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Submitted on 13 Mar 2018
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Méthodes exactes pour la résolution d’un problème d’ordonnancement Open-shop avec contraintes de
ressources
Omar Souissi, Frédéric Dugardin, Farouk Yalaoui
To cite this version:
Omar Souissi, Frédéric Dugardin, Farouk Yalaoui. Méthodes exactes pour la résolution d’un prob-
lème d’ordonnancement Open-shop avec contraintes de ressources. 11th International Conference on
Modeling, Optimization & SIMulation, Aug 2016, Montréal, Canada. �hal-01730241�
M´ ethodes exactes pour la r´ esolution d’un probl` eme d’ordonnancement Open-shop avec contraintes de ressources
O. Souissi, F. Dugardin, F. Yalaoui LOSI / Universite de Technologie de Troyes
UMR 6281 12 rue Marie Curie, CS42060, 10004 Troyes Cedex, France
[email protected], [email protected], [email protected]
R ´ ESUM ´ E : Dans le pr´ esent papier nous consid´ erons le probl` eme d’ordonnancement dans un atelier Open-shop avec contraintes de ressources. La plupart des probl` emes d’ordonnancement sont NP-difficile, les chercheurs ont ainsi favoris´ e en grande majorit´ e le d´ eveloppement d’heuristiques et m´ etaheuristiques au d´ etriment des m´ ethodes exactes. Dans un contexte o` u les calculateurs haute performance sont en am´ elioration continue, il redevient int´ eressant d’explorer des m´ ethodes exactes. Ici, nous nous concentrons sur le d´ eveloppement de m´ ethodes exactes pour la r´ esolution d’un probl` eme d’ordonnancement dans un atelier Open-shop. Nous d´ eveloppons d’abord un Programme Lin´ eaire en Nombre Entiers (PLNE) acc´ el´ er´ e en vue de l’optimation de la dur´ ee du flux total
∗. Par la suite, nous exposons une nouvelle borne inf´ erieure obtenu en optimisant la dur´ ee du flux total du probl` eme Open-shop relax´ e. Les r´ esultats exp´ erimentaux ont permis de valider les performances du PLNE acc´ el´ er´ e en comparaison avec le PLNE original. Par ailleurs, nous avons montr´ e que la relaxation lagrangienne du PLNE original produit une borne inf´ erieure de bonne qualit´ e.
MOTS-CL ´ ES : Optimisation combinatoire, Programmation lin´ eaire en nombre entiers, Colonies de fourmis (ACO), Relaxation lagrangienne, Ordonnancement Open-shop
1 INTRODUCTION
L’ordonnancement repr´ esente un des domaines les plus ´ etudi´ es en recherche op´ erationnelle. En effet, depuis l’´ emergence dudit domaine dans les ann´ ees 50, le nombre de publications scientifiques n’a cess´ e d’augmenter. L’un des travaux initiateurs dans le do- maine est nul doute le mod` ele de production publi´ e par Johnson en 1954 (Johnson 1954) qui aujourd’hui est commun´ ement appel´ e Flow Shop.
Un probl` eme d’ordonnancement comporte deux ´ el´ e- ments fondamentaux: les tˆ aches et les ressources.
Une tˆ ache est compos´ ee d’op´ erations n´ ecessitant un certain nombre d’unit´ e de temps et d’unit´ e de ressources en vue d’ˆ etre ordonnanc´ ees. Une ressource peut ˆ etre technique ou humaine et peut ˆ etre limit´ ee ou non. Dans le pr´ esent travail, nous consid´ erons les ressources humaines en prenant en compte les com- p´ etences maitris´ ees par chaque op´ erateur en vue de pouvoir r´ ealiser un certain nombre de tˆ aches.
La derni` ere d´ ecennie a connu un nombre tr` es impor- tant de travaux dans le domaine d’ordonnancement appliqu´ e notamment ` a l’optimisation des processus
∗Flux d’une tache= Date de fin d’ex´ecution - date de disponibilit´e
indutriels. Une part non n´ egligeable de ces travaux a trait´ e la probl´ ematique de l’ordonnancement des ate- liers Open Shop (OSSP).
