mémento de mathématiques pour les ECE1 Abdellah Bechata

mémento de mathématiques pour les ECE1

Abdellah Bechata

Résumé

L’objectif de ce mémento est de permettre aux élèves de première année des classes préparatoires aux Ecoles de Commerces, option économique, d’avoir un résumé com- plet et compact du cours de mathématiques. Il ne peut être en aucun cas un rem- plaçant du cours mais seulement un complément (le cours permettant la lecture des preuves, l’utilisation d’exemples, de contre-exemples, de remarques, etc., ce que ne permet pas le mémento). Son seul (et essentiel) intérêt réside dans la possibilité d’ob- tenir rapidement un ou plusieurs théorèmes et autres définitions, afin de se rafraichir la mémoire lors de la résolution d’un exercice, la préparation d’un devoir ou de la révision en vue des concours.

J’espère qu’il répondra efficacement à ce besoin. Pour ce faire, j’ai décidé d’intro- duire une table des matières et les différents types d’information (définitions, lemmes, propositions, théorèmes, méthodes, etc.) disposent de présentations visuelles claire- ment distinctes afin d’accélerer la recherche d’information.

Si vous avez de remarques ou critiques à faire sur ce travail, n’hésitez pas à m’en

faire part en m’envoyant un mail. Pour cela, accéder à mon site web www.mathematiques.fr.st

et cliquer sur "vos commentaires" en bas de la barre de gauche.

mémento ECE1 TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

1 Outils élémentaires de mathématiques 3

2 Généralités sur les fonctions 5

3 Limites 7

4 Comparaison locale des fonctions 9

5 Continuité 12

6 Dérivabilité. 13

7 Théorèmes de bijection 15

8 Fonctions de classe C^k. 15

9 Intégration 17

10 Suites réelles 20

10.1 Généralités sur les suites . . . 20

10.2 Comparaison des suites . . . 22

10.3 Plan d’études des suites du type un+1=f(un) . . . 23

11 Séries numériques 24 12 Fonctions numériques de deux variables réelles 25 12.1 Le planR² . . . 25

12.2 Fonctions numériques de deux variables réelles . . . 26

13 Systèmes d’équations linéaires 28 14 Matrices 30 14.1 Généralités sur les matrices . . . 30

14.2 Matrices carrés . . . 32

14.3 Matrices inversibles. . . 33

14.4 Systèmes linéaires et matrices . . . 34

15 Dénombrement 35 16 Probabilités sur un ensemble fini 37 16.1 Généralités . . . 37

16.2 Probabilités conditionnelles . . . 39

17 Variables et vecteurs aléatoires finies 40 17.1 Généralités . . . 40

17.2 Moments d’une var finie . . . 42

17.3 Couple de variables aléatoires . . . 44

17.4 Indépendances de deux variables . . . 44

18 Lois discrètes finies usuelles 45 19 Probabilités sur un ensemble discret dénombrable 47 20 Variables et vecteurs aléatoires discrètes dénombrables 48 20.1 Généralités . . . 48

20.2 Moments d’une var discrète infinie . . . 49

20.3 Loi d’un vecteur aléatoires discrets infinis . . . 50

20.4 Indépendances de deux var . . . 51

21 Lois discrètes infinies usuelles 52

mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES

1 Outils élémentaires de mathématiques

Le symbole∀signifie "pour tout (tous)" et le symbole∃" il existe".

– Ndésigne l’ensemble des nombres naturels c’est-à-dire N={0,1,2,..}.

– Zdésigne l’ensemble des nombres relatifs c’est-à-dire des entiers naturels ainsi que leurs opposés.

– Qdésigne l’ensemble des nombres rationels c’est-à-dire des fractions dont le numérateurs et le dénomina- teurs sont des nombres entiers relatifs.

Par exemple : 2002

2003 appartient à Q, par contre

√2

3 n’est pas un nombre rationnel car √

2 n’est pas un entier relatif.

– Rdésigne l’ensemble des nombres réels c’est-à-dire de tous les nombres que vous avez rencontré dans votre scolarité. Par exemple :2, −13, 2002

2003,

√2

3 , π, e⁶etc.

Définition :

SoientE un ensemble,A,Bdeux sous-ensembles deE et xun élément deE.On note – x∈Asi l’élémentxappartient àA.

– x /∈Asi l’élémentxn’appartient pas àA.

– A⊂B si tout élément deAest un élément deB c’est-à-direx∈Aalorsx∈B.

– A ÃB s’il existe un élément y de A qui ne soit pas un élément de B c’est-à-dire il existe y∈Atel que y /∈B.

L’ensemble noté∅est appelé ensemble vide et est constitué d’aucun élément.

Définition :

Une application f est la donnée de deux ensembles A et B et d’une correspondance qui à tout élémentxdeAassocie un élément de B qui est traditionnelement notéf(x).

L’applicationf se notef :

½ A→B

x7→f(x) ou, s’il n’y a pas d’ambiguité possible,x7→^f f(x).

L’ensembleAest appelé l’ensemble de départ def etB est l’ensemble d’arrivée def. f(x)se nomme l’image def parxet sib=f(a)on dit queaest un antécédent deb parf.

Définition :

Soient une applicationf :

½ A→B

x7→f(x) , X un sous-ensemble deAetY un sous-ensemble deB.

– f(X) ={f(x), x∈X}désigne l’ensemble image direct deX parf.Il s’agit de l’ensemble des images de tous les éléments deX parf.

– f⁻¹(Y) ={b∈B tel qu’il existea∈A avecf(a) =b}désigne l’image réciproque deY par f.Il s’agit de l’ensemble des antécédents de tous les éléments deY parf.

Définition :

Soitnet mdeux entiers. On désigne par[[n,m]]l’ensemble des entiers compris entrenet m.

Lemme :

Il y annombre entier dans l’ensemble[[1,n]]et plus généralement, il y an−m+ 1entier dans l’ensemble[[n,m]].

Définition :

Soienta0,a1,..,an (n+ 1)nombres réels.

La notation symbolique Pⁿ

k=0

ak désigne la sommea0+a1+· · ·+an et elle se prononce "somme de k= 0à ndesak ".

Plus généralement, sian,an+1,..,amsont des nombres réels.

