Quelques méthodes de filtrage en Traitement d'Image

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Preprint submitted on 24 Feb 2011

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Maïtine Bergounioux

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Maïtine Bergounioux. Quelques méthodes de filtrage en Traitement d’Image. 2011. �hal-00512280v2�

par

Ma¨ıtine Bergounioux

R´ esum´ e. — Nous pr´ esentons quelques m´ ethodes

de base

en filtrage des images num´ eriques. Un bref aper¸ cu du filtrage unidimensionnel est donn´ e puis les techniques lin´ eaires et non lin´ eaires sont abord´ ees dans le cadre des images 2D. Nous terminons par une ouverture sur les m´ ethodes variationnelles tr` es utilis´ ees actuellement pour la d´ econvolution et la restauration des images.

Abstract (Some filtering methods in image processing). — We present basic image processing denoising methods. We first recall briefly the main features of linear 1D filtering techniques. Then we present linear and non linear standard methods for (2D) images. We end with variational methods that are more and more used for deconvolution and image restoration.

Table des mati` eres

1. Introduction. . . . 2

2. Les images num´ eriques . . . . 3

3. Filtrage unidimensionnel. . . . 7

4. D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire. . . 10

5. D´ ebruitage par filtrage non lin´ eaire. . . 33

6. Filtrage variationnel. . . 40

7. Conclusion. . . 52

Appendice A. Quelques outils math´ ematiques . . . 52

R´ ef´ erences. . . 62

Classification math´ ematique par sujets (2000). — 68U10, 49J40.

Mots clefs. — Traitement d’image, filtrage, d´ ebruitage, segmentation.

1. Introduction

L’´ etude d’un signal n´ ecessite de supprimer au maximum le bruit parasite dˆ u aux conditions d’acquisition. L’un des buts du filtrage est de

nettoyer

le signal en

´

eliminant le plus de bruit possible tout en pr´ eservant le maximum d’informations. En outre, l’information contenue dans un signal n’est pas forc´ ement enti` erement perti- nente : il faut

s´ electionner

l’information utile suivant l’usage que l’on veut en faire.

Par exemple, ` a l’´ ecoute d’un morceau de musique, on peut vouloir un renforcement des sons graves. Une autre finalit´ e du filtrage est donc de s´ electionner et renforcer certaines bandes de fr´ equences porteuses de l’information int´ eressante.

Le filtrage des images a la mˆ eme finalit´ e que celui des signaux 1D. Il s’agit essen- tiellement d’enlever le bruit (parasite) ou de s´ electionner certaines fr´ equences. Si la notion de haute fr´ equence ou basse fr´ equence est naturelle en signal 1D (son aigu ou grave), la fr´ equence spatiale est un concept plus d´ elicat qui d´ ecoule du fait que les images appartiennent au domaine spatial. La fr´ equence temporelle est une grandeur qui caract´ erise le nombre de ph´ enom` enes qui se d´ eroulent au cours d’un temps donn´ e.

Si en voiture, le long d’une route, on voit 2 bandes blanches PAR seconde : c’est une fr´ equence temporelle. Il est ensuite facile de comprendre que ce concept de fr´ equence

!

temporelle

peut aussi se traduire en fr´ equence spatiale en disant qu’il y a 200 bandes blanches PAR kilom` etre.

Dans une image, les d´ etails se r´ ep` etent fr´ equemment sur un petit nombre de pixels, on dit qu’ils ont une fr´ equence ´ elev´ ee : c’est le cas pour les textures fines (comme les feuilles d’un arbre ou de l’herbe) et certains contours de l’image. Au contraire, les fr´ equences basses correspondent ` a de faibles variations dilu´ ees sur de grandes parties de l’image, par exemple des variations de fond de ciel.

Nous verrons dans la suite que la plupart des filtres agissent s´ electivement sur ces fr´ equences pour les s´ electionner, en vue de les amplifier ou de les r´ eduire tout comme dans le cas 1D.

Les images peuvent ˆ etre entˆ ach´ ees de d´ egradations de nature diff´ erente suivant les conditions d’acquisition. On s’int´ eressera ici plus particuli` erement

– aux perturbations mod´ elis´ es par un bruit additif, gaussien – au flou (mod´ elis´ e par un op´ erateuer de convolution) – au bruit impulsionnel dit

poivre et sel

.

Les bruits multiplicatifs et/ou poissoniens sont difficiles ` a appr´ ehender : nous n’en

parlerons pas ici. De la mˆ eme fa¸ con, nous n’aborderons pas le filtrage par ondelettes

qui n´ ecessite des pr´ e-requis importants.

2. Les images num´ eriques

2.1. Principe de l’image num´ erique. — Une image est un signal bidimensionnel.

Un image analogique est par exemple celle form´ ee sur la r´ etine de l’œil ou l’images obtenue par la photographie argentique classique.

Une image num´ erique est un signal num´ erique compos´ e d’unit´ es ´ el´ ementaires (appel´ ees pixels) qui repr´ esentent chacun une portion de l’image. Contrairement au cas unidimensionnel, nous ´ etudierons uniquement les images num´ eriques (discr` etes).

Une image num´ erique est d´ efinie par :

– le nombre de pixels qui la composent en largeur et en hauteur,

– l’´ etendue des teintes de gris ou des couleurs que peut prendre chaque pixel (on parle de dynamique de l’image).

Figure 1. Pixels et niveaux de gris

I est l’image num´ erique : I r i, j s n est la valeur du niveau de gris. Lorsque n P r N _min , N _max s , N _max N _min est le nombre de niveaux de gris . La dynamique de l’image est donn´ ee par Log ₂ p N _max N _min q .

– Les images binaires (noir ou blanc) : ce sont les images les plus simples, un pixel peut prendre uniquement les valeurs noir ou blanc. C’est typiquement le type d’image que l’on utilise pour scanner du texte quand celui ci est compos´ e d’une seule couleur.

– Les images en niveaux de gris : en g´ en´ eral, les images en niveaux de

gris renferment 256 teintes de gris. Par convention la valeur z´ ero repr´ esente le

noir (intensit´ e lumineuse nulle) et la valeur 255 le blanc (intensit´ e lumineuse

maximale). Le nombre 256 est li´ e ` a la quantification de l’image. En effet chaque

entier repr´ esentant un niveau de gris est cod´ e sur 8 bits. Il est donc compris entre

0 et 2 ⁸ 1 255. C’est la quantification la plus courante. On peut coder une image en niveaux de gris sur 16 bits (0 ¤ n ¤ 2 ¹⁶ 1) ou sur 2 bits : dans ce dernier cas le

niveau de gris

vaut 0 ou 1 : il s’agit alors d’une image binaire (Noir et Blanc).

– Les images couleurs : L’ espace couleur est bas´ e sur la synth` ese additive des couleurs, c’est ` a dire que le m´ elange de trois composantes (par exemple (R, V, B) ) donne une couleur. On garde linformation couleur , ou intensit´ e lumineuse et chromaticit´ e. Un pixel est cod´ e par trois valeurs num´ eriques. La signification de ces valeurs d´ epend du type de codage choisi. Le plus utilis´ e pour le maniement des images num´ eriques est l’espace couleur Rouge, Vert, Bleu (R,V,B) (RGB en anglais). La restitution des couleurs sur ´ ecran utilise cette repr´ esentation (synth` ese additive). Il en existe beaucoup d’autres : CMJ (ou CMY en anglais), TSL (ou HSL en anglais), YUV, YIQ, Lab, XYZ

Dans ce qui suit nous ne consid` ererons que des images en niveaux de gris. En ef- fet, chaque calque couleur peut ˆ etre consid´ er´ e comme une image en niveaux de gris s´ epar´ ement et on peut lui appliquer les transformations et m´ ethodes d´ ecrites dans ce livre. Toutefois, les techniques de recalage propres aux images couleur sont d´ elicates et sortent largement du cadre que nosu nous somme fix´ es ici.

Terminons cette section par une notion statistique fort utile pour des images en niveaux de gris (y compris les images noir et blanc).