L’OSSP est un probl` eme industriel complexe qui a ´ emerg´ e afin de faire face ` a la probl´ ematique d’ordonnancement de groupes d’op´ erations sur dif- f´ erentes machines lorsque celles-ci ne sont pas li´ ees par une contrainte de pr´ ec´ edence. Ainsi, dans un OSSP il y a moins de contraintes que dans le cas des probl´ ematiques Flow Shop et Job Shop. L’OSSP avec plus de trois machines et en consid´ erant la con- trainte de non-pr´ eemption est NP difficile(Gonzalez
& Sahni 1976). L’OSSP classique poss` ede un espace de solution tr` es large. En effet, avec n “tˆ aches” et m
“machines” le nombre maximum de solutions s’´ el` eve
` a n*m!.
Notre papier est structur´ e comme suit. Dans la Sec- tion 2 nous pr´ esentons des contributions repr´ esenta- tives dans le domaine. Dans la Section 3 nous de- crivons la probl´ ematique ´ etudi´ ee. Une m´ ethode ex- acte acc´ el´ er´ ee est pr´ esent´ ee dans la Section 4. Dans la Section 5, nous introduisons une nouvelle borne in- f´ erieure pour l’OSSP avec contraintes de ressources.
Les r´ esultats exp´ erimentaux bas´ es sur plusieurs in-
stances sont expos´ es dans la Section 6. Enfin, dans la
MOSIM’16 - 22 au 24 Aout 2016 - Montreal - Canada
Section 7 nous r´ ecapitulons les contributions de notre papier et nous pr´ esentons les perspectives pour nos futurs travaux.
2 ETAT DE L’ART
L’ordonnancement est l’un des axes cl´ es en vue de l’am´ elioration d’un processus manufacturier.
Parmi les probl` emes d’ordonnancement l’OSSP n’est pas celui qui est le plus ´ etudi´ e. Gonzalez et Sahni (Gonzalez & Sahni 1976) ont d´ evelopp´ e un algorithme polynomial pour la minimisation du makespan dans le cas de deux machines.
Dans (Kyparisis & Koulamas 1997), les auteurs ont d´ evelopp´ e un algorithme polynomial pour le cas d’un OSSP avec deux machines. Brucker al ont propos´ e dans (Brucker, Hurink, Jurish & Wostmann 1997) un algorithme s´ eparation et ´ evaluation pour la r´ eso- lution du cas g´ en´ eral avec m machines. (Hossein
& Doulabi 2010) et (Ng, Cheng & Yuan 2003) ont pr´ esent´ e respectivement une approche pour la minimisation de la somme pond´ er´ ee des retards de toutes les tˆ aches et la minimisation de la somme pond´ er´ ee du nombre de tˆ aches en retards. La min- imisation du retard total de toutes les tˆ aches a ´ et´ e
´
etudi´ ee dans (Naderi, Ghomi Fatemi, Aminnayeri &
Zandieh 2011), en effet, les auteurs ont propos´ e une r´ esolution par PLNE. Achugbue et Chin (Achugbue
& Chin 1982) ont prouv´ e quant ` a eux que l’OSSP est NP difficile, mˆ eme avec juste deux machines, et ce quand la minimisation du flux total est consid´ er´ ee comme fonction objectif.
Tenant compte de la complexit´ e des OSSPs, les chercheurs se sont plus concentr´ es sur les heuristiques ainsi que les m´ etaheuristiques. Dans (Liaw 1999) et (Liaw 2000) l’auteur propose respectivement un al- gorithme de recherche Tabou ainsi qu’un algorithme g´ en´ etique hybrid pour la r´ esolution d’un OSSP. Un algorithme g´ en´ etique tout aussi performant a ´ et´ e expos´ e dans (Prins 2000). Dans (Blum 2005) l’auteur propose une approche hybrid en utilisant conjointement les algorithmes colonies de fourmis et recherche en faisceau. Roshanaei et al ont ´ etudi´ e dans (Roshanaei, Esfehani & Zandieh 2010) le cas d’un OSSP non pr´ eemptif en prenant en compte les dur´ ees de r´ eglage des machines et consid´ erant la minimisation du makespan comme fonction ob- jectif. Dans (Huang & Lin 2011), les auteurs ont d´ evelopp´ e un algorithme de colonies d’abeilles. Cam- pos et al ont propos´ e dans (Ciro, Dugardin, Yalaoui
& Kelly 2015b) un algorithme de colonies de four- mis et logique floue afin de r´ esoudre un OSSP avec contrainte de ressources. (Zobolas, Tarantilis &
Ioannou 2008) et (Anand & Panneerselvam 2015) pro- posent une revue exhaustive concernant les approches de r´ esolution des probl` emes OSSPs.