La notation symbolique P^m

k=n

ak désigne la sommean+an+1+· · ·+amet elle se prononce "somme dek=nàmdesak ".

mémento ECE1 1 OUTILS ÉLÉMENTAIRES DE MATHÉMATIQUES

Remarque :

"L’entier" k est ce que l’on appelle l’indice de sommation de la somme Pⁿ

k=0

ak. Il s’agit d’une variable muette c’est-à-dire que l’on peut la noter k,j,α ou encore à l’aide de toute lettre que l’on souhaite. Par exemple, en utilisant la définition du symboleΣ,il est immédiat que Pⁿ

k=l

ak=Pⁿ

j=l

aj= Pⁿ

α=l

aα. Lemme :

Soientn,mdeux entiers et an,an+1,..,amet bn,bn+1,..,bmdes nombres réels. Alors on a 1. P^m

k=n

(ak+bk) = Pm k=n

ak+ Pm k=n

bk. 2. P^m

k=n

(ak−bk) = P^m

k=n

ak− P^m

k=n

bk. 3. Pour tout nombre réelλ, P^m

k=n

λak =λ P^m

k=n

ak.

4. Relation de Chasles. Pour tout entier positifl,on a:

m+lP

k=n

ak= P^m

k=n

ak+ P^l

k=m+1

ak.

Remarque :

Dans la formule de factorisation 3, il faut comprendre queλne doit pas dépendre de l’indice de sommation (ici il s’agit dek). Par contre, il peut très bien dépendre d’autres paramètres(n,m,a,...).

Soitnun entier positif. Alors on a les égalités suivantes : 1. Pⁿ

k=1

k= n(n+ 1) 2 et Pⁿ

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

2. Pour tout nombre réelqdifférent de1, on a Pⁿ

k=0

q^k =1−qⁿ⁺¹ 1−q . Proposition (Sommes remarquables) :

Soientl,n,mdes entiers etan+l,an+l+1,..,am+l des nombres réels.

Alors P^m

k=n

ak+l=

m+lP

k=n+l

ak (on dit que l’on a fait le changement de variablej=k+l).

Proposition (Changement de variable) :

Exemple :Simplifier P¹⁰

k=4

k²+k−2

k−2 en utilisant le changement de variablej =k−2.

On adopte la méthode mnémotechnique suivante : On posej =k−2alorsk=j+ 2,ce qui nous donne k²−k−2

k−2 = (j+ 2)²−(j+ 2)−2

j = j²+ 3j

j =j−3.

D’autre part, quandk= 4,alorsj= 2et quandk= 10alorsj= 8donc P¹⁰

k=3

k²+k−2 k−2 = P⁸

j=2

(j+ 3)

Soitn0 un entier positif. Supposons avoir défini pour tout entier n>n0, une propriété Pn.

SiPn0 est vraie et si∀n>n0,Pn est vraie impliquePⁿ⁺¹ alors∀n>n0 la propriétéPn

est vraie.

Théorème (Principe de récurrence) :

Remarque :

La propriétéPn se nomme la propriétéP au rangn.La vérification de la véracité dePn0 s’appelle l’initialisation de la récurrence.

mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Supposons quePn soit vraie. Nous devons prouver quePⁿ⁺¹, c’est-à-dire que2ⁿ⁺¹>n+ 2.

2ⁿ⁺¹= 2×2ⁿ donc2ⁿ⁺¹>2(n+ 1) = 2n+ 2.Or2n+ 2−(n+ 2) =n>0donc2n+ 2>n+ 2.Par conséquent 2ⁿ⁺¹>n+ 2, ce qui démontre quePⁿ⁺¹ est vraie. AinsiPn est vraie pour tout entiernpositif.

2 Généralités sur les fonctions

Définition (Extrema) :

Soitf une fonction définie sur un intervalleI.

1. On dit qu’un nombreM majore la fonctionf surI lorsque∀x∈I, f(x)6M.

On dit qu’un nombremminore la fonctionf surIlorsque ∀x∈I, m6f(x).

Dans ce cas on dit queM (resp.m)est un majorant (minorant) def surI.

Il est utile de remarquer queM etmsoient indépendants dex.

2. Sif est majorée sur I,le plus petit des majorants est noté sup

x∈I

f(x).

Sif est minorée surI,le plus grand des minorants est noté inf

x∈If(x).

3. On dit quef est bornée surIsi elle est à la fois majorée et minorée surI.

4. S’il existe un élémentx0∈Itel quef(x0) = sup

x∈I

f(x),on dit quex0est un point où se réalise le maximum def surI.

S’il existe un élémentx0∈Itel quef(x0) = inf

x∈If(x),on dit quex0est un point où se réalise le mimimum def surI.

Un extrema def est un pointx0 oùf est maximale ou minimale.

Définition (Parité) :

On dit quef (dont le domaine de définition est Df)est 1. paire si∀x∈ Df,−x∈ Df et∀x∈ Df, f(−x) =f(x).

2. impaire si∀x∈ Df,−x∈ Df et ∀x∈ Df, f(−x) =−f(x).

Définition (Valeur absolue) :

Soitx∈R,on appelle valeur absolue dex,le réel égal à la distance dexà 0, autrement dit

|x|=

½ xsix>0

−xsix60. .

La fonction valeur absoluex7→ |x|est une fonction paire et

∀x,y∈R, |xy|=|x| |y|, |x+y|6|x|+|y| Proposition :

Définition (Puissances entières) :

Soitxun nombre réel etnun entier positif, on pose x⁰= 1, xⁿ=x×x×..×x

| {z }

nfois

sin>1 etx⁻ⁿ= 1 xⁿ.

mémento ECE1 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

Quels que soient les entiers relatifsn,met quels que soient les réels non nulsx,y, on a: xⁿ×x^m=x^n+m, (x×y)ⁿ=xⁿ×yⁿ, (xⁿ)^m=x^n×m, xⁿ

x^m =x^n−m Proposition :

Sinest un entier relatif, la fonctionx7→xⁿ estC^∞sur son domaine de définition et (xⁿ)^′=nxⁿ⁻¹. Proposition :

Définition (Logarithme népérien) : La fonctionx7→ 1

x est continue sur l’intervalle ]0,+∞[donc elle admet une unique primitive sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1. Cette primitive s’appelle la fonction logarithme népérien et se note x7→lnx.

Puisque1∈R, il existe un uniquex∈]0,1[tel quelnx= 1.Ce réel se note eete≃2.718.

1. La fonctionx7→lnxest définie sur l’intervalleR^×₊,ln 1 = 0etlne= 1.

2. La fonctionx7→lnxest strictement croissante surR^×₊,de classeC^∞ surR^×₊ et sa dérivée est(lnx)^′ = 1 x. 3. ∀x,y∈R^×₊, on a

ln(x×y) = lnx+ lny ln(x

y) = lnx−lny ∀α∈R,lnx^α=αlnx lnx= lny⇔x=y lnx <lny⇔x < y

Proposition :

Définition (Exponentielle) :

La fonctionx7→lnxréalise une bijection deR^×₊surRdonc elle admet une réciproque notéex7→e^x (ouexp(x)).

