Mesure de l'endommagement anisotrope d'un composite céramique-céramique par une méthode ultrasonore

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Mesure de l’endommagement anisotrope d’un composite

céramique-céramique par une méthode ultrasonore

Stéphane Baste, Rachid El Guerjouma, Alain Gérard

To cite this version:

Mesure de

_{l’endommagement}

_anisotrope

d’un

_composite

céramique-céramique

par

une

méthode ultrasonore

Stéphane

Baste, Rachid El

_Guerjouma

et Alain Gérard

Laboratoire de _Mécanique

_Physique,

U.R.A. C.N.R.S. 867, 351 Cours de la Libération, 33405 Talence

Cedex, France

(Reçu

le 23 décembre _1988, révisé et _accepté le 21 mars

1989)

Résumé. 2014

L’endommagement en traction uniaxiale d’un _composite

_{céramique-céramique}

est _{analysé par} une

méthode

_{interférométrique}

ultrasonore. La loi de comportement couplant endommagement anisotrope et

élasticité _anisotrope est obtenue en terme de _{contrainte par} une

_équivalence

en

_énergie

dans le cadre de la

thermodynamique

des processus irréversibles. Dans le plan exploré contenant l’axe de la _charge et la normale à _{l’éprouvette,} la mesure des _temps de vol, associée à une _procédure

_{d’optimisation,}

_{fournit, pour divers}

niveaux de contrainte, les variations des constantes

_élastiques,

inaccessibles par des mesures

_classiques

de déformations. Ces variations sont celles nécessaires à l’identification de _{l’endommagement anisotrope} de ce plan

principal

(4

raideurs, 3 variables internes _{d’endommagement} et leur loi

_{d’évolution)}

et à la validation du modèle de _comportement retenu.

Abstract. 2014

The _damage of a Sic-Sic _composite is evaluated _during uniaxial tensile test _using an ultrasonic interferometric method. The behaviour law _{coupling anisotropic elasticity} and _{anisotropic damage} is obtained in terms of stress _{by energy equivalence} within the _{thermodynamics} of _{irreversible processes. For the}

investigated

plane

containing

the _loading axis and the normal to the

_sample,

a transit-time measurement

method

_joined

to an _{optimization process,}

_provides,

_{for various level of stress, the elastic} constant variations,

inaccessible _by classical strain measurements. These variations are _{those necessary}

_required

to _identify the

anisotropic

damage of this _{principal plane}

₍₄

stiffnesses, 3 _{damage parameters} and their

_{corresponding}

constitutive

_laws)

and to validate the behaviour model.

Classification

Physics Abstracts

81.20N - 43.35C - 46.30N - 62.20M

1. Introduction.

Les

_composites

à matrice

_{céramique (C.M.C.)}

pré-sentent souvent un _comportement

mécanique

forte-ment non linéaire. Contrairement aux

_céramiques

monolithiques

pour

lesquelles

le

comportement

linéaire

_fragile

traduit une

_propagation

directe des

fissures,

les C.M.C. montrent des cheminements

complexes

de fissures, liés à la

_présence

des

fibres,

leur conférant une ténacité et une résistance à la

propagation

de fissures élevées

_[1].

Les C.M.C. se classent dans les

_composites

du

type

fragile-fragile

pour

lesquels

l’allongement

à

rupture de la matrice est inférieur à celui des fibres. C’est le cas inverse de celui des

_composites

à matrice

polymère

où la rupture est

_{généralement gouvernée}

par les fibres. La rupture de la matrice

_précède

celle des fibres. Cette « fracturation

_{multiple »}

_[2]

de la matrice induit cette non-linéarité

_typique.

Cette microfissuration matricielle _peut

_engendrer

des déchaussements fibre-matrice et des

_glissements

de la fibre dans la matrice.

_Ainsi,

à

_partir

de mêmes mécanismes élémentaires

_{(microfissuration}

de la

matrice,

frottement sur les fissures d’interfaces

fibre-matrice ainsi

_créées),

et suivant

_{l’importance}

des effets de

_frottement,

_plusieurs

_types de

comporte-ment très différents _peuvent être observés

_[3].

Ainsi la _perte de

_rigidité,

_qui

caractérise la microfissuration de la

_{matrice, peut}

_{s’accompagner}

de déformations irréversibles et de boucles

_{d’hystérésis}

_[3-5].

Dès lors

_{l’endommagement}

peut être évalué en

terme de déformations résiduelles et

_d’énergie

absor-bée

_[5]

ou bien en terme de variation du module

d’Young

suivant la direction du

_{chargement [6],}

quantités

mesurables par les

techniques

mécaniques

conventionnelles _{telles que, par}

_exemple,

des

exten-somètres à

_pinces.

