CHAPITRE 13

(1)

CHAPITRE 13

CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES LINÉAIRES

I Ensembles de matrices. . . . 3

I.1 Définitions . . . . 3

I.2 Combinaisons linéaires de matrices . . . . 4

I.3 Produit matriciel. . . . 6

I.4 Transposition. . . . 9

II Systèmes linéaires. . . . 11

II.1 Vocabulaire des systèmes linéaires . . . . 11

II.2 Représentation matricielle d’un système linéaire . . . . 12

II.3 Structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire . . . . 13

II.4 Algorithme du pivot de Gauss . . . . 14

II.5 Opérations élémentaires et calcul matriciel. . . . 17

III L’ensembleMn(K⁾des matrices carrées d’ordren . . . . 20

III.1 Généralités . . . . 20

III.2 Matrices triangulaires et matrices diagonales . . . . 21

III.3 Matrices symétriques et matrices antisymétriques . . . . 24

III.4 Formule du binôme de Newton . . . . 25

IV Matrices carrées inversibles . . . . 29

IV.1 Définition et premiers exemples. . . . 29

IV.2 Opérations sur les matrices inversibles . . . . 32

IV.3 Calcul de l’inverse d’une matrice par la résolution d’un système linéaire . . . . 34

IV.4 Calcul de l’inverse par l’algorithme du pivot . . . . 36

IV.5 Cas des matrices triangulaires et des matrices diagonales. . . . 38

(2)

Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

a) Opérations sur les matrices

EnsembleMn,p(K) des matrices à nlignes et pcolonnes à coefficients dans le corpsK. Addition, multiplication par un scalaire, combinaisons linéaires.

Matrices élémentaires. Toute matrice deMn,p(K) est combinaison linéaire de matrices

élémentaires.

Produit matriciel ; bilinéarité, associativité. SiXest une matrice colonne,A Xest une combinaison linéaire des colonnes deA.

Produit d’une matrice élémentaire deMn,p(K) par une matrice élémentaire deMp,q(K^).

Symbole de Kroneckerδi,j.

Transposée d’une matrice. NotationA^>.

Opérations sur les transposées : combinaison linéaire, produit.

b) Opérations élémentaires

Interprétation des opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes en termes de produit matriciel.

c) Systèmes linéaires

Écriture matricielleA X=Bd’un système linéaire. Système homo- gène associé.

Système compatible. Le systèmeA X=Best compatible siBest combinaison linéaire des

colonnes deA.

Les solutions du système compatibleA X=Bsont lesX₀+Y, où X₀est une solution particulière et oùY parcourt l’ensemble des solutions du système homogène associé.

On reprend brièvement l’algorithme du pivot, en termes d’opérations élémentaires sur les lignes, dans ce contexte général. Toute technicité est exclue.

d) Ensemble des matrices carrées

EnsembleMn(K^). Non commutativité sinÊ2. Exemples de diviseurs de zéro, d’élé-

ments nilpotents.

Matrice identité, matrice scalaire. NotationIn.

Matrices symétriques, antisymétriques. NotationsSn(K^),An(K^).

Formule du binôme. Application au calcul de puissances.

Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supé- rieures, inférieures.

Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. Notation GL_n(K). On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme.

Inverse d’une transposée.

Inverse d’un produit de matrices inversibles.

Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité.

Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du systèmeA X=Y.

Toute technicité est exclue.

Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire.

Cas particulier des matrices diagonales.

(3)

CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES LINÉAIRES I. ENSEMBLES DE MATRICES

I. Ensembles de matrices

Dans tout le chapitre,K^désigneR^ouC^{, et}ⁿ^et^psont deux éléments deN^?^.

I.1. Définitions

Définition 13.1 – Matrice

Ï Unematrice à n lignes et p colonnes, oumatrice de taille n×pà coefficients dansKest un tableau àn lignes et pcolonnes :

j-ième colonne

↓

A=







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,j . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,j . . . a_2,p ... ... ... ... a_i,1 a_i,2 . . . a_i,_j . . . a_i,_p

... ... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,_j . . . a_n,p







←i-ième ligne .

où (a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

est une famille d’éléments deK^{dont les}ⁿ×péléments sont appelés lescoefficientsde A. On note aussi A=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

.