D´ efinition 2.1 (Histogramme d’une image). — L’histogramme d’une image est l’histogramme de la s´ erie de donn´ ees correspondant aux niveaux de gris des pixels.

C’est une fonction d´ efinie par :

@ p P t 0, , 255 u h p p q Nombre des pixels ayant p pour niveau de gris .

Figure 2. Histogramme

L’histogramme donne une indication de la dynamique de l’image (r´ epartition des niveaux de gris) mais n’est, en aucun cas, une caract´ eristique de l’image.

Figure 3. Deux images diff´ erentes peuvent avoir le mˆ eme histogramme

2.2. Echantillonnage et quantification. — L’´ echantillonnage est le proc´ ed´ e de discr´ etisation spatiale d’une image consistant ` a associer ` a chaque zone rectan- gulaire R p x, y q d’une image continue une unique valeur I p x, y). On parle de sous-

´

echantillonnage lorsque l’image est d´ ej` a discr´ etis´ ee et qu’on diminue le nombre d’´ echantillons.

Figure 4. Echantillonnage

La quantification d´ esigne la limitation du nombre de valeurs diff´ erentes que peut

prendre I p x, y q , nombre d´ etermin´ e en pratique par le nombre d’octets sur lequel on

code la valeur num´ erique en question.

Figure 5. Quantification

Une image num´ erique est une image ´ echantillonn´ ee et quantifi´ ee.

Figure 6. Echantillonnage et quantification

L’´ echantillonnage est une op´ eration plus complexe qu’il n’y paraˆıt. En effet, un sous-´ echantillonnage de l’image fait apparaˆıtre comme dans le cas unidimensionnel des fr´ equences parasites dues au repliement du spectre (ou aliasing). Le th´ eor` eme d’´ echantillonnage de Shannon (voir [5] en 1D) s’applique aussi dans le cadre bidimen- sionnel.

Figure 7. Apparition de fr´ equences parasites dans le cas du sous-´ echantillonnage

Le ph´ enom` ene d’aliasing se traduit par une effet

moir´ e

sur les images. Nous

renvoyons ` a [5] pour une ´ etude d´ etaill´ ee de l’´ echantillonnage en 1D, qui s’´ etend sans

difficult´ e au cas 2D.

Figure 8. Ph´ enom` ene d’aliasing

3. Filtrage unidimensionnel

Avant de pr´ esenter les principales techniques de base pour le filtrage des images, nous rappelons bri` evement le principe du filtrage unidimensionnel (pour plus de d´ etails on peut se r´ ef´ erer ` a [5]).

Pour d´ efinir un filtre lin´ eaire math´ ematiquement, on se donne deux espaces vec- toriels X (entr´ ee) et Y (sortie) munis d’une topologie (par exemple s´ equentielle) et un op´ erateur A lin´ eaire qui, ` a un signal e P X dit signal d’entr´ ee, associe un signal s P Y appel´ e signal de sortie :

A : e ÞÑ s : A p e q .

D´ efinition 3.1 (Filtre). — Un filtre lin´ eaire est un syst` eme form´ e des espaces d’entr´ ee et de sortie et d’un op´ erateur lin´ eaire continu qui v´ erifie les deux propri´ et´ es suivantes :

1. Il est invariant dans le temps : si T a : x ÞÑ x p a q est l’op´ erateur de translation alors

T a A AT a . 2. Si lim

k

e _k p t q e p t q alors on a lim

k

s _k p t q s p t q . Cette propri´ et´ e est ´ equivalente

`

a la causalit´ e.

Les espaces peuvent ˆ etre de dimension infinie (signaux analogiques) ou finie (si- gnaux discrets ou num´ eriques).

Examinons l’effet d’un filtre lin´ eaire A sur un signal p´ eriodique de X L ² _p p 0, T q (o` u T ¡ 0) de fr´ equence λ 1 { T . On sait que ce signal peut s’´ ecrire sous la forme

(1) x ¸

n

c n e nλ ,

o` u on a pos´ e

(2) e λ : t ÞÑ exp p 2iπλt q ,

de sorte que e nλ p e λ q ⁿ . On sait (grˆ ace aux s´ eries de Fourier) que la famille p e nλ q n

forme une base hilbertienne de X . Formellement

Ax A ¸

n

c n e nλ

¸

n

c n p Ae nλ q . On est donc ramen´ e ` a examiner l’effet de A sur e _nλ .

Proposition 3.2. — Un filtre lin´ eaire associe ` a tout signal exponentiel d’entr´ ee le mˆ eme signal multipli´ e par un facteur ind´ ependant du temps, g´ en´ eralement complexe, appel´ e fonction de transfert ou gain complexe du filtre.

D´ emonstration. — Cherchons l’image f λ A e λ de e λ par le filtre. On remarque que pour t fix´ e, on a e _λ p t u q e _λ p t q e _λ p u q . Donc

@ u P R f _λ p t u q A p e _λ p t q e _λ qp u q , c’est-` a-dire par lin´ earit´ e de A

f _λ p t u q e _λ p t q r Ae _λ p u qs e _λ p t q f _λ p u q .

Pour u 0 , on obtient f λ p t q e λ p t q f λ p 0 q ; donc Ae λ f λ p 0 q e λ . Par cons´ equent, e λ

est une fonction propre de A associ´ ee ` a la valeur propre f λ p 0 q qui ne d´ epend que de λ. La fonction λ ÞÑ H p λ q : f λ p 0 q est appel´ ee fonction de transfert du filtre.

Reprenons le signal p´ eriodique x d´ efini par la relation (1) ; la sortie filtr´ ee par A est donc

y : Ax ¸

n

c n H p nλ q e nλ .

En r´ esum´ e, chaque coefficient de Fourier c _n de x est transform´ e en γ _n : H p nλ q c _n . Compte tenu des propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier discr` ete F, si x est un signal num´ erique ´ echantillonn´ e avec 2N ´ echantillons, on peut traduire la relation pr´ ec´ edente par

@ n P t 1, , N u Y _n H p nλ q X _n ,

o` u Y F p y q et X F p x q , c’est-` a-dire F p y q H. F p x q , o` u . d´ esigne le produit composante par composante. Si on pose h _2N ¹ F

¹ p H q , cela donne : y h f x (o` u f d´ esigne ici la convolution circulaire discr` ete.) Nous obtenons donc le r´ esultat suivant (que nous admettrons pour les signaux analogiques) :

1. On peut compl` etement justifier le calcul grˆ ace ` a la lin´ earit´ e et la continuit´ e de l’op´ erateur A

de X dans X

Th´ eor` eme 3.3. — Un syst` eme lin´ eaire continu est un filtre lin´ eaire si et seulement si la relation entre l’entr´ ee e et la sortie s est une convolution :

s p t q r h e sp t q

»

8

h p θ q e p t θ q dθ .

Pour les filtres ` a temps discret on a s n ¸

k

h k e n k .

En d’autres termes les filtres lin´ eaires continus unidimensionnels sont et ne sont que des filtres de convolution (o` u la convolution est continue ou discr` ete).

D´ efinition 3.4. — Le noyau de convolution h apparaissant dans le th´ eor` eme 3.3 est la r´ eponse impulsionnelle du filtre. La transform´ ee de Fourier (continue ou discr` ete) H : h ˆ de h est la fonction de transfert du filtre.

Cette d´ efinition m´ erite d’ˆ etre comment´ ee :

– Dans le cas des signaux analogiques (d’´ energie finie, i.e. dans L ² pRq par exemple), le signal de sortie s est donn´ e par : s h e, o` u e est le signal d’entr´ ee. Si on applique la transformation de Fourier, on obtient ˆ s ˆ hˆ e. En effet, si le signal d’entr´ ee e est la mesure de Dirac δ on obtient s h δ h.

C’est donc bien la sortie correspondant ` a une

impulsion

.

– Dans le cas des signaux discrets, on peut faire la mˆ eme analyse. La transfor- mation de Fourier est remplac´ ee par la transformation de Fourier discr` ete et se calcule par FFT.