Il convient de

_souligner

_que ces

moyens de mesure n’autorisent que des évaluations

du

_phénomène

_{parallèlement}

à l’axe de la

_charge

et

donc ne _{permettent pas de} mesure des modules

d’Young

dans les

_{plans orthogonaux}

à l’axe de

chargement

ou de mesure des modules de

cisaille-ment nécessaires à l’identification d’un

endommage-ment

_anisotrope.

Dans le cas des matériaux anisotro-pes, ceci

oblige

à effectuer des relevés sur un

_grand

nombre

_{d’éprouvettes}

_(taillées

suivant différents

axes du

_composite)

pour accéder à un maximum

d’éléments du tenseur

_{d’endommagement}

associé au

comportement du matériau. A

l’évidence,

le

_grand

nombre de

_{manipulations}

nécessaires,

sur des

échan-tillons

_parfois

difficilement

_comparables,

induit une

précision

médiocre souvent liée à une

dispersion

importante

des résultats.

Pour

_pallier

à ces

inconvénients,

mesure

unique-ment

_{parallèlement}

à l’axe de la

_charge

en

particu-lier,

et contourner certains écueils

_(dispersion

et

manque de

reproductibilité

des résultats _par

exem-ple)

d’autres

_techniques

d’évaluation de

l’endomma-gement doivent être

_imaginées.

La caractérisation des milieux

_anisotropes

_{par des méthodes}

ultrasono-res

_{[7, 8],}

est une voie

_possible

_{pour la} détermination de

_{paramètres indispensables}

à l’identification

pré-cise de lois de _comportement

_complexes

(endomma-gement

anisotrope couplé

à l’élasticité

_anisotrope)

[9].

Les résultats

_{préliminaires,}

_permettant la mesure

d’un

_{endommagement}

_anisotrope

d’un

C.M.C.,

obtenus par cette méthode

_ultrasonore,

sont

présen-tés dans ce travail.

’

Si,

comme nous l’avons

déjà

_signalé,

la

modélisa-tion du _comportement du matériau en terme de déformations est _{d’un usage commode pour les}

mesures «

_{mécaniques »}

conventionnelles,

il n’en va

pas de même pour celles fondées sur la

_propagation

ultrasonore

_[9].

Aussi,

à

_partir

de la

thermodynami-que des processus

irréversibles,

nous établissons

(paragraphe 2)

une formulation du comportement

en termes de contraintes

_couplant

l’élasticité

aniso-trope à

_{l’endommagement anisotrope (formulation}

duale).

Au

_paragraphe

3 nous

_présentons

le matériau

testé,

le _montage

_{expérimental}

réalisé et

_quelques

résultats

_{préliminaires.}

Enfin nous

_précisons

(para-graphe 4)

la

_{procédure employée}

pour déterminer les constantes d’élasticité du

_composite

et leur variation au cours du

_chargement,

_qui

nous donnent

(paragraphe 5)

l’évolution des _composantes du

ten-seur

_{d’endommagement}

retenu.

2.

_{Couplage endommagement anisotrope-élasticité}

anisotrope.

Dans le cas

_{unidimensionnel,}

il est désormais classi-que d’introduire un

_paramètre

scalaire

d’endomma-gement d

_qui

_opère

sur la contrainte

_appliquée

o, _pour définir une contrainte effective

_{[10] :}

qu’il

faut

_appliquer

à l’élément de volume

_vierge

(non endommagé)

pour obtenir la même déforma-tion que celle

provoquée

par la contrainte a

appli-quée

à l’élément de volume

_endommagé.

Le

paramè-tre d a le sens

_physique

d’une diminution de section résistante liée à la

_présence

des microfissures. L’introduction de cette contrainte effective dans la loi constitutive de l’élasticité fournit une mesure

indirecte de d _{par des}

_{déchargements pendant}

l’essai

d’écrouissage

[11] :

où

Eo

est le module

_d’Young

initial et E celui du matériau

_endommagé.

La

_{généralisation}

tridimensionnelle conduit au

tenseur des contraintes effectives _{(J" eff relié} au tenseur

des contraintes or _par un

_opérateur

M (D )

tel que :

La variable

_{d’endommagement}

D doit avoir un.

caractère _{tensoriel pour rendre compte} de l’orienta-tion

_{privilégiée}

des microfissures. _{La loi de}

compor-tement s’obtient en substituant dans le

_potentiel

élastique

le tenseur des contraintes effectives au

tenseur des contraintes

_appliquées,

ce

_qui

assure la

symétrie

de

_{l’opérateur}

d’élasticité du matériau

endommagé

[12].

Cette

_équivalence

en

_énergie

de déformation fournit la relation entre les tenseurs des

souplesses

S et

_So

du matériau

_endommagé

et du matériau

_vierge

_{par :}

où

_l’exposant

t

_désigne

la

_{transposition}

habituelle

et : le

_produit

tensoriel.

