Équipe : Recherche Opérationnelle et Informatique 3. Laboratoire d’Informatique de Nantes Atlantique

Une heuristique hybride pour le problème de set packing biobjectif

Xavier Delorme ^{1 , 2} , Xavier Gandibleux ^{2 , 3} et Fabien DEGOUTIN ^{2 , 4}

1. Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne Centre : Génie Industriel et Informatique

2. Laboratoire d’Automatique, de Mécanique et d’Informatique industrielles et Humaines

Équipe : Recherche Opérationnelle et Informatique 3. Laboratoire d’Informatique de Nantes Atlantique

INRETS 4. Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité Unité de Recherche : Évaluation des Systèmes de Transports

Automatisés et de leur Sécurité

Plan de la présentation

p Set Packing biobjectif

p Heuristiques SPEA et GRASP

p Hybridation des deux heuristiques p Expérimentations

p Conclusion et perspectives

Set Packing Problem bi-objectif

max

X n

i =1

c ¹ _i x i

max

X n

i =1

c ² _i x i

s/c

X n

i =1

t li x i ≤ 1 l = 1 , . . . , k x i ∈ { 0 , 1 }

avec t li ∈ { 0 , 1 }.

Caractéristiques du biSPP

Application réelle

p Évaluation de la capacité des infrastructures ferroviaires

Problème difficile p NP-difficile

p peu de solutions efficaces

p beaucoup de trous dans la frontière efficace

p bornes de mauvaise qualité

⇒ utilisation de métaheuristiques Peu d’existant

p métaheuristique multi-objectif générique SPEA

p adaptation d’une métaheuristique mono-objectif GRASP

Plan de la présentation

p Set Packing bi-objectif

p Heuristiques SPEA et GRASP

p Hybridation des deux heuristiques p Expérimentations

p Conclusion et perspectives

Strength Pareto Evolutionary Algorithm pour le biSPP

Principaux éléments

p Population initiale (gloutons, solutions aléatoires)

p Opérateurs génétiques classiques (croisement, mutation)

p Conserver des solutions réalisables

⇒ réparation

p Améliorer les solutions

⇒ saturation sur 3 directions

⇒ recherche locale (1-1 échanges)

Opérations de sélection et d’évaluation des individus p Concept de dominance Pareto

p Garder toutes les solutions potentiellement efficaces

Greedy Randomized Adaptative Search Procedure pour le biSPP

Principaux éléments en mono-objectif p grand nombre d’itérations

p phase gloutonne aléatoire

⇒ adaptation dynamique du caractère aléatoire

⇒ processus d’apprentissage

p Améliorer les solutions

⇒ recherche locale (0-1, 1-1, 1-2 et 2-1 échanges)

⇒ path relinking

Adaptation au cas biobjectif

p application sur 20 directions sur l’espace des objectifs

⇒ λc ¹ ∗ (1 − λ ) c ² , λ ∈ {0 , ₁₉ ¹ , . . . , ¹⁸ ₁₉ , 1}

p Plusieurs solutions par directions

⇒ conserver toutes les solutions potentiellement efficaces

Plan de la présentation

p Set Packing bi-objectif

p Heuristiques SPEA et GRASP

p Hybridation des deux heuristiques p Expérimentations

p Conclusion et perspectives

Pourquoi une hybridation

Approximation de SPEA

p proximité de la frontière efficace

p bonne densité de solutions

p difficulté à trouver les solutions extrèmes

p approximation s’améliore peu avec plus de temps

Approximation de GRASP

p aptitude à trouver les solutions extrèmes

p approximation s’améliore avec plus de temps

p distance plus importante à la frontière efficace

p faible densité de solutions (trous)

⇒ Complémentarité des deux approches

Principes de l’hybridation

2 phases

p génération d’un ensemble de solutions avec GRASP

⇒ 25 meilleures solutions sur chaque direction

⇒ toutes les solutions potentiellement efficaces

p utilisation de ces solutions comme population initiale de SPEA

Répartition du temps entre les 2 phases à égalité

⇒ GRASP n’est pas une simple phase d’initialisation

SPEA agit comme une phase de post-optimisation p intensifier la recherche près de la frontière efficace

p densifier la population

Plan de la présentation

p Set Packing bi-objectif

p Heuristiques SPEA et GRASP

p Hybridation des deux heuristiques p Expérimentations

p Conclusion et perspectives

Instances considérées

Caractéristiques numériques p 100 ou 200 variables

p de 300 à 1 000 contraintes

p une densité de la matrice ^T de 1% à 3%

p 6 familles de fonctions objectifs

⇒ 120 instances Disponibles sur le site de la MCDM

p http ://www.terry.uga.edu/mcdm/

Conditions de l’expérimentation

Temps alloué à chaque métaheuristique

p 5 temps considérés (de 1 à 5 fois le temps de référence)

p ^{T ref} = 10s pour les instances à 100 variables

p ^{T ref} = 40s pour les instances à 200 variables

p Pentium III à 800 MHz

16 lancements indépendants

Indicateurs utilisés pour comparer les approximations

p pourcentage de solutions efficaces trouvées

p distance euclidienne moyenne à la frontière efficace

p l’hypervolume (S-metric) : surface définie dans l’espace des

objectifs par l’ensemble des solutions efficaces

Pourcentage de solutions efficaces

100%

95%

90%

85%

80%

75%

70%

65%

60%

T ref 2 ∗ T ref 3 ∗ T ref 4 ∗ T ref 5 ∗ T ref

SPEA

GRASP

Hybride

Distance à la frontière efficace

12

10

8

6

4

2

0

T ref 2 ∗ T ref 3 ∗ T ref 4 ∗ T ref 5 ∗ T ref

SPEA

GRASP

Hybride

S-metric

100,0%

99.5%

99,0%

98,5%

98,0%

97,5%

T ref 2 ∗ T ref 3 ∗ T ref 4 ∗ T ref 5 ∗ T ref

SPEA

GRASP

Hybride

Plan de la présentation

p Set Packing bi-objectif

p Heuristiques SPEA et GRASP

p Hybridation des deux heuristiques p Expérimentations

p Conclusion et perspectives

Conclusions

Instances de taille réduite MAIS pour 200 variables p résolution exacte (méthode dichotomique utilisant Cplex)

⇒ 50 000 s en moyenne

⇒ jusqu’à 360 000 s

p heuristiques présentées

⇒ 200 s

Schéma d’hybridation original

Algorithme hybride surclasse les deux autres p meilleur sur tous les indicateurs pour tous les temps

p ^{plus de 95%} des solutions efficaces trouvées en moyenne

p ^40% des solutions efficaces trouvées dans le pire des cas

Perspectives

Améliorations algorithmiques

p Amélioration des heuristiques SPEA et GRASP

⇒ path relinking multiobjectif pour GRASP

p Travail sur le schéma d’hybridation

⇒ répartition du temps de calcul entre les deux phases

Expérimentation

p Instances de plus grande taille

⇒ difficulté de connaître les solutions exactes

Appliquer ce shéma d’hybridation à d’autres problèmes