Chapitre 14. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) 1 / 49

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Chapitre 14

Calcul matriciel

Math´ematiques PTSI

Lycée Déodat de Séverac

(2)

A l’issue de ce chapitre vous devez savoir :`

-M1- R´ealiser un produit de matrices avec les bonnes tailles et maˆıtriser la formule associ´ee ;

-M2- Calculer des puissances de matrices carrées, notamment à l’aide du binôme de Newton ;

-M3- Montrer qu’une matrice est inversible, connaˆıtre sa définition ainsi que ses différentes caractérisations et calculer l’inverse d’une matrice inversible ; -M4- Faire le lien entre opérations élémentaires et produit matriciel ;

-M5- Maˆıtriser la transposition de matrices.

Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) 2 / 49

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Notations : On note ci-dessous, sauf mentions contraires :K=RouC.

(4)

Généralités

Plan

1 Généralités

Ensemble des matrices

Combinaison lin´eaire de matrices Produit de matrices

Les exercices du jour

2 Structure alg´ebrique des matrices carr´ees

3 Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles

4 Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels

(5)

Généralités Ensemble des matrices

D´ efinition 1:

Soientnetpdeux entiers strictement positifs.

1 On appelle matrice de taillenpet `a coefficients dansKtout tableau `anlignes et pcolonnes. On note :

A=







a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p

.. .

.. . an1 an2 . . . anp







, avec aij∈K.

2 On dit que deux matrices de taillenpet à coefficients dansKsont égales lorsque leurs coefficients sont égaux ;

3 On note :

• Mnp(K)l’ensemble des matrices de taillenpet `a coefficients dansK,

• Onpl’élement deMnp(K)dont tous les coefficients sont égaux à0,

4 Lorsquep=n, on dit que la matrice est carr´ee, et on ´ecrit plus simplement :

• Mn(K)au lieu deMnn(K),

• Onau lieu deOnn.

(6)

Généralités Ensemble des matrices

REMARQUE : Nous utilisons ´egalement les notations :

• A= (aij)1≤i≤n 1≤j≤p

;

• A= (C1, C2, . . . , Cp)o`uC1, C2, . . . , Cp sont les colonnes deA;

• A=





 L₁ L₂ ... Ln







, o`uL₁, L₂, . . . , L_n sont les lignes deA.

(7)

Généralités Combinaison linéaire de matrices

D´ efinition 2:

PourA= (aij)1≤i≤n, 1≤j≤p

, B= (bij)1≤i≤n, 1≤j≤p

, λ∈K, on note :

1 A+B la matrice de Mnp(K), de coefficients :

∀i∈J1;nK,∀j∈J1, pK, aij+bij;

2 λAla matrice deMnp(K), de coefficients :

∀i∈J1;nK;∀j∈J1;pK, λa_ij.

(8)

Généralités Combinaison linéaire de matrices

Proposition 1(structure d’espace vectoriel)

1 (Mn,p(K),+) est un groupe abélien. Plus précisément :

• Pour tous(A; B)∈(Mnp(K))², A+B=B+A;

• L’élément neutre est0M_n,p, c’est à dire :

∀A∈ Mnp(K), ; 0M_n,p+A=A

• Le sym´etrique deA∈ Mnp(K)est−A:A+ (−A) = 0M_n,p.

2 PourAetB deux éléments deM_np(K)etλ,µdeux éléments de K quelconques :

• λ(A+B) =λA+λB;

• (λ+µ)A=λA+µA;

• (λµ)A=λ(µA).

• 1_KA=A

• 0.A= 0M_n,p

(9)

Généralités Produit de matrices

D´ efinition 3:

PourA= (a_ij)_1≤i≤n

1≤j≤r

∈ M_nr(K)etB= (b_ij)_1≤i≤r

1≤j≤p

∈ M_rp(K), on appelle produit deAetB, et on noteAB= (cij)1≤i≤n

1≤j≤p

∈ Mnp(K)la matrice telle que :

cij =

r

X

k=1

aikbkj=ai1b1j+ai2b2j+. . .+airbrj.

