Devoir surveillé 1.

(1)

Mathématique ECS 1 03 Sept. 2016

Devoir surveillé 1.

Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureuse ne rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures. Aucune sortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.

Ce sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1. On considère le nombre complexe z=−p 2 +√

3 +ip 2−√

3.

(1) Donner la forme algébrique de z².

(2) En déduire la forme trigonométrique de z².

(3) Déterminer alors la forme trigonométrique de z. On justifiera soigneusement cette détermination.

(4) En déduire le sinus et le cosinus de π 12.

Exercice 2. Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième.

On note A1 l’événement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur » et A2

l’événement : « les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur ».

On note Al’événement contraire de l’événementA.

On rappelle que la notationPA(B)désigne la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événementA l’est.

(1) Montrer que la probabilité de l’événementA1 est égale à 1 19.

(2) (a) Calculer directement la probabilité conditionnellePA₁(A2)queA2 soit réalisé sachant queA1 l’est.

(b) Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à 1

323. (3) (a) Calculer la probabilité P_A

1(A2).

(b) En remarquant queA2= (A2∩A1)∪ A2∩A1

, calculer la probabilitéP(A2)puis en déduire queP(A2∪A1) = 33

323.

(4) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi chacun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoireX prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

(a) Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoireX. (b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.

Exercice 3. La courbe Cdonnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonctionf définie sur ]0 ; +∞[par :

f(x) =ln(x)

√x + 1−x.

0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1

O

−

→

−

→ı

C α

(2)

(1) (a) Montrer que f est dérivable et que, pour toutxstrictement positif,f^′(x)est du signe de N(x) =−

2 x√ x−1

+ ln(x).

(b) CalculerN(1)et déterminer le signe de N(x)en distinguant les cas 0< x <1etx >1.

(c) En déduire le sens de variation def sur]0 ; +∞[et les coordonnées du point deC d’ordonnée maximale.

(2) On noteA(α)l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, oùαdésigne un réel de]0 ; 1[.

(a) Soitg la fonction définie sur]0,+∞[parg(x) =√

xln(x). Calculerg^′(x)et en déduire une primitive sur]0,+∞[ de la fonctionx7→ ln(x)

√x .

(a) Exprimer alorsA(α)en fonction deα.

(b) Calculer la limite deA(α)lorsqueαtend vers 0. Donner une interprétation graphique de cette limite.

Exercice 4. On considère l’algorithme suivant :

Saisir un réel strictement positif non nula Entrée Saisir un réel strictement positif non nulb(b > a)

Saisir un entier naturel non nulN Affecter àula valeura

Initialisation Affecter àv la valeurb Affecter ànla valeur0 TANT QUEn < N

Affecter ànla valeurn+ 1 Affecter àula valeur a+b

2

Traitement Affecter àvla valeur

ra²+b² Affecter àala valeuru 2

Affecter àbla valeurv

Sortie Afficheru, afficherv

(1) Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a= 4, b= 9et N = 3. Les valeurs successives de uet vseront arrondies au millième.

n a b u v

0 4 9

1 2

Dans la suite,aetb sont deux réels tels que0< a < b.

On considère les suites(un)et(vn)définies par : u0=a, v0=bet, pour tout entier natureln:

un+1= un+vn

2 et vn+1=

ru²n+v²n

2 (2) (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :un>0et

vn>0.

(b) Démontrer que, pour tout entier natureln:vn+1² −u²n+1=

un−vn

2 ²

. En déduire que, pour tout entier natureln, on a un ≤vn.

(3) (a) Démontrer que la suite (un)est croissante.

(b) Comparerv²n+1 etv²n. En déduire le sens de variation de la suite(vn).

(4) Démontrer que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

(3)

Mathématique ECS 1 08 oct. 2016

Devoir surveillé 2.

Exercice 1 (Un problème d’Euler.). Trois personnes jouent ensemble. Ils conviennent qu’à chaque partie, le perdant doublera l’avoir de chacun des deux autres. Ils se retirent du jeu avec24louis chacun. Combien chacun avait d’argent en venant jouer sachant qu’ils ont joué trois parties et que chacun d’eux a perdu une partie.

On pourra appeler A le joueur ayant perdu la première partie, B le joueur ayant perdu la deuxième partie et C le joueur ayant perdu la troisième partie, introduire pour chacun leur somme initiale et former le système linéaire vérifié par celles-ci.

Exercice 2. On désigne par=m(z)la partie imaginaire du nombre complexez.

On poseω= e^2iπ⁷ etS et T les nombres complexes :

S =ω+ω²+ω⁴, T =ω³+ω⁵+ω⁶. (1) Montrer que les nombres complexesS etT sont conjugués.

(2) Comparersin 4π

7

etsin 6π

7

, puis établir que=m(S)>0(on distinguera bien>et≥).

(3) CalculerS+T etST. (4) En déduireS et T.

Exercice 3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O,−→ i ,−→

j).

Partie A - Étude d’une fonction

La fonctionf est définie surRparf(x) =e^2x−1

e^2x+ 1 etΓest sa courbe représentative dans le repère(O,−→ i ,−→

j).

(1) Étudier la parité def.

(2) Montrer que pour toutxappartenant àR, −1< f(x)<1.

(3) Quelles sont les limites def en−∞et +∞?

(4) Montrer que f est dérivable sur R, puis établir que f⁰(x) = 1−f(x)². Établir les variations de f et dresser son tableau de variations ; en déduire le signe def(x)surR.

(5) Le réelαétant un nombre appartenant à]−1 ; 1[, montrer que l’équationf(x) =αadmet une solution uniquex0. Exprimer alorsx0 en fonction deα.

Partie B - Tangentes à la courbe

(1) Déterminer une équation de la tangente∆2à Γau pointAd’ordonnée 1 2.

