Notions de base sur le second degré

Notions de base sur le second degré

I. Cocher la bonne réponse :

1°) L’équation x²x1 (x) :

□ a une solution

□ n’a aucune solution

□ a deux solutions

2°) Dans quel cas le calcul du discriminant est-il indispensable pour calculer les solutions de l’équation ?

□ ²



^{x– 1 3}



^x3



^0

□ x² x 1

□ x²2x1

3°) La courbe

C

ci-dessous est une parabole représentant une fonction f polynôme du second degré dans un repère



^{O, ,i j }



^{du plan.}

C

O

De cette représentation graphique, on en déduit que l’équation ^{f x}

 

⁰ :

□ n’a aucune solution

□ a une solution

□ a deux solutions

4°) La fonction f définie par ^{f x}

 

^x2 ^{x 2} est positive sur :

□



^{– ; – 2}

 

^{1 ; }



□



^{–   ;}



□



^{– 2 ;1}



i

 j



5°) L’inéquation ^{– 2}



^{x– 3}



^x¹



⁰ a pour ensemble de solutions :

□ ^S



^{– 1 ; 3}



□ ^S



^{– 1 ; 3}



□ S



– ; 1

 

 3 ; 



II. Mettre les équations ci-dessous sous forme ^{f x}

 

^0, factoriser, puis résoudre :

1°) 2x²5x (1) 2°) ^x



^2x3



^{x x}



^{– 1}



⁽²⁾

3°)



^x¹



²⁹ (3) 4°) x²4x 4 (4)

III.

1°) On considère la fonction f définie par ^{f x}

 

^{4x212x7} et on désigne par

C

la parabole qui la représente dans un repère du plan.

a) Quelle est la valeur du coefficient de x² ? Que peut-on en déduire pour

C

^?

b) Calculer le discriminant de f. Que peut-on en déduire pour

C

^?

2°) Mêmes questions lorsque : a) ^{f x}

 

^{ 2x2 x 3}

b) ^{f x}

 

 ^{0, 5x2}^2x²

IV. Factoriser si possible

1°) ^{f x}

 

^{x22x5}

2°) ^{g x}

 

^x2^2x³

3°)

 

^{2 2 2 1}

h x  x  x2 4°) ^{k x}

 

^5x24x

VI. Donner le signe des polynômes suivants.

1°) ^{f x}

 

^x2 ^{x 1} 2°) ^{g x}

 

^{3x23x0, 75}

3°) ^{h x}

 

 ^2x2^3x⁵

Corrigé

I.

1°) L’équation x²x1 (x) :

□ a une solution

□ n’a aucune solution

□ a deux solutions Justification :

L’équation est équivalente à : x²  x 1 0. C’est une équation du second degré.

On calcule son discriminant : ^{  }



¹



^{2   4 1}



¹



^5.

 0, donc l’équation admet 2 solutions distinctes dans .

2°) Dans quel cas le calcul du discriminant est-il indispensable pour calculer les solutions de l’équation ?

□ ²



^{x– 1 3}



^x³



⁰

□ x²x1

□ x²2x1 Justification :

Dans le 1^er cas, on reconnaît une équation produit nul dont les racines sont – 1 et 1.

Dans le 3^e cas, l’équation est équivalente à x²2x 1 0. On reconnaît une identité remarquable : ^{x22x 1}



^x1



^2.

Dans le 2^e cas, l’équation est équivalente à : x²  x 1 0.

Le calcul du discriminant est nécessaire pour trouver les solutions car on ne peut pas factoriser directement le premier membre.

3°) La courbe ci-dessous est une parabole représentant une fonction f polynôme du second degré.

De cette représentation graphique, on en déduit que l’équation ^{f x}

 

^{0 :}

□ n’a aucune solution

□ a une solution

□ a deux solutions Justification :

On constate que la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.