On obtient ainsi

_{l’expression}

de la loi d’élasticité du matériau

_endommagé

reliant o- au tenseur des déformations

_{élastiques 03B5e.}

Comme nous l’avons

déjà indiqué,

une telle

_expression

est mal

_adaptée

aux

_techniques

ultrasonores _que nous allons utiliser.

Une formulation duale doit être recherchée. L’une des

_{possibilités}

consiste à

_partir

de

_{l’enthalpie}

libre

et à étendre à ce cadre la démarche

_{précédente.}

En

introduisant le tenseur des déformations

_élastiques

effectives

_£éff,

relié au tenseur des déformations

élastiques

par :

l’équivalence

en

_énergie

_{[6] exprimée}

en contrainte

On

_{obtient, alors,}

la loi d’élasticité du matériau

endommagé

reliant 03B5e et cr :

Nous choisissons _pour

D,

un tenseur

_diagonal

d’ordre _quatre

_{[6] qui privilégie}

les axes de

_symétrie

du

_composite.

Notons _que les théories de

l’homogé-néisation montrent

_qu’une

microfissuration

périodi-que,

comportant

des

_plans

de

_symétrie,

_peut être décrite _par un tenseur

_{d’endommagement}

d’ordre

quatre

[13].

Parmi

_{plusieurs possibilités}

_[14],

nous

choisissons

_{l’opérateur}

_{M (D )}

tel _{que :}

qui

amène à un tenseur des déformations

_élastiques

effectives

_symétrique.

La loi d’élasticité

₍₇₎

est

orthotrope

par

rapport

aux directions

_principales

de

symétrie

du

_{composite endommagé.}

Les éléments

Cij

non nuls de la matrice d’élasticité s’écrivent :

où

_C0ij

sont les _composantes de la matrice des raideurs du matériau

_vierge

et

_Di

celles du tenseur

d’endommagement.

Ces relations entre caractéristi-ques

élastiques

du matériau

_vierge

_(notées

_par l’indice

_{supérieur 0)}

et celles du matériau

endom-magé

permettent, pour un

_{chargement quelconque,}

la détermination

_complète

des éléments

_{Di (i}

= 1 à

6)

du tenseur

_{d’endommagement,}

soit :

Il est à noter _{que, contrairement} aux méthodes conventionnelles de mesure de déformations _pour

lesquelles

les mesures indirectes de

l’endommage-ment _reposent sur les variations des coefficients de Poisson

_[6],

les variations des éléments non

diago-naux de la matrice des

_rigidités

ne sont

_plus

indispen-sables à l’évaluation du

_dommage

mais doivent seulement être vérifiées _{pour s’assurer} de la validité du modèle.

REVUE DE PHYSIQUE APPL1QUÉE. - T. 24, N’ 7, JUILLET 1989

Enfin

_d’après

₍₉₎

et les relations entre constantes

de

_{l’ingénieur}

du matériau

_vierge

_(notées

_par l’indice

supérieur 0)

et celles du matériau

_{endommagé [6] :}

on _{peut remarquer que} la mesure de la variation des

Cii

donne,

de

fait,

la mesure de la variation des

Ei

et des

_Gij.

3. Résultats

expérimentaux.

Le

_composite

Sic-Sic est

_fabriqué

_par

_empilement

de tissus bidirectionnels de carbure de

_silicium,

densifiés

en

_phase

_{gazeuse par} la matrice de carbure de

silicium. Le matériau a été testé en traction suivant

la direction 1. Les directions

_{équivalentes}

1 et 2

orthogonales

sont dans le

_plan

des tissus et

corres-pondent

aux directions chaînes et trames. La direc-tion 3 est

_orthogonale

au

_plan

des tissus

(Fig. 1).

Fig. 1. -

Axes

_principaux

du

_composite.

[Composite

principal axis.]

L’échantillon a été

_{précontraint}

au _moyen d’une

machine de traction

_jusqu’à

75

MPa,

limite du domaine

_{pseudo-linéaire (Fig. 2).}

Aucune évolution

significative

des

_{propriétés élastiques}

n’a été décelée par une mesure du module

_d’Young

_par

extensomè-tres à

_pinces

et,

après

déchargement

total et

démon-tage de

_{l’éprouvette,}

_par une mesure au

spectro-interféromètre à immersion

_[8].

Cela

confirme,

comme _{pour les moyens de} mesures

_mécaniques

conventionnels,

la nécessité d’une évaluation sous

charge

de

_{l’endommagement}

en

_particulier

_lorsque

les microfissures se referment lors d’un

Fig.

2. - Courbe contrainte-déformation _en traction

suivant l’axe 1.