(2) Montrer que le point B de la courbe Γ, d’ordonnée positive, où le coefficient directeur de la tangente est égal à 1

2 a pour coordonnées :

ln

1 +√ 2

; 1

√ 2

.

(4)

Partie C - Calcul d’intégrales

(1) Calculer Z 1

0

[f(x)]²dx.

(2) Montrer quef(x) = e^x−e^−x

e^x+e^−x; en déduire une primitive def.

(3) (a) Montrer que sur[0,+∞[la courbeΓ est située sous la droite d’équationy=x.

(b) Calculer l’aire (en unité d’aire) de la surface comprise entre, la droite d’équationy=xet les droites d’équations x= 0 etx= 1.

(3) En utilisant une intégration par parties, montrer que :

Z 1

0

x 1−[f(x)]²

dx= e²−1 e²+ 1 −ln

e²+ 1 2e

.

En déduire Z 1

0

x[f(x)]²dx.

Exercice 4. Soitnun entier supérieur ou égal à3.

On dispose de deux urnes : une urne U1 contenant quatre boules blanches et une boule noire, et une urneU2

contenant quatre boules noires et une boule blanche.

Partie I

Une épreuve consiste à lancer deux dés équilibrés à six faces, puis si la somme des faces obtenues est 3,7 ou 9, on tire une boule de l’urneU1, sinon on tire une boule de l’urne U2. Une fois la couleur notée, la boule est ensuite remise dans l’urne.

On répètenfois l’épreuve décrite ci-dessus : avant chaque tirage, le choix de l’urne dépend donc du résultat du lancer des deux dés et la boule tirée auk^e tirage est remise dans l’urne avant de procéder auk+ 1^e tirage.

On s’intéresse à la probabilité de tirer une boule blanche aun^e tirage et exactement deux boules blanches au cours desn−1 tirages précédents. On notep_n cette probabilité.

On note, pour tout entier naturel ktel que1≤k≤n,

—B_k l’événement « lek^e tirage apporte une boule blanche »

—Uk l’événement « au cours desk−1 premiers tirages, deux boules blanches exactement ont été tirées. » (1) Calculer la probabilitéP(Bn).

(2) Calculerp3 etp4. (3) Calcul dep_n

(a) Soitpun entier tel quep≥2 et cp le coefficient binômialcp= ^p₂

.Montrer que cp =c_p−1+p−1 et en déduire l’expression decp en fonction dep.

(b) Calculer la probabilitéP(U_n).

(c) En déduirepn.

Partie II

Dans cette partie, on procède àntirages avec remise mais cette fois, le choix de l’urne se fait au hasard avant chaque nouveau tirage. Les urnesU1 etU2sont les mêmes qu’à la partie précédente.

On s’intéresse à la probabilité qn qu’au cours des n tirages, une boule blanche n’a pas été tirée trois fois de suite.

On note, pour tout entier naturel ktel que1≤k≤n,

—Bk l’événement « lek^e tirage apporte une boule blanche, »

—Nk l’événement « lek^e tirage apporte une boule noire, et »

—Vn l’événement « au cours desntirages, trois boules blanches à la suite n’ont pas été tirées. » (1) Calculerq1, q2, q3et q4.

(2) Relation de récurrence pour le calcul deq_n.

(a) Etablir l’égalitéVn = [Vn∩N1]∪[Vn∩B1∩N2]∪[Vn∩B1∩B2∩N3] (b) En déduire une relation de récurrence entreq_n, q_n−1, q_n−2et q_n−3. (c) Vérifier cette relation pour n= 4.

(5)

Mathématique ECS 1 19 nov. 2016

Devoir surveillé 3.

Exercice 1. Le web est constitué de milliards de pages et des liens qui les relient. On considère, dans cet exercice, un minuscule réseau constitué de trois pages, notéesA, B et Cavec :

— deux liens sur la pageA, l’un pointant vers la pageB et l’autre vers la pageC,

— deux liens sur la pageB, l’un pointant vers la pageA, l’autre vers la pageC,

— et enfin quatre liens sur la pageC, un pointant vers la pageA, un pointant vers la pageB et deux liens pointant sur la pageC.

Un promeneur impartial navigue sur ce réseau en cliquant sur les liens qui lui sont offerts.

Il est initialement (à l’instantt = 0) sur la page A. Il peut ensuite soit cliquer sur le lien pointant vers B, soit sur le lien pointant versCpour se trouver, à l’instant d’après (instantt= 1), soit sur la pageB, soit sur la pageC.

Il poursuit ensuite sa promenade de la manière suivante : si à un instantt=n, il se trouve sur une pageA, B ouC, il clique alors sur l’un des liens présents sur cette page, pour se retrouver à l’instantt=n+ 1, sur la page correspondante au lien cliqué.

Pour tout entier natureln, on définit les trois événementsAn,Bn,Cn :

—An : « à l’instant t=n, le promeneur se trouve sur la pageA»

—Bn : « à l’instant t=n, le promeneur se trouve sur la pageB»

—Cn : « à l’instantt=n, le promeneur se trouve sur la page C»

On notean,bn,cn les probabilités respectives des événementsAn,Bn,Cn et on poseUn=



 an

bn

cn



.

On rappelle, au besoin, la formule des probabilités totales suivantes : si les événementsE1, E2, . . . , Emforment un système complet d’événements alors

P(F) =

m

X

i=1

PE_i(F)P(Ei)

oùF est un événement quelconque.

(1) Déterminer les valeurs dea₀,b₀ etc₀.

(2) Pour tout entiern, déterminer, en justifiant, la valeur dea_n+b_n+c_n? (3) (a) Montrer :∀n∈N,an+1=1

2bn+1 4cn.