G´ en´ eralement, on distingue les filtres suivant l’action qu’ils ont sur le spectre (c’est-

`

a-dire par la forme de leur fonction de transfert) :

– un filtre passe-bas va ´ eliminer ou att´ enuer fortement l’´ energie des hautes fr´ equences d’un spectre en ne laissant

passer

que les basses fr´ equences ;

– un filtre passe-haut va ´ eliminer ou att´ enuer fortement l’´ energie des basses fr´ equences d’un spectre ;

– un filtre passe-bande ne conservera que l’´ energie concentr´ ee dans une bande de fr´ equences.

– un filtre coupe-bande ou filtre de r´ ejection qui est le compl´ ementaire du

pr´ ec´ edent.

Figure 9. Diff´ erents types de filtrage (on n’a pas repr´ esent´ e le filtre coupe-bande)

4. D´ ebruitage par filtrage lin´ eaire

Comme nous l’avons d´ ej` a ´ evoqu´ e, les images peuvent ˆ etre d´ egrad´ ees par diff´ erentes perturbations, dont nous donnons un aper¸ cu avec la figure 10 p. 11. Le filtrage a pour but d’´ eliminer l’effet de ces perturbations en essayant de ne pas toucher aux informations essentielles de l’image (contours, dynamique, textures etc.)

Dans cette section, nous allons pr´ esenter les techniques lin´ eaires de base pour effectuer un filtrage permettant de supprimer les effets d’un bruit additif que l’on supposera gaussien (centr´ e).

Nous avons vu que, dans le cas d’un signal 1D, les filtres lin´ eaires sont et ne sont que des filtres de convolution. Le filtrage lin´ eaire spatial des images est aussi essentiellement une op´ eration de convolution (2D).

Si f est l’image ` a filtrer (ou ` a rehausser) et κ la r´ eponse impulsionnelle du filtre (spatial) on a :

f p x, y q κ p x, y q F

¹

$ '

&

' % F p f p x, y qq F looooomooooon p g p x, y qqu

K

u,v

, / . / - .

o` u F est la transformationde Fourier et K la fonction de transfert du filtre. Dans le contexte du traitement d’image le noyau κ est appel´ e PSF (Point Spread Function) ou masque)

Comme les images num´ eriques sont des objets de dimension finie nous allons

pr´ esenter les filtres dans le cas discret. Dans tout ce qui suit x et y sont des en-

tiers (coordonn´ ees des pixels) et f est ` a valeurs enti` eres (dans t 0, , 255 uq . Comme

dans le cas unidimensionnel, on peut distinguer trois types de filtrage :

– Le filtre passe-bas diminue le bruit mais att´ enue les d´ etails de l’image (flou plus prononc´ e)

– Le filtre passe-haut accentue les contours et les d´ etails de l’mage mais am- plifie le bruit

– Le filtre passe-bande ´ elimine certaines fr´ equences ind´ esirables pr´ esentes dans l’image

(a) Image originale (b) Bruit gaussien, moyenne nulle, ´ ecart-type σ 50

(c) Flou

(d) Bruit et flou (e) Bruit poivre et sel (f) Bruit multiplicatif Figure 10. Exemples de perturbations d’une image (bruits et flou)

4.1. Filtrage spatial (bruit additif ). — On ne fait pas en g´ en´ eral une convolu-

tion globale qui serait d’une part coˆ uteuse ` a impl´ ementer, d’autre part r´ egulariserait

l’image dans sa globalit´ e de mani` ere trop prononc´ ee. On choisit des noyaux dont le

support est petit de fa¸ con ` a effectuer une convolution locale au voisinage de chaque

pixel. Concr` etement, cela revient ` a utiliser des masques (discrets) dont le support ne

contient que quelques pixels au voisinage d’un pixel p x, y q :

Figure 11. Convolution locale

Le masque du filtre κ est ` a support inclus dans r x 1 , x 2 s r y 1 , y 2 s : g p x, y q p f κ qp x, y q

x

¸

i x

y

¸

j y

f p x i, y j q κ p i, j q .

G´ en´ eralement, le filtre est de dimensions d i impaires et est sym´ etrique. En effet, l’effet d’un filtre doit ˆ etre (a priori) isotrope et il ne fat pas privil´ egier des directions par rapport ` a d’autres. Dans ce cas

r x ₁ , x ₂ s r d 1 1

2 , d 1 1

2 s et r y ₁ , y ₂ s r d 2 1 2 , d 2 1

2 s , (3) p f κ qp x, y q

p

d

¸ 1

2 i

d

1

2

p

d

¸ 1

2 j

d

1

2

f p x i, y j q κ p i, j q .

Donnons un exemple avec d 1 d 2 d 3 :

w ₁ w ₂ w ₃ Ð y 1 w 4 w 5 w 6 Ð y w 7 w 8 w 9 Ð y 1

Ò Ò Ò

x 1 x x 1

Table 1. Repr´ esentation matricielle du filtre en p x, y q - d

d

3

Ici κ p 0, 0 q w 5 . Sur cet exemple on a pr´ ecis´ ement

g p x, y q w ₁ f p x 1, y 1 q w ₂ f p x, y 1 q w ₃ f p x 1, y 1 q w 4 f p x 1, y q w 5 f p x, y q w 6 f p x 1, y q

w 7 f p x 1, y 1 q w 8 f p x, y 1 q w 9 f p x 1, y 1 q .

Afin de conserver la moyenne de l’image f (et donc sa luminosit´ e), la somme des

´

el´ ements du filtre est normalis´ ee ` a 1 : ¸

i

w i 1.

On constate tout de suite que la formule pr´ ec´ edente ne permet pas de filtrer correc- tement le bord : en effet les bandes verticales de taille p d 1 1 q{ 2 sur les bords gauche et droit de l’image ne sont pas

atteints

. De la mˆ eme fa¸ con les bandes horizon- tales sup´ erieures et inf´ erieures de taille p d ₁ 1 q{ 2 ne sont pas trait´ ees non plus. Pour rem´ edier ` a cet inconv´ enient, on effectue souvent une r´ eflexion de l’image autour de ses bords ce qui permet de filtrer l’image r´ efl´ echie avant de la redimensionner.

Figure 12. R´ eflexion d’une image par rapport ` a ses bords. Ici p d

1 q{ 2 pd

1q{2 : d et la taille de l’image et n

n

.

Un filtre 2D est dit s´ eparable s’il est possible de d´ ecomposer le noyau de convo- lution h 2D en deux filtres 1D appliqu´ es successivement en horizontal puis en vertical (ou inversement) :

h _2D h ^V _1D b h ^H _1D ,

o` u le symbole b d´ esigne le produit tensoriel. On peut alors traiter s´ epar´ ement les lignes et les colonnes de l’image ce qui est un gros avantage pour l’impl´ ementation.

Pour qu’un filtre 2D soit s´ eparable il faut et il suffit que les coefficients de ses

lignes et de ses colonnes soient proportionnels.

Exemple 4.1 (Filtres s´ eparables ). — Ils sont obtenus comme suit, pour une dimension 3 3 par exemple. En pratique cela revient ` a faire un produit matriciel.

a b c b α β γ

aα bα cα aβ bβ cβ aγ bγ cγ

α β γ

a b c .

Exemple 4.2 (Filtre de moyenne passe -bas ). —

1 9

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 25

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Table 2. Filtres de moyenne 3 3 et 5 5 respectivement

Nous pr´ esentons dans la figure 14. l’effet des filtres de moyenne sur une image bruit´ ee par un bruit gaussien additif,de moyenne nulle et d’´ ecart-type σ. Ce sont des filtres s´ eparables.

On remarque aussi l’effet de lissage induit par l’op´ eration de convolution qui r´ egularise les contours en supprimant les sauts de la fonction. En effet, le contour d’une image est un endroit o` u le niveau de gris, c’est-` a-dire la valeur de la fonction

image

, varie brutalement par exemple de 0 ` a 255 pour un contour noir sur blanc. Cela correspond

`

a une discontinuit´ e de la fonction. Une op´ eration de convolution par un noyau r´ egulier (par exemple continu) donne comme r´ esultat une fonction continue. Mˆ eme, si la valeur de la fonction varie rapidement au voisinage d’un point, le contour qui ´ etait tr` es marqu´ e auparavant sera remplac´ e par un contour plus ´ epais o` u le passage d’un niveau de gris ` a l’autre (par exemple du blanc au noir) se fera sur plusieurs pixels avec des niveaux de gris interm´ ediaires. Cela entraˆıne un floutage du contour. La figure 13 illustre le ph´ enom` ene.