Notre observation principale ` a l’issue de notre ´ etude
de l’´ etat de l’art est le nombre faible de publications concernant les approches exactes pour la r´ esolution des OSSPs. La particularit´ e de notre travail r´ eside dans notre int´ erˆ et sp´ ecifique pour les m´ ethodes ex- actes en vue de la r´ esolution d’un OSSP avec con- traintes de ressources.
3 DESCRIPTION DU PROBLEME
Dans le pr´ esent travail, nous consid´ erons un OSSP avec contraintes de ressources. Nous visons ` a min- imiser la dur´ ee du flux total. L’OSSP ´ etudi´ e est com- pos´ e de m machines (j = 1 to m) et une liste de tˆ aches (i = 1 to n) o` u chaque tˆ ache contient au plus “m”
op´ erations qui peuvent ˆ etre ex´ ecut´ ees dans un ordre quelconque. Chaque op´ eration O
ijdoit ˆ etre ex´ ecut´ ee dans une machine convenable et disponible avec un temps d’ex´ ecution p
ijet un temps de r´ eglage s
ij. De mˆ eme chaque op´ eration O
ijdoit ˆ etre ex´ ecut´ ee par un op´ erateur disponible w qui maˆıtrise les comp´ etences n´ ecessaires pour effectuer ladite op´ eration.
Dans le cadre de notre ´ etude, nous consid´ erons les hypoth` eses suivantes:
• la pr´ eemption n’est pas permise
• les temps de r´ eglage et d’ex´ ecution d’une op´ era- tion donn´ ee sont consid´ er´ es de mani` ere s´ epar´ ee.
• le r´ eglage peut ˆ etre d´ ebut´ e d` es que la machine est disponible
• chaque machine peut ex´ ecuter uniquement une op´ eration ` a la fois
• une tˆ ache donn´ ee peut ˆ etre ex´ ecut´ ee sur une seule machine ` a la fois
• les machines sont disponibles durant toute la p´ eriode d’ordonnancement
• les tˆ aches peuvent ˆ etre ex´ ecut´ ees en fonction de leur date de disponibilit´ e
Dans la suite du document, nous pr´ esentons d’abord une m´ ethode exacte acc´ el´ er´ ee pour la minimisation de la dur´ ee du flux total. Ensuite nous exposons une nouvelle borne inf´ erieur obtenue en optimisant la dur´ ee du flux total du probl` eme Open-shop relax´ e.
4 ACCELERATION DU PLNE EN UTIL- ISANT ACO
Dans la pr´ esente section, nous pr´ esentons dans un
premier temps un PLNE et un algorithme de colonie
de fourmis pour la r´ esolution de l’OSSP avec con-
traintes de ressources. Par la suite, nous exposons
une approche qui int` egre conjointement lesdits algo-
rithmes, et ce dans le but d’acc´ el´ erer le PLNE original
lors de la r´ esolution avec l’outil CPLEX.
4 8 1 6 2 7
5 3 9
3 2 4 1 1 3
2 2 1
Schedule Workers
2 2 4 1 2,3 1,3
1,2 2 1,2,
Skills 3
2 2 1 1 3 3
2 2 3 3 1 1
2 1 1 3 3
M3
M2
M1
k3 k4 k1,k3
k1,k2 k2
k2,k3 k1,k2,k3 k1
k2
W2 W1
W1
W2 W2 W1
W4
W3 W3
Setup time Processing time Workers Skills
Temps Machines
) (
max
33 , wi
W w J
i
C
E
) (
max
22 , wi
W w J
i
C
E
) (
max
11 , wi
W w J i
C E
E1Figure 1: Exemple d’un OSSP avec contraintes de ressources (Ciro et al. 2015b)
4.1 PLNE Original
Ici, nous d´ ecrivons le mod` ele (Ciro, Dugardin, Yalaoui & Kelly 2015a) pour la r´ esolution du prob- l` eme d´ ecrit Section 3. Nous adopterons la notation suivante.