1. La fonctionx7→e^xest définie surR,strictement croissante,C^∞surRet sa dérivée est(e^x)^′=e^x 2. ∀x,y∈R, on a

e^x+y=e^xe^y e^x

e^y =e^x−y ∀α∈R,(e^x)^α=e^αx e^x=e^y ⇔x=y e^x< e^y ⇔x < y

3. On a également les relations suivantes liant l’exponentielle et le logarithme :

∀x∈R, y= lnx⇔x=e^y

∀x∈R, ln(e^x) =x

∀x∈R^×₊, e^lnx=x Proposition :

Définition (Puissances réelles) :

Soitαun nombre réel. La fonctionx7→x^α est définie surR^×₊ par:x^α=e^αlnx.

mémento ECE1 3 LIMITES

Pour tous les réelsα,β et tous les réels non nulsx,y, on a: x⁰= 1, x^−α= 1

x^α, (x^α)^β=x^α×β, x^α×x^β=x^α+β, x^α

x^β =x^α−β, (x×y)^α=x^α×y^α x^α y^α = (x

y)^α Proposition :

Définition (Fonctions polynômes) :

On appelle fonction polynôme (ou simplement polynôme) toute fonction numérique définie surR et de la forme

x7→P(x) =anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a1x+a0

oùan,an−1,...,a1,a0 sont des nombres réels etndésigne un entier positif.

Sikest un entier compris entre 0et n,le réelak s’appelle le coefficient dex^k du polynômeP.

Sian 6= 0,on dit que le polynômeP est de degrén et on notedegP =n. Dans ce cas, le réelan

s’appelle le coefficient dominant deP.

Si tous les coefficients sont nuls, on dit queP est le polynôme nul. Le polynôme nul ne possède pas de degré.

Un monôme est un polynôme de la formex7→akx^k.

L’ensemble des polynômes se noteR[X] et l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à nse noteR_n[X].

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont même degré et que tous leurs coefficients sont égaux.

Pour tous polynômesP,Q,on a: deg(P+Q)6max(degP,degQ), deg(P Q) = degP+ degQ.

Proposition :

Définition :

Soient Aet B ∈R[X]. On dit que B diviseA et on le note B | A si et seulement si il existe un polynômeC ∈R[X] tel queA=BC. Cela est équivalent (lorsque B 6= 0)à ce que le reste de la division euclidienne deAparB soit nul.

Définition :

SoitP ∈R[X]eta∈R.On dit aest un zéro de P ssiP(a) = 0.

SoitP ∈R[X]et a∈R.Alorsaest un zéro de P ssi(x−a)|P.

Proposition :

Remarque :

Si a est un zéro de P, la proposition précédente montre qu’il existe un polynôme Q tel que P = (x−a)Q.

On détermineQen effectuant la division euclidienne de P par(x−a). En recherchant de nouveau une racine évidente pourQ, on en déduit une factorisation deQdonc deP de la formeP = (x−a)(x−b)R.En poursuivant ce processus, on peut factoriser un polynôme de degré plus grand que deux.

3 Limites

Intuitivement, on dit qu’une fonctionf, définie sur un intervalleI,possèdel pour limite enx0∈I sif(x) est aussi proche que l’on veut de l dès que xest suffisamment proche de x0. On note alors lim

x→x0

f(x) = l ou ou limx0

f =lvoire encoref(x)_x→→_x

0

l.

On définit également la limite gauche (resp. droite) def enx0en faisant tendrexversx0par valeurs inférieures (resp. supérieures). On note alors lim

x→x⁺₀

f(x) =l ou oulim

x⁺₀

f =lvoire encoref(x) →

x→x⁺₀

l.

La traduction mathématique de ces nombreuses et différentes définitions n’a pas place dans ce mémento et vous trouverez les différentes traductions dans le cours.

mémento ECE1 3 LIMITES

Soientf,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être enx0 et possédant une limite en x0. On notel= lim

x0

f etl^′= lim

x0

g.La notation F.I. signifie forme indéterminée

1. Addition :

xlim→x0

(f(x) +g(x)) −∞ l +∞

−∞ −∞ −∞ F.I.

l^′ −∞ l+l^′ +∞

+∞ F.I. +∞ +∞

2. inverse :

xlim→x0

f(x) −∞ l6= 0 l= 0 +∞

xlim→x0

1

f(x) 0 1

l F.I. 0

3. multiplication :

xlim→x0

(f(x)×g(x)) −∞ l <0 0 l >0 +∞

−∞ −∞ +∞ F.I. −∞ −∞.

l^′<0 +∞ l×l^′ 0 l×l^′ −∞

0 F.I. 0 0 0 F.I.

l^′>0 −∞ l×l^′ 0 l×l^′ +∞

+∞ −∞ +∞ F.I. +∞ +∞

4. La division s’obtient par utilisation du cas de la multiplication et de l’inverse en remarquant que f

g =f×1 g Théorème (Opérations sur les limites) :

Soientf,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être enx0 et possédant une limite en x0.

1. Sif(x)>g(x)∀x∈I\{x0} alors lim

x→x0

f(x)> lim

x→x0

g(x).

2. Soient f,g,htrois fonctions définies sur I sauf peut-être enx0.Supposons que l’on ait

xlim→x0

f(x) = lim

x→x0

g(x) =l.et∀x∈I\{x0} f(x)6h(x)6g(x) Alorshpossède une limite enx0et lim

x→x0

h(x) =l.

Théorème (limites et inégalités) :

Soitf une fonction définie sur]a;b[.

Sif est croissante et majorée sur]a;b[alorsf admet une limite enb⁻. Sif est croissante et minorée sur]a;b[alorsf admet une limite ena⁺. Sif est décroissante et majorée sur]a;b[alorsf admet une limite ena⁺. Sif est décroissante et minorée sur]a;b[alorsf admet une limite enb⁻ Théorème (fonctions monotones) :

Si lim

t→t0

u(t) =x0 et si lim

x→x0

f(x) =y0alors lim

t→t0

f(u(t)) =y0. Théorème (changement de variable) :

1. En +∞ : lim

x→+∞x^αe^βx = lim

x→+∞e^βx, lim

x→+∞(lnx)^αe^βx =

x→lim+∞e^βx, lim

x→+∞(lnx)^αx^β= lim

x→+∞x^β. 2. En−∞: lim

x→+∞xⁿe^βx= lim

x→+∞e^βx. 3. En 0 : lim

x→0⁺(lnx)^αx^β = lim

x→0⁺x^β, lim

x→0

ln(1 +x)

x = 1, lim

x→0

e^x−1

x =

1, lim

x→0

(1 +x)^α−1

x =α.

