Fin du Xè siècle. Ibn al-Khawwam se pose ce qui plus tard va devenir la célèbre conjecture de Fermat : un cube ne peut être la somme de deux cubes, l’équation x3 + y3 = z3 n’a pas de solution en nombres entiers. Deux autres grands mathématiciens, Al-Karaji, à la fin du Xè siècle, et al-Samaw’al, au XIIè siècle, qui poursuivit son oeuvre. Al-Samaw’al pose un système de 210 équations à 10 inconnues. Et le résout !
P.J. Hormière
CENTRE UNIVERSITAIRE D’AIN TEMOUCHENT Institut des Sciences et de la Technologie
Département des Sciences Fondamentales, Appliquées et de la Technologie
1ère Année LMD Chapitre 3:
Maths1 (Algèbre 1) Applications Linéaires c.d.c : T.F.MAMI
Fiche de TD N° 4
Le 17 / 01/ 2010Thèmes : Familles liées, libres, bases, somme de sous espaces vectoriels, applications linéaires.
Exercice 1 : Dans , on considère les familles suivantes : , , , = , , , , , ,
, , , , , , , , , = , , , , , , , , , , , . Lesquelles, parmi ces familles, sont liées? libres?
ou Bases ?
Exercice 2 : Démontrer qu’une famille finie de vecteurs dans un espace vectoriel, est liée, si et seulement si un de ses éléments est une combinaison linéaire des autres.
Exercice 3 : Considérons les droites vectorielles de suivantes : , engendrées respectivement, par les vecteurs : ,
, . Trouver : , . Conclusion ?
Exercice 4 : Dans , on considère les plans vectoriels définis par : , , , , , , , , , , Chercher : , . Est‐ce que ? Si est la droite vectorielle engendrée par le vecteur , , , est‐ce que ? ? NB : est le sous‐espace engendré par la famille . Exercice 5 : Soient et les sous‐espaces vectoriels suivants de :
, , , : , , , , : ,
Trouver la dimension et une base de , , .
Exercice 6: Supposons que et soient deux sous‐espaces distincts de dimension 4 d’un espace vectoriel de dimension 6. Quelle serait la dimension possible de ? (vous pouvez utiliser l’égalité : ).
Exercice 7 : Soient et deux sous‐espaces vectoriels distincts de engendrés respectivement, par :
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Trouver : .
Exercice 8 : Soient et deux espaces vectoriels. Montrer que si est une application linéaire alors, l’image de tout sous‐espace vectoriel de est un sous‐espace vectoriel de . En particulier , sont des sous‐espaces vectoriels de .
Exercice 9 : Une application est linéaire si et seulement si elle vérifie :
( , , , ,
Exercice 10 : Démontrer que, si sont deux espaces vectoriels de même dimension finie et est une application linéaire alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) est bijective. (b) est surjective (c) est injective (d) .
Exercice 11 : Démontrer qu’il existe un isomorphisme de tout espace vectoriel V de dimension , sur . (
Exercice 12 : Considérons l’application de projection (appelée aussi projecteur) suivante : , x , , , , Est‐elle linéaire ? Si oui, trouver et et leurs dimensions. Combien y‐a‐il d’applications du même type ?
Exercice 13 : Considérons l’espace vectoriel C , des fonctions continues de , à valeurs dans . Montrer que l’application :
de C , est linéaire. Trouver et .
Exercice 14 : Quelles sont, parmi les applications suivantes, celles qui sont linéaires ? Déterminer alors, leurs images et leurs noyaux ainsi que leurs dimensions .
1. : définie par : ( , ) = ( + , ) ; 2. : définie par : ( , , ) = 2 ‐ 3 + 4
2. : définie par : ( , ) = ; 3. : définie par : ( , ) = ( + 1, 2 , + )
Exercice 15 : Soit : l’application linéaire définie par : , , , , . Trouver une base et la dimension de .
