ed by a resistor- apa itor sinkand series indu tor.

be interesting for new emerging appli ations. Coin identally, the modied bu k-boost onverter given inFig. 1.9( ) happens tobe the well known Cuk onverter.

1.1.2 Fourth-order onverters

The Cuk, SEPIC, and zeta onverters are a family of fairly interesting fourth-order on-verters that were introdu ed in 1980s [5℄. They have been lassied as fourth order onverters for the reason that ea h of these onverters omprises four independent stor-age elementsinvolvingtwoindu torsandtwo apa itorsthatareinter-a tively ongured with the voltage sour e and sink viaa swit hand a diode.

From a topologi alviewpoint,fourth-order onverters have twi e the number of stor-age elements and are more ompli ated than the fundamental voltage bu k, boost, and bu k-boost onverters, whi h are primarily se ond-order onverters. Nevertheless, the fourth-order onverterspossessuniquefeatureswhi hrenders thempreferentialin ertain appli ations over the se ond-order onverters.

Nextwewillillustratehowthisfamilyoffourth-order onverters anbeobtainedfrom a two-indu tor-two-swit h ir uit utset.

1.1.2.1 Two-indu tor-two-swit h ir uit utset

Based on the two-indu tor-two-swit h utset, the family of fourth-order onverters an be portrayed in the generi stru ture as depi ted in Fig. 1.10. In this diagram,the four boxesindottedlines whi hare labeledas

1

A

,

1

B

,

2

A

,and

2

B

representeither anindu tor or a swit h.

Thestru ture itselfis known asthe two-indu tor-two-swit h ir uit utset. Toensure that there will be no short- ir uit operation of the voltage sour e and voltage sink, the utset must be ongured su h that if omponent

1

A

is a swit h, then the omponent

1

2

3

4

R

V

in

_V

o

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

(a)

1

2

3

4

R

PSfragrepla ements

V

in

_V

o

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

(b)

1

2

3

4

R

PSfragrepla ements

V

in

_V

o

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

( )

Figure 1.9: The three fundamental DC-DC urrent onverters with their input urrent sour es and output urrent sinks repla ed by equivalent viltage sour e and sink ir uits. (a)Modied urrent bu k onverter, (b) Modied urrent boost onverter, ( ) Modied urrentbu k-boost onverter.

16 1. Preliminaries

V

in

2

_B

1

A

2

A

1

B

−

+

C

1

C

2

Load

Figure 1.10: Generi fourth-order onverter with two-indu tor-two-swit h utset.

omponent

2

B

must be an indu tor, and vi e versa. With these onstraints, there exist only four possible ongurations in this two-indu tor-two-swit h utset. One of these possible ongurations is:

1

A

is an indu tor,

1

B

is aswit h,

2

A

is an indu tor, and

2

B

is a diode. This makes the Cuk onverter given in Fig. 1.11(a). A se ond onguration is toassign

1

A

asindu tor,

1

B

asaswit h,

2

A

as anindu tor, and

2

B

asadiode. This gives the SEPIC onverter, whi hisshown inFig. 1.11(b). Thethird ongurationistoassign

1

A

as aswit h,

1

B

as anindu tor,

2

A

as anindu tor, and

2

B

as a diode, togive what is known as the zeta onverter, as depi ted in Fig. 1.11( ).

For all the three topologies, the voltage onversion ratios

M

(D)

for the ontinuous indu tor ondu tionmode are exa tlythat of abu k-boost onverter, i.e.

V

o

V

in

=

D

1 − D

(1.7)

The dieren ebetween these onverters and the voltage bu k-boost onverter is that for the latter, both the input urrent and the output urrent are non-pulsating. For the SEPIC onverter, the input urrent isnon-pulsating but the output urrent is pulsating. For the zeta onverter, the input urrent is pulsating but the output urrent is non-pulsating.

1.1.3 Continuous and dis ontinuous ondu tion mode

Whentheidealswit hesofad -d onverterareimplementedusing urrent-unidire tional and/or voltage-unidire tional semi ondu tor swit hes, one or more new modes of oper-ation known as dis ontinuous ondu tion modes (DCM) an o ur. The dis ontinuous ondu tion mode arises when the swit hing ripple in an indu tor urrent or apa itor voltage is large enough to ause the polarity of the applied swit h urrent or voltage to reverse,su hthatthe urrent-orvoltage-unidire tionalassumptionsmadeinrealizingthe

V

in

_V

o

Load

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

(a) PSfragrepla ements

V

in

_V

o

Load

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

(b) PSfragrepla ements

V

in

_V

o

Load

S

D

C

1

C

2

L

1

L

2

−

+

+

+

( )

Figure 1.11: Known types of fourth-order onverters with the two-indu tor-two-swit h utset. (a)Cuk onverter, (b) SEPIC onverter, ( ) Zeta onverter.