Théorème (limites classiques) :

Remarque :

mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS

Pour lever des indéterminations, voici quelques méthodes :

Formes indéterminées du type +∞ −(+∞). Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui croit le plus vite en valeur absolue vers +∞

Formes indéterminées du type ∞

∞ Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui croit le plus vite en valeur absolue vers +∞au numérateur et on procède de même au dénominateur

Formes indéterminées du type 0

0 (resp.0× ∞) Pour lever une telle indétermination, on factorise le terme qui décroit le plus vite en valeur absolue vers0 au numérateur et on procède de même au dénominateur (resp. on factorise dans le premier facteur le terme qui décroit le plus vite en valeur absolue vers0et celui qui croit le plus vite en valeur absolue vers +∞dans le second facteur)

4 Comparaison locale des fonctions

Définition (Equivalence) :

Soient f,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0. On dit f est équivalente à g au voisinage dex0 et on l’écritf(x) ∼

x→x0

g(x)si et seulement si lim

x→x0

f(x) g(x) = 1.

1. Soitl un nombre non nul. Alorsf(x) ∼

x→x0

lsi et seulement sif(x) →

x→x0

l.

2. Sif(x)_x→∼_x

0

g(x)alorsf(x)h(x)_x→∼_x

0

g(x)h(x).

3. Sif(x) ∼

x→x0

g(x)et si h(x)6= 0au voisinage dex0 alors f(x) h(x) ∼

x→x0

g(x) h(x). 4. Sif(x) ∼

x→x0

g(x)et f(x)>0au voisinage dex0 alors∀α∈R,(f(x))^α ∼

x→x0

(g(x))^α. 5. Sif(x) ∼

x→x0

g(x)alors|f(x)| ∼

x→x0|g(x)|. Proposition (Règles de calculs) :

Un polynome enxest équivalent en±∞à son monome de plus haut degré.

Proposition :

Soitf etg deux fonctions telles que

tlim→t0

u(t) =x0 etf(x) ∼

x→x0

g(x)alorsf(u(t)) ∼

t→t0

g(u(t)) Proposition (changement de variable) :

Deux fonctions équivalentesf et gsont de même nature, c’est-à-dire

1. f possède une limite enx0si et seulement sig possède une limite enx0et, dans ce cas, elles ont la même limite.

2. f n’a pas de limite enx0si et seulement sig n’a pas de limite enx0. Proposition :

ln(1 +x) ∼

x→0x, e^x−1 ∼

x→0x, (1 +x)^α−1 ∼

x→0αx.

Plus généralement, sif est dérivable enx0, f(x)−f(x0) ∼

x→x0

f^′(x0)(x−x0).

Proposition (Equivalents classiques) :

mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS

Définition (Négligeabilité ou notation o(.)) : f est négligeable devant g et on l’écrit f(x) =

x→x0

o(g(x)) si et seulement si g(x) 6= 0 dans un voisinage dex0 et lim

x→x0

f(x) g(x) = 0.

Définition : On notef(x) =

x→x0

g(x) +o(h(x))si et seulement sif(x)−g(x) =

x→x0

o(h(x)).

f(x) ∼

x→x0

g(x)⇐⇒f(x) =

x→x0

g(x) +o(g(x)) Proposition :

1. f(x) =

x→x0

o(1)si et seulement sif(x) →

x→x0

0.

2. Soitl un nombre non nul. Alorsf(x) =

x→x0

l+o(1)si et seulement sif(x) →

x→x0

l.

3. (transitivité) Sif(x) =

x→x0

o(g(x))etg(x) =

x→x0

o(h(x))alorsf(x) =

x→x0

o(h(x)).

4. (multiplication) Sif(x) =

x→x0

g(x) +o(h(x))alorsf(x)k(x) =

x→x0

g(x)k(x) +o(h(x)k(x)) 5. (division) Si f(x) =

x→x0

o(g(x))et si h(x)6= 0 au voisinage dex0 alors: f(x) h(x) =

x→x0

o(g(x) h(x)).

6. (puissance) Sif(x) =

x→x0

o(g(x))et f(x)>0au voisinage dex0 alors∀α >0,(f(x))^α =

x→x0

o((g(x))^α).

7. (addition) Sif(x) =

x→x0

g(x)+o(h(x))et l(x) =

x→x0

k(x)+o(h(x))alorsf(x) +l(x) =

x→x0

g(x) +k(x)+o(h(x)) Proposition (Règles de calculs deso(.)) :

Si lim

t→t0

u(t) =x0et f(x) =

x→x0

g(x) +o(h(x))alorsf(u(t)) =

t→t0

g(u(t)) +o(h(u(t)).

Proposition (changement de variable) :

Sif(x) =

x→x0

o(g(x))et sig tend vers0alorsf tend vers0.

Sif(x) =

x→x0

o(g(x))et si|f(x)| →

x→x0

+∞alors|g(x)| →

x→x0

+∞ Proposition :

1. En+∞:x^α =

x→±∞o(x^β)si et seulement si0< α < β,

∀α,β >0, (lnx)^α =

x→+∞o(x^β), ∀β >0et ∀α, x^α =

x→+∞o(e^βx).

2. En0 :∀α,β >0, (lnx)^α =

x→0⁺o(x^β).

Proposition :

Définition :

Soitnun entier positif. On dit quef possède un développement limité d’ordrenenx0 (DLn(x0)) ssi il existe un polynômePn de degré inférieur ou égal àntel que

f(x) =

x→x0

Pn(x−x0) +o((x−x0)ⁿ)

mémento ECE1 4 COMPARAISON LOCALE DES FONCTIONS

Pour tout entiern,lesDLn(0)suivants sont vérifiés : 1

1−x =

x→0( Pn k=0

x^k) +o(xⁿ), ln(1 +x) =

x→0( Pn k=1

(−1)^k+1x^k

k ) +o(xⁿ), e^x =

x→0( Pn k=0

(−1)^kx^k

k! ) +o(xⁿ)

(1 +x)^α= 1 + α

1!x+α(α−1)

2! x²+α(α−1)(α−2)

3! x³+· · ·+o(xⁿ) = ( Xn k=0

α(α−1)(α−2)..(α−k+ 1)x^k

k! ) +o(xⁿ) Proposition (DLusuels) :

Définition :

SiP est un polynôme et nun entier alors TnP désigne le polynômeP que l’on tronqué à l’ordre nc’est-à-dire on a éliminé tous les monômes de degré> n.

Soitλun nombre réel.

