Extr´emas li´es
Maximilien Dreveton July 3, 2016
R´ef´erences
0.1 Recasages
Passe `a l’aise 214 Th´eor`eme d’inversion locale, th´eor`eme des fonctions implicites. Ex- emples et applications.
215 Applications diff´erentiables d´efinies sur un ouvert de Rn. Exemples et applica- tions.
217 Sous vari´et´es de Rn. Exemples.
219 Extremums : existence, caract´erisation, recherche. Exemples et applications.
Arnaques 218 Applications des formules de TAYLOR.
En alg`ebre le¸con sur la dualit´e ou dimension finie d’un ev (pousse un peu loin quand mˆeme)
0.2 Le d´eveloppement
Th´eor`eme 0.1. f pr´esente un extremum li´e en m sur la sous vari´et´e M, il faut que la restriction de Df(m) `a l’espace tangent de M en m TmM soit nul. (c’est `a dire TmM ⊂KerDf(m)).
Proof. v∈TmM,γ :I →E courbe diff´erentiable trac´ee sur M, d’origine m et de vecteur vitesse initial v. On a :
∀t∈I (fM∩U)◦γ(t) =f◦γ(t) (1) Donc
Tm(fM∩U)◦v=Tmf◦v=Df(m).v = d
dt[f ◦γ](0) = 0 (2)
Lemme 0.2. Soient a, b1, . . . , bk des formes lin´eaires sur ev E dim E=n. Supposons b1, . . . , bk lin´eairement ind´ependantes et Tk
i=1Kerbi ⊂Kera, alors a est Cl des bi.
1
Proof. On compl`ete (b1, . . . , bk) en une base deE∗ (b1, . . . , bn), et on note (e1, . . . , en) la base ant´eduale.
Donc ∃ci tel quea=P ci.bi. Or T
Kerbi=V ect(ea, . . . , en).
donc 0 =a(er) =P
cibi(er) =cr pourr =k+ 1, . . . , n.
donca=c1b1+. . . ckbk.
Th´eor`eme 0.3. Extr´emas li´es / Multiplicateurs de Lagrange
Soit U ouvert de Rn =: E et g1, . . . , gk C1 : U → R. avec (Dgi(u)) lin´eairement ind´ependantes en chaque point u∈U.
M :={x∈Rn:g1(x) =· · ·=gk(x) = 0}
M est une sous vari´et´e de Rn.
Soit f :U →R diff´erentiable. Alors pour que f pr´esente un extr´emum li´e en m∈U sur M, il faut qu’il existe des constantesλi (appel´ees multiplicateurs de Lagrange) telles que :
Df() =c1Dg1(m) +· · ·+ckDgk(m) Proof. TmM =Tk
i=1KerDgi(m) TmM ⊂KerDf(m) par le th´eor`em´e pr´ec´edent.
Donc par le lemme, on a l’existence des constantes λi.
Proposition 0.4. Soit u∈Sn(R). Alors u est diagonalisable en une base orthonorm´ee.
Proof. Introduisons f : E → R;x 7→< u(x), x >. f est diff´erentiable, donc atteint son maximum sur la sph`ere unit´e (compacte!) en un vecteure1 ∈E.
Pour trouver e1, on cherche l’extrema li´e de f astreint `a g(x) :=< x, x >= 1
Df(x).h=< u(x), h >+< u(h), x > (3)
= 2< u(x), h > (4)
Dg(x).h= 2< x, h > h∈E (5)
La relation Df(e1) =c.Dg(e1) s’´ecrit alorsu(e1) =ce1 o`u f(e1) =< u(e1), e1 >=c.
Un point e1 de S = g−1(1) o`u f est maximum est donc un vecteur propre de u, de valeur propre maximum.
Maintenant, si < y, e1 >= 0 on a < u(y), e1 >=< y, u(e1)>=c < y, e1 >= 0, donc F = (V ect(e1))⊥ est invariant par u.
DoncuF est encore sym´etrique, avec dimF = dimE−1 : on finit par r´ecurrence.
0.3 Compl´ements
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