Figure 13. Effet de lissage

(a) Image originale (b) Image bruit´ ee (bruit gaussien σ 50)

(c) Filtre de moyenne 3 x 3 (d) Filtre de moyenne 5 x 5

Figure 14. Effet d’un filtre de moyenne.

Exemple 4.3 (Filtre gaussien). — Un filtre gaussien est donn´ e par discr´ etisation de la fonction gaussienne

G p x, y q 1 2πσ ² e

2 y2 2σ2

,

sur un voisinage de p 0, 0 q . Ici σ est l’´ ecart-type et la moyenne est nulle.

Si par exemple σ 0.8 on a le filtre 3 3 suivant

G p 1, 1 q G p 0, 1 q G p 1, 1 q G p 1, 0 q G p 0, 0 q G p 1, 0 q G p 1, 1 q G p 0, 1 q G p 1, 1 q

1 16

1 2 1 2 4 2 1 2 1

et σ 1 pour un filtre 5 5 donne environ

1 300

1 4 6 4 1

4 18 30 18 4 6 30 48 30 6 4 18 30 18 4

1 4 6 4 1

.

La taille du filtre gaussien est gouvern´ ee par σ qui doit ˆ etre proportionnel ` a l’´ ecart- type du bruit (s’il est connu ! !). En g´ en´ eral un filtre gaussien avec σ   1 est utilis´ e pour r´ eduire le bruit, et si σ ¡ 1 c’est dans le but de fabriquer une image qu’on va utiliser pour faire un

masque flou

personnalis´ e. Il faut noter que plus σ est grand, plus le flou appliqu´ e ` a l’image sera important

Les filtres pr´ esent´ es sont des filtres passe-bas : ils att´ enuent les d´ etails de l’image (et donc le bruit additif) mais en ´ erodant les contours ajoutent du flou ` a l’image.

Nous verrons dans une section suivante comment att´ enuer le flou.

4.2. Filtrage fr´ equentiel (bruit additif ). —

4.2.1. Filtre passe-bas. — On peut d´ efinir un filtre lin´ eaire par sa formulation spatiale (comme convolution) mais aussi par sa formulation fr´ equentielle, c’est-` a-dire par la fa¸ con dont il modifie les fr´ equences de l’image d’entr´ ee, via sa fonction de transfert K. En effet les fr´ equences de l’entr´ ee f et de la sortie g sont li´ ees par

F p g q H F p f q .

Le passe-bas id´ eal est le filtre qui ne modifie par les fr´ equences λ p λ ₁ , λ ₂ q telles

que } λ } ¤ δ c (fr´ equence de coupure) et supprime les autres o` u } } d´ esigne (par

exemple) la norme euclidienne de R ² .

En d’autres termes

H p λ q

"

1 si } λ } ¤ δ c

0 sinon

Figure 15. Fonction de transfert

id´ eale

Pour des signaux unidimensionnels, la r´ eponse impulsionnelle h P L ² pRq d’un tel filtre est un sinus cardinal t ÞÑ h p t q sin 2πδ _c t

πt .

Un tel filtre est dit id´ eal car il n’est pas causal (ou r´ ealisable [5]). En pratique, la convolution par le sinus cardinal provoque des ondulations (effet Gibbs) sur l’image filtr´ ee.

(a) Image originale (b) Image filtr´ ee

Figure 16. Application d’un cr´ eneau

id´ eal

(δ

15% de la taille de

l’image) : on voit clairement les ondulations.

(a) Zoom (coin sup´ erieur droit)- Original (b) Zoom de l’image filtr´ ee Figure 17. Zoom sur le coin sup´ erieur droit de la figure pr´ ec´ edente : on voit les ondulations et un flou tr` es important

Le filtre passe-bas id´ eal n’est pas r´ ealisable du fait de la discontinuit´ e de la fonction de transfert qui induit un effet Gibbs important. On fait donc une r´ egularisation de la fonction H pr´ ec´ edente qui aura pour effet de supprimer les discontinuit´ es et, non pas de couper les hautes fr´ equences mais de les att´ enuer fortement. Le filtre suivant est le filtre passe-bas de Butterworth. La fonction de transfert est alors

H p λ q 1 1

} λ } δ c

2n

o` u δ c est encore la fr´ equence de coupure et n un param` etre qui sert ` a r´ egler l’approxi- mation.

Figure 18. Fonction de transfert de Butterworth (δ

0.2, n 5)

En traitement d’image, un filtre passe-bas att´ enue les hautes fr´ equences : le r´ esultat obtenu apr` es un tel filtrage est un adoucissement des d´ etails et une r´ eduction du bruit granuleux.

4.2.2. Filtres passe-haut. — Le filtre passe-haut id´ eal est obtenu de mani` ere sym´ etrique au passe- bas par

Le filtre passe-haut de Butterworth est donn´ e par H p λ q 1

1 δ c

} λ } 2n

Figure 19. Fonction de transfert du filtre passe-haut de Butterworth (δ

0.2, n 5)

Un filtre passe-haut favorise les hautes fr´ equences spatiales, comme les d´ etails, et de ce fait, il am´ eliore le contraste. Toutefois, il produit des effets secondaires :

– augmentation du bruit : dans les images avec un rapport Signal/ Bruit faible, le filtre augmente le bruit granuleux dans l’image.

– effet de bord : il est possible que sur les bords de l’image apparaisse un cadre qui correspond aux effets de bord observ´ es lors de la convolution spatiale.

Cet effet peut s’´ eliminer en faisant une r´ eflexion de quelques pixels de l’image

autour de son cadre.

(a) Original (b) Filtrage passe-haut Figure 20. Filtrage passe-haut avec un filtre de Butterworth (n 2 et δ

0.1 taille de l’image) sur une image non bruit´ ee.

Si on filtre une image avec un filtre passe-bas, l’image obtenue par diff´ erence entre l’originale et l’image filtr´ ee par le passe-bas correspond ` a un filtrage passe-haut.

4.2.3. Filtres passe-bande. — Mentionnons pour finir les filtres passe-bande (et coupe -bande) moins pertinents dans le cadre 2D que le cadre 1D. Ils permettent de ne garder que les fr´ equences comprises dans un certain intervalle :

H p λ q

#

1 si δ _c ε

2 ¤ } λ } ¤ δ _c ε 2 0 sinon

o` u ε est la largeur de bande et δ c la fr´ equence de coupure.

4.3. Filtrage diff´ erentiel. — Dans les mod` eles diff´ erentiels, on consid` ere l’image

comme une fonction f : Ω Ñ r 0, 255 s o` u Ω est un ouvert de R ² , dont on ´ etudie le

comportement local ` a l’aide de ses d´ eriv´ ees. Une telle ´ etude n’a de sens que si la

fonction f est assez r´ eguli` ere. Ce n’est pas toujours le cas ! ! Par exemple, une image

peut ˆ etre continue par morceaux (comme un damier) et les points de discontinuit´ es

sont les points de contours.

(a) Image continue par morceaux (b) Contours Figure 21. Exemple d’une image constante par morceaux

Il y a bien entendu beaucoup d’autres non-r´ egularit´ es dans une image, dues par exemple aux textures, au bruit etc.

Figure 22. Exemple d’une image textur´ ee

Grˆ ace au

plongement

dans

l’espace continu

, un grand nombre d’op´ erations d’analyse peuvent s’exprimer en termes d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Ceci per- met de donner un fondement math´ ematique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des m´ ethodes pour les calculer, par des sch´ emas num´ eriques de r´ esolution avant ou apr` es discr´ etisation.

