Probabilit´ es
Tout est pr´evu, tout est r´egl´e : notre ignorance seule nous porte `a croire que tout est abondonn´e au hasard.
Adolphe Qu´etelet
I Vocabulaire des probabilit´ es
D´efinitions:• Uneexp´erienceest diteal´eatoirelorsqu’elle a plusieurs issues (ou r´esultats) possibles, toutes connues, et que l’on ne peut ni pr´evoir, ni calculer laquelle de ces issues sera r´ealis´ee.
• On appelle univers, not´e en g´en´eral Ω, l’ensemble des issues ou r´esultats possibles d’une exp´erience al´eatoire.
• Un´ev´enement est une partie de l’univers, c’est-`a-dire un ensemble de r´esultats possibles.
• Un´ev´enement ´el´ementaire est un ´ev´enement qui ne contient qu’un seul ´el´ement.
Ex 1. On lance un d´e `a six faces et on s’int´eresse au nombre obtenu sur la face sup´erieure.
Les r´esultats possibles sont les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : l’univers est l’ensemble Ω ={1,2,3,4,5,6}.
E1=”Obtenir un 6”, E2=”Obtenir un nombre pair”, et E3=”Obtenir un nombre sup´erieur ou ´egal `a 4”
sont des ´ev´enements qui peuvent s’´ecrire E1 ={6}, E2 ={2,4,6}et E3 ={4,5,6}.
E1 est de plus un ´ev´enement ´el´ementaire.
Ex 2. Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard. L’univers est constitu´e de 32 ´ev´enements
´el´ementaires. L’´ev´enement : E=“Tirer un roi” est-il un ´ev´enement ´el´ementaire ?
D´efinitions:• On appelle ´ev´enement contraire de l’´ev´enement A, l’´ev´enement not´e A contenant tous les
´el´ements de l’univers Ω ne se trouvant pas dans A.
• On appelle r´eunion de A et B, l’´ev´enement not´e A∪B contenant tous les ´el´ements de A et tous ceux de B.
• On appelle intersection de A et B, l’´ev´enement not´e A∩B contenant les ´el´ements qui ap- partiennent `a la fois `a A et `a B.
• Deux ´ev´enements sont ditsincompatibles lorsque leur intersection est vide, c’est-`a-dire lors- qu’ils ne peuvent ˆetre r´ealis´es simultan´ement.
Ex 3. Dans le cas du lancer de d´e, si A est l’´ev´enement : A =”Obtenir un nombre impair”, c’est-`a-dire A={1,3,5}, alors son ´ev´enement contraire est A=. . .
Soit E l’´ev´enement “Obtenir un 3 ou un 5”, c’est-`a-dire si E ={3,5}, alors
E =. . . A∪E =. . . A∩E =. . .
Ex 4. Dans un jeu de 32 cartes, on consid`ere les ´ev´enements : A=”tirer un cœur”, B=”tirer un dix” et C=”tirer une figure”. D´ecrire les ´ev´enements : A , A∪B , A∩B , B∩C.
Ex 5. J’ach`ete trois billets de tombola. Quel est le contraire de l’´ev´enement”tous mes billets sont gagnants”?
II Probabilit´ e d’un ´ ev´ enement
D´efinition: La probabilit´e d’un ´ev´enement est un nombre qui mesure les “chances” que cet ´ev´enement a de se produire sur une ´echelle de 0 (´ev´enement impossible) `a 1 (´ev´enement certain).
Une probabilit´e est un nombre compris entre 0 et 1.
D´efinition: Soit Ω ={e1;e2;. . .;en} l’univers des possibilit´es d’une ´epreuve al´eatoire, o`u chaque ei d´esigne un ´ev´enement ´el´ementaire.
D´efinir une loi de probabilit´e P sur l’univers Ω c’est associer `a chaque issue ei un nombre r´eel pi tel que : 0≤pi ≤1 et p1+p2+· · ·+pn= 1 .
Le nombre pi est la probabilit´e de l’´ev´enementei.
Propri´et´e: Loi des grands nombres
Pour une exp´erience donn´ee, dans le mod`ele d´efini par une loi de probabilit´e P, les distributions des fr´equences obtenues sur des s´eries de taille n tendent vers P quand n tend vers l’infini.
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Sur n=100 exp´eriences de lancer d’un d´e non pip´e, on a obtenu 18 fois le chiffre 5 ; sur n=1000 lancers on a obtenu 169 fois le chiffre 5 . . .(exp´eriences `a r´ealiser avec un moyen informatique !)
