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« Change en toi ce que tu veux changer dans le monde » : Ghandi Page 1/2 EXERCICE 1. 4.5pts 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 3

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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« Change en toi ce que tu veux changer dans le monde » : Ghandi Page 1/2

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EXERCICE 1. 4.5pts

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 3 − 2 est divisible par 7. 1pt 2. Calculer les limites suivantes :

a) lim 0.5pt b) lim ² + 4 + 3 − 0.5pt

3. Déterminer l’ensemble des primitives de la fonction f dans chacun des cas suivants : a) ( ) = 0.5pt

b) ( ) =

( 0.5pt c) ( ) = (2 − 1)(2 − 2 + 3) 0.75pt d) ( ) = ( + 3) ² + 3 − 1 0.75pt EXERCICE 2. 5.5pts

Les parties I et II sont indépendantes.

I. Dans le plan complexe de repère (O;⃗,⃗) orthonormé, on désigne par A le point d’affixe -1.

On considère ensuite la transformation du plan h qui à tout point M du plan, distinct de A, d’affixe z, associe le point M′ d’affixe z′ tel que : = .

1. Déterminer l’ensemble des points du plan, invariants par h. 0,5pt 2. On pose z = x + iy et z′ = x′ + iy′.

a) Ecrire x′ et y′ en fonction de x et y. 1pt

b) En déduire l’ensemble des points du plan pour les quels z′ est réel. 0,5pt II. Soit f la transformation du plan d’écriture complexe: z′ = −4z + 5.

1. Donner la nature et le(s) élément(s) caractéristique(s) de f. 0.75pt

2. On considère la rotation r de centre le point I(1;0) qui transforme le centre O du repère du plan en B( , − ). Déterminer l’angle de r. 0,5pt

3. a) Donner l’écriture complexe de la composée f◦r. 0,5pt b) Reconnaitre et caractériser la transformation f◦r. 1pt

c) (C) désigne le cercle de centre Ω(1;1) et de rayon 5cm. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’image de (C) par f◦r . (Aucune écriture analytique n’est autorisée.) 0,75pt

LYCEE DE BAMENDOU

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DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

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CLASSE : TD

SEQUENCE N°3

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Année Scolaire 2018-2019

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DUREE : 4H00 ; Coef : 4

(2)

« Change en toi ce que tu veux changer dans le monde » : Ghandi Page 2/2 PROBLEME. 10pts

Partie 1.

Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) =√1 + et a ∈ℝ.

1. Déterminer les dérivées première et seconde de g sur [0,+∞[. 0,5pt 2. Vérifier que ∀x ∈ [0,a],

≤ g’(x) ≤ . 0,5pt

3. En appliquant l’inégalité des accroissements finis à la fonction g sur [0,a]; démontrer que : 1 + ≤ √1 + ≤ 1 + . 0,5pt

Partie 2.

Soit ℎ( ) = − + ² + 8.

1. Montrer que la courbe (C) de h admet une asymptote horizontale en +∞ et une asymptote oblique en −∞ que l’on déterminera. (0,5+0,75)pt

2. a) Résoudre dans ℝ l’inéquation : − ² + 8 > 0. 0,5pt b) Calculer la dérivée h’(x) et en déduire les variations de h. 0,75pt Partie 3.

I. Soit P(x) = 2x3−3x²−1.

1. Etudier les variations de P. 1pt

2. Montrer que l’équation P(x) = 0 admet une unique solution α sur ] − 1,+∞[; et que 1,6<α<1,7.

0,5pt

3. Déduire suivant les valeurs de x, le signe de P(x). 0.5pt II. Soit D =]−1,+∞[. On définit la fonction f de D vers ℝ par : f(x) = . 1. Etudier les variations de f. 1pt

2. Montrer que −0,118 < f(α) < −0,117. 0,5pt

3. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) de f au point d’abscisse 0 0,5pt

b) Etudier la position relative de (Cf) et de la droite (T) pour x élément de ]−1,1[. 0,5pt 4. Prouver que (Cf) est située au-dessus de la droite (D) tangente au point d’abscisse x = 1.

0,5pt

5. Construire (Cf), (T) et (D) dans un repère orthonormé (O,I,J) d’unité 4cm. 1pt

Proposé par : Ndajieu Jimmy

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