[Tensile

stress-strain curve in the 1

direction.]

donc a été

_probablement

_{déjà endommagé,}

cet état du matériau sera considéré dans la suite comme

l’état de référence.

A

_chaque

niveau de

_contrainte,

la caractérisation de

_{l’endommagément}

est fondée sur la mesure de la

vitesse des ondes de volume transitant dans

l’éprou-vette. Pour accéder aux vitesses de

_propagation

des

ondes au sein du matériau en fonction de

_l’angle

d’incidence

_(ou

de

_{transmission)}

et de la

contrainte,

une installation

_complexe

a été mise au

_point

au

laboratoire. La

_figure

3 en

_présente

le

_synoptique.

Cette installation est

_composée

d’un banc de caracté-risation ultrasonore associé à une machine de

trac-tion de faible volume. La machine de traction

proprement dite est un

_piston

_{actionné par} une

pompe

manuelle,

développant

une force de 0 à

Fig.

3. - Banc de caractérisation ultrasonore

sous _charge

[Under

load ultrasonic characterization

_device.]

_]

15 tonnes sur une

_éprouvette

solidaire du socle de la

machine et fixée sur la

_tige

du

_piston.

Le banc de caractérisation ultrasonore est similaire à celui éla-boré par Hosten et al.

_[7].

Cette dernière version est

modifiée et

_adaptée

à la caractérisation de matériaux

sous

_charge.

La méthode _{utilisée pour} la détermina-tion des vitesses est fondée sur la mesure du _temps de vol par

corrélation-filtrage,

la mesure de l’atté-nuation s’obtient en faisant le _rapport des densités

spectrales

de

_puissance

du

_signal

de mesure et du

signal

de référence

_acquis

en l’absence de l’échantil-lon

_[8].

Les résultats

_{expérimentaux,}

_portant

sur un

composite

Sic-Sic,

sont

_consignés

dans les

_figures

4

et 5. La

_fréquence

centrale des transducteurs est de

2,25

MHz. La

_figure

4

_{(resp. 5)}

_présente

l’évolution des vitesses

_{(resp. atténuations)}

des ondes

longitudi-Fig.

4. - Vitesses de

propagation

en fonction de

_l’angle

de transmission et de la contrainte.

nales

_{(notées L)}

et transversales

_{(notées T)}

en

fonction de

_l’angle

de transmission

_{(resp. incident)}

et _pour 5 niveaux de contrainte différents notés

_(.)

sur la

_figure

2.

L’évolution des vitesses de

_propagation

est

impor-tante. Elles diminuent continûment avec la

_charge.

Ces variations _permettront dans les

_paragraphes

suivants l’évaluation de

_{l’endommagement}

_{par le} biais d’une

_procédure

_{d’optimisation}

des constantes

élastiques

à

_partir

des mesures des vitesses de

propagation

des ondes

_élastiques.

L’atténuation

_paraît

être un indicateur

_plus

sensi-ble au

_dommage

_{que les vitesses.} En

_effet,

la

variation des coefficients de transmission déterminée

expérimentalement (Fig. 5)

est liée à l’évolution de l’atténuation due à

_{l’endommagement}

et aux _pertes

interfaciales. La connaissance des constantes élasti-ques autorise le calcul des pertes aux interfaces et permet donc d’isoler ces dernières et d’accéder à l’atténuation

_{[15]. Cependant,}

son lien avec la loi de

comportement

du milieu testé est loin d’être aussi évident que celui des variations de vitesse.

_Ainsi,

les

mesures d’atténuation ne

_sont-elles,

_pour

_l’instant,

qu’au

stade d’une évaluation

_qualitative

de

l’endom-magement.

Les coefficients de

transmission,

qui

décroissent en fonction de la contrainte

_appliquée,

traduisent

_{classiquement}

une

_augmentation

de la

densité des micro-défauts. On retrouve ici le sens

physique

de la variable interne

_{d’endommagement}

(diminution

de la section résistante liée à la

_présence

de

_{micro-fissures).}

On note sur la

figure

5 une

évolution

_importante,

au cours du

_chargement,

de la

courbe d’atténuation des ondes transversales en

fonction de

_l’angle

de

_propagation,

attestant d’une modification de la structure interne

_(géométrie

des

micro-défauts)

du matériau. Sur cette

_figure

appa-raissent nettement les

_angles

limites relatifs aux

modes

_{quasi-longitudinaux puis quasi-transversaux}

au-delà

_desquels

ces ondes ne sont

_plus

_engendrées

dans l’échantillon.

4. Détermination des constantes d’élasticité.

L’exploitation

des résultats

_{expérimentaux,}

dont

quelques exemples

ont été donnés au

_paragraphe

précédent,

passe nécessairement par la connaissance des relations reliant la vitesse des ondes ultrasonores

aux

_{caractéristiques mécaniques}

intervenant dans la

loi de _comportement du milieu _support de _la

propa-gation.