Ï Les entiersnetpsont appelés lataille(oudimension)de la matrice A.

Ï On noteMn,p(K) l’ensemble des matrices ànlignes et pcolonnes à coefficients dansK^. Ï On dit que deux matrices sontégaleslorsqu’elles ont la même taille et les mêmes coefficients.

La matrice

µ 8 −3 0

−2 1 5

¶

∈M2,3(K) est une matrice de taille 2×3 aveca_2,1=1 eta_1,3=0.

Exemple 13.1

Définition 13.2 – Colonnes d’une matrice, lignes d’une matrice SoitA=(a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

une matrice ànlignes et pcolonnes.

Ï Pour tout j∈ 1,p, la matriceC_j=





 a_1,_j

... a_n,_j





est appelée la j-ième colonne de A.

Ï Pour touri∈ 1,n, la matriceL_i=¡

a_i,1 . . . a_i,p¢

est appelée lai-ième ligne de A.

Ï Une matrice composée d’une seule colonne est appelématrice colonne.

Ï Une matrice composée d’une seule ligne est appelématrice ligne.

Ï Une matrice composée d’un seul coefficient est identifié à cet élément. Autrement dit, on confond la matrice (a_1,1)∈M1,1(K) avec l’élémenta_1,1deK^.

Remarque 13.1 – Matrices lignes, matrices colonnes

(4)

I. ENSEMBLES DE MATRICES CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES LINÉAIRES

Définition 13.3 – Matrice nulle

Lamatrice nulle de taille n×pest la matrice ànlignes et pcolonnes dont tous les coefficients sont nuls. On la note 0, ou 0_n,pou encore 0_nlorsquen=p.

Définition 13.4 – Matrice identité

Lamatrice identité d’ordre n est la matrice deMn,n(K) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la noteI_n:

I_n=







1 0 · · · 0 0 1 . .. ...

... . .. ... 0 0 · · · 0 1





 .

Définition 13.5 – Matrices élémentaires

DansMn,p(K), pour tout (i,j)∈ 1,n × 1,p, on noteE_i,_jla matrice de taillen×pdont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position (i,j) qui vaut 1.

j-ième colonne

↓

E_i,_j =







0 · · · 0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 1 · · · 0 ... ... ... 0 · · · 0 · · · 0







←−i-ième ligne

Pour simplifier les notations, parfois le coefficient en position (i,j) d’une matrice Aest noté [A]_i,_j. Cette notation n’est pas utilisée en général mais elle sera bien pratique dans les démonstrations du cours. Si vous voulez l’utiliser dans les exercices, il faudra d’abord l’expliquer.

Remarque 13.2

I.2. Combinaisons linéaires de matrices

Définition 13.6 – Somme de matrices SoientA=(a_i,_j)_1É_i_É_n

1ÉjÉp

etB=(b_i,_j)_1É_i_É_n

1ÉjÉp

deux éléments deMn,p(K). On appellesomme de A et Bla matrice notéeA+Bdéfinie par :

A+B=(a_i,_j+b_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

. L’opération (A,B)7→A+Best appelée l’addition matricielle.

Proposition 13.1 – Propriétés de l’addition des matrices SoientA=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

,B=(b_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

etC=(c_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

trois éléments deMn,p(K^{). On a :}

Ï (A+B)+C=A+(B+C) : l’addition matricielle estassociative. Par la suite, on oubliera les parenthèses.

Ï A+B=B+A: l’addition matricielle estcommutative.

Ï A+0_n,p=0_n,p+A: la matrice nulle estélément neutrepour l’addition matricielle.

(5)

Ï La matrice−A=(−a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

vérifie A+(−A)=(−A)+A=0_n,p. La matrice−Aest appeléeopposée de A.

Démonstration

Conséquences de la définition de somme de matrices et des propriétés de l’addition dansK^.

Soient A=(a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

etB=(b_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

deux éléments deMn,p(K^{). On note} ^A−B=A+(−B).