(b) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles figurant sur le schéma ci-dessous. On représentera les résul- tats en reproduisant sur la copie et en complétant le schéma ci-dessous (indiquer les valeurs des probabilités conditionnelles figurant sur le scéma)

C

A B

PA_n(An+1)

PC_n(An+1) PA_n(Cn+1)

P_A_n(B_n+1)

PB_n(An+1)

PC_n(Bn+1)

PB_n(Bn+1)

PB_n(Cn+1)

PC_n(Cn+1)

(c) Déterminer une relation entrebn+1, an, cn d’une part, et entrecn+1, an, bn etcn d’autre part.

(6)

(4) Donner pour tout entiern≥1, la valeur decn=P(Cn).

(5) Déterminer alors une matrice M telle que pour tout entier natureln, Un+1=M Un. Exprimer alors Un enfonction deM, U0 et n.

(6) (a) Calculer M² et M³ puis déterminer une relation entre M³, M² et M. On déterminera des réels a, b tels que M³=aM²+bM.

(b) Montrer que pour tout entier natureln, il existe des réelsu_n etv_n tels queMⁿ=u_nM²+v_nM. (c) Donner les relations entreu_n+1, u_n, v_n d’une part, et entre v_n+1, u_n, v_n d’autre part.

(d) Montrer que la suite(u_n+v_n)est constante et en déduire une relation de récurrence entreu_n+1 etu_n. (e) On posewn=un−2

3.Montrer que la suite(wn)est géométrique, puis déterminer les expressions deun etvnen fonction den.

(6) En déduire les probabilitésan et bn, pour tout entiern≥1.

Exercice 2. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on pose :un = 1

n

X

k=1

k² .

On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 :v_n=

n

X

k=1

1

k, w_n =v_n−ln(n)et S_n=

n

X

k=1

u_k.

On se propose de montrer que la suite(S_n)converge et de calculer sa limite.

(1) (a) Soit un entiernsupérieur ou égal à 1. Montrer quew_n = 1 n+

n−1

X

k=1

1 k−ln

1 + 1

k

.

(b) Etudier le signe de la fonctionf :x7→ 1 x−ln

1 + 1

x

sur l’intervalle]0,+∞[.

(c) En déduire que, pour tout entiern≥1, wn≥0.

(d) Après avoir étudié le signe de la fonctiong:x7→ln(1 +x)− x

1 +x sur l’intervalle[0,+∞[, établir que pour tout n∈N^∗, wn−wn+1≥0.

(e) En déduire que la suite(wn)converge. On note γsa limite.

(2) Déterminer les réelsa,bet ctels que pour toutndeN^∗,u_n = a n+ b

n+ 1 + c 2n+ 1 (3) Etude de la limite de la suite (S_n)_n≥1.

(a) Montrer que pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

1

2k+ 1 =v2n+1−1 2vn−1.

(b) En déduire que :∀n∈N^∗,

n

X

k=1

uk= 24(vn−v2n+1) + 24− 6n n+ 1 (c) En utilisant la convergence de la suite(wn), montrer que lim

n→+∞Sn= 6(3−4 ln(2)).

On dit alors que la série de terme généralun converge et a pour somme6(3−4 ln(2))

Exercice 3. Pour tout entiern∈N, on poseIn= Z 1

0

(1−x)ⁿ

n! e^xdxetSn=

n

X

k=0

1 k!. (1) CalculerI0 puis établir une relation de récurrence entreIk+1 etIk.

(2) Déterminer la limite lim

n→+∞In. (3) En déduire la limite lim

n→+∞Sn.

Exercice 4. On définit unesuite(u_n)_n≥1, à termes strictement positifs, en posant :u₁= 1 et, pour tout entiernsupérieur ou égal à2,un= 1

2n−1

n−1

X

j=1

uj.

(1) Vérifier que u2= 1

3, puis calculeru3. (2) Etablir que : ∀n≥2, un+1= 2n

2n+ 1un et en déduire que la suite(un)est convergente.

(3) Montrer que : ∀n≥2, u_n = 4ⁿ 4n

2n n

.

(7)

Mathématique ECS 1 10 déc. 2016

Devoir surveillé 4 - CB 1.

Exercice 1. Questions indépendantes.

(1) Montrer que quelque soient les entiers naturelsi, k, ntels quek≤i≤n,on a n

i i

k

= n

k

n−k n−i

et en déduire la somme double

n

X

k=0 n

X

i=k

n i

i k

.

(2) A l’aide de la méthode de Gauss, étudier l’inversibilité et, le cas échéant, calculer l’inverse, de la matrice

M =





0 1 2 1 1 2

−2 2 3



.

Toutes les opérations devront être indiquées sur la copie.

(3) Quel est le résultat produit après la dernière instruction Scilab :

m=[1, -2, 2 ; -1, 3, 0] ; m(1,:)=m(1, 3:-1:1); m=m .* m ; disp(m)

Exercice 2. Dans cet exercice, on établit un encadrement classique den!.

(1) Soitf la fonction définie sur[0,1[parf(x) = 1 2ln

1 +x 1−x

−x.

(a) Montrer quef est dérivable sur[0,1[et établir que

f⁰(x) = x² 1−x². (b) Etablir les variations def sur[0,1[et en déduire le signe def.

(2) Soitg la fonction définie sur]0,1[parg(x) =1 2ln

1 +x 1−x

−x− x³ 3(1−x²). (a) Montrer quegest dérivable sur[0,1[et établir que

g⁰(x) = −2x⁴ 3(1−x²)².

(b) Etablir les variations degsur[0,1[et en déduire le signe deg.

(3) Déduire des questions précédentes, pour tout x∈[0,1[, l’encadrement

0≤ 1 2ln

1 +x 1−x

−x≤ x³ 3(1−x²)

(4) Soitn∈N^∗.En considérant l’encadrement précédent, pourx= 1

2n+ 1, établir l’encadrement 0≤

n+1

2

ln n+ 1

n

−1≤ 1 12

1 n− 1

n+ 1

(8)

(5) Pour toutn∈N^∗, on pose

an= nⁿ⁺¹²e⁻ⁿ

n! etbn=ane¹²ⁿ¹ . (a) Etablir que pour toutn∈N^∗,0< an< bn.