Nombre n d’exp´eriences
Nombre d’obtention du chiffre 5
fr´equence fn
Ecart : en
probabilit´e/fr´equence
100 18 18
100 = 0,18 e100=
0,18− 1 6
≃10−2
500 79 79
500 = 0,158 e500 =
0,158− 1 6
≃8.10−3
1000 169 169
1000 = 0,169 e1000 =
0,169− 1 6
≃2.10−3
5000 835 835
5000 = 0,167 e5000 =
0,167− 1 6
≃3.10−4
. . . .
n →+∞ n
6
1
6 lim
n→+∞en = 0
Lorsqu’on augmente le nombre n d’exp´eriences r´ealis´ees, la fr´equence d’apparition du chiffre 5 tend vers la probabilit´e qui est de 1
6.
1 Calcul de probabilit´ e
D´efinition: On dit qu’il y a ´equiprobabilit´e, ou encore que la loi de probabilit´e est ´equir´epartie, si tous les
´ev´enements ´el´ementaires ont la mˆeme probabilit´e : p1 =p2 =· · ·=pn = 1 n
Propri´et´e: La probabilit´e d’un ´ev´enement A est la somme des probabilit´es des ´ev´enements ´el´ementaires com- posant A.
Ex 6. Dans l’exp´erience de lancer de d´e, la probabilit´e de l’´ev´enement A=”obtenir un nombre pair”={2,4,6}
est : P(A) = P({2}) +P({4}) +P({6}) = 1 6+ 1
6+ 1 6 = 1
2
Propri´et´e: Sous l’hypoth`ese d’´equiprobabilit´e, la probabilit´e d’un ´ev´enement A est :
P(A) = card A
card Ω = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
Ex 7. Une personnes press´ee r´epond `a un sondage. Deux questions sont pos´ees et, `a chacune, on donne le choix entre “favorable” , “oppos´e”et“sans opinion”. De combien de fa¸cons peut-elle r´epondre au sondage ? Ex 8. Dans une interrogation ´ecrite, la consigne est la suivante : “Pour chacune des quatre affirmations, r´epondre par Vrai ou Faux”. Un ´el`eve qui ne sait pas sa le¸con d´ecide de cocher une case au hasard pour chaque affirmation. De combien de fa¸cons diff´erentes peut-il remplir sa feuille ?
Sachant qu’il y a une seule r´eponse exacte `a chaque affirmation, quelle probabilit´e a-t-il de faire tout juste ? Ex 9. On lance 3 pi`eces de monnaie. Quelle est la probabilit´e qu’elles retombent toutes sur la mˆeme face ? Ex 10. On lance un d´e `a six faces num´erot´ees de 1 `a 6 deux fois successivement, puis on ajoute les chiffres obtenus aux deux lanc´es.
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1. Repr´esenter toutes les situations possibles `a l’aide d’un arbre (1er lancer et 2`eme lancer).
2. D´eterminer les probabilit´es P({4}) et P({7}).
Ex 11. On lance trois fois de suite un d´e ´equilibr´e `a six faces. Quelle est la probabilit´e que les chiffres obtenus forment une suite strictement croissante ?
III Propri´ et´ es des probabilit´ es
1 Probabilit´ e de la r´ eunion de deux ´ ev´ enements
Ex 12. Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. On consid`ere les ´ev´enements A :“tirer un roi”
et B : “tirer un cœur”.
a) Donner les probabilit´es P(A) et P(B).
b) D´ecrire les ´ev´enements A∪B et A∩B. Donner alors les probabilit´es P(A∪B) et P(A∩B).
Dans le cas g´en´eral o`u les ´ev´enements A et B ont des issues en communs (dans le cas o`u A∩B 6= ∅, c’est-`a-dire encore si A et B ne sont pas incompatibles), dans la somme P(A) +P(B) on compte deux fois les probabilit´es des issues communes `a A et `a B, c’est `a dire des issues de A∩B, donc,
Propri´et´e: P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
2 Probabilit´ e de l’´ ev´ enement contraire
Soit A un ´ev´enement de l’univers Ω. Par d´efinition deA,
( A∪A= . . . A∩A= . . .
=⇒
( P A∪A
= . . . P A∩A
= . . . On en d´eduit que P(A) +P A
= . . .. ou encore que P(A) = . . .
Ex 13. On donne les probabilit´es de deux ´ev´enements AetB :P(A) = 0,5,P(B) = 0,4 et P(A∩B) = 0,1.
1. Compl´eter le tableau ci-contre.
2. Quelle est la probabilit´e de A∩B? 3. Quelle est la probabilit´e de A∪B?
B B Total
A A Total
Ex 14. Dans un groupe de 20 personnes, 10 personnes s’int´eressent `a la pˆeche, 8 `a la lecture et 5 ne s’int´eressent ni `a la pˆeche ni `a la lecture. On d´esigne une personne de ce groupe au hasard, et on note les ´ev´enements A : ”la personne s’int´eresse `a la pˆeche” et B : ”la personne s’int´eresse `a la lecture”.