Remarque 13.3

Définition 13.7 – Multiplication d’un matrice par un scalaire SoientA=(a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

et_λ∈K. La matrice_λ.Aest définie par : λ.A=(_λ×a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

. L’opération (_λ,A)7→λ.Aest appelée lamultiplication par un scalaire.

Proposition 13.2 – Propriétés de la multiplication par un scalaire SoientA=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

etB=(b_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

deux éléments deMn,p(K^{) et (}λ,_µ)∈K² deux scalaires. On a : Ï (_λ+µ).A=λ.A+µ.A.

Ï λ.(A+B)=λ.A+λ.B.

Ï (_λ×µ).A=λ.(_µ.A).

Démonstration

Conséquences de la définition de somme de matrices et des propriétés de l’addition et de la multiplication dansK^.

Définition 13.8 – Combinaisons linéaires de matrices Ï SoientA=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

etB=(b_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

deux éléments deMn,p(K). On appellecombinaison linéaire de A et Btoute matrice de la forme_λ.A+µ.Bavec (_λ,_µ)∈K²^.

Ï Plus généralement sir∈N^? ^et^M1, . . . ,M_rsont réléments deMn,p(K)., on appellecombinaison linéaire des matrices M₁, . . . ,M_r toute matrice de la forme

r

X

k=1

λk.M_kavec (_λ₁, . . . ,_λ_r)∈K^r^.

Théorème 13.1

Toute matrice A = (a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

de Mn,p(K) est une combinaison linéaire des matrices E_i,_j, avec (i,j)∈ 1,n × 1,p:

A=

n

X

i=1 p

X

j=1

a_i,_j.E_i,_j.

Démonstration

Immédiat.

(6)

I.3. Produit matriciel

Définition 13.9 – Produit de matrices SoientA=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

une matrice deMn,p(K^{) et}^B=(b_i,_j)_1ÉiÉp

1ÉjÉq

une matrice deMp,q(K^{), où}^q∈N^?. On définit leproduitdeAparBpar :

C=A×B= Ã _p

X

k=1

a_i,k×b_k,_j

!

1ÉiÉn 1ÉjÉq

.

L’opération (A,B)7→A×Best appelée lamultiplications des matrices.

On peut visualiser le produit avec le schéma suivant¹.

a_1,1 . . . a_1,k . . . a_1,p ... . .. ... ... ... a_i,1 . . . a_i,k . . . a_i,p

... ... ... . .. ... a_n,1 . . . a_n,k . . . a_n,_p













A:nlignespcolonnes

b_1,1 . . . b_1,j . . . b_1,q ... . .. ... ... ... b_k,1 . . . b_k,_j . . . b_k,q

... ... ... . .. ... b_p,1 . . . b_p,_j . . . b_p,q











 B: plignesqcolonnes

c_1,1 . . . c_1,_j . . . c_1,q ... . .. ... ... ... c_i,1 . . . c_i,_j . . . c_i,q

... ... ... . .. ... c_n,1 . . . c_n,k . . . c_n,q











 C=A×B:nlignesqcolonnes aⁱ^,1

×b^1,^j

aⁱ^,^k

×b^k^,^j

aⁱ^,^p

×b^p^,^j +. ..

+

+. .. +

Le produit de deux matrices AetBn’est défini que si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de lignes deB.

Dans ce cas, on dit que les matrices ont des tailles compatibles pour le produit matriciel.

Remarque 13.4

1. http ://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/

(7)

Ï Le produit matriciel n’est pas commutatif : µ1 2 0

−2 3 −1

¶

×





5 −2

−3 1

−1 −2



=

µ−1 0

−18 9

¶ et





5 −2

−3 1

−1 −2



×

µ1 2 0

−2 3 −1

¶

=





9 4 2

−5 −3 −1

3 −8 2



.

Ï Il se peut que A×Bexiste mais pasB×A: A=

µ0 0 0 1

¶

et B=

µ1 1 −1

−1 1 2

¶

Sur ce exemple, le nombre de colonnes deBn’est pas égal au nombre de lignes de A.