Les filtres diff´ erentiels permettent de mettre en ´ evidence certaines variations spa-

tiales de l’image. Ils sont utilis´ es comme traitements de base dans de nombreuses

op´ erations comme le rehaussement de contraste ou la d´ etection de contours.

Les filtres pr´ esent´ es dans cette section sont essentiellement des filtres passe-haut. Ils permettent d’isoler les d´ etails d’une image (les contours et les textures sur une image non bruit´ ee et le bruit en plus sur une image bruit´ ee).

4.3.1. Calcul des gradients discrets. — Le gradient de l’image f en un point (pixel)M p x, y q , s’il existe est ´ egal ` a :

∇f p x, y q p B f B x , B f

B y q .

En pratique, il faut approcher ces gradients pour travailler avec des gradients dis- crets qui correspondent ` a des taux de variation, calculables mˆ eme si l’image est discontinue (en particulier au voisinage d’un contour). Les approximations les plus simples des d´ eriv´ ees directionnelles se font par diff´ erences finies. On peut les calculer par exemple ` a l’aide de convolution avec des noyaux tr` es simples : par exemple, l’ap- proximation de B f

B x se fait par convolution avec r 0 1 1 s . En effet, dans ce cas, la formule g´ en´ erale de convolution discr` ete (3) donne (avec d ₁ 3 et d ₂ 0) :

g p x, y q

¸ 1 i 1

¸

j 0

f p x i, y j q κ p i, j q f p x, y q f p x 1, y q B f B x p x, y q .

De mˆ eme l’approximation de B f

B y se fait par convolution avec 0

1 1

:

g p x, y q f p x, y q f p x, y 1 q B f B y p x, y q .

0 1 1 Ð y

Ò Ò Ò

x 1 x x 1

0 Ð y 1 1 Ð y

1 Ð y 1

Ò x

Table 3. Masques (κ p i, j q ) des gradients par rapport ` a x (gauche) et y (droite)

On utilise plus souvent r 1 0 1 s et 1

0 1

qui produisent des fronti` eres plus

´

epaisses mais qui sont bien centr´ ees. Ces op´ erations sont tr` es sensibles au bruit et on

les combine g´ en´ eralement avec un filtre lisseur dans la direction orthogonale ` a celle de

d´ erivation, par exemple par le noyau suivant (ou sa transpos´ ee) : r 1 2 1 s . On obtient

alors des filtres s´ eparables. Le calcul des d´ eriv´ ees directionnelles en x et y revient finalement ` a la convolution avec les noyaux suivants :

B f

B x p x, y q p f h x qp x, y q et B f

B y p x, y q p f h y qp x, y q

avec

h x r 1 0 1 s b r 1 2 1 s ^t

1 0 1 2 0 2 1 0 1

et

h _y r 1 2 1 s b r 1 0 1 s ^t

1 2 1

0 0 0

1 2 1

.

Ce sont les masques de Sobel.

Figure 23. Image originale

(a) Noyau r 1 0 1 s (b) Noyau r 1 0 1 s

(c) Gradient de Sobel horizontal (d) Gradient de Sobel vertical

(e) Norme du gradient

Figure 24. Valeur absolue des gradients et des gradients de Sobel (contrast´ es)

Types de masque Norme du gradient Direction

Masques de Roberts -1 0

0 1

0 -1

1 0 A a

G ² ₁ G ² ₂ θ π 4

G 1 , G 2 + arctan

G 2

G 1

Masques de Sobel 1 0 -1

2 0 -2 1 0 -1

1 2 1

0 0 0

-1 -2 -1

A b

G ² _x G ² _y θ = arctan G _y

G x

G x , G y

Masques de Prewitt 1 0 -1

1 0 -1 1 0 -1

1 1 1

0 0 0

-1 -1 -1

A b

G ² _x G ² _y θ = arctan G _y

G x

G _x , G _y Masques de Kirsh

Direction

5 5 5

-3 0 -3 -3 -3 -3

maximum des | G

| correspondant

+ les 7 autres masques obtenus par au G

s´ electionn´ e

permutation circulaire des coefficients G

pour i de 1 ` a 8

Masques de Robinson

1 1 1

1 -2 1 -1 -1 -1

maximum des | G

| ^Idem

+ les 7 autres masques obtenus par permutation circulaire des coefficients

G

pour i de 1 ` a 8

Table 4. Diff´ erents types de masques pour le gradient, sa norme et sa direction

Figure 25. Gradients de Robinson (valeur absolue contrast´ ee) dans 4 di-

rections diff´ erentes (voir tableau 4) et norme `

des gradients de Robinson

(en bas)

On remarque que la norme du gradient est un bon d´ etecteur de contour : en effet un contour est un endroit o` u l’on observe de fortes variations de niveaux de gris, c’est-

`

a-dire des gradients importants. Les points correspondant aux maxima de la norme du gradient sont donc des points appartenant ` a des contours. Toute la difficult´ e de la segmentation (c’est-` a-dire de la recherche des contours dans une image) est alors de trouver des crit` eres permettant de faire une s´ election pertinente parmi ces points.

4.3.2. Approximation de la d´ eriv´ ee seconde. — De la mˆ eme fa¸ con, l’approximation par diff´ erences finies la plus simple de la d´ eriv´ ee seconde est la convolution par le noyau r 1 2 1 s pour l’approximation de B ² f

B x ² et 1

2 1

pour l’approximation de B ² f

B y ² . Le laplacien ∆f B ² f B x ²

B ² f

B y ² peut donc ˆ etre approch´ e par l’un op´ erateurs lin´ eaires suivants :

Laplacien discret - 4 Laplacien discret - 8 Laplacien de Robinson

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

1 1 1

1 -8 1

1 1 1

1 -2 1 -2 4 -2

1 -2 1

(a) Laplacien 4-connexe (b) Laplacien 8-connexe

Figure 26. Calcul du laplacien (valeur absolue), avec rehaussement de contraste)

4.4. Filtrage par ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. —

4.4.1. ´ Equation de la chaleur. — Consid´ erons un filtrage gaussien dans le cadre continu. On sait que si l’image de d´ epart est une fonction u _o P L

p Ω q ` a support compact inclus dans Ω € R ² , l’image filtr´ ee est la convol´ ee de u o avec un noyau gaussien

G _σ p x q G _σ p x ₁ , x ₂ q 1 2πσ ² exp

x ² ₁ x ² ₂ 2σ ²

1

2πσ ² exp

} x } ² 2σ ²

.

On pose u p t, x q p h p t, q u o qp x q o` u h p t, x q G

_2t p x q 1 4πt exp

} x } ²

4t

. Comme h p t, q P C

pR ² q a ses d´ eriv´ ees born´ ees et u o P L ¹ pR ² q , la convol´ ee u p t, q est aussi C

et on peut calculer ∆u :

@ t ¡ 0, @ x P R ² ∆u p t, x q B ² u

B x ² ₁ p t, x q B ² u

B x ² ₂ p t, x q p ∆h p t, q u _o qp x q . Un rapide calcul montre que

∆h p t, x q

1 4πt ²

} x } ² 16πt ³

exp

} x } ²

4t

1 t

} x } ² 4t ²

h p t, x q , et on obtient

∆u p t, x q

1 t

} x } ² 4t ²

u p t, x q .

D’autre part, pour t ¡ 0 on peut d´ eriver directement u par rapport ` a t : B u

B t p t, x q

¼

R²

B h

B t p t, y q u o p x y q dy ce qui donne :

B u

B t p t, x q ∆u p t, x q 0 sur s 0, t rR ² . D’autre part, avec

u p t, x q

¼

R²

1 4πt exp

} y } ²

4t

u _o p x y q dy

on obtient

lim

t

0 u p t, x q   δ _x , u _o ¡ u _o p x q ,

car la famille de gaussiennes converge au sens des distributions vers la mesure de Dirac.

