Universit´e Grenoble Alpes
Licence Sciences et Technologies
UE MAT35d Alg`ebre L3B Ann´ee 2016–2017
Examen du 4 janvier 2017
4 heures
La correction tiendra grandement compte de la clart´e et de la concision de la r´edaction.
L’utilisation de documents, calculatrices ou de t´el´ephones portables est interdite.
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I. Exercice
1. (Question de cours) Rappeler la d´efinition de l’ordre d’un ´el´ement dans un groupe.
SoientGun groupe,g ethdeux ´el´ements d’ordre fini (aet b). On notera la loi deGmultiplicativement.
2. (Question de cours) On suppose queg ethcommutent.
(a) Montrer que ordre(gh) divise ppcm(a, b).
(b) A-t-on toujours ordre(gh) = ppcm(a, b) ? (on pourra consid´ererg=h=i∈ C).
3. On suppose toujours quegethcommutent et que les sous-groupes engendr´es pargethont une intersection triviale :< g >∩< h >={e} o`ueest l’´el´ement neutre deG.
(a) Montrer que (gh)n =eimpliquegn=eet hn=e.
(b) Quel est l’ordre degh?
4. (a) Dans cette questionget hsont quelconques.
Montrer que siaet bsont premiers entre eux alors < g >∩< h >={e}.
(b) Montrer que tout groupe commutatif d’ordre 77 est cyclique (on pourra consid´erer les ordres possibles des ´el´ements deGet appliquer les questions pr´ec´edentes).
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II. Exercice SoitK un corps.
1. (Question de cours). SoitI un id´eal non nul deK[X].
(a) Montrer que l’ensemble
{deg(P); P ∈I etP 6= 0}
admet un plus petit ´el´ement, not´ed, et qu’il existeP ∈I tel que deg(P) =d.
(b) SoitQ∈ I. En effectuant la division euclidienne deQparP, montrer queQ∈(P).
(c) Montrer queIest un ideal principal. En d´eduire queK[X] est anneau principal.
On souhaite d´emontrer la r´eciproque, `a savoir
SiA[X] est un est anneau principal alors Aest un corps.
2. Soita∈A,a6= 0. On consid`ere l’id´ealI= (a, X). Supposons que I est principal, et soitP ∈Iun g´en´erateur.
(a) Montrer qu’il existeU, V ∈ A[X] tels quea=U·P et X=V ·P.
(b) En utilisant le degr´e des polynˆomes, montrer queP est une constante inversible.
(c) En d´eduire que 1∈I.
(d) Conclure.
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III. Exercice Soient Aun anneau et I un ensemble.
1. Montrer que l’ensembleF(I, A) des fonctions deI dansAest un anneau pour l’addition et la multiplication usuelles des fonctions (on explicitera l’´el´ement neutre pour l’addition et la multiplication).
2. On suppose que I est un espace m´etrique etA =R. Montrer que l’ensemble des fonctions continues sur I (not´e
C
(I, A)) forme un sous-anneau deF(I, A).3. Pour x∈ I, on pose evx:F(I, A)→A, d´efinie par evx(f) =f(x) avec f ∈ F(I, A). Montrer que c’est un morphisme d’anneaux (appel´e morphisme d’´evaluation enx).
On suppose maintenant queA=I=R.
1. Soitx0∈ R. Montrer que l’ensembleIx0 ={f ∈
C
(R,R); f(x0) = 0} est un id´eal deC
(R,R).2. Montrer que le quotient
C
(R,R)/Ix0est isomorphe `aR(on pourra calculer le noyau et l’image du morphisme evx0:C
(R,R)→R). En d´eduire queIx0 est maximal.3. Ix0 est-il principal ? (on pourra supposer queIx0 = (f) et consid´erer la fonctionp
|f| ∈ Ix0).
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IV. Exercice Soientα= (1 2 3 4 5 6 7
5 4 3 6 7 2 1) etβ= (1 2 3 4 5 6 7
1 2 4 3 6 5 7) deux permutations de S7. On se propose de d´eterminer l’ordre|G|du groupe G, engendr´e parαetβ. Pour cela on consid`ere l’action deGsurX ={1,2,3,4,5,6,7}et on pose
G1={τ ∈G; τ(1) = 1} et X1={τ(1); τ ∈G}.
1. Montrer queGagit transitivement surX (c’est-`a-direX1=X).
2. Expliciter les ´el´ementsγ=αβα−1 etδ=γβγ−1deG(on pourra les ´ecrire sous forme de produits de cycles
`
a supports disjoints).
On pose (on fera bien attention aux indices utilis´es) :
G2={τ∈G1; τ(2) = 2} et X2={τ(2); τ ∈G1} G3={τ∈G2; τ(3) = 3} et X3={τ(3); τ ∈G2}
3. V´erifier que β, δ∈G2. En d´eduire que ou bienX3={3,4,5,6}ou bienX3={3,4,5,6,7}.
4. V´erifier que β, γ, δ∈G1. En d´eduire que ou bienX2={2,7}ou bienX2={2,3,4,5,6,7}.
5. SiEest une partie deX etτ∈ Gon noteraτ·E={τ(x); x∈E}. SoitO={τ· {1,2,7};τ∈ G}.
(a) (question difficile) Montrer queO={{1,2,7},{1,4,5},{5,6,7},{1,3,6},{2,3,5},{2,4,6},{3,4,7}}.
(b) On voit que six6= 7 alors{1,2, x} 6∈ O.
En d´eduire que 7 est fix´e par tous les ´el´ements deG2 puis que 76∈X3.
(c) Soitτ ∈G3(doncτ fixe 1,2,3,7). Montrer que τ· {1,4,5}={1,4,5}etτ· {5,6,7}={5,6,7}.
En d´eduire queτ= Id.
6. En utilisant la formule des classes, ´etablir |G|=|G1||X1|,|G1|=|G2||X2|et|G2|=|G3||X3|.
7. D´eduire des questions pr´ec´edentes|G2|= 4 puis|G|= 28|X2|.
8. Quel est l’ordre deα? En d´eduire que 3 divise |G|.
9. Conclure que|G|= 168.
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V. Exercice On consid`ere la matrice
A=
m 1 1 1 1
1 m 1 1 1
1 1 m 1 1
1 1 1 m 1
1 1 1 1 m
, o`u mest un param`etre r´eel.
1. CalculerA−(m−1)Id. En d´eduire quem−1 est une valeur propre deA. On pr´ecisera la multiplicit´e.
2. On ´ecritχA= (X−m+ 1)4(X−α) le polynˆome caract´eristique deA(avecα∈R).
En d´eveloppant, donner le terme devantX4 en fonction deα.
En d´eduire la valeur deα(on pourra utiliser la trace).
3. Quel est le polynˆome minimal deA?Aest-elle diagonalisable ? 4. Donner les valeurs dempour lesquellesAest inversible.
Quelle est la matrice inverse deAlorsqu’elle existe ? (on ne fera pas de calculs).
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