1. Traduire l’´enonc´e en termes de probabilit´es et compl´eter le tableau.
2. D´eterminer la probabilit´e pour qu’elle s’int´eresse :
a) `a l’une au moins des deux activit´es b) aux deux activit´es.
A A Total B
B
Total 1
Ex 15. Vrai ou faux
a) Si A et B sont contraires alorsP(A∩B) = 0.
b) Si A et B sont incompatibles alors P(A) = 1−P(B).
c) Si A et B sont contraires alorsP(A) +P(B) = 1.
d) Si P(A∪B) = 1, alors A et B sont contraires.
e) Si A et B sont incompatibles alors P(A) +P(B)≤1.
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IV Variable al´ eatoire
On associe fr´equement un nombre aux r´esultats d’une exp´erience al´eatoire. Par exemple, pour un jeu de hasard, on peut associer un gain (ou une perte) `a chaque issue du jeu.
D´efinition: On appelle variable al´eatoire sur un univers Ω, une fonction d´efinie sur Ω `a valeurs dans IR.
Ex 16. On lance une pi`ece de monnaie trois fois successivement, et on note le cˆot´e sorti pour chacune d’elles.
L’univers Ω de cette exp´erience est Ω = {P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P, F F F}.
On consid`ere alors le jeu suivant :
— si on obtient deux fois successivement P ouF, on gagne 1=C
— si on obtient trois fois successivement P ou F, on gagne 2=C
— sinon, on perd 3=C
La fonction X qui `a chaque issue de Ω associe le gain (ou la perte) est une variable al´eatoire.
Ev`enement P P P P P F P F P P F F F P P F P F F F P F F F
X 2 1 −3 1 1 −3 1 2
On peut alors indiquer la probabilit´e de chaque gain :
gain xi −3 1 2
p(X =xi) 2 8 = 1
4 4 8 = 1
2 2 8 = 1
4 Avec ce jeu, le gain moyen que l’on peut esp´erer est : −3× 1
4 + 1× 1
2+ 2× 1 4 = 1
4.
C’est-`a-dire que, sur un tr`es grand nombre de r´ealisations de ce jeu (une infinit´e . . .), on peut esp´erer remporter 0,25=C par partie.
D´efinition: Pour une variable al´eatoire X pouvant prendre les valeurs x1, x2, . . ., xn, avec les probabilit´es p1 =p(X =x1), p2 =p(X =x2), . . ., p3 =p(X =xn), on d´efinit les grandeurs :
• l’ esp´erance math´ematique : E(X) =
n
X
i=1
xipi
• la variance : V(X) =
n
X
i=1
[xi−E(X)]2pi et l’´ecart-type : σ(X) =p V(X) Ex 17. La loi de probabilit´e d’une variable al´eatoireX est donn´ee par le tableau :
xi −2 −1 0 1 2 3
p(X=xi) 0,1 0,2 0,25 0,05 0,15 Calculer p(X >0), puis l’esp´erance math´ematique de X, ainsi que son ´ecart-type.
Ex 18. La mise de d´epart d’un jeu est de 2=C. On lance ensuite un d´e non truqu´e puis :
— si on obtient un 6, on gagne 5 =C;
— si on obtient un 1 ou un 3, la mise est rembours´ee ;
— dans les autres cas, on ne gagne rien.
La variableX d´esigne le gain du joueur. D´eterminer la loi de probabilit´e deX puis son esp´erance.
Le jeu est-il favorable au joueur ?
Ex 19. Lors d’un examen, un ´el`eve doit r´epondre `a un QCM. Ce QCM comporte trois questions et, pour chaque question, trois r´eponses diff´erentes sont propos´ees, dont une seule est exacte. Chaque r´eponse exacte rapporte 1 point, chaque r´eponse fausse enl`eve 0,5 point. Une note totale n´egative est ramen´ee `a 0.
1. Repr´esenter toutes les issues possibles `a l’aide d’un arbre.
On appelle X le total des points que l’´el`eve a obtenu pour cet exercice.
2. D´eterminer les diff´erentes valeurs prises parX, la loi de probabilit´e de X et calculer son esp´erance.
3. Ce sujet a ´et´e donn´e `a 650 ´el`eves qui ne connaissaient absolument pas le sujet, et qui ont donc tous r´epondu au hasard. A quelle moyenne des points peut-on s’attendre approximativement ?
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