1. Sif (resp.g) possède unDLn(x0)alorsλf, f+g, f×g possèdent également unDLn(x0).Plus précisément, si f(x) =

x→x0

Pn(x−x0) +o((x−x0)ⁿ)et g(x) =

x→x0

Qn(x−x0) +o((x−x0)ⁿ)alors f(x) +g(x) =

x→x0

Pn(x−x0) +Qn(x−x0) +o((x−x0)ⁿ) f(x)×g(x) =

x→x0

Tn[(Pn(x−x0)Qn(x−x0)] +o((x−x0)ⁿ)

(dans la dernière formule, on multiplie lesDLn(0)entre eux puis on élimine toutes les puissances dont l’exposant excéde strictement n)

2. Sif etupossède unDLn(0)et siu(0) = 0alorsx7→f(u(x))possède unDLn(0) donné par f(g(x)) =

x→0Tn(Pn(Qn(x)) +o(xⁿ)

(on substitue le DLn(0)deudans celui def puis on élimine les puissances d’exposants strictement supérieures à n)

Proposition :

Remarque : Applications des DL.

1. Recherche d’équivalent : Sif possède unDLn(x0) alorsf est équivalente enx0 au monôme de plus bas degré intervenant dans son DLn(x0).

2. Calcul de limite : Pour déterminer la limite d’une fonction, il peut-être utile d’en faire unDLconvenable puis d’en déduire un équivalent de la fonction

3. Recherche d’asymptote : Soit f une fonction définie sur I telle que lim

∞ f = ∞. Pour déterminer une asymptote (si elle existe), on factorise le terme dominant dans f(x) ce qui fait apparaitre (après une simplification algébrique) des termes en 1

terme dominant qui tendent vers0ce qui permet d’effectuer un DLpar rapport à 1

terme dominant.

Exemple :Asymptote et position en+∞à la fonctionf(x) =√ x²+x.

f(x) = √

x²+x = √ x²

r 1 + 1

x² = x r

1 + 1

x². Le terme 1

x² tend vers 0 et √

1 +u =

u→0 1 + u

2 +o(u) donc r

1 + 1

x² = 1 + 1

2x² +o( 1

x²)ce qui nous donne f(x) =x(1 + 1

2x² +o(1

x²)) =x+ 1 2x+o(1

x).

La droite y=xest asymptote à Cf et, puisque f(x)−x ∼

x→+∞

1

2x >0, l’asymptote est situé au dessus deCf

au voisinage de+∞.

mémento ECE1 5 CONTINUITÉ

5 Continuité

Définition :

On dit quef est continue enx0 ssi lim

x→x0

f(x) =f(x0).

On dit que f est continue à gauche (resp. à droite) en x0 si et seulement si lim

x→x⁻₀

f(x) = f(x0) (resp. lim

x→x⁻₀

f(x) =f(x0)).

On dit quef est continue sur ]a;b[ssi elle est continue en tout pointx0 de]a;b[.

.On dit quef est continue sur[a;b]ssi elle est continue sur]a;b[,continue à droite enaet continue à gauche enb.

f est continue enx0 ssif est continue à droite et à gauche enx0. Proposition :

1. Toute fonction polynôme est continue surR.

2. La fonctionx7→lnxest continue surR⁺×. 3. La fonctions x7→e^x est continue surR.

4. Toute fonction puissancex7→x^αest continue surR+ siα>0(resp. surR⁺× siα <0) Proposition (Fonctions de référence) :

Soientf,g deux fonctions continues enx0 (resp. surI)etλun nombre réel. Alors 1. f +g,λf etf ×gsont continues enx0 (resp. surI)

2. Si en outre f ne s’annule pas surI, alors 1

f est continue enx0(resp. surI) Proposition (opérations algébriques sur les fonctions continues) :

Soientf une fonction continue surI etgune fonction continue surJ,avecf(I)⊂J)alorsg◦f est continue surI.

Proposition :

Corollaire :

1. Sif est continue surI alorse^f est dérivablecontinue surI.

2. Si f est continue sur I et ∀x∈I, f(x)>0 alors√

f est continue sur I et f^α est continue sur I pour tout réelα>0.

3. Sif est continue surI et∀x∈I, f(x)>0alorslnf est continue surI.

Définition :

On dit qu’une fonctionf est continue par morceau sur[a;b]ssif est continue sur[a;b]sauf peut- être en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à gauche et droite (pas nécessairement égales)

Définition (Prolongement par continuité) :

Soit f une fonction définie sur I\{x0} et non définie en x0. Supposons que f soit continue sur I\{x0} et que la limite lim

x→x0

f(x) = l est un nombre réel. Alors la fonction fedéfinie parfe(x) =

½ f(x)six∈I\{x0}

lsix=x0 est continue sur I. Elle s’appelle le prolongement par continuïté de f en x0.

mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ.

6 Dérivabilité.

Définition :

Soitf une fonction définie sur un intervalleI etx0un point deI.

1. On appelle taux d’accroissement enx0def la fonctionτx0(f) :x7→ f(x)−f(x0) x−x0

.

Géométriquement, cette fonction représente la pente de la droite joignant les points de la courbe représentative def d’abscisse xet x0.

2. On dit quef est dérivable enx0 si et seulement si lim

x→x0

τx0(f) = lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée def enx0 et se notef^′(x0).

3. On dit quefest dérivable à droite (resp. à gauche) enx0si et seulement si lim

x→x⁻₀

f(x)−f(x0) x−x0

(resp. lim

x→x⁻₀

f(x)−f(x0) x−x0

)existe. Dans ce cas, cette limite s’appelle la dérivée à droite (resp.

à gauche) def enx0 et se notef_d^′(x0)(resp.f_g^′(x0)).

4. On dit que f que est dérivable sur]a;b[ si et seulement sif est dérivable en tout point de ]a;b[.

5. On dit que f que est dérivable sur [a;b] si et seulement sif est dérivable en tout pointx0

appartenant à]a;b[,dérivable à droite enaet dérivable à gauche enb.

Définition :

Sif est une fonction dérivable ena,on appelle tangente à la coube représentationCf def au point d’abscissex=a,la droite d’équation :y=f^′(a)(x−a) +f(a)

1. Toute fonction monôme x7→xⁿ est dérivable surRet(xⁿ)^′ =nxⁿ⁻¹. 2. La fonctionx7→lnxest dérivable surR⁺× et(lnx)^′ = 1

x. 3. La fonctions x7→e^x est dérivable surRet(e^x)^′ =e^x.

4. Toute fonction puissancex7→x^αest dérivable surR+ siα>1 (resp. surR⁺× siα>0)et (x^α)^′ =αx^α−1. Proposition (Fonctions de référence) :

Sif est dérivable enx0alorsf est continue enx0. Proposition :

La réciproque de cette proposition est fausse en général.

f est dérivable enx0∈]a;b[si et seulement si (f est dérivable à gauche et à droite enx0etf_g^′(x0) =f_d^′(x0)).Dans ce casf^′(x0) =f_g^′(x0) =f_d^′(x0).