La fonction

filtr´ ee

u v´ erifie l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles suivante (´ equation de la chaleur) :

(4)

$ &

% B u

B t p t, x q ∆u p t, x q 0 dans s 0, T r Ω

u p 0, x q u o p x q @ x P Ω

o` u Ω est le

cadre

de l’image, i.e. l’ouvert de R ² o` u la fonction u est d´ efinie. On peut alors imposer soit des conditions aux limites au bord de Ω (niveau de gris fix´ e) soit des conditions aux limites p´ eriodiques en p´ eriodisant la fonction u (si le cadre est rectangle par exemple).

On peut alors utiliser un sch´ ema aux diff´ erences finies pour calculer la solution de l’EDP ou ume convolution par le noyau G

_2t en utilisant une FFT . Suivant le temps d’´ evolution, on obtient une version plus ou moins liss´ ee de l’image de d´ epart.

Figure 27. Gaussiennes

(a) Original (b) Image bruit´ ee σ 0.1 (c) Image filtr´ ee

Figure 28. Filtrage par EDP de la chaleur avec pas de temps dt 0.2 et

15 it´ erations

4.4.2. Mise en œuvre num´ erique. — La mise en œuvre num´ erique se fait avec une discr´ etisation en diff´ erences finies, la plupart du temps explicite en raison de la tr` es grande taille des images (et donc des matrices associ´ ees). La condition de Neumann est assur´ ee grˆ ace ` a une r´ eflexion de l’image par rapport ` a ses bords. En traitement d’image on consid` ere souvent que la taille de l’image est donn´ ee par le nombre de pixels de sorte que le pas de discr´ etisation est h 1. On peut discr´ etiser le gradient de diff´ erentes mani` eres (centr´ ee, ` a droite, ` a gauche)

(5) δ x u i,j u _{i 1,j} u _i

_1,j

2 , δ y u i,j u _{i,j 1} u _i,j

₁

2 ,

δ _x u _i,j u _{i 1,j} u _i,j , δ _y u _i,j u _{i,j 1} u _i,j , δ _x

u i,j u i,j u i 1,j , δ _y

u i,j u i,j u i,j 1 .

La norme du gradient peut se calculer par un sch´ ema ENO (Essentially Non Oscilla- tory). Deux approximations possibles de | ∇u | sont

∇ u i,j b

max p δ

x u i,j , 0 q ² min p δ x u i,j , 0 q ² max p δ y

u i,j , 0 q ² min p δ y u i,j 0 q ² , ou

∇

u _i,j b

max p δ x u _i,j , 0 q ² min p δ x

u _i,j , 0 q ² max p δ y u _i,j , 0 q ² min p δ

y u _i,j 0 q ² . Si l’op´ erateur gradient est discr´ etis´ e par diff´ erences finies ` a droite, alors une discr´ e- tisation possible de la divergence d’un couple p p p ¹ , p ² q est donn´ ee par

(6) p div p q

$ ' ' '

&

' ' ' %

p

p

si 1   i   N p

si i 1 p

si i N

$ ' ' '

&

' ' ' %

p

p

si 1   j   M p

si j 1 p

si j M

avec p N, M q est la taille des l’images p ¹ et p ² .

4.5. D´ econvolution (cas d’un flou). — Une autre source de perturbation d’une image est le

flou

. Nous avons vu qu’un filtre de convolution passe-bas permettait d’enlever le bruit additif mais que l’image filtr´ ee ´ etait flout´ ee. Cela s’explique par le fait que l’op´ erateur de convolution est r´ egularisant. Un tel op´ erateur est souvent mod´ elis´ e par un produit de convolution, de noyau positif sym´ etrique h (qui est la plupart du temps gaussien). Il n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme lorsqu’il est inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile ` a calculer).

4.5.1. Approche

spatiale

: ´ equation de la chaleur r´ etrograde (inverse). — Nous avons constat´ e pr´ ec´ edemment que faire une convolution par un noyau gaussien revient

`

a r´ esoudre une ´ equation de la chaleur. Le temps final joue le rˆ ole de l’´ ecart type de la

gaussienne. Pour faire l’op´ eration inverse, la d´ econvolution on peut donc imaginer de

r´ esoudre une ´ equation de la chaleur

r´ etrograde

en partant de l’´ etat

final

qui

est l’image flout´ ee et en ajustant le temps final au rapport signal sur bruit.

(7)

$ &

% B u

B t p t, x q ∆u p t, x q 0 dans s 0, T r Ω u p T, x q u _o p x q @ x P Ω

(a) Original (b) Image flout´ ee (c) It´ eration 5 Figure 29. D´ econvolution par ´ equation de la chaleur inverse : dt 1.5

Cette ´ equation est notoirement mal pos´ ee (on ne peut assurer ni l’existence d’une solution, ni la stabilit´ e d’un sch´ ema num´ erique) et il convient de ne faire qu’un petit nombre d’it´ erations.

(a) It´ eration 6 (b) It´ eration 8

Figure 30. D´ econvolution par ´ equation de la chaleur inverse : dt 1.5

4.5.2. Filtre inverse et algorithme de Van Cittert. — L’algorithme de Van Cittert

repose sur la formulation fr´ equentielle d’une convolution. Supposons que h soit

l’op´ erateur de flou (inconnu ou donn´ e par ´ etalonnage des appareils de mesure). On

ne prend pas en compte le bruit. L’image flout´ ee f v´ erifie f h u, o` u u est l’image

originale (qu’on veut retrouver). Une formulation ´ equivalente est ˆ f ˆ hˆ u c’est-` a-dire

ˆ u f ˆ

ˆ h . Le filtre inverse est le plus simple des filtres. Dans certaines conditions, il peut donner de tr` es bons r´ esultats. Il consiste donc ` a calculer 1 { ˆ h et ` a l’appliquer

`

a l’image flout´ ee. C’est le meilleur filtre pour d´ econvoluer une image non bruit´ ee.

Toutefois il n’est pas toujours possible de calculer 1 { ˆ h car ˆ h peut s’annuler. . Une alternative est l’algorithme de Van Cittert.

Posons ˆ g 1 ˆ h de sorte que formellement on obtient ˆ

u f ˆ 1 ˆ g

¸

k 0

ˆ g ^k

f . ˆ

Si on pose u o f et ˆ u n _n

¸

k 0

ˆ g ^k

f ˆ pour tout n ¥ 1 on obtient ˆ

u _{n 1} f ˆ ˆ g u ˆ _n f ˆ p 1 ˆ h q u ˆ _n , ou de mani` ere ´ equivalente

u n 1 f u n h u n .

(a) It´ eration 4 (b) It´ eration 8

Figure 31. D´ econvolution par algorithme de Van Cittert : h est un masque gaussien de taille 9 et d’´ ecart-type σ 1 (connu)

La principale difficult´ e dans l’utilisation de cet algorithme est le choix a priori du filtre h. Le filtre inverse est une technique tr` es utile pour la d´ econvolution mais il ne prend pas en compte le bruit. Si f est une image flout´ ee et bruit´ ee : f h u b, o` u u est l’image originale ` a restaurer et b un bruit blanc gaussien, le passage ` a un filtre inverse donne ˆ u f ˆ

ˆ h ˆ b

ˆ h . Le bruit blanc chargeant uniform´ ement les fr´ equences on

a ˆ b 1 et si h est un filtre passe- bas ˆ h 0 au voisinage de l’infini (c’est-` a-dire au dessus d’une fr´ equence de coupure λ <sub>c</sub> ). Il s’ensuit que le filtrage est efficace dans une bande de fr´ equences inf´ erieures ` a λ _c mais que le bruit est amplifi´ e au del` a.

Pour traiter des images ` a la fois flout´ ees et bruit´ ees on pr´ ef` ere utiliser le filtre de Wiener (voir section 5.3).

5. D´ ebruitage par filtrage non lin´ eaire

5.1. Filtres m´ edians. — Ce sont des filtres non lin´ eaires et donc ce ne sont pas des filtres de convolution. Ces filtres sont utiles pour contrer l’effet

Poivre et Sel

(P&

S) c’est-` a-dire des faux

0

et

255

dans l’image.

