MB1 - Essential Mathematical skills Licence SVT - 1

(1)

MB1 - Essential Mathematical skills

Licence SVT - 1^èreannée

G. Faccanoni

A.A. 2019-2020

(2)

1. Overview

1.1 Organisation (prévisionnelle) 1.2 Contacts

1.3 Documents 1.4 QCM

1.5 Programme (prévisionnel)

(3)

1. Intro 2. TG 3. FU 4. lim 5. f0 6.R 7. Sys 1. Plan 2. @ 3. Biblio 4. QCM 5. Prog

Organisation (prévisionnelle)

6 séances de 1h30 de CM

Quand : 1 séance les semaines 36, 38, 40, 42, 46, 48 Documents :slides à télécharger

14 séances de 1h30 de TD

Quand : 1 séance par semaine de la semaine 37 à la 51 (sauf semaine 44) Documents :livret imprimé avec énoncés des exercices(corrections à télécharger) 2 CC de 1h

Quand : les semaines 45 et 51

Comment :QCMaveccorrection automatique par l’ordinateur Note et copie corrigée envoyées par mail

Une feuille A4 recto-verso manuscrite autorisée (=antisèche autorisée) 1 CT de 2h

Quand : en janvier 2019

Comment :QCMaveccorrection automatique par l’ordinateur Une feuille A4 recto-verso manuscrite autorisée (=antisèche autorisée)

Pour apprendre à manipuler formellement des objets mathématiques, l’utilisation de lacalculatrice(en TD ou CC ou CT) estinterdite !

3/153 :

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Organisation (prévisionnelle)

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Organisation (prévisionnelle)

3/153 :

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Organisation (prévisionnelle)

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Organisation (prévisionnelle)

3/153 :

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Contacts

Responsable du cours

Gloria Faccanoni

@ [email protected] T 04 89 16 66 72

K bâtiment M, 1^èrétage, bureau 117

Í

http://faccanoni.univ-tln.fr Chargés de TD

Groupe 1 Gloria Faccanoni Groupe 2 Christophe De Luigi Groupe 3, 6 et 7 Ali Sili

Groupes 4 Sandro Vaienti Groupe 5 Elie Leopold

(9)

Documents

Slidesde CM :

http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/20192020/MB1_L1_CM.pdf

Fascicule de TD avec corrections:

http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/20192020/MB1_L1_TD.pdf

Pour aller plus loin :

Polycopiéutilisé les années précédentes

(NB : ce polycopié était prévu pour un cours de 20 séances de CM et 30 de TD) http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/20172018/M11_L1.pdf

5/153 :

(10)

QCM

3 types de questions

Une unique bonne réponse :

Aucune, une ou plusieurs bonnes réponses :

Réponse ouverte : pour les questions dans lesquelles on vous demande un calcul, ne pas cocher de case dans la partie grisée (ces cases sont réservées au correcteur).

(11)

QCM

Généralités

Copies toutes différentes: ordre des questions,

ordre des réponses d’une même question, valeurs numériques d’une même question,

questions similaires (calculer un max vs calculer un min), . . .

Points négatifs pour une mauvaise réponse et espérance négative: mieux ne pas répondre que répondre au hasard

Correction individuelle (avec note sur 20) envoyéepar mail

Utiliser un stylo noir ou bleu et bien noircir les cases (ne pas utiliser de crayon !).

Apportez du brouillon et du blanc correcteur/Blanco/Tipp-Ex.

En cas d’erreur, effacer la réponse etne pas redessiner la case.

L’usage de lacalculatrice est interdit

7/153 :

(12)

QCM

Généralités

(13)

QCM

Généralités

7/153 :

(14)

QCM

Généralités

(15)

QCM

Généralités

7/153 :

(16)

QCM

Généralités

(17)

QCM

Identification

Entête d’une copie de CC :

PR OJET

y +1/1/60+ y

L1 SV — 18 décembre 2019 — CC-2 : Durée : 1h

• Une feuille A4 recto-verso manuscrite autorisée, tout autre document et calculatrices interdits.

• Utiliser un stylo noir ou bleu et bien noircir les cases (ne pas utiliser de crayon!). En cas d’erreur, effacer votre réponse (avec du blanc correcteur/Tipp-Ex/Blanco) et ne pas redessiner la case.

Nom et prénom :

. . . . Groupe de TD : . . . . Questions avec réponses doublées : . . . . . . . .