Proposition :

mémento ECE1 6 DÉRIVABILITÉ.

Soientf,g deux fonctions dérivables enx0(resp. surI)etλun nombre réel. Alors 1. f +g,λf etf ×gsont dérivables en x0 (resp. surI)et

(f+g)^′=f^′+g^′, (λf)^′ =λf^′, (f ×g)^′=f^′×g+f ×g^′ 2. Si en outre gne s’annule pas sur I, alors f

g est dérivable enx0 (resp. surI)et (f

g)^′ =f^′×g−f×g^′ g² Proposition (Opérations algébriques sur les fonctions dérivables) :

Soientf une fonction dérivable surI et g une fonction dérivable surJ, avec f(I)⊂J alorsg◦f est dérivable sur I et∀x∈I, (g◦f)^′(x) =g^′(f(x))×f^′(x).

Proposition (Composition des fonctions dérivables) :

Corollaire :

1. Sif est dérivable surIalorse^f est dérivable surIet (e^f)^′ =f^′×e^f. 2. Sif est dérivable surIet ∀x∈I, f(x)>0alors√

f est dérivable surI et(√

f)^′ = f^′ 2√

f.

3. Si f est dérivable sur I et ∀x ∈ I, f(x)>0 alors f^α est dérivable sur I pour tout réel α > 0 et (f^α)^′ =αf^′×f^α−1.

4. Sif est dérivable surIet ∀x∈I, f(x)>0alorslnf est dérivable surIet (lnf)^′ =f^′ f .

Sif est dérivable enx0et si x0 est un extremum def alorsf^′(x0) = 0.

Proposition :

Soitf une fonction dérivable surI.

1. Soitf une fonction dérivable surI.Alorsf est constante surI si et seulement sif^′(x) = 0∀x∈I.

2. Soitf une fonction continue sur[a,b]et dérivable sur]a,b[.

(a) f est croissante (resp. strictement croissante) surIsi et seulement si∀x∈]a;b[, f^′(x)>0(resp.f^′(x)>0).

(b) f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I si et seulement si ∀x ∈]a;b[, f^′(x) 6 0 (resp.

f^′(x)<0).

Proposition (dérivée et monotonie) :

Soitf une fonction continue sur[a;b] et dérivable sur[a;b[(resp.]a;b]) 1. Si la limite lim

x→b⁻f^′(x)(resp. lim

x→a⁺f^′(x))est finie alorsf est dérivable enb(resp.a)etf^′(b) = lim

x→b⁻f^′(x)(resp.

f^′(a) = lim

x→a⁺f^′(x)).

2. Si la limite lim

x→b⁻f^′(x)(resp. lim

x→a⁺f^′(x))est infinie alorsf n’est pas dérivable enb(resp.a)et lim

x→b⁻

f(x)−f(b) x−b =

xlim→b⁻f^′(x)(resp. lim

x→a⁺

f(x)−f(b) x−b = lim

x→a⁺f^′(x)) Proposition (Critère de dérivabilité en un point) :

mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSEC^K.

Définition :

On dit quef est2fois dérivable surIssi(f est dérivable etf^′ est dérivable). Dans ce cas, on note f^′′ouf⁽²⁾ la dérivée de la dérivée def c’est-à-dire f⁽²⁾=f^′′= (f^′)^′.

On dit quef est 3 fois dérivable sur I ssi (f est dérivable, f^′ est dérivable etf^′′ est dérivable).

Dans ce cas, on notef⁽³⁾= (f⁽²⁾)^′

Plus généralement, soitkun entier positif, on dit quef estkfois dérivable ssi∀q6k−1, f^(q)est dérivable. Dans ce cas, on notef^(k)= (f^(k−1))^′

7 Théorèmes de bijection

Définition :

Soitf une fonction numérique définie sur un intervalleI.SoitJ un intervalle deR.

1. On dit quef réalise une bijection de I surJ ssi (f(I) =J et tout élément deJ possède un et un seul antécédent appartenant àI).

2. Sif réalise une bijection deIsurJ,on notef⁻¹la fonction définie queJ qui à un élémentx deJ associe son unique antécédent appartenant àI.On peut résumer cette phrase par cette formule très importe pour les calculs

y=f⁻¹(x)⇔x=f(y)∀x∈J et∀y∈I La fonctionf⁻¹s’appelle la réciproque def

Si f réalise une bijection de I sur J alorsf⁻¹ réalise une bijection de J sur I et sa réciproque estf ce que l’on peut traduire par: (f⁻¹)⁻¹=f.

Proposition :

Si f réalise une bijection deI surJ etg réalise une bijection deJ surK alorsg◦f réalise une bijection deI sur K et: (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹.

Proposition :

Si f est continue et strictement monotone sur I, alors elle réalise une bijection de I surf(I). En outre, sa réciproquef⁻¹ est continue surf(I), strictement monotone et sa monotonie est celle def.

Théorème (théorème de bijection continue) :

Soitfune fonction continue et strictement monotone surI.Soitx0∈Iety0=f(x0)(c’est-à-dire quex0=f⁻¹(y0).

1. Sif est dérivable enx0 et sif^′(x0)6= 0 alorsf⁻¹est dérivable eny0 et (f⁻¹)^′(y0) = 1 f^′(x0).

2. Si f est dérivable en x0 et si f^′(x0) = 0 alors f⁻¹ n’est dérivable pas en y0 et sa courbe Cf⁻¹ possède une tangente horizontale eny0.

Proposition (dérivabilité de la réciproque) :

Remarque :

Par conséquent, pour calculer la dérivée de la réciproque en un point, il faut déja commencer par rechercher l’antédédent de ce point !

8 Fonctions de classe C

.

Définition :

mémento ECE1 8 FONCTIONS DE CLASSEC^K.

Une fonction est dite de classeC^k sur un intervalleI si et seulement sif estkfois dérivable surI et sa dérivéek^i`emef^(k) est continue surI.

Une fonctionf est de de classeC^∞surIsi et seulement si elle est indéfiniment dérivable surI. De façon équivalente,f estC^∞surI si et seulement sif est de classeC^k surI quel que soitk∈N.

Soientf,g deux fonctions de classeC^k sur un intervalle I etλun nombre réel. Alors 1. f +g,λf etf ×gsont de classeC^k surI.

2. Si en outre gne s’annule pas sur I, alors f

g estC^k surI.

Proposition (Opérations algébriques sur les fonctionsC^k) :

Soientf une fonctionC^k surI etg une fonctionC^k surJ, avecf(I)⊂J alorsg◦f estC^k surI.