J Liste des tˆ aches J = {1, ..., N } L Liste des machines L = {1, ..., M } W Liste des op´ erateurs W = {1, ..., N
W} S Liste des comp´ etences S = {1, ..., N
S} i, j Indice de tˆ ache, i,j = {1, ..., N } m, m
0Indice de machine, m,m’ = {1, ..., M } w Indice d’op´ erateur, w = {1, 2, 3, ..., N
W} s Indice de comp´ etence, s = {1, 2, 3, ..., N
S} G Un tr` es grand nombre
C
wimDate de fin d’ex´ ecution de la tˆ ache i sur la machine m eff´ ectu´ ee par l’op´ erateur w
C
iDate de fin d’ex´ ecution de la tˆ ache i
SE
imDur´ ee de r´ eglage pour eff´ ectuer la tˆ ache i sur la ma- chine m
p
imDur´ ee d’ex´ ecution de la tˆ ache i sur la machine m r
iDate de disponibilit´ e de la tˆ ache i
Nous utilisons pour la mod´ elisation du probl` eme les variables de d´ ecision suivantes:
RE
ims=
1 Si la tˆ ache i sur la machine m requiert la comp´ etence s
0 Sinon A
ws=
1 Si l
0op´ erateur w a la com´ etence s 0 Sinon
X
ijm=
1 Si la tˆ ache i pr´ ec´ ede la tˆ ache j sur la machine m
0 Sinon
Z
imm0=
1 Si la tˆ ache i est ex´ ecut´ ee sur la machine m puis sur la machine m
00 Sinon
Y
wim=
1 Si l
0op´ erateur w ex´ ecute la tˆ ache i sur la machine m
0 Sinon
V
imjm0=
1 Si la tˆ ache i sur la machine m pr´ ec´ ede la tˆ ache j sur la machine m
00 Sinon
Le mod` ele math´ ematique peut ˆ etre formul´ e comme suit:
Minimiser
N
X
i=1
F
i= Minimiser
N
X
i=1
(C
i− r
i) (1)
Sous les contraintes suivantes :
∀w ∈ W ; ∀i ∈ J; ∀m ∈ L C
i≥ C
wim(2)
∀i, j ∈ J, i 6= j; ∀m ∈ L; ∀w ∈ W
C
wim− G(1 − X
ijm) ≤ C
wjm− SE
jm− p
jm(3)
∀i ∈ J ; ∀m, m
0∈ L, m 6= m
0; ∀w ∈ W C
wim− G(1 − Z
imm0) ≤ C
wim0− p
im0(4)
∀i, j ∈ J ; ∀m, m
0∈ L; ∀w ∈ W
C
wim− G(1 − V
imjm0) ≤ C
wjm0− SE
jm0− p
jm0(5)
∀i, j ∈ J, i 6= j; ∀m ∈ L
X
ijm+ X
jim= 1 (6)
∀i ∈ J ; ∀m, m
0∈ L, m 6= m
0Z
imm0+ Z
im0m= 1 (7)
∀i, j ∈ J; ∀m, m
0∈ L
V
imjm0+ V
jm0im≤ 1 (8)
∀i, j ∈ J, i 6= j; ∀m, m
0∈ L; ∀w ∈ W
V
imjm0+ V
jm0im≥ Y
wim+ Y
wjm0− 1 (9)
∀i ∈ J ; ∀m, m
0∈ Lm 6= m
0; ∀w ∈ W
V
imim0+ V
im0im≥ Y
wim+ Y
wim0− 1 (10)
∀i ∈ J; ∀m ∈ L; ∀w ∈ Γ; ∀s ∈ S
Y
wim≤ RE
ims× A
ws+ (1 − RE
ims) (11)
N
X
i=1 M
X
m=1
Y
wim≥ 1 ∀w ∈ W (12)
MOSIM’16 - 22 au 24 Aout 2016 - Montreal - Canada
W
X
w=1
Y
wim= 1 ∀i ∈ J ; ∀m ∈ L (13)
∀i ∈ J ; ∀m ∈ L; ∀w ∈ W
C
wim− SE
im− p
im≥ r
i(14)
∀i, j ∈ J ; ∀m, m
0∈ L; ∀w ∈ W
X
ijm, Z
imm0, Y
wim, V
imjm0∈ {0, 1} (15) 4.2 Description de l’algorithme ACO
Les premiers travaux portant sur l’algorithme ACO ont ´ et´ e propos´ es par Dorigo et al dans (Dorigo, Maniezzo & Colorni 1991) et (Dorigo, Maniezzo &
Colorni 1996). L’id´ ee cl´ e de l’ACO fut inspir´ ee par le comportement des fourmis qui retrouvent et emprein- tent in fine le chemin le plus court entre leur colonie et une source de nourriture. En effet, (Goss, Aron, Deneubourg & Pasteels 1989) a men´ e des exp´ eriences prouvant qu’apr` es une dur´ ee de temps donn´ ee toutes les fourmis d’une colonie choisisent (entre deux al- ternatives) le chemin le plus court pour parcourir la distance qui s´ epare leur colonie d’une source de nour- riture.
Dans le cadre de notre ´ etude nous consid´ erons l’algorithme ACO (Voir (Ciro et al. 2015b)) avec les caract´ eristiques suivantes:
• Pour les premi` eres 10 % des it´ erations les fourmis seronts g´ en´ er´ ees al´ eatoirement. Ensuite pour le reste des fourmis les ph´ eromones ainsi que la ma- trices de visibilit´ e seront utilis´ es comme crit` ere.
• La valeur initiale de la matrice de visibilit´ e η
0,v= 1
r
v+ s
v+ p
v+ s
v∀v ∈ L
Φ(16)
• La matrice de visibilit´ e permettant d’estimer la d´ esirabilit´ e d’aller de l’op´ eration u vers l’op´ eration v ∀v ∈ L
Φ; ∀u ∈ Ω
η
u,v= (
1(sv+pv)
if r
v− C
u≤ 0
1
(1+rv−Cu)+(sv+pv)
Otherwise (17)
• La matrice de probabilit´ e de transition qui donne la probabilit´ e pour qu’une fourmis donn´ ee choi- sisse une op´ eration en se basant sur la trace du ph´ eromone τ et la visibilit´ e η.
η
u,v=
arg max
v∈LΦ[τ
u,v]
α∗ [η
u,v]
βκ Otherwise (18)
O` u κ repr´ esente une variable al´ eatoire d´ efinit comme suit
P
Φ(κ) = [τ
u,v]
α∗ [η
u,v]
βP
v∈LΦ
[τ
u,v]
α∗ [η
u,v]
β(19)
4.3 Acc´ el´ eration du PLNE en utilisant ACO Ici, nous proposons d’utiliser conjointement le PLNE ainsi que l’algorithme ACO et ce dans le but d’acc´ el´ er´ er le PLNE. Dans une proc´ edure Branch and cut, l’´ etape d’´ enum´ eration des solutions oc- cupe une part importante et affecte largement le temps d’ex´ ecution. L’id´ ee de notre approche est d’utiliser l’algorithme ACO en vue de fournir une borne sup´ erieure de bonne qualit´ e permettant de r´ e- duire de mani` ere consid´ erable l’espace de solutions et d` es lors converger plus rapidement.
Comme d´ ecrit dans l’organigramme Figure 2, tout d’abord, l’algorithme ACO est lanc´ e en ´ etape de pr´ e- traitement durant 120s. Ensuite, la solution obtenue est utilis´ ee comme contrainte suppl´ ementaire dans le PLNE. En effet, elle servira comme une nouvelle borne sup´ erieur permettant de limiter l’espace de recherche de solutions.
Les r´ esultats exp´ erimentaux (Voir Tab 1) bas´ es sur diff´ erents types d’instances ont permis de valider notre approche permettant l’acc´ el´ eration effective du PLNE original.
Add a constraint to the MIP:
Objective function < ACO solution Launch ACO for 120 s (Preprocessing Step)
Solve MIP
Optimal solution obtained in CPU time < 1800 s ?
