ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 1

ATS 2021-22 TD M4

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 1

1 Application du TPM**

1. Soit un cycliste développant une puissance mo- trice K_o.v (avec K_o une constante), roulant sur une route horizontale. On note y sa position me- surée depuis son point de départ. On néglige les frottements. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par y(t) via le TPM.

2. Soit un pendule simple de longueur`et de masse m repéré par l’angle θque fait le fil par rapport à la verticale de repos. Rappeler l’expression de la vitesse d’un système en trajectoire circulaire en fonction de sa variable angulaire θ. Détermi- ner l’équation différentielle vérifiée parθ(t) via le TPM.

3. Soit un ressort horizontal de caractéristiquek, `o

attaché en O et tenant une massemà son autre extrémité, repérée par son abscisse x. Détermi- ner l’équation différentielle vérifiée parx(t) via le TPM.

2 Résolution d’équations différen- tielles*

Résoudre les équations suivantes et tracer qualitati- vement le graphe des solutionsU(t), y(t),P(z),f(xetz(t).

E, R, C, H, vo, τ, Po, L, fo sont des constantes.

1. ^dU_dt +_RC^U =_RC^E avecU(0) = 0 2. ^dy_dt +^y_τ =vo avecy(0) =H < voτ 3. L^dP_dz +P= 0 avec P(0) =Po

4. ¹₂^df_dx+ 2f =f_o avecf(0) = 2f_o 5. ^dz_dt =vo avecz(0) = 0

Réponse : U(t) = E(1−e^−t/RC) ; y(t) = voτ + (H− voτ).e^−t/τ ; P(z) =Po.e^−z/L ; f(x) =^f₂^o(3e^−4x+ 1) ; z=vo.t

3 Le plongeur**

Un homme de massem = 80kg saute d’une falaise de hauteur h= 5m. Pendant la chute dans l’air les frotte- ments sont négligés mais, une fois dans l’eau, ils agissent sur le plongeur avec une puissance P = −αv². On tient aussi compte de la poussée d’Archimède dans l’eau, qui est sup- posée compenser exactement le poids. La variable xrepère la position de l’homme, compté à partir du point de départ.

~

u_xest dirigé vers le bas.

α= 115usi

1. (a) Déterminer l’équation différentielle vérifiée parx(t) pendant la partie de chute qui s’ef- fectue dans l’air puis en déduirex(t).

(b) Exprimer la datetim de l’impact.

(c) En déduire la vitesse au moment de l’impact.

AN.

2. On s’intéresse maintenant à la partie de chute qui s’effectue dans l’eau. Trouver l’équation diffé- rentielle vérifiée par v(t), exprimer v(t), puis en déduire en fonction de t_im entre autre, x(t) (on pourra définir une constante de temps pour allé- ger les expressions).

3. Tracer l’allure de x(t) sur un graphe pour tde 0 à∞. En déduire la profondeur maximale atteinte p. AN.

4. Critiquer une hypothèse du modèle et prédire in- tuitivement le mouvement réel du plongeur.

Réponse : 1)tim=p

2h/g etv(tim) =√

2gh= 9.9m/s, 3)p=m√

2gh/α= 6.9m

4 Isolation thermique d’une mai- son**

On s’interesse à l’évolution temporelle de la tempé- rature d’une maison dont le chauffage se coupe subitement.

InitialementT =T_i= 20^◦. En l’absence de source on mon- trera queT vérifie l’équation suivante :

CdT

dt =−T−T_ext Rth

avec T_ext = 5^◦ la température de l’extérieur supposée constante, C la capacité thermique de la maison et Rth la résistance thermique des murs et du toit.

1. Déterminer puis tracer l’allure deT(t).

2. Reprendre la question précédente si on double la résistance thermique. On tracera la nouvelle courbe sur le même graphe.

5 Datation au Carbone 14**

La méthode du Carbone 14 est une technique de ra- diodatation fondée sur la mesure de la concentration en un isotope radiocatif du carbone, le C₁₄. Les atomes deC₁₄se désintègrent régulièrement pour donner du carbone "habi- tuel", le C₁₂. Tant qu’une plante ou un animal est vivant, son organisme échange du carbone avec son environnement si bien que le carbone qu’il contient aura la même proportion de C14 que dans la biosphère (cette concentrationco étant trés bien connue et constante). Lorsque l’organisme meurt, il ne reçoit plus de C14 et celui qu’il contient va se désin- tégrer peu à peu. Ainsi la concentrationc(t) en C14 trouvé dans un reste archéologique est directement reliée au temps tqui sépare la mort de l’organisme de notre temps présent.