Ï Le produit de deux matrices non nulles peut être nul : A=

µ0 1 0 0

¶

, B=

µ0 1 0 0

¶

et A×B= µ0 0

0 0

¶ .

Ï En général, on ne peut pas "simplifier" un produit de matrices : autrement dit, on peut avoirA×B=A×Cet B,^C.

Par exemple, avecA=B= µ0 1

0 0

¶ etC=

µ0 0 0 0

¶

, on aA×B=A×C= µ0 0

0 0

¶

etB,^C.

Attention

Proposition 13.3 – Propriétés du produit matriciel Soientn,p, qetrdes entiers naturels non nuls. On a :

Ï ∀(A,B,C)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K⁾×Mq,r(K^{), (}^A×B)×C=A×(B×C) : le produit matriciel estassociatif. Par la suite, on oubliera les parenthèses et on écriraA×B×C.

Ï ∀(A,B,C)∈Mn,p(K⁾×Mn,p(K⁾×Mp,q(K^{), (A}+B)×C=A×C+B×C.

Ï ∀(A,B,C)∈Mn,p(K⁾×Mn,p(K⁾×Mq,n(K^),^C×(A+B)=C×A+C×B Le produit matriciel estdistributif par rapport à l’addition.

Ï ∀(A,B)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K^),∀λ∈K^{, (}λ.A)×B=A×(_λ.B)=λ.(A×B).

Ï ∀A∈Mn,p(K^), ^In×A=AetA×I_p=A, Ï ∀A∈Mn,p(K^{), 0}n×A=0_n,petA×0_p=0_n,p. Démonstration

ÏAssociativité.

Soit (A,B,C)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K⁾×Mq,r(K^).

On aA×B∈Mn,q(K^{) et (A}×B)×C∈Mn,r(K^).

De même,A×(B×C)∈Mn,r(K^).

Soit (i,j)∈ 1,n × 1,r. Par définition du produit matriciel on a :

£(A×B)×C¤ i,j=

q X k=1

£A×B¤

i,k×[C]_k,_j= q X k=1

Ã _p X l=1

£A¤ i,l×£

B¤ l,k

!

×[C]_k,j= q X k=1

Ã _p X l=1

£A¤ i,l×£

B¤

l,k×[C]_k,j

! . D’où,

£(A×B)×C¤ i,j=

p X l=1

Ã _q X k=1

£A¤ i,l×£

B¤

l,k×[C]k,j

!

= p X l=1

£A¤ i,l×

Ã _q X k=1

£B¤

l,k×[C]k,j

!

= p X l=1

£A¤ i,l×£

B×C¤ l,j=£

A×(B×C)¤ i,j. Ceci est vrai pour tout (i,j)∈ 1,n × 1,r, donc les matrices sont égales.

ÏDistributivité. Soit (A,B,C)∈Mn,p(K⁾×Mn,p(K⁾×Mp,q(K^).

On a (A+B)×C∈Mn,q(K^{) et}^A×C+B×C∈Mn,q(K⁾ Soit (i,j)∈ 1,n × 1,q.

On a :

£(A+B)×C¤ i,j=

p X k=1

[A+B]_i,k×[C]_k,_j= p X k=1

¡[A]_i,k+[B]_i,k¢

×[C]k,j= p X k=1

¡[A]_i,k×[C]k,j+[B]_i,k×[C]_k,j¢ .

(8)

D’où,

£(A+B)×C¤ i,j=

p X k=1

[A]_i,k×[C]_k,_j+ p X k=1

[B]_i,k×[C]_k,j=[A×C]_i,_j+[B×C]_i,_j=[A×C+B×C]_i,_j. Ceci est vrai pour tout (i,j)∈ 1,n × 1,q, donc les matrices sont égales.

ÏL’égalitéA×(B+C) se traite comme dans le point précédent.

ÏSoient (A,B)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K^{) et}λ∈K^.

On aλ.A∈Mn,p(K^{), (}λ.A)×B∈Mn,q(K^{) et}λ.(A×B)∈Mn,q(K^).

Soit (i,j)∈ 1,n × 1,q.