(b) Montrer que la suite(an)est croissante, puis que la suite(bn)est décroissante.

(c) En déduire qu’il existe un unique réelC >0 tel que

∀n∈N^∗, a_n ≤C≤b_n puis

∀n∈N^∗, nⁿ⁺¹²e⁻ⁿ

C ≤n!≤ nⁿ⁺¹²e⁻ⁿ⁺¹²ⁿ¹ C

Exercice 3. Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert avec probabilitépet lorsqu’il est vert, passe au rouge avec probabilitéq. On suppose que0< p <1 et0< q <1. On remarquera qu’il n’est pas nécessaire quep+q= 1!

Soitn∈N.

On noteR_n l’événement : « le feu est rouge à l’instant t =n»etV_n l’événement : « le feu est vert à l’instant t=n»puis r_n =P(R_n)et v_n=P(V_n)les probabilités respectives des événementsR_n etV_n.

On suppose aussir₀+v₀= 1.

(1) Etablir, pour toutn∈N, les formules suivantes :

r_n+1 = (1−p)r_n+qv_n v_n+1 = pr_n+ (1−q)v_n (2) Déterminer une matriceAdeM2(R)telle que :

∀n∈N,

r_n+1 v_n+1

=A r_n

v_n

(3) (a) Déterminer deux matricesB et Cde deM2(R)telles que :

B+C = I₂ B+ (1−p−q)C = A

(b) Calculer alors les matricesB², C², BC et CB.

(c) Déterminer alors la matriceAⁿ, pour toutn∈N.

(4) Etablir alors, pour toutn∈N, les expressions dern et vn en fonction der0, v0, p, q etn.

(5) En déduire les limites lim

n→+∞rn et lim

n→+∞vn.

Exercice 4. La lettrecdésigne un entier naturel non nul fixé.

Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher.

On effectue des tirages successifs d’une boule dans l’urne selon le protocole suivant : après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l’urne et on rajoute dans l’urne, avant le tirage suivant,c boules de la couleur qui vient d’être tirée.

On suppose que l’urne contient initialementbboules blanches etrboules rouges, oùb,rsont des entiers naturels non nuls.

(1) (a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au premier tirage ? (b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième tirage ?

(c) Si la deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche ? (2) Pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on notepn(x, y)la probabilité d’obtenir une boule blanche aun^emetirage,

lorsque l’urne contient initialement xboules blanches ety boules rouges.

(a) Montrer, en utilisant un système complet d’évènements associé au premier tirage, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a :

pn+1(x, y) =pn(x+c, y) x

x+y +pn(x, y+c) y x+y (b) En déduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x, y, on a :

pn(x, y) = x x+y

(9)

Mathématique ECS 1 21 janv. 2016

Devoir surveillé 5.

Exercice 1. Dans l’espace vectorielR⁴, on considère les sous-ensembles

F = {(x, y, z, t)∈R⁴|x+y+z+t= 0etx−2y+z+t= 0}

G = {(x, y, z, t)∈R⁴|x+y+z−t= 0etx−2y−z−2t= 0}

(1) Montrer queF etGsont des sous-espaces vectoriels de R⁴ et déterminer une base de chacun d’eux.

(2) Montrer que les sous-espaces vectoriels F et Gsont supplémentaires dansR⁴.

(3) On considère le vecteuru= (1,−1,0,1). Trouver un vecteurv∈F et un vecteurw∈Gtels queu=v+w.

Exercice 2. L’objectif de ce problème est d’obtenir un encadrement du nombre d’Eulere.

Partie 1.

(1) Soit(a_n)_n∈_N^∗ une suite de nombres de l’intervalle[0,1].

(a) Montrer, par récurrence, que pour toutn∈N^∗

n

Y

i=1

(1 +ai)≥1 +

n

X

i=1

ai

(b) Montrer que pour toutn∈N^∗

n

Y

i=1

(1−ai)≥1−

n

X

i=1

ai

(c) En déduire que, pour toutn∈N^∗,

1 1 +

n

X

i=1

ai

≥

n

Y

i=1

(1−ai)≥1−

n

X

i=1

ai

(2) Déduire de (1c), que pour toutn∈Net toutx∈[0,1], l’encadrement

1−nx≤(1−x)ⁿ≤ 1

1 +nx (?) (3) Déduire de (1c), que pour toutn∈Ntel quen≥2,et toutk∈J2, nK:

k−1

Y

i=1

1− i

n

≥1−k(k−1)

2n (??)

Partie 2.

On définit les suites(T_n)_n≥1,(U_n)_n≥1,(V_n)_n≥1 et (W_n)_n≥1 par

T_n=

1 + 1 n

n

, U_n=

n

X

k=0

1

k!, V_n =U_n+ 1

n·n!, W_n=

1 + 1 n

n+1

(1) Montrer que les suites (U_n)_n≥1 et(V_n)_n≥1sont adjacentes. On note`leur limite commune.

(10)

(2) (a) Etablir, pour tout entiern≥2,

T_n−1 T_n =

1− 1 n

1− 1 n²

n, Wn

W_n−1 =

1 + 1

n 1− 1 n²

ⁿ

(b) En utilisant(?), montrer que, pour toutn∈Ntel quen≥2, T_n−1≤Tn et Wn≤W_n−1 (c) En déduire que les suites(Tn)_n≥1et (Wn)_n≥1 sont adjacentes.

(3) (a) Montrer que, pour toutn∈N^∗,

Un+1−Un≤`−Un≤Vn−Un

(b) En déduire que lim

n→+∞n·n!(`−U_n) = 1.

(4) (a) Montrer que, pour toutn∈Ntel que n≥2,

Vn−Vn+1≤Vn−`≤Vn−1−Un+1

(b) En déduire que lim

n→+∞n·n!(Vn−`) = 0.