Cochez votreID(par exemple, si ID=105, on coche 1 sur la première ligne, 0 sur la deuxième et 5 sur la troisième) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Q. 1 En cas de non respect des consignes ci-dessus ou d’erreur dans l’ID : -1pt. -1 pt Q. 2 On considère la fonction f (x) =x²− 21

x + 5. Sur l’intervalle ] − 8,−6[, la fonction f est

décroissante puis croissante croissante puis décroissante croissante décroissante

Q. 3 La fonction f : R → R définie par f (x) =10x + 5

5x − 5a pour asymptote en −∞ la droite d’équation

y = 2 y = −2 y = 1 y = −10 y = 10 y = −1

Q. 4 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles vérifient lim x→1f (x) = +∞?

³ x x − 1

´4 sin

µ 1 x − 1

¶ 1

1 − e^x

x²− 1

x − 1 ln(|x − 1|) Q. 5 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles vérifient lim_x→−∞f (x) = 0?

1 −1

x e^−x sin(x) ln(x) tan(x) 1

x − 1 e^x

Q. 6

Dans la figure ci-dessous on a tracé le graphe d’une fonction f affine par morceaux.

x

y y = f (x)

Parmi les graphes ci-contre, lequel pourrait être celui de sa dérivée (lors- qu’elle est définie)?

x y

Q. 7 La fonction f : R → R définie par f (x) =4x − 6

3x + 6a pour asymptote verticale la droite d’équation

x = 0 x = 1 y = 0 x = −2 y = −1 y = 2

Q. 8 Calculer f⁰(x) si f (x) = ln(e^4x+ 5).

4e^4x e^4x+ 5

1 e^4x+ 5

4 e^4x+ 5

3e^3x e^4x+ 5

4e^3x e^4x+ 5

y Sujet numéro1, page 1/2 y

Fichier envoyé par mail :

ID NOM GROUPE de TD email

*** *** *** ***

801 ROSSI Mario L1-SV1 [email protected] 802 VERDI Lorenzo L1-SV2 [email protected] 803 BIANCHI Sara Tremplin [email protected]

*** *** *** ***

8/153 :

(18)

QCM

Identification

PR OJET

y +1/1/60+ y

Nom et prénom :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = 2 y = −2 y = 1 y = −10 y = 10 y = −1

³ x x − 1

´4 sin

µ 1 x − 1

¶ 1

1 − e^x

x²− 1

1 −1

x − 1 e^x

Q. 6

x

y y = f (x)

x y

x = 0 x = 1 y = 0 x = −2 y = −1 y = 2

Q. 8 Calculer f⁰(x) si f (x) = ln(e^4x+ 5). 4e^4x e^4x+ 5

1 e^4x+ 5

4 e^4x+ 5

3e^3x e^4x+ 5

4e^3x e^4x+ 5

(19)

QCM

Identification

PR OJET

y +1/1/60+ y

Nom et prénom :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = 2 y = −2 y = 1 y = −10 y = 10 y = −1

³ x x − 1

´4 sin

µ 1 x − 1

¶ 1

1 − e^x

x²− 1

1 −1

x − 1 e^x

Q. 6

x

y y = f (x)

x y

x = 0 x = 1 y = 0 x = −2 y = −1 y = 2

Q. 8 Calculer f⁰(x) si f (x) = ln(e^4x+ 5).

4e^4x e^4x+ 5

1 e^4x+ 5

4 e^4x+ 5

3e^3x e^4x+ 5

4e^3x e^4x+ 5

*** *** *** ***

VERDI Lorenzo SV2

8/153 :

(20)

QCM

Identification

PR OJET

y +1/1/60+ y

Nom et prénom :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = 2 y = −2 y = 1 y = −10 y = 10 y = −1

³ x x − 1

´4 sin

µ 1 x − 1

¶ 1

1 − e^x

x²− 1

1 −1

x − 1 e^x

Q. 6

x

y y = f (x)

x y

Q. 7 La fonction f : R → R définie par f (x) =4x − 6a pour asymptote verticale la droite d’équation

*** *** *** ***

VERDI Lorenzo SV2

Ne pas modifier Numéro du sujet

8/153 :

(21)

Programme (prévisionnel)