On a :

£(λ.A)×B¤ i,j=

p X k=1

[λ.A]_i,k×[B]k,j= p X k=1

λ×[A]i,k×[B]k,j=λ× p X k=1

[A]_i,k×[B]k,j=λ×[A×B]_i,j=[λ.A×B]_i,j Ceci est vrai pour tout (i,j)∈ 1,n × 1,q, donc les matrices sont égales.

L’égalitéA×(λ.B)=λ.A×Bse montre de la même manière.

ÏSoitA∈Mn,p(K^{). On a}^In×A∈Mn,p(K^).

Soit (i,j)∈ 1,n × 1,p. On a :

£I_n×A¤ i,j=

n X k=1

[I_n]_i,k×[A]_k,_j=[A]_i,j. La dernière égalité découle du fait que [I_n]_i,k=0 sik,ⁱ^{et [I}n]_i,k=1 sik=i.

Ceci est vrai pour tout (i,j)∈ 1,n × 1,p, donc les matrices sont égales.

L’égalitéA×I_p=Ase montre de la même manière.

ÏLes égalités 0n×A=0n,petA×0p=0n,pse montrent comme dans le point précédent.

Ï SoientA∈Mn,p(K^),^X=





 x₁

... x_p





∈Mp,1(K^{) et}^Y=¡

y₁ · · · y_n¢

∈M1,n(K^{). Alors,}

A×X=

p

X

k=1

x_k.C_k et Y×A=

n

X

k=1

y_k.L_k

oùC₁, . . . ,C_pdésignent les colonnes etL₁, . . . ,L_ndésignent les lignes de la matrice A.

Ï SoientA∈Mn,p(K^{) et}^B∈Mp,q(K^{) :}

• la j-ième colonne de A×Best le produit deApar la j-ième colonne deBoù j∈ 1,q.

• lai-ième ligne deA×Best le produit de la i-ième ligne de AparBoùi∈ 1,n.

Remarque 13.6 – Produit matriciel et combinaisons linéaires de lignes et de colonnes

On a :











a_1,1×x₁ + a_1,2×x₂ + . . . + a_1,p×x_p = b₁ a_2,1×x₁ + a_2,2×x₂ + . . . + a_2,p×x_p = b₂

... ... ... ...

a_n,1×x₁ + a_n,2×x₂ + . . . + a_n,p×x_p = b_n.

⇐⇒







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,p ... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,p







×





 x₁ x₂ ... x_p







=





 b₁ b₂ ... b_n





 Remarque 13.7 – Systèmes linéaires (voir paragraphe suivant)

Théorème 13.2 – Produit de deux matrices élémentaires

On considère les matricesE_i,_j∈Mn,p(K^{), où (i,}^j)∈ 1,n × 1,p, etE_k,l∈Mp,q(K^{), où (k,}^l)∈ 1,p × 1,q. On a :

E_i,_j×E_k,l=δj,k.E_i,l, où_δ_j,k=

½ 1 si j=k

0 si j,^k est appelé symbole de Kronecker.

(9)

Démonstration

Le produitE_i,_j×Ek,lest une matrice deMn,q(R^).

Soit (s,t)∈ 1,n × 1,q. Déterminons le coefficient£

E_i,j×E_k,l¤

s,t. Par définition du produit matriciel, on a :

£E_i,j×E_k,l¤ s,t=

p X r=1

£E_i,j¤ s,r×£

E_k,l¤ r,t. Par définition,£

E_i,_j¤ s,r=

½ 1 sis=ietj=r

0 sinon. et£

E_k,l¤ r,t=

½ 1 sik=retl=t 0 sinon.

D’où la discussions suivante : Ï Sis,ⁱ^ou^t,^{l, alors}^£^Ei,j×E_k,l¤

s,t=0.

Ï Supposons que :s=iett=l. On a alors

£E_i,_j×E_k,l¤ s,t=

p X r=1

£E_i,_j¤ i,r×£

E_k,l¤ r,l.

• Sij,k, alors, pour toutr∈ 1,p, on ne peut pas avoirj=retr=k, donc :£ E_i,j¤

i,r×£ E_k,l¤

r,l=0.