Figure 32. Image bruit´ ee

Poivre et Sel

En effet un filtre de convolution affecte au pixel trait´ e un barycentre des valeurs des niveaux de gris des pixels situ´ es dans un voisinage. Un pixel dont le niveau de gris est tr` es diff´ erent des autres va donc affecter le r´ esultat de la convolution. On pr´ ef` ere, dans ce cas remplacer la valeur du pixel par la valeur m´ ediane et non la valeur moyenne (par exemple).

g p x, y q m´ ediane t f p n, m q | p n, m q P S p x, y q u , o` u S p x, y q est un voisinage de p x, y q .

30 10 20 10 250 25 20 25 30

Ñ

bruit Ó

10 10 20 20 25 25 30 30 250

Ò

m´ ediane

(a) Filtre de moyenne - taille 3 (b) Filtre m´ edian - taille 3

(c) Filtre de moyenne - taille 5 (d) Filtre m´ edian - taille 5

(e) Filtre de moyenne - taille 7 (f) Filtre m´ edian - taille 7

Figure 33. Comparaison filtres de moyenne et filtres m´ edians

Si le bruit P& S recouvre plus de la la moiti´ e de la dimension du filtre, le filtrage est inefficace. La localisation du bruit ´ etant al´ eatoire il convient de prendre un voisinage suffisamment grand.

5.2. Mod` ele de Perona-Malik. — Pour am´ eliorer les r´ esultats obtenus par l’EDP de la chaleur, Perona et Malik ont propos´ e de modifier l’´ equation en y int´ egrant un processus de d´ etection des bords :

(8)

$ ' ' '

&

' ' ' %

B u

B t p t, x q div p c p| ∇u |q ∇u qp t, x q dans s 0, T r Ω B u

B n 0 sur s 0, T rB Ω u p 0, x q u o p x q @ x P Ω o` u c est une fonction d´ ecroissante de R dans R .

(a) Image originale (b) Image bruit´ ee σ 0.1

(c) Filtrage par EDP de la chaleur (d) Filtrage avec le mod` ele de Perona-Malik

Figure 34. Filtrage par EDP de la chaleur avec pas de temps dt 0.2 et

15 it´ erations et mod` ele de Peronna-Malik avec dt 0.4, α 1 et 10

it´ erations

Si c 1, on retrouve l’´ equation de la chaleur. On impose souvent lim

t

c p t q 0 et c p 0 q 1. Ainsi, dans les r´ egions de faible gradient, l’´ equation agit essentiellement comme l’EDP de la chaleur, et dans les r´ egions de fort gradient, la r´ egularisation est stopp´ ee ce qui permet de pr´ eserver les bords. Un exemple d’une telle fonction c est :

c p t q 1

a 1 p t { α q ² ou c p t q 1

1 p t { α q ² o` u α est un param` etre positif.

5.3. Approche fr´ equentielle : Filtre de Wiener. — Le filtre de Wiener lui, ne caract´ erise pas le signal et le bruit par leur forme analytique mais par leurs propri´ et´ es statistiques. On consid` ere que les images sont des r´ ealisations d’un processus al´ eatoire stationnaire : on cherche alors ` a minimiser la moyenne du carr´ e de la diff´ erence entre l’image initiale et l’image restaur´ ee. Ce filtre est tr` es efficace pour traiter des images d´ egrad´ ees ` a la fois par du flou et du bruit. On consid` ere donc une image d´ egrad´ ee f h u b, o` u u est l’image originale ` a restaurer, h un noyau de convolution sym´ etrique positif (r´ eponde impulsionnelle du filtre

flou

) et b est une bruit de loi de probabilit´ e (identique pour chaque pixel) µ. L’hypoth` ese g´ en´ eralement faite est celle d’un bruit plan gaussien d’´ ecart-type σ.

On mod´ elise donc le probl` eme par une formulation au sens des moindres carr´ es en consid´ erant l’erreur quadratique } f h u } ² L

que l’on va minimiser. Le probl` eme de minimisation n’admettant pas n´ ecessairement de solution convenable (si ˆ h s’annule par exemple, voir p. 32), on ajoute un terme de r´ egularisation quadratique de la forme } q u } ² L

. Le noyau q sera fix´ e ult´ erieurement en fonction du rapport signal sur bruit.

En appliquant la transformation de Fourier le probl` eme de minimisation s’´ ecrit alors

min

U

L

} F HU } ² 2 } U Q } ² 2 ,

o` u U u, F ˆ f , Q ˆ q ˆ et H ˆ h. La solution U de ce probl` eme est obtenue par d´ erivation :

@ V P L ² pRq p HU F, HV q _L

p QU, QV q _L

0.

On obtient

H ¯ p HU F q | Q | ² U 0, c’est-` a-dire

(9) U H ¯

| H | ² | Q | ² F.

Le principe du filtrage de Wiener est de fixer | Q | ² en fonction d’une estimation du rapport signal sur bruit. Lorsque Q 0 on retrouve le filtrage inverse (pas de bruit).

Id´ ealement, il faudrait choisir

Q p ω q | ˆ b p ω q|

| u ˆ p ω q| .

En effet dans ce cas le terme de r´ egularisation } q u } ² _L

p´ enalise exactement le bruit : } q u } L

} Qˆ u } L

} ˆ b } L

} b } L

.

Le choix le plus courant est de prendre l’inverse du rapport signal sur bruit : Q ²   | ˆ b | ² ¡

  | u ˆ | ² ¡ ,

o` u   | ˆ b | <sup>2</sup> ¡ (resp.   | u ˆ | <sup>2</sup> ¡ ) est la puissance spectrale moyenne de b (resp. u) c’est-` a- dire

  | ˆ b | ² ¡ 1

| D |

¼

D

| ˆ b | ² p ω q dω ,

o` u D est un domaine de R ² suffisamment grand et | D | son aire.

Pour impl´ ementer le filtre de Wiener, nous devons ˆ etre en mesure d’estimer cor- rectement la puissance spectrale de l’image d’origine et du bruit. Pour un bruit blanc gaussien, la puissance spectrale moyenne est ´ egale ` a la variance σ <sup>2</sup> du bruit. La puis- sance spectrale de u est difficile ` a obtenir puisqu’on ne connaˆıt pas u ! ! Toutefois

f h u b ùñ f ˆ ˆ hˆ u ˆ b ùñ | f ˆ | ² | ˆ h | ² | u ˆ | ² | ˆ b | ² ,

puisque le bruit b et l’image sont ind´ ependants. Donc, pour un bruit gaussien

| u ˆ | ² | f ˆ | ² | ˆ b | ²

| ˆ h | ² | f ˆ | ² σ ²

| ˆ h | ² .

En r´ esum´ e, la fonction de transfert du filtre de Wiener est donn´ ee par

(10) W ˆ h

| ˆ h | ² Q ² ,

avec dans le cas o` u b est un bruit blanc gaussien d’´ ecart-type σ

(11) Q ² σ ²   | ˆ h | ¡ ²

  | f ˆ | ¡ ² σ ² .

Remarque 5.1. — Rappelons que le spectre de puissance d’un signal est obtenu par la transform´ ee de Fourier de sa fonction d’autocorr´ elation (Th´ eor` eme de Wiener- Khinchine).

On peut bien sˆ ur tester

` a l’aveugle

diff´ erentes valeurs de Q que l’on peut supposer constant.

Dans l’exemple suivant, l’image a ´ et´ e flout´ ee par un filtre gaussien de taille 15 et

d’´ ecart-type 45. Elle a aussi ´ et´ e r´ efl´ echie pour minimiser les effets de bord.

Figure 35. D´ econvolution par filtre de Wiener d’une image flout´ ee et un maque gaussien de taille 11 et d’´ ecart-type 30 (Q 0.15)

Dans l’exemple suivant, l’image a ´ et´ e flout´ ee par un filtre gaussien de taille 15 et d’´ ecart-type 45 et bruit´ ee par un bruit additif gaussien d’´ ecart type 15.

Figure 36. D´ econvolution par filtre de Wiener d’une image flout´ ee et bruit´ ee, mˆ eme masque et Q 1

On peut d´ eriver d’autres filtres sur le mod` ele ci-dessus. Citons

– le filtre de Wiener param´ etrique Q γQ _o o` u Q _o est donn´ e par la relation (11) et 0   γ   1.