Proposition (Composition des fonctionsC^k) :

Corollaire :

1. Sif estC^k surI alorse^f est C^k surI.

2. Sif estC^k surI et∀x∈I, f(x)>0 alors√

f estC^k surI.

3. Sif estC^k surI et∀x∈I, f(x)>0 alorsf^α estC^k surI pour tout réelα>0.

4. Sif estC^k surI et∀x∈I, f(x)>0 alorslnf est C^k surI.

Si f est continue sur [a;b] alors pour tout élément c de[f(a);f(b)],l’équation f(x) =c admet au moins une solution appartenant à l’intervalle[a,b].

Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires alias le TVI) :

Sif est continue sur un segment, alors f y possède un maximum et un minimum.

Proposition (Existence d’extremas) :

Soitf une fonction continue surI et de classeC¹ sur I\{x0}. Si f^′ possède une limite réellelenx0,alorsf est de classeC¹ surIet f^′(x0) =l.

Théorème (Théorème de prolongement continue de la dérivée) :

Soitf une fonction continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[.

1. Supposons qu’il existe deux réelsmetM tels que∀x∈]a;b[, m6f^′(x)6M alors

∀x,y∈[a,b], m(x−y)6f(x)−f(y)6M(x−y).

2. Supposons qu’il existe un réelC tel que∀x∈]a;b[, |f^′(x)|6M alors

∀x,y∈[a,b], |f(x)−f(y)|6M|x−y| Théorème (Théorème de accroissements finis alias le TAF) :

Définition :

On dit quef est convexe surI si et seulement si

∀a,b∈I ett∈[0; 1], f(ta+ (1−t)b)6tf(a) + (1−t)f(b).

On dit quef est concave surI si et seulement si

∀a,b∈I ett∈[0; 1], f(ta+ (1−t)b)>tf(a) + (1−t)f(b).

mémento ECE1 9 INTÉGRATION

Définition :

On dit quef est concave surI ssi−f est convexe surI.

Géométriquement, une fonction est convexe (resp. concave) surIsi et seulement si quelques soient les points M,N dont les abscisses appartiennent àI,le segment[M N]est situé au dessus (resp. en dessous) du graphe de Cf.

Supposons quef soit dérivable surI.Alorsf est convexe (resp. concave) si et seulement si f^′ est croissante (resp.

décroissante) surI.

Supposons quefsoit de classeC²surI.Alors Alorsf est convexe (resp. concave) ssif^′′est positive (resp. négative) surI

Proposition :

Définition :

On appelle point d’inflexion deCf tout point où la courbeCf traverse sa tangente en ce point.

Soitf une fonction de classeC² sur I.Si la dérivée seconde def s’annule et change de signe enx0 alors le point deCf d’absissex0est un point d’inflexion.

Proposition :

9 Intégration

Définition :

Soientf etF deux fonctions définies sur un intervalleI. On dit queF est une primitive def sur Isi et seulement si:F est dérivable surI et∀x∈I, F^′(x) =f(x).

Toute fonction continue sur un intervalleI possède au moins une primitive surI.

SiF est une primitive def sur l’intervalleI alors l’ensemble des primitives def surIest l’ensemble des fonctions de la formeF+koùk∈R.

Soientx0 et y0 deux nombres réels. Alors il existe une unique primitiveF def telle que F(x0) =y0

Théorème :

SoientF etGdeux fonctions qui sont des primitives respectivement def et deg. Soitλun nombre réel.

1. F+Gest une primitive def +g.

2. λF est une primitive deλf.

3. F◦Gest une primitive deg^′×(f◦g).

Proposition :

fonctions primitives fonctions primitives x^α (α∈R\{−1}) x^α+1

α+ 1+C f^′f^α f^α+1 α+ 1 +C e^x e^x+C f^′e^f e^f+C

1

x ln|x|+C f^′

f ln|f|+C Proposition (Primitives de référence) :

Définition :

mémento ECE1 9 INTÉGRATION

Soitf une fonction continue sur [a;b]. On appelle intégrale de aà b de la fonction f le nombre réel F(b)−F(a)où F est une primitive quelconque de f et on le noteR^b

a

f(t)dt. Par convention, [F(t)]^b_a=F(b)−F(a)et donc on a:

Rb a

f(t)dt= [F(t)]^b_a. Remarque :

Géométriquement, l’intégraleR^b

a

f représente l’aire algébrique sous la courbeCf (les parties au dessus de l’axe des abscisses étant comptées positivement, alors que les parties sous l’axe des abscisses sont comptées négativement).

Soitf une fonction continue sur un intervalleI etx0∈Ialors la fonctionx7→

Rx x0

f(t)dt est l’unique primitive def surIqui s’annule enx0.

En particulier, la fonctionx7→

Rx x0

f(t)dtestC¹sur Iet ( Rx x0

f(t)dt)^′=f(x).

Théorème :

Méthode :

1. Pour étudier une fonction du type F :x7→

Rx x0

f(t)dt, il suffit de connaitre le domaine de continuité def et de selectionner l’intervalleI contenantx0. Dans ce cas, la fonctionF est définie surI, elle s’annule en x0 et est de classeC¹surI.

2. Si on doit étudier une fonction du type H(x) =

a(x)R

x0

f(t)dt, où x7→a(x)est une fonction de classe C¹. On remarque queH(x) =F(a(x))oùF est la fonction précédente. On sait que la fonctionF est continue sur l’intervalle I (qui a été déterminé précédemment). Pour que H(x) ait un sens, on doit exiger que a(x) ∈ I ce qui amène à résoudre des inéquations (par exemple, si a(x) = 1

x et I = [1,+∞[ alors 1

x >1⇔>06x61).On détermine ainsi un ensembleJ sur lequela(x)∈Iquel que soitxdansJ (dans l’exemple, J = [0,1]), la fonctionH est définie surJ et elle est de classeC¹ sur J (comme composée de deux fonctionsC¹).

3. Si on doit étudier une fonction du typeK(x) =

a(x)R

b(x)

f(t)dt,on sélection unx0appartenant au domaine de continuité def,puis on remarque queK(x) =

a(x)R

x0

f(t)dt−

b(x)R

x0

f(t)dt=H(a(x))−H(b(x)).On utilise la question précédente pour étudierx7→H(a(x))et x7→H(b(x)).

fin de la méthode Définition :

Soitf une fonction continue par morceaux sur [a;b] et soienta0 =a < a1 < .. < an−1 < an =b ses points de discontinuités.

Par définition, on appelle intégrale deaàb le nombre réel défini par: Rb a

f(t)dt=

nP−1 k=0

ak+1R

ak

f(t)dt.