• Sij=k, alors, pour toutr∈ 1,p, on a :£ E_i,j¤

i,r×£ E_k,l¤

r,l=0 sir,^k^et^£^Ei,j

¤ i,r×£

E_k,l¤

r,l=1 sir=k.

Ainsi,

E_i,j×E_k,l=

½ 0 sij,^k E_i,l sij=k.

I.4. Transposition

Définition 13.10 – Transposée SoitA=(a_i,j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp

une matrice deMn,p(K^{). La}transposée de Aest la matrice deMp,n(K^{) notée}^A^>^{et définie} par :

A^>=¡ a_j,i¢

1ÉiÉp 1ÉjÉn

. Autrement dit,

A=







a_1,1 a_1,2 . . . a_1,_p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,_p ... ... ... a_n,1 a_n,2 . . . a_n,p







et A^>=







a_1,1 a_2,1 . . . a_n,1 a_1,2 a_2,2 . . . a_n,2 ... ... ... a_1,_p a_2,p . . . a_n,p







L’opérationA7→A^>est appelée latransposition.

Si A=

µ1 1 −1

−1 1 2

¶

, alors A^>=





1 −1

1 1

−1 2



.

Exemple 13.2

Si Apossèdenlignes et pcolonnes, alorsA^>possède plignes etncolonnes.

Plus précisément, les colonnes de Asont les lignes de A^>. Ou encore, les lignes deAsont les colonnes de A^>

Remarque 13.8

(10)

La matrice A^>est parfois notée^tA.

Remarque 13.9 – Autre notation

Théorème 13.3 – Propriétés de la transposition On a :

Ï ∀A∈Mn,p(K⁾^¡^A^>^¢^>=A.

Ï ∀(A,B)∈Mn,p(K⁾×Mn,p(K^),∀(_λ,_µ)∈K²^{, (}λ.A+µ.B)^>=λ.A^>+µ.B^>

Ï ∀(A,B)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K^{), (A}×B)^>=B^>×A^>. Démonstration

Seule la dernière égalité peut poser problème.

Soit (A,B)∈Mn,p(K⁾×Mp,q(K^).

On aA×B∈Mn,q(K^),^A^>∈Mp,n(K^{) et}^B^>∈Mq,p(K^).

D’où, (A×B)^>∈Mq,n(K^{) et}^B^>×A^>∈Mq,n(K^).

Soit (i,j)∈ 1,q × 1,n. On a :

£B^>×A^>¤ i,j=

p X k=1

£B^>¤ i,k×£

A^>¤ k,j=

p X k=1

£B¤ k,i×£

A¤ j,k=

p X k=1

£A¤ j,k×£

B¤ k,i=£

A×B]_j,i=£

(A×B)^>¤ i,j.

Ceci est vrai pour tout (i,j)∈ 1,q × 1,ndonc les matrices sont égales.

(11)

CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES LINÉAIRES II. SYSTÈMES LINÉAIRES

II. Systèmes linéaires

II.1. Vocabulaire des systèmes linéaires

Définition 13.11 – Système d’équations linéaires On appellesystème linéaire à n équations et p inconnuestout système de la forme :

(S)











a_1,1×x₁ + a_1,2×x₂ + . . . + a_1,p×x_p = b₁ (L₁) a_2,1×x₁ + a_2,2×x₂ + . . . + a_2,p×x_p = b₂ (L₂)

... ... ... ...

a_i,1×x₁ + a_i,2×x₂ + . . . + a_i,p×x_p = b_i (L_i)

... ... ... ...

a_n,1×x₁ + a_n,2×x₂ + . . . + a_n,_p×x_p = b_n (L_n).

• Les éléments de la famille (a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp

sont lescoefficientsdu système.

• Les scalairesb₁,b₂, . . . ,b_nforment lesecond membredu système. Lorsque b₁=b₂= · · · =b_n=0, on dit que le système esthomogèneousans second membre.

• Les variablesx₁,x₂, . . . ,x_psont lesinconnuesdu système.

Un système est ditcarrés’il possède autant d’inconnues que d’équations (n=p).