Partie 3.

(1) (a) Montrer que, pour toutk∈N^∗, 2^k−1≤k!.

(b) En déduire que, pour toutn∈N, Un≤3.

(2) (a) Etablir, pour tout entiern≥2,

Tn= 2 +

n

X

k=2

1−1

n 1− 2 n

· · ·

1−k−1 n

1 k!. (b) En déduire, pour toutn∈N^∗, T_n ≤U_n.

(c) En utilisant(??), établir pour tout entier n≥2, l’ inégalité :T_n≥U_n− 3

2n (? ? ?).

(d) En déduire que`= limT_n, puis établir `= e.

(3) En utilisant(? ? ?), montrer que pour toutn∈N^∗, W_n ≥V_n et en déduire l’encadrement

1 + 1 n

n

≤

n

X

k=0

1 k! ≤e≤

n

X

k=0

1 k!

!

+ 1

n·n! ≤

1 + 1 n

n+1

(4) Quelle est la valeur retournée lors de l’exécution du programme suivant ?

F=1;

B=1;

for j=1:4 F=F*j;

B=B+1/F;

end;

disp(B);

Exercice 3. On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc « Pile »ou

« Face »avec la probabilité 1 2.

On notePk (resp.Fk) l’événement : « on obtient Pile (resp. Face) auk-ième lancer. » Pour ne pas surcharger l’écriture on écrira, par exemple,P1F2 à la place deP1∩F2. Pour tout entierksupérieur ou égal à 2,

— on noteEk l’événement : « on obtient, pour la première fois, « Pile »puis « Face »dans cet ordre aux lancers de rangs k−1et k. »

— on noteGk l’événement : « on obtient, pour la première fois, « Pile »puis « Pile »dans cet ordre aux lancers de rangs k−1et k. »

L’objet de l’exercice est de calculer, pour tout entierk≥2, les probabilités des événements E_k et G_k.

(11)

(1) CalculerP(E2).

(2) Soitkun entier supérieur ou égal à3.

(a) Montrer que si le premier lancer est un « Pile », alors il faut et il suffit queP₂P₃. . . P_k−1F_k se réalise pour que E_k se réalise.

(b) En déduire que pour toutk≥3, P(E_k) =¹₂P(E_k−1) +₂¹_k (c) On pose, pour tout entier k supérieur ou égal à2, uk= 2^kP(Ek).

Détermineru_k, puisP(E_k).

(3) (a) Montrer que(F1, P1P2, P1F2)est un système complet d’événements.

(b) En déduire que, pour pour tout entierksupérieur ou égal à 4:

P(Gk) =1

2P(Gk−1) +1

4P(Gk−2) (∗)

(c) On pose, pour tout entierksupérieur ou égal à 2,vk=P(Gk).

Déterminerv₂et v₃ puis montrer qu’en posantv₀= 1et v₁= 0, on a, pour tout entierksupérieur ou égal à 2: vk= 1

2vk−1+1 4vk−2.

(d) En déduire, pour tout entierk≥2, la suitevk en fonction dek, puis donnerP(Gk)en fonction dek.

Exercice 4. (1) Etudier les variations de la fonctiongdï¿¹₂finie sur Rpar : g(x) =x³−5x−1

En dï¿¹₂duire que l’ï¿¹₂quation x³−5x−1 = 0possï¿¹₂de trois racines que l’on noteraa, b, c aveca < b < c.(On ne demande pas de calculer a, b, c)

(2) On considï¿¹₂re la suite(u_n)_n∈_Ndï¿¹₂finie par son premier termeu₀rï¿¹₂el et la relation de rï¿¹₂currence

∀n∈N, un+1= 1

5(u³_n−1) (a) Montrer que la suite(u_n)_n∈_Nest monotone.

(b) Si la suite(un)est convergente, quelles sont les valeurs possibles de sa limite ? (On justifiera.) (c) Etudier la suite(un)dans les trois cas particuliers suivants :

u₀=−3; u₀= 0; et enfin :u₀= 3

Exercice 5. Pour toutn∈N^∗, on posean =

n

X

k=1

1

n k

!ⁿ

. On admettra le résultat suivant démontré en devoir maison :

sip∈N^∗ est tel quen≥2palors :∀k∈Jp, n−pK, n

p

≤ n

k

.

(1) Montrer que, pour toutn∈N^∗, 1 + 2 n ≤

n

X

k=1

1

n k

≤1 + 2 n+12

n². (2) En déduireliman.

(12)

Mathématique ECS 1 11 mars 2017

Devoir surveillé 6.

Ce sujet comporte ? exercices indépendants.

Exercice 1. Pour toutn∈N^∗, on désigne parfn la fonction définie par :

∀x∈R+, f_n(x) =xⁿ+ 9x²−4.

(1) (a) Montrer que l’équationfn(x) = 0n’a qu’une seule solution strictement positive, notéeun. (b) Calculeru₁ etu₂.

(c) Vérifier que :∀n∈N^∗, un∈

0,2 3

.

(2) (a) Montrer que, pour toutxélément de]0,1[, on a :f_n+1(x)< f_n(x).

(b) En déduire le signe defn(un+1), puis les variations de la suite (un).

(c) Montrer que la suite(un)est convergente. On note` sa limite.

(3) (a) Déterminer la limite de(u_n)ⁿ lorsquentend vers+∞.

(b) Donner enfin la valeur de`.

Exercice 2. On considère l’espace vectoriel R³muni de sa base canonique (~e₁, ~e₂, ~e₃):

~ e1=



 1 0 0



, ~e2=



 0 1 0



, ~e3=



 0 0 1



.

Soitf l’endomorphisme de R³ dansR³définie par :

f(e~1) =



 2

−1



, f(e~2) =





−2 3

−1



, f(e~3) =





−2 1 1





(1) Déterminer l’expression def



 x y z



en fonction dex, y, z.

