Universit´e de Nantes Ann´ee 2006-2007 Facult´e des Sciences et des Techniques
D´epartement de Math´ematiques
S3M0200-G´eom´etrie euclidienne Contrˆole continu du 28 novembre 2006
Dur´ee 1h20
Exercice 1. DansR3muni de son produit scalaire usuel<·,·>, on consid`ere l’endomorphismef dont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3) est :
A=
0 0 1
−1 0 0
0 1 0
.
1. Montrer quef est une isom´etrie.
2. Calculer detf. Que peut-on en conclure?
3. D´eterminer lequel de ces deux ensembles
{x∈R3;f(x) =x} ; {x∈R3;f(x) =−x}, est une droite vectorielle. On la notera ∆.
4. (a) D´eterminer l’orthogonal ∆⊥ de ∆.
(b) D´eterminer une base orthonorm´ee (b1, b2, b3) de R3 dont le premier vecteur b1est un vecteur de
∆.
(c) D´eterminer la matrice def dans la base (b1, b2, b3).
(d) En d´eduire la description g´eom´etrique de la transformationf.
Exercice 2. Soit (ABC) un triangle non aplati du plan affine R2.
1. Pour tout pointM du plan, on appelleprojection de M sur la droite (AB) parall`element `a la droite (AC) le pointM′ d´efini par
M′=A+λ−−→ AB , o`uλest la premi`ere composante du vecteur−−→
AM dans la base (−−→ AB,−→
AC) :
−−→AM=λ−−→
AB+µ−→
AC .
V´erifier que l’applicationM 7−→M′ ainsi d´efinie est affine.
2. On consid`ere un point M0 sur la droite (BC). Soit M1 la projection de M0 sur la droite (AB) parall`element `a la droite (AC), M2 la projection de M1 sur la droite (AC) parall`element `a la droite (BC), etM3la projection deM2sur la droite (BC) parall`element `a la droite (AB).
A
C
B M0
M1 M2
M3 I
(a) Montrer qu’il existe deux r´eelsβ et γ tels que β+γ 6= 0 et tels que M0 soit le barycentre des pointsB et Caffect´es des coefficients respectifsβ et γ.
(b) En d´eduire l’expression de M1 comme barycentre des points A et B, puis celle de M2 comme barycentre des pointsAetC et enfin celle deM3comme barycentre des points B etC.
(c) Montrer queM3est le sym´etrique de M0 par rapport au milieuIdes pointsB et C.
(d) On continue le proc´ed´e en consid´erantM4, projection de M3 sur la droite (AB) parall`element
`a la droite (AC), puis M5, projection de M4 sur la droite (AC) parall`element `a la droite (BC), et enfinM6, projection deM5 sur la droite (BC) parall`element `a la droite (AB). Montrer que M6=M0.