Définition 13.12 – Système homogène associé

Avec les notations de la définition précédente, lesystème homogène associé(S0) est le système d’équations linéaires dont les coefficients sont ceux de (S) et dont le second membre est nul.

On passe de (S) à (S0) en remplaçantb₁,b₂, . . . ,b_n par 0.

Remarque 13.10

Définition 13.13 – Solution d’un système linéaire, système compatible On appellesolutionde (S) toutp-uplet (x₁, . . . ,x_p)∈K^pqui vérifie lesnéquations de (S).

Résoudre (S) consiste à déterminer l’ensemble des solutions de (S).

Un système dont l’ensemble des solutions est vide est ditincompatible. Lorsque l’ensemble des solutions est non vide, on dit que le système estcompatible.

Le système

½ x+y=1

x−y=0 est compatible. En effet, µ1

2,1 2

¶

est solution du système.

Le système

½ x+y=1

x+y=0 est incompatible. Si une solution (x,y) existe, alors on a 1=x+y=0. Contradiction.

Exemple 13.3

Dans la suite, on utilisera les notations de ce paragraphe sans les rappeler.

Attention

(12)

II. SYSTÈMES LINÉAIRES CALCUL MATRICIEL ET SYSTÈMES LINÉAIRES

II.2. Représentation matricielle d’un système linéaire

On noteA=(a_i,_j)_1ÉiÉn

1ÉjÉp∈Mn,p(K^{) et}^B=





 b₁

... b_n





∈Mn,1(K). En utilisant les opérations matricielles, on a :











a_1,1×x₁ + a_1,2×x₂ + . . . + a_1,p×x_p = b₁ a_2,1×x₁ + a_2,2×x₂ + . . . + a_2,p×x_p = b₂

... ... ... ...

a_n,1×x₁ + a_n,2×x₂ + . . . + a_n,p×x_p = b_n

⇐⇒ A×





 x₁ x₂ ... x_p







=B

Résoudre le système (S) est donc équivalent à résoudre l’équation matricielle A×X=B d’inconnue la matrice

colonneX=





 x₁ x₂ ... x_p







∈Mp,1(K^).

Définition 13.14 – Représentation matricielle d’un système linéaire

On dit queA=(a_i,_j)₁_É_i_É_n

1ÉjÉp∈Mn,p(K^{) est la}matrice des coefficientsdu système etB=





 b₁

... b_n





∈Mn,1(K^{) la}^matrice colonne du second membredu système.

Notation 13.1

On identifie les p-uplets (x₁,x₂, . . . ,x_p), qui appartiennent à K^p, et les matrices colonnes





 x₁ x₂ ... x_p







, qui appar-

tiennent àMp,1(K^).

De plus, le système linéaire (S) est maintenant aussi désigné par l’équation matricielle A×X=B.

Théorème 13.4

Le systèmeA×X=Best compatible si, et seulement si,Best une combinaison linéaire des colonnes deA.

Autrement dit, si, et seulement si, il existe (x₁,x₂, . . . ,x_p)∈K^p^{tel que}





 b₁

... b_n





=x₁.





 a_1,1

... a_n,1





+x₂.





 a_1,2

... a_n,2





+ · · · +x_p.





 a_1,p

... a_n,p







Démonstration

Immédiat.

(13)

II.3. Structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire

Proposition 13.4 – Structure des solutions d’un système linéaire homogène

1. La colonne nulle est solution de (S0). En particulier, un système homogène est toujours compatible.

2. Si X etY sont solutions de (S0), alorsX+Y est solution de (S0).

3. Si X est solution de (S0) et_λ∈K^{, alors}λ.X est solution de (S0).

Démonstration

La représentation matricielle de (S0) est :A×X=0_n,1. 1. Par opération matricielle,A×0_p,1=0_n,1.

2. Par opération matricielle,A×(X+Y)=A×X+A×Y=0_n,1+0_n,1=0_n,1

3. Par opération matricielle,A×(λ.X)=λ.A×X=λ.0_n,1=0_n,1.

On peut reformuler les points 1 et 2 de la proposition précédente en disant que l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène ànéquations et pinconnues est stable par combinaison linéaire.