(2) Déterminer une base de ker(f)et une base deIm(f).L’endomorphismef est-il injectif ? surjectif ? (3) On pose~v1=~e1−~e2, ~v2=~e1+~e3et~v3=~e2−~e3. Montrer que la famille (~v1, ~v2, ~v3)est une base deR³. (4) Déterminer les coordonnées de chacun des vecteursf(~v₁), f(~v₂), f(~v₃)dans la base(~v₁, ~v₂, ~v₃).

Exercice 3. SiP désigne un polynôme deR[X]tel queP =

m

X

k=0

akX^k, on note, pour toute matriceA deM3(R), P(A) = a₀I₃+a₁A+· · ·+a_mA^m, oùI₃désigne la matrice identité de M3(R).

On admet que, siP etQsont deux polynômes deR[X] et siAest une matrice de M3(R), alors :(P Q)(A) =P(A)Q(A).

On se propose de déterminer explicitement le terme général de la suite(un)définie paru0= 0,u1= 1,u2= 1et la relation, valable pour toutndeN,

un+3= 4un+2−5un+1+ 2un.

Pour ce faire, on pose, pour toutndeN,Xn =



 un+2

un+1

un



.

(13)

(1) (a) Écrire la matriceA deM3(R), indépendante den, telle que :∀n∈N, Xn+1=AXn. (b) Vérifier que(A−I)²(A−2I) = 0.

(2) On considère le polynômeP deR[X]défini parP(X) = (X−1)²(X−2).

(a) Justifier l’existence et 1’unicité d’un couple(Q_n, R_n)deR[X]×R2[X], tel que :

∀n∈N, Xⁿ=P Q_n+R_n

(b) Montrer que pour tout entier natureln, il existe des réelsan,bn etcn tels que : Rn(X) =an+bn(X−1) +cn(X−1)².

(c) Établir que :∀n∈N, an= 1, bn =net cn = 2ⁿ−n−1.

(3) (a) Utiliser la question précédente pour écrire, pour toutn de N, Aⁿ comme combinaison linéaire de I, A−I et (A−I)².

(b) Pour toutndeNdonner la troisième ligne de la matriceAⁿ. (4) (a) Montrer que :∀n∈N, Xn=Aⁿ



 1 1 0



.

(b) En déduire, pour toutndeN,un en fonction den.

(c) Scilab : compléter la feuille annexe.

Exercice 4. On considère l’espace vectoriel R³muni de sa base canonique (~e1, ~e2, ~e3):

~ e1=



 1 0 0



, ~e2=



 0 1 0



, ~e3=



 0 0 1



.

L’identité deR³ est notéeI_R³ et la matrice identité deM3(R)est notéeI3.

On rappelle aussi que pour un endomorphismef d’un espace vectoriel E, les notationsf², f³,etc. désignentf ◦f, f◦f ◦f etc.

Soitf l’application de R³ dansR³définie parf



 x y z



=





−x 3x+ 5y−3z 3x+ 6y−4z





(1) (a) Montrer quef est un endomorphisme deR³et déterminer la matriceA∈M3(R)telle quef



 x y z



=A



 x y z



.

(b) Montrer queA²=A+ 2I3. En déduire quef²=f+ 2I_R3.

(c) Montrer quef est un automorphisme de R³ et déterminer l’automorphisme réciproque de f en fonction de I_R3

et def.

(2) Déterminer une base de ker(f −2I_R3)et une base deker(f+I_R3).

(3) Montrer queR³= ker(f−2I_R3)⊕ker(f+I_R3).

(4) (a) Déterminer des endomorphismesp, q deR³ tels que

p+q = I_R³

2p−q = f (On les exprimera en fonction de I_R3

etf )

(b) Montrer quep, qsont des projecteurs.

(c) Vérifier quep◦q=q◦p= 0.

(d) Montrer queIm(p) = ker(q).

(5) A l’aide de la question (4), établir que pour tout entiern∈N, fⁿ= 2ⁿp+ (−1)ⁿq.

Exercice 5. Soitn∈Ntel que n≥2. On dispose den urnesU1, U2, . . . , Un contenant chacune trois boules. Parmi les 3n boules, il y a une seule boule rouge et toutes les autres bleues.

On tire les boules successivement et sans remise des urnesU1, U2, . . . , Un dans cet ordre. Aux premier et deuxième tirages, la boule tirée est bleue.

Quelle est la probabilité que la boule rouge figure dans l’urneU2?¹

1. Au cas où vous serez tentés, ce n’est pas 1 n.

(14)

NOM : . . . .

Compléter lisiblement le programme suivant pour qu’il renvoieun : n=input(’Entrez un entier non nul n : ’)

A=[.... , .... , .... ; .... , .... , .... ; .... , .... , .... ];

X=[.... ; .... ; ....];

M=[1, 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 1];

for j=.... : ....

M=.... * A ; end;

X=M*X;

u= .... ; disp(u);

(15)

Mathématique ECS 1 6 mai 2016

Devoir surveillé 7.

Exercice 1. Pour toutλ∈R,on pose

F(λ) = Z 1

−1

sinλ

x²−2xcosλ+ 1dx (1) On suppose queλest un multiple entier deπ. Que vaut F(λ)? (2) Désormais, on suppose queλn’est pas un multiple entier de π.

(a) A l’aide du changement de variablex= (sinλ)t+cosλ, déterminer une primitive de la fonctionx7−→ _x2−2x¹cosλ+1. (b) En déduire l’expression deF(λ)en fonction deλet de la fonction Arctan.

(c) On poses= tan^λ₂. Exprimer ^1−cos_sinλ^λ et ^−1−cos_sinλ ^λ en fonction des.

(d) Représenter la fonctionF sur l’intervalle[−π, π].

Exercice 2. SoitE unR-espace vectoriel etuun projecteur deE (uvérifie doncu◦u=u).

