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Fonctions polynômes du second degré et fonctions homographiques

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Rappel des résultats à connaître sur les fonctions polynômes de degré 2 .

Rappel des résultats à connaître sur les fonctions homographiques .

On appelle fonction homographique toute fonction h non affine qui peut s'écrire comme quotient de deux fonctions affines. Soit a, b, c et d quatre réels tels que ad −bc ≠0 et c≠0 .

Pour tout x ≠−d

c , f (x )= ax +b cx +d

Toute fonction homographique a une écriture (canonique !) de la forme f (x )=β+ A x −α . Elle est représentée par une hyperbole centrée autour du point Ω(α ;β) .

(2)

Exercice 1 : Déterminer les fonctions polynômes du second degré f et g qui vérifient : 1. cf passe par A(0 ; 2) et a pour sommet S (−1;−4) .

2. cg passe par B(2 ;0) , C (−4 ;0) et D(0 ;−16) .

Exercice 2 : Sur la figure ci-contre, CUAD est un carré de côté 10 cm. M est un point de [CD]. On désigne par x la distance DM exprimée en centimètres. f (x) désigne l'aire de la surface colorée, c'est à dire l'aire de la figure formée par le carré MOND et le triangle COU.

1. Déterminer l'expression de f (x) en fonction de x et préciser l'ensemble de définition de f.

2. Déterminer par le calcul les valeurs de x pour lesquelles f (x )=50 . 3. Déterminer le tableau de variations de f. Justifier avec soin.

4. a) Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire de la surface colorée est maximale.

5. Déterminer la ou les valeur(s) de x pour lesquelles l'aire de la surface colorée est minimale.

Exercice 3 : On considère la fonction f définie par f (x )= 6 x

4 – 3 x . On appelle cf sa représentation graphique dans le repère orthonormé O ;i , j fourni en annexe I.

Partie A

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f . 2. Montrer que, pour tout x ∈ df , f (x )+2≠0 .

3. Donner, en justifiant, la nature de cf . Déduire des questions 1. et 2. les coordonnées du centre de

symétrie de cf .

4. On admet (si on ne la pas déjà prouvé dans la question 2.) que, pour tout x ∈ df , f (x )=−2+

8 4−3 x . Montrer que la fonction f est croissante sur

]

43;+∞

[

.

5. Dresser, sans justification supplémentaire, le tableau de variations de f . Partie B

Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x)=−x2

+5 x−4 .

1. Donner, en justifiant, la nature de la courbe représentative, cg , de g, et ses éléments caractéristiques

(orientation, sommet, point d'intersection avec l'axe des ordonnées). On ne demande pas de tracer cg .

2. On admet (assez facilement, si on a répondu entièrement à la question précédente) que : Pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=−

(

x−5

2

)

2

+9 4 En partant de l'expression ci-dessus, montrer que :

Pour tout x ∈ ℝ, g ( x)=−( x−1)(x−4)

3. Par des considérations graphiques, justifier le tableau de signes suivant :

x –∞ 1 4 +∞

g ( x) – 0 + 0 –

Partie C

1. Calculer l'ordonnée du point A d'abscisse 1 de la courbe cf (c'est la courbe de l'annexe...).

Le placer sur le graphique.

2. Déterminer par le calcul le (ou les) antécédent(s) de −3 par f . En déduire les coordonnées du point B de la courbe cf qui a pour ordonnée −3 . Le placer sur le graphique.

3. Montrer que la droite (AB) a pour équation réduite y=−3 x+9 (Et si vous n'arrivez pas à le montrer, c'est peut-être que A et B sont incorrects ? Mais l'équation de (AB) est bien y=−3 x+9 ...).

4. Résoudre graphiquement, en justifiant, l'inéquation (I) : f (x )≤ −3 x+9 . 5. a. Montrer que : (I) ⇔ 9 g (x )

4−3 x0 , où g est la fonction définie dans la partie B. b. Grâce à un tableau de signes, retrouver le résultat de la question 4..

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