Remarque 13.12

Théorème 13.5 – Structure des solutions d’un système linéaire SoitX₀ une solution de (S). L’ensemble des solutions de (S) est :

©Y+X₀¯

¯Y solution de (S0)ª . Démonstration

SoitX∈Mp,1(K^).

On a :

A×X=B ⇐⇒ A×X=A×X₀ ⇐⇒ A×X−A×X₀=0_n,1 ⇐⇒ A×(X−X₀)=0_n,1.

Ainsi,Xest solution deA×X=Bsi, et seulement si,X−X₀est solution deA×X=0_n,1, ce qui est équivalent àX=X₀+YoùYest

solution deA×X=0_n,1.

On a déjà rencontré ce type de propriétés lors de la résolution d’équations différentielles d’ordre 1 et 2. Cela cache quelque chose !

Solution générale

de A×X=B

=

Solution particulière

deA×X=B

+

Solution générale de l’équation homogène associéeA×X=0_n,1 Remarque 13.13

(14)

II.4. Algorithme du pivot de Gauss

Pour résoudre un système linéaire on s’autorise à le modifier au moyen d’opérations sur les lignes. Ces opérations doivent préserver l’ensemble des solutions du système.

Définition 13.15 – Opérations élémentaires sur les lignes

On appelleopération élémentaire sur les lignesd’un système, ou d’une matrice, l’une des trois opérations suivantes :

Ï Multiplication d’une ligneL_i par un scalaire non nul_λ. On note L_i←λ.L_i. Ï Ajout de_β.L_jà la ligneL_iavec i,^{j et}β∈K^?. On note L_i←L_i+β.L_j Ï Échange des lignesL_ietL_javec i,j. On note L_i↔L_j.

Méthode 13.1 – Algorithme du pivot L’idée principale de l’algorithme est l’élimination.

ÏPremière inconnue.

1. On choisit une ligne faisant apparaître la première inconnue (pour simplifier les calculs, on choisit si possible une ligne où le coefficient de la première inconnue est±1). Si une telle ligne n’existe pas, on passe à l’inconnue suivante.

2. On place cette ligne en première position à l’aide d’un échange de lignes.

3. Si le coefficient de la première inconnue n’est pas 1, on divise la première ligne par ce coefficient.

Attention ! Cette étape peut amener des disjonctions de cas pour ne pas risquer de diviser par 0.

4. On élimine la première inconnue des autres équations à l’équation d’opérations de la forme L_i←L_i+β.L₁. ÏDeuxième inconnue.

1. On choisit une ligne,à l’exception de la première, faisant apparaître la deuxième inconnue.

2. On place cette ligne en deuxième position à l’aide d’un échange de lignes. Si une telle ligne n’existe pas, on passe à l’inconnue suivante.

3. Si le coefficient de la deuxième inconnue n’est pas 1, on divise la deuxième ligne par ce coefficient.

4. On élimine la deuxième inconnue des autres équations à l’équation d’opérations de la forme L_i←L_i+β.L₂. On a le choix de ne pas traiter la première ligne.

ÏTroisième inconnue.

1. On choisit une ligne,à l’exception de la première et de la deuxième, faisant apparaître la troisième inconnue. Si une telle ligne n’existe pas, on passe à l’inconnue suivante.

2. On place cette ligne en troisième position à l’aide d’un échange de lignes.

3. Si le coefficient de la troisième inconnue n’est pas 1, on divise la troisième ligne par ce coefficient.

4. On élimine la troisième inconnue des autres équations à l’équation d’opérations de la forme L_i←L_i+β.L₃. On a le choix de ne pas traiter la première et la deuxième lignes.

ÏOn continue ainsi de suite jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’inconnue à traiter. On est alors en mesure de donner l’ensemble des solutions.

(15)

Exercice 13.1

Résoudre le système linéaire (S) :







(m+1)×x + 2y − 4z = 2

−x + (m−2)y + 2z = −1

x + y + (m−3)z = 2

oùmest un élément quelconque deK^. Résolution

(16)