On note0l’endomorphisme nul deE.

(1) Montrer queImu= ker(u−I_E).

(2) Montrer queE= keru⊕Imu.

On considère maintenant deux projecteursu, v deE et on posef =u+v.

(3) On suppose queu◦v=v◦u= 0. Montrer quef est un projecteur.

(4) Réciproquement, on suppose quef est un projecteur. Montrer queu◦v=v◦u= 0.

(5) On suppose quef est un projecteur.

(a) Montrer quekerf = keru∩kerv.

(b) Montrer queImf = Imu⊕Imv.

Exercice 3. On considère la fonctionf définie sur [0,1]parf(x) = 2xe^x

(1) Montrer quef réalise une bijection de[0,1]sur un ensemble que l’on déterminera.

On notef⁻¹la bijection réciproque def. Donner les tableaux des variations def et def⁻¹ (2) Montrer qu’il existe dans]0,1[un et un seul réel notéαtel queαe^α= 1.

On définit la suite(un)_n_∈_Npar :

u₀ = α

∀n∈N, u_n+1 = f⁻¹(u_n) (3) Montrer que pour tout entier natureln, u_n existe et u_n ∈[0,1].

(4) (a) Montrer que pour tout réelxde[0,1],f(x)−x≥0. Vérifier que l’égalité ne se produit que pourx= 0.

(b) En déduire que la suite(u_n)_n_∈

N est strictement décroissante.

(c) Montrer que la suite(u_n)_n_∈

Nest convergente et qu’elle a pour limite 0.

(5) On se propose de préciser ce résultat en déterminant un équivalent de un

On pose pour tout entier natureln :Sn=

n

X

k=0

uk

(a) Montrer que pour tout entier natureln : u_n+1= 1

2u_ne^−uⁿ⁺¹

(b) En déduire par récurrence que pour tout entier natureln, un =e^−Sⁿ 2ⁿ

(16)

(c) Montrer que, pour tout entier natureln, un≤ 1

2 n

et en déduire que la série de terme généralunest convergente.

On noteLsa somme. Montrer que α≤L≤2.

(d) Montrer finalement l’équivalent :un∼e^−L 2ⁿ

Exercice 4(Extrait EML 2009, voie E). Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches estpet la proportion de boules noires estq.

Ainsi, on a :0< p <1, 0< q <1etp+q= 1.

Partie 1. Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu une boule noire.

On noteT la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués etU la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

(1) Reconnaître la loi deT. Pour tout entierk≥1, donnerP (T =k)et rappeler l’espérance et la variance deT. (2) En déduire que U admet une espérance et une variance. DéterminerE(U)et V(U).

Partie 2. Tirages avec arrêt dès qu’une deuxième boule noire a été obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu une deuxième boule noire.

On noteS la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

(1) Loi deS.

(a) DonnerS(Ω), c’est à dire l’ensemble des valeurs pouvant être prises parS. (b) CalculerP(S= 2)etP(S= 3).

(c) Pour toutk≥3, déterminerP(S=k).

(2) Montrer queS admet une espérance et la calculer.

(3) Montrer queS admet une variance et la calculer.

Partie 3. Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une boule noire ont été obtenues

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.

On noteX la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.

On noteY la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

On noteZ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.

Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement(Y = 1)∪(Z= 1)est égale à 1.

Pour tout entier naturel non nuli, on note :

Bi l’événement « lai-ème boule tirée est blanche », Ni l’événement « lai-ème boule tirée est noire. »

(1) (a) Montrer, pour tout entierk≥2 : P (X =k) =q p^k−1+p q^k−1.

(b) Vérifier, par le calcul, que

+∞

X

k=2

P (X =k) = 1

(c) Montrer que la variable aléatoireX admet une espérance et queE(X) = 1 p+1

q −1.

(2) (a) Pour tout entierk≥2, déterminerP ((X =k)∩(Y = 1))(on distinguera les cask= 2etk≥3).

(b) En déduire queP (Y = 1) =q(1 +p).

(c) Déterminer la loi de la variable aléatoireY. (3) Montrer queY admet une espérance et queE(Y) = 1

q 1−p+p² . (4) Donner la loi de Z et son espérance.

(5) Montrer que les variables aléatoires Y Z etX−1sont égales.

(17)

Partie 4. Etude du nombre de boules noires après le premier succès lors d’une deuxième série de tirages.

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise jusqu’à obtenir la première boule noire. On note T le nombre de tirages nécessaires. On effectue ensuite autant de tirages avec remise et on note V le nombre de boules noires obtenues lors de cette dernière série de tirages.

Ainsi, si la première boule noire apparaît lors du quatrième tirage, on effectue quatre autres tirages avec remise et on compte le nombre de boules noires obtenues lors de ces quatre derniers tirages.

(1) DéterminerV(Ω).

(2) Pour n∈Netx∈]−1,1[, exprimer simplement la somme

+∞

X

k=n

k(k−1)· · ·(k−n+ 1)x^k−n (3) Soitk∈N^∗ et n∈N. CalculerP_[T=k](V =n)(on distinguera les cas0≤n≤ketn > k.)

(4) En déduire à l’aide de la formule des probabilités totales, la probabilité P(V =n)pour toutn∈N.

(18)

Mathématique ECS 1 29 mai 2017

Epreuve du concours blanc 2.

Ce sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1. Soitnun entier naturel non nul.

On effectue une série illimité de tirages d’une boule avec remise dans une urne contenantnboules numérotées de 1 àn. Pour tout entier naturelk non nul, on noteXk la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue auk-ième tirage.

Pour tout entier naturelknon nul, on noteSk la somme des numéros des boules obtenues lors deskpremiers tirages : Sk=

k

X

i=1

Xi.

On considère enfin la variable aléatoireTn égale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale àn.