Semainier

Semaine CM TD

36 Fonctions, transformations de graphes -

37 - QCM auto-évaluation : Q1-23

38 Fonctions usuelles et propriétés QCM auto-évaluation : Q24-47

39 - Fonctions, composition

40 Fonctions usuelles et propriétés Transformations de graphes

41 - Fonctions usuelles et propriétés

42 Limites et Dérivées Fonctions usuelles et propriétés

43 - Fonctions usuelles et propriétés

44 Vacances

45 CC-1 (7 novembre) Fonctions usuelles et propriétés 46 Dérivées et Primitives/Intégrales Limites

47 - Dérivées

48 Systèmes linéaires : méthode de Gauss Limites et Dérivées

49 - Primitives

50 - Intégrales et Systèmes linéaires

51 CC-2 (18 décembre) Systèmes linéaires

≈2 CT session 1 (janvier) -

≈26 CT session 2 (juin) -

9/153 :

(22)

Programme (prévisionnel)

QCM auto-évaluation

Prérequis (testés à chaque contrôle des connaissances)

Manipulation de fractions, pourcentages, proportionnalité, calcul de dilutions, factorisations de polynômes. . .

Calculs avec des puissances, des racines, des polynômes, trigonométriques

(In)équations et systèmes d’(in)équations d’ordre 1 et 2, fractionnelles, qui contiennes des valeurs absolues, des racines, [trigonométriques, exponentielles, logarithmiques]

Calcul de limites simples et de dérivées

Rappels disponibles :polycopiéutilisé les années précédentes

http://faccanoni.univ-tln.fr/user/enseignements/20172018/M11_L1.pdf

(23)

Programme (prévisionnel)

Objectifs

Compétences à acquérir dans ce module

Manipuler des graphes de fonctions élémentaires et des formules “à la main” est une pratique essentielle de tout scientifique qu’il faut entraîner et perfectionner.

Le recours à des figures et la manipulation formelle d’objets mathématiques doit devenir un automatisme.

À la fin de ce cours vous devrez savoir résoudre (au moins approximativement) une (in)égalité, calculer des limites, lire une vitesse, une accélération, en déduire une intégrale. . .

Par exemple,

sans aucun calcul explicite, vous devrez savoir résoudre :

|log2(x + 1)| ≤ 1

x y

−1 −¹₂ 1

1

log₁₀(|x + 1|) ≤ 1

x y

−1

−3

1

sans utiliser la calculatrice, établir qui est plus grand entre 3¹²et 5⁸:

3¹²

5⁸ =exp(12 ln(3) − 8 ln(5)) = exp(4 (3 ln(3) − 2 ln(5))) = exp(4 (ln(27) − ln(25))) > 1 donc 3¹²> 5⁸.

11/153 :

(24)

Programme (prévisionnel)

Objectifs

Par exemple,

|log2(x + 1)| ≤ 1 y

1

log₁₀(|x + 1|) ≤ 1

x y

−1

−3

1

(25)

Programme (prévisionnel)

Objectifs

Par exemple,

|log2(x + 1)| ≤ 1

x y

−1 −¹₂ 1

1

log₁₀(|x + 1|) ≤ 1

x y

−1

−3

1

sans utiliser la calculatrice, établir qui est plus grand entre 3¹²et 5⁸: 3¹²

5⁸ =exp(12 ln(3) − 8 ln(5)) = exp(4 (3 ln(3) − 2 ln(5))) = exp(4 (ln(27) − ln(25))) > 1 donc 3¹²> 5⁸.

11/153 :

(26)

Programme (prévisionnel)

Objectifs

Par exemple,

|log2(x + 1)| ≤ 1 y

1

log₁₀(|x + 1|) ≤ 1

x y

−1

−3

1

(27)

Programme (prévisionnel)

Objectifs

Par exemple,

|log2(x + 1)| ≤ 1

x y

−1 −¹₂ 1

1

log₁₀(|x + 1|) ≤ 1

x y

−1

−3

1

sans utiliser la calculatrice, établir qui est plus grand entre 3¹²et 5⁸: 3¹²

5⁸ =exp(12 ln(3) − 8 ln(5)) = exp(4 (3 ln(3) − 2 ln(5))) = exp(4 (ln(27) − ln(25))) > 1 donc 3¹²> 5⁸. 11/153 :

(28)