Celles-ci s’obtiennent en introduisant

l’expression

du

_champ

des

_{déplacements}

associé à

une onde

_{plane monochromatique}

dans les

équations

du mouvement d’un milieu continu. Le matériau

étant,

a

_priori,

_{réputé homogène}

à la

fréquence

utilisée,

les modes

_propagés

sont les solutions de

l’équation

de

_propagation

_[16].

A la masse

volumi-que

près,

les valeurs _{propres de}

_{l’équation}

caractéris-tique

associée sont les carrés des vitesses de propaga-tion

_(VL

ou

VT),

ce

_qui,

_pour un matériau

ortho-trope

(9

constantes d’élasticité

_{indépendantes),}

dans le

_plan

_(3,1)

considéré

ici,

conduit à :

Fig. 5. - Coefficients de transmission

en fonction de _l’angle d’incidence et de la contrainte.

avec

0

_désignant

_l’angle

de transmission dans le matériau

et l’indice L

_{(resp. T)}

_précisant

le mode de propaga-tion

_{quasi-longitudinal (resp. quasi-transversal).}

Une

_procédure

_{d’optimisation [17]}

de toutes les valeurs

_{expérimentales}

de

vitesse,

utilisant la méthode de

Newton,

permet d’en déduire les valeurs des raideurs du

matériau

à

_chaque

niveau de

charge-ment. Celles-ci sont

_consignées

sur les

_figures

6a à

Fig. 6.

- Constantes

élastiques

et courbes de lenteurs normalisées du

_composite

-

plan

(1,3)

anisotrope

-

(a)

à

contrainte nulle 0 MPa,

(b)

pour une contrainte de 47 MPa,

(c)

pour une contrainte de 78 MPa,

(d)

pour une contrainte

de 95 MPa,

(e)

pour une contrainte de 120 MPa.

[Stiffness

coefficients and normalized slowness curves in the

_{anisotropic (1,3)}

_{plane :}

_(a)

for zero stress,

(b)

for 47 MPa,

6e. Les courbes

_apparaissant

sur ces

_figures

corres-pondent

aux courbes des lenteurs

_(l’inverse

des

vitesses)

associées à

₍₁₂₎

ou

_plus

_{précisément}

au

tracé de l’évolution des nombres d’ondes

_(kL

onde

quasi-longitudinale, kT

onde

_{quasi-transversale)}

dans le matériau normalisés par le nombre d’onde dans l’eau

_ke

en fonction de

_l’angle

de réfraction 9. La vitesse du son dans l’eau étant de 1 497 m/s au

moment des relevés

_{expérimentaux.}

Dans chacune des

_figures

6a à 6e les

_(~)

_{correspondent}

aux

_points

expérimentaux

et les

_lignes

continues au tracé des courbes de lenteur exécuté à l’aide des valeurs des

Cij

optimisées.

Ainsi est visualisé l’écart

_quadratique

entre

_{points expérimentaux}

et

_points

calculés. Les

divergences

que l’on peut constater entre

_points

expérimentaux

et courbes

_optimisées

sont en

majo-rité attribuables aux

_mélanges

des modes

quasi-longitudinaux

et

_{quasi-transversaux}

dans la fenêtre de mesure

_[18].

En fonction du

_chargement,

la

séparation

de ces modes est variable et les erreurs se

reportent

préférentiellement

soit sur le mode

quasi-transversal

_{(Fig. 6a)}

soit sur le mode

quasi-longitudi-nal

_{(Fig. 6e)}

soit sur les deux modes

_{(Fig. 6c).}

L’évolution de

_{l’anisotropie}

du

_composite

en

fonc-tion de la

_charge

_qui

lui est

_appliquée

est donnée _par le faisceau des courbes de lenteurs

_regroupées

à la

figure

7. On note _que les courbes de lenteurs ne

subissent _pas une

_simple

homothétie mais se

défor-ment

_lorsque

la contrainte _augmente. Ceci traduit l’effet d’un

_{endommagement anisotrope qui}

influence différemment

_chaque

raideur et _que nous

identifions dans le

_paragraphe

suivant. 5. Evolution de

l’endommagement.

Les relevés

_{expérimentaux}

effectués dans le

_plan

(1,3)

donnent accès aux raideurs

_Cii,

C33, Css

et

C 13

évaluées au

_{paragraphe précédent}

à

_chaque

niveau de

_charge.

Les courbes

_{représentatives}

de leur évolution en fonction du

_chargement

sont

données

_figure

8. Comme on

_s’y

_attendait,

on

Fig. 8. - Variation des constantes d’élasticité.

[Stiffness

coefficients

_variation.]

constate une _perte de

_{rigidité importante}

de l’échan-tillon suivant l’axe de traction de l’ordre de 120 GPa

et une variation

_plus

faible,

environ 20

GPa,

pour les autres éléments du tenseur des

_rigidités

accessi-bles aux mesures. On observe _que le

_{C 13}

devient

négatif.

Les variations de cette

_constate

non

diago-nale,

apparemment inattendues,

mais

_qui

sont

admissibles

_puisque

le

mineur,

M13 = CIl C33 -

C 13 2

(13)

reste

_{toujours positif}

_{(l’opérateur}

d’élasticité doit demeurer

_quadratique

défini

_positif),

sont tout-à-fait

Fig.

7. - Evolution des courbes de lenteurs normalisées du

composite en fonction de la _{contrainte, plan}

_(1,3)

anisotrope.

significatives

de

_phénomènes

de

_délaminage

dans le

plan

(1,3)

au sein de ce

_composite

_{fragile-fragile}

2D. Dès

lors,

l’utilisation des relations

₍₁₀₎

fournit trois _composantes

_{D1, D3}

et

_D5

du tenseur

d’endom-magement

consignées

dans la

_figure

9. Ces trois variables internes vont croissant avec le

_chargement

et leur évolution différente est révélatrice d’un

endommagement anisotrope.

Pour la

_plage

de

Fig.

9. -

Evolution des composantes du tenseur

d’endom-magement.

[Damage

tensor _component

_evolution.]

mesure retenue,

l’endommagement

le

_plus

_(resp.

moins) important

a lieu

_logiquement

selon l’axe 1 de

chargement (resp. 3).

Par ailleurs la variable

_D5

a une croissance

_plus

_rapide

_que les deux autres

(Dl

et

_D3)

ce

_qui

est bien conforme au

_{pressentiment}

d’un

_{endommagement}

_plus

_{catastrophique}

en

cisail-lement dans le

_plan

_{(1,3) (ou (2,3))}

_{que dans} le

_plan

translaminaire

_(1,2).

_Ainsi,

il est

_prévisible

_que la

rupture

de l’échantillon s’effectuera en cisaillement

interlaminaire dans le

_plan

_(1,3).

Ceci

_dit,

il faut se

souvenir que nous avons considéré comme

_vierge

un

matériau dont le seuil

_{d’endommagement}

a

déjà

certainement été franchi

_{puisque chargé}

à 75

MPa,

puis déchargé préalablement

aux mesures ultrasono-res. L’évolution mesurée des variables

d’endomma-gement de la

_figure

9 n’est _pas

_{représentative}

de l’évolution associée à une

montée

en

_charge

stricte-ment monotone sur la courbe

_{d’écrouissage}

[19], .

mais de celle associée à un

_{chargement précédé}

du

cycle charge-décharge

à 75 MPa

_(Fig.

_2).

Pour ce

matériau,

on observe

_{généralement}

une fermeture

des micro-fissures lors d’un

_{déchargement.}

Les

mesures ultrasonores à contrainte nulle concernent

un matériau dont les fissures sont refermées : les

constantes

_élastiques

effectives sont

_identiques

à celles du matériau

_{vierge (à l’exception}

sans doute

du

_C13).

A 47

_MPa,

les fissures

_{préexistantes,}

créées par la

précontrainte

de 75

_MPa,

commencent à s’ouvrir de nouveau. Le niveau de

_{précontrainte}

atteint,

on revient sur la courbe

_{d’écrouissage}

mono-tone. Par

_conséquent,

si le niveau du seuil

d’endom-magement n’a pas été déterminé

_{précisément,}

l’évolution du

_dommage

est,

après 75 MPa,

conforme à celle d’une montée en

_charge

monotone.

Cependant,

comme nous l’avons

_déjà

_indiqué,

la validité du modèle ne doit _pas être oubliée.

_D’après

les relations

_(9),

la validité du

_modèle,

_pour le

_plan

d’auscultation

_(1,3)

_considéré,

sera assurée si la variation de l’élément non

_{diagonal C 13}

est

propor-tionnelle à celles des

_rigidités

selon les axes 1 et 3. En

fait,

le modèle retenu est

_{expérimentalement}

vérifié si l’évolution du mineur

_{M13, qui}

doit rester

positif,

correspond

à une décroissance telle que :

La

_positivité

du mineur

_M13

est satisfaite mais _pas la

proportionnalité

de

_C213

et du

_{produit Cil}

_C33·

La

figure

10 montre l’écart entre les valeurs

expérimen-tales

_8M13

extraites de nos mesures à divers niveaux

de

_chargement

et sa valeur initiale dont le modèle ne

prévoit

pas de variation. Il convient

cependant

d’observer que cet

_écart,

en valeur

absolue,

reste

faible

_(de

l’ordre de 2 % au

_plus).