On peut donc le dater.

1. c étant la concentration en C14 dans un échan- tillon, on propose la loi :

dc

dt =−ln 2 t1/2

.c

1

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avect1/2=cst= 5568ans. Justifier le signe.

2. La concentration en C₁₄ dans la biosphère est co = 1.0 10⁻¹² (NB : il s’agit en fait d’une pro- portion, d’où l’absence d’unité mais c’est sans im- portance). On mesure un taux deC14 dans un os de baleine dec = 9,8.10⁻¹⁴. Estimer l’âge de ce vestige.

3. Donner la signification de la constantet_1/2, en la justifiant mathématiquement.

Réponse : 2)t= 19.10³ ans

6 Bobsleigh***

Un équipageM de massem= 500 kg part du point Osans vitesse initiale sur une paroi gelée supposée rectiligne, de penteα= 20^◦.

1. On néglige dans un premier temps les frottements des patins avec la glace mais on considère ceux du véhicule avec l’air, modélisée par une puissance P =−βv², avecβ= 50usi. Déterminerx(t).

2. Au bout de t₁ = 2 min, le bobsleigh arrive en bout de pente (la piste devient horizontale) et se met à freiner, dissipant une puissanceP =−Kv.

On négligera désormais les frottements avec l’air devant les précédents. Déterminer K pour que l’équipage se stoppe en L= 50m.

Réponse 1)x(t) = ^mg_β^sinα(t−τ(1−e^−t/τ)), 2) : K =

m

2L(^mgsin_β ^α)²(1−e^−t1/τ)²= 5,6.10³ J/m

7 Force de trainée***

On s’intéresse au freinage d’une balle de fusil tirée horizontalement. Pour simplifier le problème, l’effet de la pesanteur ne sera pas pris en compte, celle-ci ne faisant que courber la trajectoire vers le bas. La balleM de massem= 100 g et de diamètre D = 1cm est propulsée de l’affût du canon avec une vitesse d’environvo= 1000m/s.

La force de traînée est la force de frottement subie par un objet évoluant dans un fluide de la part de ce der- nier. La puissance qu’elle développe dépend d’un paramètre aérodynamique appelé nombre de Reynolds défini par :

Re= Lv ν

avec la viscosité cinématiqueν = 10⁻⁵m²/spour l’air,Lla taille de l’objet etvsa vitesse relative par rapport au fluide.

— Tant que Re < 1000, c’est-à-dire en régime la- minaire, la puissance de la force de traînée est P =−kv² aveck= 4,7.10⁻⁵ usi.

— Tant queRe >1000, c’est-à-dire en régime tur- bulent, la puissance de la force de traînée est P =−A.v³ avecA= 10⁻³ usi.

1. Déterminer la nature du régime d’écoulement à t= 0. En déduire l’équation différentielle vérifiée parv(t).

2. Jusqu’à quelle datetoest valable cette équation ? Déterminerv(t) durant cet intervalle.

3. Déterminerv(t) pourt > to.

Réponse : 1) ˙v+_m^Av²= 0 ; 2)to= _v^M

oA(₁₀^Lv3^oν−1) = 100s

8 Neutralité d’un métal*

On montrera lors du cours d’électromagnétisme que la densité de charge ρau sein d’un métal vérifie l’équation suivante :

dρ dt + σ

o

ρ= 0

aveco = 8.81 10⁻¹² usiet σla conductivité électrique du métal, proche de 10⁷usipour les bon conducteurs.

1. On suppose qu’un amas de charge de densité ρo

apparaît àt= 0. Déterminerρ(t).

2. Sans utiliser la question précédente, exprimer puis estimer le temps caractéristique de dispari- tion d’un amas de charge dans un métal. Conclu- sion.

Synthèse du chapitre

Objectifs principaux Exos

Je sais appliquer le théorème de la puissance méca- nique (P étant fournie)

1,3,6,7

Je sais simplifier ^dv_dt² 1,3,6,7

Je sais résoudre entièrement une équation différen- tielle du 1er ordre (solution générale, solution parti- culière, utilisation des CI)

tous

Je sais primitiver des équations différentielles simples du 1er ordre (type f’=cst)

3, 6 Je sais primitiver la vitesse pour obtenir la position 3,6 Je sais représenter graphiquement la solution d’une équation différentielle du 1er ordre

2,3,4 Je sais identifier et interpréter le temps caractéris- tique d’une solution du 1er ordre

3,4,5,8

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