Exemple : avecn= 10, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre2,4,1,5,9, alors on obtient : S₁= 2, S₂= 6, S₃= 7, S₄= 12, S₅= 21et T₁₀= 4.

Partie A 1. Pour k∈N^∗, déterminer la loi deX_k ainsi que son espérance.

2. (a) DéterminerTn(Ω).

(b) Calculer P(Tn= 1)et P(Tn=n).

3. Dans cette question, n= 2. Donner la loi deT2.

4. Dans cette question, n= 3. Donner la loi deT₃. CalculerE(T₃).

Partie B 1. DéterminerS_k(Ω)pour toutk∈N^∗.

2. Soitk∈J1, n−1K.

(a) ExprimerSk+1 en fonction deSk et deXk+1.

(b) En utilisant un système complet d’événements lié à la variable aléatoireSk, démontrer alors que :

∀i∈Jk+ 1, nK, P(Sk+1=i) = 1 n

i−1

X

j=k

P(Sk =j).

3. (a) Pourk∈N^∗ et j∈N^∗, rappeler la formule de Pascal liant les nombres : ^j−1_k−1 , ^j−1_k

et _k^j . (b) En déduire que pour touti∈N^∗ et pour tout entier naturelk∈J0, i−1K:

i−1

X

j=k

j−1 k−1

= i−1

k

.

(c) Pour tout entierk∈J1, nK, on noteHk la proposition :

«∀i∈Jk, nK, P(Sk=i) = 1 n^k

i−1 k−1

».

Démontrer par récurrence que pour tout entierk∈J1, nK,Hk est vraie.

4. (a) Soitk∈J1, n−1K. Comparer les événements :[T_n> k]et [S_k≤n−1].

(19)

(b) En déduire que : ∀k∈J0, nK, P(Tn> k) = 1 n^k

n−1 k

. 5. Démontrer queE(T_n) =

n−1

X

k=0

P(T_n> k), puis queE(T_n) =

1 + 1 n

n−1

. 6. Calculer lim

n→+∞E(T_n).

Partie C

Dans cette partie, on fait varier l’entiernet on étudie la convergence en loi de la suite de variable(T_n)_n≥1 obtenue.

1. SoitY une variable aléatoire à valeurs dansN^∗ telle que : ∀k∈N^∗, P(Y =k) = k−1 k! . (a) Vérifier par le calcul que

+∞

X

k=1

P(Y =k) = 1.

(b) Montrer que Y admet une espérance et calculer cette espérance.

2. Pour tout entier naturel knon nul, démontrer que :

n→+∞lim P(Tn > k) = 1 k!.

3. Démontrer alors que(Tn)_n≥1 converge en loi vers la variable aléatoire Y : c’est à dire que pour tout entier naturelk non nul, lim

n→+∞P(Tn=k) =P(Y =k).

Exercice 2. On note C = (e1,e2,e3) la base canonique de R³. On note I_R3 l’identité deR³ et I3 la matrice identité de M3(R).

Soitf l’endomorphisme de R³ dont la matrice dans la baseC est : A=





−1 2 −1

−4 5 −3

−2 2 −1





On poseM =A−I3.

(1) (a) Montrer que la matriceM =A−I₃ n’est pas inversible.

(b) Montrer que le noyau def −I_R3 est une droite vectorielle deR³ dont on donnera un vecteur directeuru1. On choisirau1de telle sorte que sa première coordonnée dans la baseC soit 1.

(c) Calculer le rang deA(les opérations devront figurer sur la copie). L’endomorphismef est-il bijectif ? (2) On considère les vecteurs deR³: u2=pe2+qe3et u3=re1+se3, oùp, q, r, ssont des réels.

(a) Déterminer les reéelsp, q, r, spour que :

f(u2) =u1+u2 et f(u3) = 2u2+u3

(b) Vérifier alors queB= (u₁, u₂, u₃)est une base deR³. (c) Ecrire la matriceAbdef dans la baseB.

Exercice 3. On considère l’application

f : [0; +∞[→R, x7→f(x) =

( ln(1 +x)

x six >0 1 six= 0 Etude de l’application f

1. Montrer quef est continue sur[0; +∞[.

2. On considère l’application

A : [0; +∞[→R, x7→A(x) = x

1 +x−ln(1 +x).

(a) Montrer quef est de classeC¹ sur]0; +∞[et que, pour toutx∈]0; +∞[, f⁰(x) =A(x) x² . (b) Montrer que f est dérivable en0 et préciserf⁰(0).

(20)

(c) Déterminer le développement limité en0deA(x)à l’ordre2puis et en déduire quef est de classeC¹ sur[0; +∞[.

(d) Dresser le tableau de variation deA.

En déduire quef est strictement décroissante sur[0; +∞[.

(e) Déterminer la limite def en+∞.

3. On considère l’application

B : [0; +∞[→R, x7→B(x) =−3x²+ 2x

(1 +x)² + 2 ln(1 +x)

(a) Montrer quef est deux fois dérivable sur]0; +∞[, et que, pour toutx∈]0; +∞[, f⁰⁰(x) =B(x)

x³ . (b) Dresser le tableau de variation deB.

En déduire quef est convexe sur]0; +∞[.

Un développement en série

1. Montrer, pour toutN ∈Net toutt∈[0; 1]: 1 1 +t =

N

X

k=0

(−1)^kt^k+(−1)^N+1t^N+1 1 +t

2. En déduire, pour toutN ∈Net toutx∈[0; 1]: ln(1 +x) =

N

X

k=0

(−1)^kx^k+1

k+ 1 +JN(x),

où on a notéJN(x) = Z x

0

(−1)^N+1t^N+1 1 +t dt.

3. Établir, pour toutN ∈Net toutx∈[0; 1]: |JN(x)| ≤ x^N+2 N+ 2 . 4. En déduire que, pour tout x∈[0; 1], la série X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n converge et que :

ln(1 +x) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ n