«Uningénieur,desordinateurs,desnombres»«Uningénieur,desordinateurs,desnombres» 08/12/2017 LaydineYoussouf AssemblagedematricesdetypedifférencesfiniessousMATLAB/Octave:algorithmesetperformances
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Texte intégral
(2) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Equation de Laplace 1D Conditions limites mixtes. a. b. −κu 00 (x) = f (x). ∀x ∈]a, b[. (1a). 0. (1b). 0. (1c). α1 u(a) + β1 u (a) = γ1 α2 u(b) + β2 u (b) = γ2. 2/31.
(3) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Schéma numérique Discrétisation à l’ordre 2. ui+1 − 2ui + ui−1 = −h2 fi ν1 u0 + 4β1 u1 − 2β1 u2 = 2hγ1 ν2 un − 4β2 un−1 + 2β2 un−2 = 2hγ2. ∀i ∈ J1, nJ. (2a) (2b) (2c). Ecriture matricielle associée : AU = Fb. (3). 3/31.
(4) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Forme matricielle Avec conditions limites. ν1 4β1 −2β1 0 0 .. 1 −2 1 0 . .. .. A = 0 ... . . 0 .. . 0 1 −2 1 0 0 2β2 −4β2 ν2 u0 2hγ1 u1 −h2 f1 .. U = ... , Fb = 2. un−1 −h fn−1 un 2hγ2 4/31.
(5) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Objectif : construire rapidement et efficacement A et Fb sans les conditions limites. 2 −2 1 0 0 0 h f0 .. 2 1 −2 1 0 . h f1 . A = 0 . . . . . . . . . 0 , Fb = − .. 2 .. h fn−1 . 0 1 −2 1 h2 fn 0 0 0 1 −2. 5/31.
(6) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Algorithme 1 Fonction initsyscore1d [alisc-nsnv] Entrée(s) : x, κ, f Sortie(s) : A, Fb 1: Fonction initsyscore1d(x, κ, f ) 2: n ←taille(x) 3: A ←zeros(n, n), Fb ←zeros(n, 1) 4: c ← −(x(2) − x(1))2 /κ 5: A(1, 1) = −2, A(1, 2) = 1 6: A(n, n) = −2, A(n, n − 1) = 1 7: Pour i = 2 à n − 1 Faire 8: A(i, i − 1) ← 1 9: A(i, i) ← −2 10: A(i, i + 1) ← 1 11: Fb(i) ← c ∗ f (x(i)) 12: Fin Pour 13: Fin Fonction. Benchmarking. . arbitraire . arbitraire. 6/31.
(7) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Algorithme 2 Fonction initsyscore1d [alisc-snv] Entrée(s) : x, κ, f Sortie(s) : A, Fb 1: Fonction initsyscore1d(x, κ, f ) 2: n ←taille(x) 3: A ←sparse(n, n), Fb ←zeros(n, 1) 4: c ← −(x(2) − x(1))2 /κ 5: A(1, 1) = −2, A(1, 2) = 1 6: A(n, n) = −2, A(n, n − 1) = 1 7: Pour i = 2 à n − 1 Faire 8: A(i, i − 1) ← 1 9: A(i, i) ← −2 10: A(i, i + 1) ← 1 11: Fb(i) ← c ∗ f (x(i)) 12: Fin Pour 13: Fin Fonction. Benchmarking. . arbitraire . arbitraire. 7/31.
(8) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Algorithme 3 Fonction initsyscore1d [alisc-sv] Entrée(s) : x, κ, f Sortie(s) : A, Fb 1: Fonction initsyscore1d(x, κ, f ) 2: n ←taille(x) 3: c ← −(x(2) − x(1))2 /κ 4: Fb ← c ∗ f (x) 5: i = [1 : n, 2 : n, 1 : n − 1] 6: j = [1 : n, 1 : n − 1, 2 : n] 7: nz = [−2∗ones(1, n), ones(1, n − 1), ones(1, n − 1)] 8: A ←sparse(i, j, nz) 9: Fin Fonction. 8/31.
(9) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Algorithme 4 Fonction initsyscore1d [alisc-svs] Entrée(s) : x, κ, f Sortie(s) : A, Fb 1: Fonction initsyscore1d(x, κ, f ) 2: n ←taille(x) 3: c ← −(x(2) − x(1))2 /κ 4: Fb ← c ∗ f (x) 5: i = [1 : n, 2 : n] 6: j = [1 : n, 1 : n − 1] 7: nz = [−ones(1, n), ones(1, n − 1)] 8: A ←sparse(i, j, nz)+sparse(j, i, nz) 9: Fin Fonction. 9/31.
(10) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Algorithme 5 Fonction initsyscore1d [alisc-svt] Entrée(s) : x, κ, f Sortie(s) : A, Fb 1: Fonction initsyscore1d(x, κ, f ) 2: n ←taille(x) 3: c ← −(x(2) − x(1))2 /κ 4: Fb ← c ∗ f (x) 5: A ←sparse(1 : n, 1 : n, −2 ∗ ones(1, n)) +sparse(2 : n, 1 : n − 1, −ones(1, n − 1), n, n) +sparse(1 : n − 1, 2 : n, −ones(1, n − 1), n, n) 6: Fin Fonction. 10/31.
(11) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Cas test. uex (x) = sin(x cos(x)), x ∈ [0, 2π] f (x) =. 00 −uex (x),. x ∈]0, 2π[. −u 00 (x) = f (x), x ∈]0, 2π[ γ1 = uex (0) γ2 =. 0 uex (2π). (4a) (4b) (5a) (5b) (5c). Configurations matérielles : Processeur : Intel Core i9-7940X CPU @ 3.10GHz Mémoire : 62.6 Go OS : Ubuntu 17.10 11/31.
(12) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. All modes Assemblage. 12/31.
(13) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. All modes Résolution. 13/31.
(14) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. All modes Assemblage + résolution. 14/31.
(15) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. All modes Taille mémoire matrice de discrétisation. 15/31.
(16) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Sparse modes Assemblage. 16/31.
(17) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Sparse modes Résolution. 17/31.
(18) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Sparse modes Assemblage + résolution. 18/31.
(19) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Vectorized sparse modes Assemblage. 19/31.
(20) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Vectorized sparse modes Résolution. 20/31.
(21) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. MATLAB R2017a. Vectorized sparse modes Assemblage + résolution. 21/31.
(22) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. All modes Assemblage. 22/31.
(23) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. All modes Résolution. 23/31.
(24) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. All modes Assemblage + résolution. 24/31.
(25) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. All modes Taille mémoire matrice de discrétisation. 25/31.
(26) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Sparse modes Assemblage. 26/31.
(27) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Sparse modes Résolution. 27/31.
(28) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Sparse modes Assemblage + résolution. 28/31.
(29) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Vectorized sparse modes Assemblage. 29/31.
(30) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Vectorized sparse modes Résolution. 30/31.
(31) Problème modèle. Algorithmes de remplissage. Benchmarking. Octave 4.2.1. Vectorized sparse modes Assemblage + résolution. 31/31.
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