Si γ 0 on retrouve le filtre inverse et γ 1 le filtre de Wiener.

– le filtre de Cannon :

W

1

| h ˆ | ² Q ²

,

o` u Q est donn´ e par (11).

– le filtre de moyenne g´ eom´ etrique :

W 1

| h ˆ | ^s

ˆ h

| ˆ h | ² Q ² 1 s

,

o` u Q est donn´ e par (11). Si s 1 on retrouve le filtre inverse, s 0 le filtre de Wiener et s 0.5 le filtre de Cannon.

5.4. D´ econvolution de Richardson-Lucy. — L’algorithme de Richardson- Lucy est un algorithme it´ eratif spatial bas´ e sur une approche bay´ esienne. Comme pr´ ec´ edemment on consid` ere une image d´ egrad´ ee par du flou (noyau h connu ou estim´ e) et du bruit b : f h u b. On veut identifier u. On suppose que le masque h est connu et le bruit est inconnu. L’it´ eration courante est

u _{k 1} u _k

f

p u _k h q h ˇ

,

avec (par exemple) u o f et ˇ h p x, y q h p x, y q .

Lorsque la r´ eponse impulsionnelle du flou h n’est pas connue on fait une d´ econvolution aveugle (

blind deconvolution

) avec l’algorihme suivant :

Algorithme de Richardson-Lucy aveugle

(1) Initialisation : choix de u o et h o

(2) (a) Estimation de h

h k 1 ° h k i,j u _k p i, j q

f u _k h _k u ˇ k

(b) Estimation de u

u k 1 u k

f

p u _k h _{k 1} q h ˇ k 1

,

(3) u k 1 max p u k , 0 q .

(a) Image d´ egrad´ ee comme dans la figure 36 (b) It´ eration 3

(c) It´ eration 5 (d) It´ eration 10

Figure 37. D´ econvolution par l’algorithme de Richardson-Lucy aveugle - Initialisation avec un masque gaussien de taille 5 et d’´ ecart-type σ 10

6. Filtrage variationnel

La d´ efinition du filtre de Wiener sugg` ere fortement l’utilisation de m´ ethodes varia- tionnelles puisqu’il s’agit de minimiser des erreurs tout en se donnant un a priori sur l’image. Nous allons pr´ eciser cette id´ ee. Nous nous pla¸ cons maintenant dans un cadre

!

dimension infinie

, et nous effectuerons une discr´ etisation ensuite.

Etant donn´ ee une image originale, on suppose qu’elle a ´ et´ e d´ egrad´ ee par un bruit

additif v, et ´ eventuellement par un op´ erateur R de flou. Un tel op´ erateur est souvent

mod´ elis´ e par un produit de convolution. A partir de l’image observ´ ee u d Ru v (qui est donc une version d´ egrad´ ee de l’image originale u), on cherche ` a reconstruire u. Si on suppose que le bruit additif v est gaussien, la m´ ethode du Maximum de Vraisemblance nous conduit ` a chercher u comme solution du probl` eme de minimisation

inf

u } u _d Ru } ² 2 ,

o` u } } 2 d´ esigne la norme dans L <sup>2</sup> . Il s’agit d’un probl` eme inverse mal pos´ e : l’o´ eprateur n’est pas n´ ecessairement inversible (et mˆ eme lorsqu’il est inversible, son inverse est souvent num´ eriquement difficile ` a calculer). En d’autres termes, l’existence et/ou l’unicit´ e de solutions n’est pas assur´ ee et si c’est le cas, la solution n’est pas stable (continue par rapport aux donn´ ees). Pour le r´ esoudre num´ eriquement, on est amen´ e ` a introduire un terme de r´ egularisation, et ` a consid´ erer le probl` eme

inf u } looooomooooon u d Ru } ² 2 ajustement aux donn´ ees

L p u q loomoon

R´ egularisation

.

Dans toute la suite, nous ne consid´ ererons que le cas o` u est R est l’op´ erateur identit´ e (Ru u). Commen¸ cons par un proc´ ed´ e de r´ egularisation classique : celui de Tychonov.

6.1. R´ egularisation de Tychonov. — C’est un proc´ ed´ e de r´ egularisation tr` es classique mais trop sommaire dans le cadre du traitement d’image. Nous le pr´ esentons sur un exemple.

Soit V H ¹ p Ω q et H L ² p Ω q : on consid` ere le probl` eme de minimisation originel (ajustement aux donn´ ees) :

p P q min

u

V } u u _d } ² H ,

o` u u d est l’image observ´ ee (donn´ ees) et le probl` eme r´ egularis´ e suivant : pour tout α ¡ 0

p P α q min

u

V } u u d } ² H α } ∇u } ² H .

Non seulement on veut ajuster u ` a la donn´ ee u d , mais on impose ´ egalement que le gradient soit

assez petit

(cela d´ epend du param` etre α).

Il est facile de voir sur l’exemple suivant que la fonctionnnelle J p u q } u u _d } ² H

n’est pas coercive sur V :

Ω s 0, 1 r , u _n p x q x ⁿ , u _d 0.

On voit que } u _n } 2 1

` 2n , } u

_n } 2 n

` 2n 1 . On a donc

n

lim } u n } V 8 et lim

n

J p u n q 0.

Il n’est donc mˆ eme pas clair (a priori) que le probl` eme p P q ait une solution.

Proposition 6.1. — Supposons que p P q admet au moins une solution u. Le probl` ˜ eme p P α q admet une solution unique u _α . De la famille p u _α q on peut extraire une sous-suite qui converge (faiblement ) dans V vers une solution u

de p P q lorsque α Ñ 0.

D´ emonstration. — Le probl` eme p P α q admet une solution unique u _α car la fonction- nelle

J α } u u d } ² H α } ∇u } ² H ,

est coercive et strictement convexe (c’est en gros la norme de V ` a une partie affine pr` es). Montrons maintenant que la famille p u α q est born´ ee dans V uniform´ ement par rapport ` a α.

@ u P V J _α p u _α q ¤ J _α p u q . En particulier pour u u ˜ solution de p P q :

(12) J looooooomooooooon p u ˜ q ¤ J p u α q

˜

u solution de

¤ J loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon α p u α q J p u α q α } ∇u α } ² H ¤ J α p u ˜ q

u

solution de

J p u ˜ q α } ∇ u ˜ } ² H ,

o` u on a pos´ e J p u q : } u u _d } ² H .

Par cons´ equent, pour α ¤ α o , J α p u α q est born´ e ind´ ependamment de α. Ceci entraˆıne que la famille p u α q α

α

est born´ ee dans H . D’autre part, avec (12) on a aussi

α } ∇u α } ² H ¤ J p u ˜ q α } ∇ u ˜ } ² H J p u _α q ¤ J p u ˜ q α } ∇˜ u } ² H J p u ˜ q α } ∇˜ u } ² H ; par cons´ equent la famille p u _α q α

α

est born´ ee dans V . On peut donc en extraire une sous-suite qui converge (faiblement) dans V vers u

. D’autre part l’´ equation (12) montre que

lim

α

0 J _α p u _α q J p u ˜ q inf p P q . Par semi-continuit´ e inf´ erieure de J il vient

J p u

q ¤ lim inf

α

0 J p u _α q lim inf

α

0 J _α p u _α q ¤ inf p P q . Par cons´ equent u

est une solution de p P q .

Cherchons maintenant le moyen de calculer u α . Comme la fonctionnelle est stric- tement convexe, une condition n´ ecessaire et suffisante d’optimalit´ e est

J _α

p u α q 0.

Un calcul assez standard montre que

@ u P V J _α

p u α q u

»

Ω

p u α u d qp x q u p x q dx

»

Ω

∇u α p x q ∇u p x q dx

»

Ω

p u α u d ∆u α qp x q u p x q dx.

Par cons´ equent l’´ equation d’Euler qui fournit la solution u α est la suivante :

u α u d ∆u α 0, u α P H _o ¹ p Ω q .