En

revanche,

Fig.

10. - Ecart entre

expérience

et

_prévision

du modèle.

[Deviation

between

_experiment

and model

_prevision.]

reporté

sur l’évolution de la constante

_C13,

l’écart

entre sa valeur

_{expérimentale}

_{C 13}

et sa valeur

«

théorique »

Cf3(1 -

D1)(1- D3)

est

_important

(Fig. 11).

On retrouve _par cet écart _{le fait que l’état} initial est en réalité un état

_{déjà endommagé}

confor-mément à la

_précharge

de 75 MPa

_qui

a modifié la

valeur initiale

_cf3.

Pour tenter de décrire convenablement l’évolution

ce

_faire,

on « norme » les valeurs

_{expérimentales}

C 13

par rapport au mineur

_M13

de telle sorte _{que :}

Dès

_lors,

avec la

_figure

_11,

on constate _que

l’évolu-tion

_{expérimentale}

de

_C13

satisfait

_quasiment

la relation :

ce

_qui

_permet d’établir la relation donnant l’évolu-tion de

_{C 13 :}

En

_{posant :}

la variation de la constante non

_diagonale,

C13 = C13 corr. ( 1- D1) (1- D3),

est alors en bon accord avec les relevés

_{expérimentaux (Fig. 11).}

Finalement,

les relations entre les _composantes de la matrice des raideurs du matériau

_vierge

et celles du matériau

_endommagé

accessibles _{par les} mesures

dans le

_plan

_{d’investigation}

_(1,3)

s’écrivent :

6. Discussion et conclusion.

La

_{métrologie mécanique classique}

_(jauge

de

défor-mation,

extensomètre à

_{pinces, ...)}

_{n’autorise que} des mesures de déformation dans l’axe et

orthogona-lement à l’axe de la

_charge.

_{Ce manque de}

_souplesse

est à

_l’origine

du faible nombre de

_paramètres

de raideur et

_{d’endommagement}

évalués à

_partir

d’une seule

_éprouvette.

Pour tenter de cerner au mieux le

phénomène

de

_dommage

tridimensionnel des

maté-riaux,

des modèles de

_plus

en

_plus

_{sophistiqués}

sont

élaborés _pour

_reporter

sur les variables

d’endomma-gement le maximum d’informations accessibles dans les directions de mesures. C’est ainsi que sont

apparus des modèles

couplant

endommagement

ani-sotrope et élasticité

_isotrope

ou non

_[12,

_13,

_6]

ou

bien encore

_couplant

_{endommagement anisotrope,}

Fig.

11. - Correction du modèle

portant sur l’évolution de la raideur

_C13.

élasticité

_anisotrope

et

_plasticité

induite _par

l’endom-magement

[20],

sans _pour autant _que, dans la

panoplie

de mesures

_effectuées,

une seule donne

accès à un contrôle direct de la validité de la modélisation.

Pour les matériaux

_anisotropes,

seuls des essais

bi-axiaux,

en

_particulier

les essais hors axes

_[21],

permettraient

de substantiels

_progrès

dans l’identifi-cation de

_{l’endommagement}

tridimensionnel. Finale-ment, si l’essentiel du comportement monodimen-sionnel

_peut

être _{obtenu par des} mesures de

défor-mation,

aucune information de

_{l’endommagement}

transversal induit par un essai

_{d’écrouissage}

(i.e.

perpendiculairement

à l’axe de la

_charge)

ne

_paraît

actuellement

_possible

_[20].

Un _moyen de contourner cet écueil est

_d’imaginer

des

_métrologies

autorisant

une détermination

_{plus complète}

des coefficients de

la matrice de raideur. C’est

_{précisément}

le cas des

méthodes ultrasonores

_qui

_permettent

une

investiga-tion dans une

_{large plage}

_angulaire

d’un

_plan

d’aniso-tropie

donné

_[8].

La méthode

_{spectro-interférométrique}

à

immer-sion,

utilisée dans ce travail

_{préliminaire,}

autorise simultanément la détermination

_complète

des _quatre

constantes d’élasticité d’un

_plan

_principal

d’un

composite.

Pour une modélisation

_simple

de

l’aniso-trope

de

_{l’endommagement}

liée à la structure

étudiée,

nous avons

obtenu,

à

_partir

d’une

éprou-vette, les trois

_paramètres

_{d’endommagement}

de ce

plan,

leur vitesse d’évolution associée et l’assurance de la validité du modèle retenu.