2. Fonctions et transformations de graphes

2.1 Fonctions d’une variable réelle 2.2 Graphe d’une fonction

2.3 Translation verticale g(x) = f(x) + c 2.4 Translation horizontale g(x) = f(x + c) 2.5 Dilatation ou contraction verticale g(x) = cf(x) 2.6 Dilatation ou contraction horizontale g(x) = f(cx) 2.7 Composition de transformations de graphes 2.8 Valeur absolue “en vertical” g(x) = |f(x)|

2.9 Valeur absolue “en horizontale” g(x) = f(|x|) 2.10 Graphe relation inverse

(29)

1. Intro 2. TG 3. FU 4. lim 5. f0 6.R 7. Sys 1. f 2. G 3. TV 4. TH 5. DV 6. DH 7. g ◦ f 8. VAV 9. VAH 10. Inv

Fonctions d’une variable réelle

Définition (Fonction)

Une fonction est un procédé (ou relation) qui à tout nombre réel x d’un ensemble Dfde R associe (au plus) un unique nombre réel noté f(x). On la note :

f : R → R x7→ f(x)

R R

D_f

f(Df) f

D_f⊂ R est l’ensemble de définition de la fonction f, i.e. le plus grand ensemble des réels x pour lesquels f(x) est bien défini

xest la variable, f(x) l’image de x ∈ Dfpar la fonction f Attention : ne pas confondre la fonction f et le réel f(x)

La variable x est muette, on pourrait très bien écrire t 7→ f(t) ou encore ♥ 7→ f(♥)

13/153 :

(30)

Fonctions d’une variable réelle

Exemple

On peut définir une fonction de différentes manières :

1 à l’aide d’une expression : f(x) =_1+x¹ avec Df= R \ { −1 }

2 à l’aide de plusieurs expressions : f(x) =

1/x si x < 0,

cos(x) si x ≥ 0, avec Df= R

3 par composition d’autres fonctions : f(x) = _1+x¹2 =_u(x)¹ avec u(x) = 1 + x²

Composition de fonctions

R R R

x t = u(x) y = v(t) = v(u(x)) = f(x)

u v

f : D_f⊂ Du

Exemple

Si u(x) = 1 + x²et v(t) = 1

t alors f(x) = v(u(x)) = 1 u(x) = 1

1 + x²

(31)

Fonctions d’une variable réelle

Exemple

On peut définir une fonction de différentes manières :

1 à l’aide d’une expression : f(x) =_1+x¹ avec Df= R \ { −1 }

2 à l’aide de plusieurs expressions : f(x) =

1/x si x < 0,

cos(x) si x ≥ 0, avec Df= R

3 par composition d’autres fonctions : f(x) = _1+x¹2 =_u(x)¹ avec u(x) = 1 + x²

Composition de fonctions

R R R

x t = u(x) y = v(t) = v(u(x)) = f(x)

u v

f : D_f⊂ Du

Exemple

Si u(x) = 1 + x²et v(t) =1

t alors f(x) = v(u(x)) = 1 u(x) = 1

1 + x²

14/153 :

(32)

Fonctions d’une variable réelle

Testez-vous

Compléter le tableau en calculant f(x)^def= v(u(x))et l’ensemble de définition de u, de v et de f.

u(x) Du v(x) Dv f(x)^def= v(u(x)) D_f

x² 1

x 1

x x²

x + 1 x²

x² x + 1

(33)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

u(x) Du v(x) Dv f(x)^def= v(u(x)) D_f⊂ Du

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

√x R⁺ x² R (√

x)²= x R⁺

15/153 :

(34)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

(35)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

√x R⁺ x² R (√

x)²= x R⁺

15/153 :

(36)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

(37)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

√x R⁺ x² R (√

x)²= x R⁺

15/153 :

(38)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

(39)

Fonctions d’une variable réelle

Correction

x² R 1

x R∗

1

x² R∗

1

x R∗ x² R

1 x

2

= 1

x² R∗

x + 1 R x² R (x + 1)² R

x² R x + 1 R x²+ 1 R

x² R

√x R⁺

√

x²=|x| R

√x R⁺ x² R (√

x)²= x R⁺

15/153 :

(40)

Fonctions d’une variable réelle

Égalité de fonctions

Deux fonctions f et g coïncident ssi Df=Dget f(x) = g(x) pour tout x ∈ Df=Dg.