4°) La fonction f définie par ^{f x}

 

^x2 ^{x 2} est positive sur :

□



^{–   ; – 2}

 

^{ 1 ; }



□



^{–   ;}



□



– 2 ; 1



Justification :

f est une polynôme du second degré.

Les racines sont 1 (racine évidente) et – 2 (obtenue par produit) ^*.

D’après la règle du signe d’un trinôme, la fonction f est positive sauf sur [– 2 ; 1].

* : on peut aussi calculer le discriminant  ¹²   ^{4 1}



²



⁹.

 0, il y a donc 2 solutions distinctes dans  :

1

1 3 1

x  2

  ou ₂ 1 3 2 – 2 x  

 

5°) L’inéquation ^{– 2}



^{x– 3}



^x¹



⁰ a pour ensemble de solutions :

□ ^S



^{– 1 ; 3}



□ ^S



^{– 1 ; 3}



□ ^S



^{– ; 1}

 

^{ 3 ; }



Justification :

1^ère méthode :

On dresse un tableau de signes.

2^e méthode :

Le premier membre est sous forme factorisée.

Le trinôme ^{– 2}



^{x– 3}



^x1



a pour racines 3 et – 1.

Le trinôme est du signe du coefficient de x² (égal à – 2) sauf entre les racines.

Le trinôme est donc du signe négatif sauf pour ^x



^{1 ; 3}



^.

II. Mettre les équations ci-dessous sous forme ^{f x}

 

⁰, factoriser, puis résoudre : 1°) 2x²5x (1)

(1) est successivement équivalente à : 2x25x0



^{2 – 5}



⁰

x x 

0

x ou 2 – 5x 0 0

x ou 5 x2

Les solutions de (1) sont 0 et 5 2.

2°) ^x



^2x ³



^{x x}



^{– 1}



(2) (2) est successivement équivalente à :



^{2 3 –}

 

^{– 1}



⁰

x x x x 



^{2 3 –}

 

^{– 1}



⁰

x x x 



⁴



⁰

x x  0

x ou x 4 0 0

x ou x– 4

Les solutions de l’équation (2) sont – 4 et 0.

3°)



^x1



^29 (3) (3) est successivement équivalente à :



^{x 1 3}



^{x1 – 3}



^0



^x⁴



^{x– 2}



⁰

Les solutions de l’équation (3) sont – 4 et 2.

4°) x²4x 4 (4) (4) est successivement équivalente à :

2 4 4 0

x  x 



^x2



^20 (La forme factorisée du trinôme du premier membre est obtenue par identité remarquable) – 2 0

x 

2 x

La solution de l’équation (4) est 2.

III.

1°) On considère la fonction f définie par ^{f x}

 

^4x2^12x⁷ et on désigne par

C

la parabole qui la représente dans un repère du plan.

a) Quelle est la valeur du coefficient de x² ? Que peut-on en déduire pour

C

^?

b) Calculer le discriminant de f. Que peut-on en déduire pour

C

^?

2°) Mêmes questions lorsque : a) ^{f x}

 

 ^2x2 ^{x 3} b) ^{f x}

 

^{ 0, 5x22x2}

Solution détaillée :

1°) a) L’expression de la fonction f est de la forme ax²bx c avec a4, b– 12, c– 7 (expression sous forme développée réduite).

La fonction f est donc une fonction polynôme du second degré.

Le coefficient de x² est égal à 4.

40 donc la parabole

C

est tournée vers le haut.

b) On calcule le discriminant :  ¹²²   ^{4 4}



⁷



^{144 112} ²⁵⁶.

 0 donc la parabole

C

coupe l’axe des abscisses en deux points.

On vérifie aisément ce résultat en utilisant une calculatrice ou un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur.

2°) a) L’expression de la fonction f est de la forme ax²bx c avec a– 2, b1 , c– 3 (expression sous forme développée réduite).

La fonction f est donc une fonction polynôme du second degré.

Le coefficient de x² est égal à – 2.

– 20 donc la parabole

C

est tournée vers le bas.