REMARQUE : Pour que le produitABexiste, il faut que le nombre de colonnes deAsoit ´egal au nombre de lignes deB.

(10)

Généralités Produit de matrices

Proposition 2(propri´ et´ es du produit matriciel)

SoitA∈ Mnp(K), alors :

1 pourλ∈KetB∈ Mpr(K),(λA)B=A(λB) =λAB;

2 pourB∈ Mnp(K)etC∈ Mpr(K),(A+B)C=AC+BC;

3 pourB∈ Mpr(K)etC∈ Mpr(K),A(B+C) =AB+AC;

4 pourB∈ M_pr(K)etC∈ M_rs(K),(AB)C=A(BC);

5 0rnA= 0rp etA0pr= 0nr.

Proposition 3

SoitA∈ Mn,p(K), B∈ Mp,malors

AB= (AB1· · ·ABm) o`uB1,· · ·, Bmsont les colonnes deB.

AB=





 L1B

.. . LnB







o`uL1,· · ·, Lmsont les lignes deA.

(11)

Généralités Les exercices du jour

Exercice 1

[M1] Soient A =





1 0 −1 2 3 2 1 4 5



, B =





2 1

−3 5 0 −4



, C =

1 0

−1 2

et

D =

1 −3 4

2 2 1

. Calculer tous les produits possibles de deux matrices parmi les matrices pr´ec´edentes.

Exercice 2

[M1] On note A = (aij) ∈ Mn(R) telle que : aij = 1

j. Montrer que A²=λAavecλ∈R`a pr´eciser.

(12)

Structure alg´ebrique des matrices carr´ees

Plan

1 Généralités

2 Structure alg´ebrique des matrices carr´ees Etude du produit´

Puissances d’une matrice carr´ee Matrices inversibles

(13)

Structure algébrique des matrices carrées Étude du produit

REMARQUE : SiA∈ Mn(K)etB∈ Mn(K), alors : AB∈ Mn(K). On dit que le produit matriciel est une loi de composition interne pourMn(K).

D´ efinition 4:

La matrice identitée notéI_n ∈ M_n(K) est telle que tous ses coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux égaux à1.

Proposition 4

DansMn(K), le produit matriciel est :

• associatif :A(BC) = (AB)C;

• non commutatif :AB6=BAen toute généralité.

• admet un ´el´ement neutre :∀A∈Mn(K), AIn=InA=A.

(14)

Structure algébrique des matrices carrées Puissances d’une matrice carrée

Notation :Pour A∈ Mn(K), on note :A⁰=In,A¹=Aet pour tout n≥2, Aⁿ=AA . . . A

| {z }

n matrices

.

Proposition 5(binˆ ome de Newton)

Soient A et B deux ´el´ements de Mn(K) qui com-

mutent, c’est `a dire tels que : AB = BA. Alors

(A+B)ⁿ=

n

X

k=0

n k

A^kB^n−k =

n

X

k=0

n k

B^kA^n−k.

Il faut absolument v´erifier AB = BA. En effet, sinon, pour n = 2, (A+B)²= (A+B)(A+B) =A²+ AB+BA

| {z }

6=2ABen toute généralité

+B².

(15)

Structure alg´ebrique des matrices carr´ees Matrices inversibles

D´ efinition 5:

SoitA∈ Mn(K). On dit queAest inversible lorsqueAadmet un sym´etrique pour le produit matriciel, c’est `a dire lorsqu’il existe B∈ Mn(K)tel que : AB=BA=In.

Notations :On note•B=A⁻¹que l’on appelle l’inverse deA;

•GL_n(K)l’ensemble des matrices inversibles.

Proposition 6(propri´ et´ es alg´ ebriques des matrices inversibles)

GL_n(K)muni du produit matriciel est un groupe. Plus pr´ecisement :

1 SiAest inversible, alors A⁻¹ est inversible et l’inverse deA⁻¹ estA: (A⁻¹)⁻¹=A;

2 SiAetB sont inversibles, alorsABest inversible et son inverse est B⁻¹A⁻¹ :(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.