En

effet,

malgré

une _transparence

_acoustique

médiocre du matériau due à son caractère

_dispersif,

à la faible

_épaisseur

de l’échantillon et aux vitesses

du mode

_{quasi-longitudinal}

et du mode

quasi-trans-versal

_proches

_qui

induisent un

_mélange

de ces deux

modes et

_malgré

une

_{plage angulaire}

de mesure

réduite liée à la vitesse de

_propagation

_importante

par rapport à celle de

_l’eau,

l’auscultation

ultraso-nore de

_{l’éprouvette}

dans le

_plan

(1,3)

a

_permis

d’accéder aux constantes de raideur

_{C11, C33,}

C55

et

_{C 13}

à

_chaque

niveau de

_charge.

Ces

_quatre

constantes sont

_{précisément}

celles

_qui

caractérisent

complètement

le

_{plan principal (1,3).}

Par

consé-quent,

disposant

de toutes les informations relatives à ce

_plan,

il est,

_alors,

aisé de décrire l’évolution du

comportement

élastique

dans ce

_plan

_par une modé-lisation bidimensionnelle

_qui,

contrairement à un

modèle

monodimensionnel,

introduit réellement un

couplage

entre les deux directions de ce

_plan.

Les variations de ces constantes d’élasticité sont

importantes,

en

_particulier

celle de la raideur dans la

direction 1

_(axe

de

_chargement).

Ces

_pertes

de

rigidité

sont les mesures

_{macroscopiques}

(phénomé-nologiques)

de la microfissuration de la matrice

(phénomène microstructural),

mécanisme

fonda-mental du _comportement de ce

_composite

fragile-fragile.

L’endommagement

bidimensionnel du

_plan

principal

(1,3)

est

_représenté

_{par 3} variables

inter-nes :

_Dl

(resp. D3)

_{endommagement}

de l’axe 1

(resp. 3)

et

_{D5 l’endommagement}

dans le

_plan

de cisaillement interlaminaire

_(1,3).

La mesure

indi-recte de ces

_paramètres

_{d’endommagement}

n’utilise que la variation des constantes de raideur

_diagonales,

contrairement aux méthodes de mesure de déforma-tion _pour

_lesquelles

les mesures indirectes de

l’endommagement

reposent

sur les variations des

coefficients de Poisson

_(constantes

non

_diagonales

de la matrice de

_raideur).

La variation de la

cons-tante non

_{diagonale C 13}

n’est

_plus

utile _{que pour} valider la modélisation.

Néanmoins si cette

_étude,

_{faite par}

_paliers

de

charge importants (de

l’ordre de 40

_MPa)

et sur une

seule

_éprouvette

_{déjà précontrainte,}

a

_permis

l’iden-tification des

_paramètres

_{d’endommagement Dl,}

D3

et

_D5

au-delà de 75

_MPa,

elle n’a naturellement pas

permis

de connaître avec

_précision

le

comporte-ment du matériau avant la

_précharge

de 75 MPa. Une _{nouvelle campagne} d’essais effectuée _par

_palier

de

_chargement

_beaucoup

_{plus rapprochés}

doit être

entreprise

pour

acquérir

une meilleure connaissance de ce

_phénomène

de

_dommage

notamment lors des

chargements

cyclés.

En

effet,

les processus de

réou-verture de fissures

_qui

_accompagnent les remontées

en

_charge

_peuvent éventuellement conduire à des

évolutions

_brusques

des variables internes

_qui

ne

peuvent

être évaluées _{que si les}

_paliers

de

charge-ment sont suffisamment

_proches.

Par

_ailleurs,

une

_{investigation}

dans le

_plan

(2,3)

fournirait les constantes

_C22,

_{C33, C44}

et

_C23

et

donnerait accès à deux nouveaux

_paramètres

d’endommagement

D2

et

_D4

et à une mesure

complé-mentaire pour valider la modélisation. La détermina-tion du dernier

_paramètre

_D6,

associé à la _perte de

rigidité

en cisaillement

_{translaminaire,}

demanderait une auscultation du

_plan

_(1,2)

_qui

n’est

_possible

_que pour des échantillons

épais.

Ainsi,

par ultrasons et

pour des

composites

se

_présentant

habituellement sous forme de

_plaques

minces,

on voit

_qu’il

est

possible

de mesurer 5 des 6 variables internes

nécessaires à la

_description

tensorielle de

l’endom-magement

anisotrope

(tridimensionnel)

ainsi

_qu’aux

vitesses

_qui

leur sont associées.

Enfin,

la sensibilité de la méthode donne un

espoir

certain de

_pouvoir

s’assurer de l’état initial de

l’éprouvette

(vierge

ou

non),

en terme de vitesse ou

même

d’amortissement,

ce

_{qui, a}

_priori,

semble

difficile _{pour les} méthodes de mesures

_mécaniques

conventionnelles. Ce contrôle non destructif des

éprouvettes

permettra de s’affranchir d’un certain nombre de

_problème

de

_{dispersion intrinsèque}

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