On calcule le discriminant : ^{ 12  4}



²

 

^{ 3}



^{1 – 24– 23}

 0 donc la parabole

C

ne coupe pas l’axe des abscisses.

Elle est tout entière située en dessous de l’axe des abscisses.

b) ^{f x}

 

^{ 0, 5x22x2}

L’expression de la fonction f est de la forme ax²bx c avec a– 0,5, b– 2, c– 2 (expression sous forme développée réduite).

La fonction f est donc une fonction polynôme du second degré.

Le coefficient de x² est égal à – 0,5.

– 0,50 donc la parabole

C

est tournée vers le bas.

On calcule le discriminant :  =



²



²  ⁴



^{0, 5}

 

 ²



^{4 – 4}⁰.

 0 donc la parabole

C

coupe l’axe des abscisses en un unique point.

Ce point est le sommet de la parabole

C

(point associé au maximum de la fonction).

Elle est tout entière située en dessous de l’axe des abscisses.

IV. Factoriser si possible

1°) ^{f x}

 

^x2^2x⁵ 1

a ; b2 ; c5

2 4 4 – 4 1 5 4 – 20 – 16 b ac

       

 0 donc il n’y a pas de factorisation possible 2°) ^{g x}

 

^x2^2x³

 

4 – 4 1 – 3 4 12 16

      

 0 donc le trinôme admet 2 racines distinctes

1

2 4 1

x 2

   ₂ 2 4 2 3

x 

 

Une factorisation possible de ^{g x}

 

^{est :}



^x1



^{x– 3}



^.

3°)

 

^{2 2 2 1}

h x  x  x2 4 – 4 2 1 4 – 4 0

   2 

 0 donc le trinôme admet une racine double.

0

2 1

4 2

x    

Une factorisation possible de ^{h x}

 

^{est :}

1 2

2x 2

  

 

.

4°) ^{k x}

 

^5x2^4x

1^ère façon : ^{k x}

 

est un polynôme incomplet On a une factorisation évidente par facteur commun.

  

^{5 – 4}



k x x x

2^e façon : on calcule le discriminant … méthode vraiment trop longue ici dont le détail est néanmoins donnée ci-dessous.

1

4 4 0

x 10

  et ₂ 4 4 8 4

10 10 5

x 

   .

Une factorisation de ^{k x}

 

^{est :} 5



– 0



–⁴ x x 5

 

  soit 5 –⁴



5 4



x x 5x x

  .

V. Résoudre dans  l’inéquation x²5x 6 0.

Considérons le trinôme x²5x6.

Son discriminant est égal à  ^{25 – 4}



^{– 1 – 6}

 

^{25 – 24 1} .

 0 donc le trinôme admet deux solutions distinctes

1

5 1 6

3

2 2

x   

  

  et ₂ 5 1 4

2 2 2

x   

  

 

On utilise la règle du signe d’un trinôme.

x –  2 3 +  SGN de

2 5 6

x x

   – 0 + 0 –

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation est ^S



^{2 ; 3}



^.

VI. Donner le signe des polynômes suivants.

a) ^{f x}

 

^{x2 x 1}

1 – 4 1 1 1 – 4 – 3

     

 0 donc le trinôme est du signe positif sur .

x –  + 

SGN de ^{f x}

 

+

2°) ^{g x}

 

^3x2^3x^{0, 75} 9 – 4 3 0, 75 9 – 9 0

     

 0 donc le trinôme admet une racine double dans  :

0

3 1

6 2

x  

x –  1

2 +  SGN de ^{g x}

 

+ 0 +

3°) ^{h x}

 

^{ 2x23x5}

 

9 – 4 – 2 5 9 40 49

      

 0 donc le trinôme admet deux racines distinctes dans  :

1

3 7 10 5

4 4 2

x   

  

  ₂ 3 7 4

4 4 1

x  

   

 

x –  – 1 5

2 +  SGN de ^{h x}

 

– 0 + 0 –