(16)

Structure alg´ebrique des matrices carr´ees Les exercices du jour

Exercice 3

[M2] En ´ecrivant A = 1 1

0 1

= I2 + 0 1

0 0

, calculer Aⁿ pour tout n∈N.

Exercice 4

[M3] SoitA= 1 1

0 1

1 CalculerA².

2 V´erifier qu’il existea;b∈R;A²=aA+bI2.

3 En d´eduire queA est inversible et donnerA⁻¹.

(17)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles

Plan

1 Généralités

3 Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Produit matriciel et système linéaire

Matrices élémentaires et opérations élémentaires Application à l’étude de l’inversibilité

(18)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Produit matriciel et système linéaire

Interprétation matricielle d’un système linéaire.

(S)











a11x1+a12x2+. . .+a1pxp=b1

a21x1+a22x2+. . .+a2pxp=b2

...

a_n1x₁+a_n2x₂+. . .+a_npx_p=b_n

;avecaij, bi∈Kdonn´es pour

(i, j)∈[[1;n]]×[[1;p]].

SoientA=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1p a₂₁ a₂₂ . . . a_2p

...

an1 an2 . . . anp





 , B=





 b₁ b₂ ... bn







∈ Mn,1(K),

X =





 x₁ x₂ ... xp







∈ M_p,1(K).

Résoudre(S)est équivalent à résoudre l’équation matricielleAX=B(IciAXest le produit de la matriceA avec la matriceX) d’inconnue la matrice colonneX .

(19)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Produit matriciel et système linéaire

Proposition 7

On note (S) :AX=B et(SH) :AX= 0son système homogène associé.

1 SiX_H est solution de(S_H)etX₀est solution de(S), alorsX₀+X_H est solution de (S).

2 Réciproquement, toute solution X de (S) s’écrit sous la forme : X=X0+XH, oùX0est solution de (S) etXH est solution de(SH).

(20)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Matrices élémentaires et opérations élémentaires

D´ efinition 6:

Soient n∈ N^∗,(i, j)∈ J1; nK

2, i 6=j , λ∈K^∗. Une matrice ´el´ementaire est :

1 une matrice de dilatation

Di(λ) =diag(1,· · ·,1, λ,1,· · · ,1)∈ Mn(K):

D_i(λ) =

n

X

k=1,k6=i

E_kk+λE_ii.

2 une matrice de transvectionTij(λ)∈ Mn(K): T_ij(λ) =I_n+λE_ij.

3 une matrice de transpositionP_ij ∈ Mn(K):

P_ij =

n

X

k=1,k6=i,k6=j

E_kk+E_ij+E_ji.

(21)

Proposition 8

SoitA∈ Mnp(K);λ∈K^∗;i;j∈ {1;· · ·;n};i6=j Effectuer les op´erations

élémentaires suivantes sur les lignes de la matrice (ou du système) :

• Li←λLi est équivalent à multiplierAà gauche parDi(λ).

• Li↔Lj est équivalent à multiplierAà gauche par Pij.

• Li←Li+λLj est équivalent à multiplier la matriceA à gauche par Tij(λ).

(22)

Proposition 9

Les matrices ´el´ementaires sont inversibles et∀(i;j)∈J1; nK

2(i6=j) :

1 D_i(λ)⁻¹=D_i(_λ¹);

2 Tij(λ)⁻¹=Tij(−λ);

3 P_ij⁻¹=P_ij.

(23)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Application à l’étude de l’inversibilité

(24)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Application à l’étude de l’inversibilité

Proposition 10

SoientA∈ Mn(K)etB∈ Mn(K)tels que AB=In. AlorsBA=In.

Th´ eor` eme 1

SoitA∈ M_n(K). Les propositions suivantes sont ´equivalentes : (a) A est inversible ;

(b) L’´equation d’inconnueX ∈ Mn1(K), AX = 0n’admet que la solution nulle ;

(c) Pour tout Y deMn,1(K), le syst`emeAX=Y admet une unique solution.