Exemple

Considérons les deux fonctions

f : R → R g : R → R

x7→ x x7→x²

x On a g(x) = x = f(x) pour tout x ∈ D^g mais f 6= g car Df6= Dg. En effet, D = R mais D = R^∗.

(41)

Graphe d’une fonction

Définition (Graphe d’une fonction)

Soit f une fonction définie sur un ensemble Df, on appelle graphe de f sur Dfl’ensemble des points d’abscisse x et d’ordonnée f(x), où x appartient à Df:

Cf={ (x, f(x)) | x ∈ Df} .

L’équation y = f(x) est appelée équation cartésienne de la courbe représentative de f.

fest une fonction ssi toute droite verticale intersecte le graphe de f au plus une fois si la droite verticale d’équation x = κ intersecte le graphe de f, alors κ ∈ Df

x y

y = f(x)

Graphe d’une fonction D_f= R

x y

y = f(x)

Graphe d’une relation NON fonction

x y

y = f(x)

Graphe d’une fonction D_f= R⁺

17/153 :

(42)

Graphe d’une fonction

Définition (Graphe d’une fonction)

Cf={ (x, f(x)) | x ∈ Df} .

x y

y = f(x)

x y

y = f(x)

x y

y = f(x)

(43)

Graphe d’une fonction

Définition (Graphe d’une fonction)

Cf={ (x, f(x)) | x ∈ Df} .

x y

y = f(x)

Graphe d’une fonction D_f= R

x y

y = f(x)

Graphe d’une relation NON fonction

x y

y = f(x)

Graphe d’une fonction D_f= R⁺

17/153 :

(44)

Translation verticale g(x) = f(x) + c

Le graphe de g s’obtient en translatant le graphe de f de c unités : si c > 0, la translation se fait vers le haut

si c < 0, la translation se fait vers le bas

R R R

x f(x) g(x) = tc(f(x)) = f(x) + c

f tc

g :

x y

y = f(x)

y = f(x) + 1

c > 0 x

y

y = f(x)

y = f(x) − 1

c < 0

(45)

Translation verticale g(x) = f(x) + c

R R R

x f(x) g(x) = tc(f(x)) = f(x) + c

f tc

g :

x y

y = f(x)

y = f(x) + 1

c > 0 x

y

y = f(x)

y = f(x) − 1

c < 0

Le point de coordonnées (a, b) avec b = f(a) est envoyé en (a, b + c)

18/153 :

(46)

Translation verticale g(x) = f(x) + c

R R R

x f(x) g(x) = tc(f(x)) = f(x) + c

f tc

g :

x y

y = f(x) y = f(x) + 1

c > 0 x

y

y = f(x)

y = f(x) − 1 c < 0

(47)

Translation horizontale g(x) = f(x + c)

Le graphe de g s’obtient en translatant le graphe de f de c unités : si c > 0, la translation se fait vers la gauche

si c < 0, la translation se fait vers la droite

R R R

x tc(x) = x + c g(x) = f(tc(x)) = f(x + c)

tc f

g :

x

y y = f(x)

y = f(x + 1)

c > 0

x

y y = f(x)

y = f(x − 1)

c < 0

Le point de coordonnées (a, b) avec b = f(a) est envoyé en (a − c, b)

19/153 :

(48)

Translation horizontale g(x) = f(x + c)

R R R

tc f

g :

y y = f(x)

y = f(x + 1)

y y = f(x)

y = f(x − 1)

(49)

Translation horizontale g(x) = f(x + c)

R R R

tc f

g :

x y y = f(x + 1) y = f(x)

c > 0

x

y y = f(x)

y = f(x − 1)

c < 0

Le point de coordonnées (a, b) avec b = f(a) est envoyé en (a − c, b)

19/153 :

(50)

Dilatation ou contraction verticale g(x) = cf(x)

Le graphe de g s’obtient par dilatation/contraction du graphe de f suivant l’axe y d’un facteur c.

Si c > 1, il s’agit d’une dilatation, si 0 < c < 1, il s’agit d’une contraction,

si c < 0, d’abord on dilate/contracte d’un facteur −c, puis on effectue une symétrie par rapport à l’axe x.

R R R

x f(x) g(x) = dc(f(x)) = cf(x)

f dc

g :

x y

y = f(x)

y = 2f(x)

x y

y = f(x)

y =¹₂f(x)

x y

y = f(x)

y = 2f(x)

y = −2f(x)