Définition :

On dit qu’une fonction est intégrable sur un segment [α;β] si et seulement si f est continue ou continue par morceaux sur[a;b].

mémento ECE1 9 INTÉGRATION

Soitf une fonction intégrable sur un segment[α;β]et soita,b,ctrois éléments de[α;β]alors on a Zb

a

f(t)dt= Zc

a

f(t)dt+ Zb

c

f(t)dt

Par conséquentR^a

a

f(t)dt= 0et R^b

a

f(t)dt=− Ra b

f(t)dt.

Proposition (Relation de Chasles) :

Soientf et gdeux fonctions intégrables sur un segment [α;β]et soita,btrois éléments de [α;β]alors on a Zb

a

(f+g) = Zb

a

f+ Zb

a

g, Zb

a

(f−g) = Zb

a

f− Zb

a

g, siλest une constante, Zb

a

λf=λ Zb

a

f.

Proposition (Linéarité de l’intégrale) :

Soientf et gdeux fonctions intégrables sur un segment [α;β]et soita,btrois éléments de [α;β]tel que b6a 1. Si∀t∈[a;b], f(t)>g(t)∀t∈[a;b]alorsR^b

a

f >

Rb a

g.En particulier, sif >0sur[a,b],alorsR^b

a

f >0.

2. Inégalité triangulaire

¯¯

¯¯

¯ Rb a

f(t)dt

¯¯

¯¯

¯6 Rb a

|f(t)|dt

3. Sif(t)>0∀t∈[a;b]et R^b

a

f(t)dt= 0 alors∀t∈[a;b], f(t) = 0

4. Inégalité de la moyenne S’il existe deux nombres réelsmet M tels que

m6f(t)6M ∀t∈[a;b]alorsm(b−a)6 Zb

a

f(t)dt6M(b−a).

Proposition (Inégalités et intégrale) :

Soientuetvdeux fonctionsC¹ sur[a;b]alors: Rb a

u(t)v^′(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a− Rb a

u^′(t)v(t)dt.

Théorème (Intégration par partie) :

Soientf une fonction intégrable sur[a;b]etuune fonctionC¹sur[a;b]telle queu([α;β])⊂ [a;b]alors on a:

u(β)R

u(α)

f(x)dx= Rβ α

f(u(t))u^′(t)dt.

Théorème (changement de variable) :

Remarque :

On a effectué le changement de variable x = u(t), on n’oublie que dx = u^′(t)dt et on modifie les bornes d’intégration en conservant l’ordre.

Corollaire :

Soitf une fonction intégrable sur[−a;a].

– Si f est paire sur[−a;a]alors R^a

−a

f(t)dt= 2 Rb 0

f(t)dt.

– Si f est impaire sur[−a;a]alors R^a

f(t)dt= 0

mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES

Définition :

Soitf une fonction continue sur[a;b] etn un nombre entier strictement positif. On appellen^`eme somme de Riemann def sur[a;b]le nombre réel défini par:Sn(f) = b−a

n

nP−1 k=0

f(a+kb−a n ).

Soitf une fonction continue sur[a;b]alors la suite(Sn(f))n>1converge et lim

n→+∞Sn(f) = Rb

a

f(t)dt.

Théorème :

10 Suites réelles

10.1 Généralités sur les suites

Définition :

On dit qu’une suiteuconverge versl∈Rsi et seulement si pour tout nombreε >0,la distance de un à ln’excède pasεdès quenest assez grand. On traduit cette phrase mathématiquement par

∀ε >0,∃n0∈Ntel que∀n>n0, |un−l|< ε.

Le nombrel s’appelle la limite de la suiteuet se note lim

n→+∞un.

On dit qu’une suiteudiverge vers+∞(resp.−∞)ssi pour tout nombreA,le termeunest supérieur (resp. inférieur) àAdès quenest assez grand. On traduit cette phrase mathématiquement par

∀A∈R,∃n0∈Ntel que∀n>n0, un> A(resp. < A).

1. Toute suite convergente est bornée.

2. Si la suiteutend versl∈Ralors|un| →_n→+∞|l|

3. Si la suiteutend versl∈Ralors pour tout nombre entierp, lim

n→+∞un+p=l.En particulier, lim

n→+∞un+1 =l Proposition :

Soitqun nombre réel. Alors la suite(qⁿ)n>0

1. converge vers0 si et seulement si|q|<1.

2. converge vers1 si et seulement siq= 1.

3. diverge vers +∞si et seulement siq >1

4. ne possède pas de limite si et seulement si q6−1.

Proposition :

mémento ECE1 10 SUITES RÉELLES

Soient (un),(vn) deux suites. On notel = lim

n→+∞un et l^′ = lim

n→+∞vn. La notation F.I.

signifie forme indéterminée

1. Addition :

n→lim+∞(un+vn) −∞ l^′ +∞

−∞ −∞ −∞ F.I.

l −∞ l+l^′ +∞

+∞ F.I. +∞ +∞

inverse :

n→+∞lim un −∞ l6= 0 l= 0 +∞

n→+∞lim 1 un

0 1

l F.I. 0

2. multiplication :

n→+∞lim (un×vn) −∞ l^′<0 l^′= 0 l^′ >0 +∞

−∞ −∞ +∞ F.I. −∞ −∞.

l <0 +∞ l×l^′ 0 l×l^′ −∞

l= 0 F.I. 0 0 0 F.I.

l >0 −∞ l×l^′ 0 l×l^′ +∞

+∞ −∞ +∞ F.I. +∞ +∞

3. La division s’obtient par utilisation du cas de la multiplication et de l’inverse en remarquant que un

vn

=un× 1 vn

. Théorème (Opérations sur les limites) :

1. Siuest une suite positive et converge versl alorsl>0.

2. Soient uet vsont deux suites telles que∀n>0, un>vn. (a) Si les suitesuetv convergent versl etl^′ alorsl>l^′. (b) Si la suitev tend vers+∞alorsutend vers+∞.

(c) Si la suiteutend vers−∞alorsv tend vers−∞

Proposition (Limites et inégalités) :

Soientu,v,w trois suites telles que:∀n>0, un6vn 6wn..

Supposons que les suitesuetvconvergent vers une même limitel.Alors la suitevconverge versl.

Théorème (Théorème d’encadrement) :

Corollaire :

Soientuune suite convergente etvune suite tendant vers0.Alors la suite(unvn)n>0 converge vers0.

1. Toute suite croissante et majorée est convergente.

2. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Théorème (Suites monotones) :

Définition :

On dit que deux suitesuetv sont adjacentes si et seulement si 1. la suiteuest croissante

2. la suitev est décroissante 3. lim

n→+∞(un−vn) = 0

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Théorème :