(25)

Interprétation matricielle des systèmes linéaires et matrices inversibles Les exercices du jour

Exercice 5

[M3] Montrer queA=





2 1 1 1 2 1 1 1 2



est inversible et calculerA⁻¹.

(26)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels

Plan

1 Généralités

4 Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Transposition de matrices

Les matrices sym´etriques ou anti-sym´etriques Les matrices triangulaires

(27)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Transposition de matrices

D´ efinition 7:

SoitA∈ Mnp(K).On appelle matrice transposée de Aet on note A^T = (a⁰_ij)la matrice appartenant à Mpn(K)définie par :

∀i∈J1; pK,∀j ∈J1; nK, a⁰_ij =aji. .

REMARQUE : Transposer une matrice revient `a transformer les colonnes en ligne et les lignes en colonne.

(28)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Transposition de matrices

Proposition 11(propri´ et´ es de la transposition)

1 PourA∈ Mnp(K),(A^T)^T =A;

2 PourAetB deux ´el´ements deMnp(K) (A+B)^T =A^T +B^T;

3 PourA∈ M_np(K)etλ∈K,(λA)^T =λA^T;

4 PourA∈ Mnr(K)etB∈ Mrp(K),(AB)^T =B^TA^T;

5 SiAest inversible, alorsA^T est inversible et(A^T)⁻¹= (A⁻¹)^T.

(29)

Transposition et ensemble de matrices carrées usuels Les matrices symétriques ou anti-symétriques

D´ efinition 8:

SoitA= (aij)∈ M_n(K). On dit queAest :

1 sym´etrique siA^T =A;

On noteS_n(K)l’ensemble des matrices sym´etriques.

2 antisym´etrique siA^T=−A. On noteA_n(K)l’ensemble des matrices antisym´etriques.

REMARQUE : Aest sym´etrique si et seulement si :

A=







a11 a12 . . . a1n

a12 a22 . . . a2n

..

. ... . .. ... a1n a2n . . . ann





 .

Aest antisym´etrique si et seulement si

A=







0 a12 . . . a1n

−a₁₂ 0 . . . a2n

.. .

..

. . .. ...

−a1n −a2n . . . 0





 .

(30)

Transposition et ensemble de matrices carrées usuels Les matrices symétriques ou anti-symétriques

Proposition 12Stabilit´ e

SoientAetB deux matrices sym´etriques (resp.antisym´etriques). Alors :

1 A+B est sym´etrique (resp. antisym´etrique) ;

2 Pourλ∈K,λAest sym´etrique (resp. antisym´etrique).

Le produit de deux matrices symétriques n’est pas forcément symétrique.

De mˆeme pour les matrices antisym´etriques. Par exemple, pour A = 1 2

2 1

etB= 2 1

1 1

, nous avonsAetB sym´etriques, maisAB= 4 3

5 3

n’est pas sym´etrique.

(31)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Les matrices triangulaires

D´ efinition 9:

SoitA= (aij)∈ Mn(K). On dit queAest : 1 triangulaire sup´erieure lorsque :aij= 0pouri > j:

A=







a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n

.. .

0 0 . . . ann





 .

2 triangulaire inf´erieure lorsque :aij= 0pouri < j:

A=







a11 0 . . . 0

a21 a22

... 0

.. .

... .. . an an2 . . . ann





 .

3 diagonale lorsque :aij= 0pouri6=j:

A=







a11 0 . . . 0

0 a22 ..

. 0

.. .

... ...

.. .

0 0 . . . ann





 .

REMARQUE :Adiagonale⇔Atriangulaire sup´erieure et triangulaire inf´erieure.

(32)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Les matrices triangulaires

Proposition 13

1 Une matrice triangulaire (sup´erieure ou inf´erieure) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

2 L’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire.

(33)

Transposition et ensemble de matrices carr´ees usuels Les exercices du jour

Exercice 6

[M5] PourA ∈ Mnp(K), on pose : S =A^tA∈ Mn(K). Montrer queS est sym´etrique.