Display Optimal solution
Display the best solution obtained
No
Yes
Figure 2: Processus d’acc´ el´ eration du PLNE 5 RELAXATION LAGRANGIENNE
Une des bornes inf´ erieures les plus connues dans le cas de l’ordonnancement dans un atelier est le maximum entre les charges machines et les dur´ ees d’ex´ ecution des tˆ aches. La relaxation lagrangienne est une ap- proche qui a ´ et´ e propos´ ee pour la premi` ere fois par Held et Karp (Held & Karp 1971). Le nom de ladite m´ ethode a ´ et´ e attribu´ e plus tard par Geof- frion (Geoffrion 1974).
Dans plusieurs travaux, des chercheurs ont prouv´ e
que la relaxation lagrangienne am´ eliore de mani` ere
significative les m´ ethodes exactes dans plusieurs
champs d’application tels que le probl` eme de tourn´ ee
de v´ ehicule (Bazarra & Goode 1977), le prob-
l` eme d’affectation (Ross & Soland 1975) ou encore l’ordonnancement (Fisher 1973).
L’id´ ee principale de la relaxation lagrangienne est d’´ eliminer certaines contraintes du mod` ele original (celles qui rendent le probl` eme plus complexe) et les injecter par ailleurs dans l’expression de la fonction objectif sous forme d’une combinaison lin´ eaire de p´ e- nalit´ es. Les coefficients de cette combinaison sont ap- pel´ es multiplicateurs de lagrange.
Dans cette section nous introduisons une nouvelle borne inf´ erieure pour l’OSSP avec contraintes de ressources en utilisant une relaxation lagrangienne.
Le choix de la contrainte ` a relaxer est bas´ e sur deux param` etres importants: la qualit´ e de la borne obtenue et la dur´ ee d’ex´ ecution.
Dans le pr´ esent travail, nous avons d´ ecid´ e de re- laxer la contrainte ci-dessous mettant en relation deux op´ erations ex´ ecut´ ees par le mˆ eme op´ erateur :
∀i, j ∈ J; ∀m, m
0∈ L; ∀w ∈ W
C
wim− G(1 − V
imjm0) ≤ C
wjm0− SE
jm0− p
jm0(20) Ainsi, la relaxation lagrangienne est obtenue en con- sid´ erant les mˆ emes contraintes du PLNE original de- crit pr´ ec´ edemment dans cette section ` a l’exception de la contrainte expos´ ee ci-dessus qui est ´ elimin´ ee.
Quant ` a la fonction objectif d´ esormais elle devient comme suit:
Minimiser P
Ni=1
(C
i− r
i) + P
i,j,m,m0,w
λ ∗ (C
wjm0−SE
jm0− p
jm0− (C
wim− G(1 − V
imjm0)) (21) En effet, en plus de la fonction objectif du PLNE orig- inal correspondant ` a la minimisation de la dur´ ee du flux total (Total flow time ), une p´ enalit´ e suppl´ emen- taire est consid´ er´ ee quand deux op´ erations ex´ ecut´ ees par le mˆ eme op´ erateur se chevauchent.
6 RESULTATS EXPERIMENTAUX
Les r´ esultats exp´ erimentaux expos´ es dans cette sec- tion illustrent dans un premier temps l’utilit´ e de l’int´ egration de la solution obtenue avec l’algorithme ACO autant que borne sup´ erieure pour la la r´ e- solution du PLNE. Par la suite, nous nous in- t´ er´ essons ` a la nouvelle borne inf´ erieure introduite dans la section pr´ ec´ edente. Concernant le disposi- tif d’exp´ erimentation, nous avons utilis´ e une ma- chine ´ equip´ ee de processeur 2,5GHz Intel 2520 et 16 GB de m´ emoire vive. Enfin, et en vue de r´ e- soudre les diff´ erents PLNE, nous avons utilis´ e le logi- ciel d’optimisation CPLEX de IBM ILOG.
Une instance donn´ ee est d´ efinit par le nombre de tˆ aches * le nombre de machines * le nombre de
d’op´ erateurs * le nombre de comp´ etences. Les dur´ ees d’ex´ ecutions sont des entiers uniform´ ement distribu´ es sur [1; w], et les dur´ ees de r´ eglage de machines sont des variables al´ eatoires comprises dans [30; w], o` u w est un entier ´ egale ` a 50, 75 ou 100. La date de disponibilit´ e d’une tˆ ache donn´ ee est uniform´ ement distribu´ ee sur [0; λ ∗
q
P
m=1
