SYSTEMES DU SECOND ORDRE a<1 REGIME PSEUDOPERIODIQUE DEPASSEMENTS : QUELQUES ELEMENTS DE CALCULS

Sciences de l’ingénieur

depassements Lycée Jacques Amyot

Auxerre 17/10/2003 Page 1 sur 3

SYSTEMES DU SECOND ORDRE a<1 REGIME PSEUDOPERIODIQUE

DEPASSEMENTS :

QUELQUES ELEMENTS DE CALCULS

Michel Huguet Préambule :

• Le système est sollicité par un échelon unitaire e(t)=1.u(t)

p p E t e

L 1

) ( )) (

( = =

• La fonction transfert du second ordre possède la forme canonique suivante :

2 2

1 1 2

) (

p a p

p K H

n n

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

ω ω

1) Recherche de la réponse s(t) du système :

p p a p

p K S

p E p H p S

n n

1 1

1 2 ) (

) ( ) ( ) (

2 2

⋅

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

⋅

=

ω ω

Après transformée inverse et pour a<1 on obtient :

( ) _⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅ ⋅ − ⋅ +

− −

=

^{− ⋅ω⋅}

ω a t ϕ

a K e

t

s

_n

t a _n

2

2

sin 1

1 1 ) (

Avec

a a

²

tan ϕ = 1 −

⁽

sin ϕ = 1 − a

² trouvé en posant

s ( 0 ) = 0

)

2) Recherche sur les extrema de cette fonction dans le but d’identification : s(t) admet des maxis lorsque

( ) 0

dt = t ds

Pour rechercher l’expression de

dt t ds ( )

passons par exemple dans le domaine symbolique.

) 0 ( ) ) (

(

₊

−

⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ p S p s

dt t

L ds

ici, et on le voit sur la figure ci-dessus,

s ( 0

⁺

) = 0 s(∞) D

₁

Ici :

3 . 0 a et 1 K , /

15 = =

= rad s

ω

n

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2 2

1 1 2

) (

p a p

p K S p

n n

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

⋅

ω ω

Après transformation inverse il vient (toujours pour a<1) :

( ) _⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ ⋅ ⋅ − ⋅

−

⋅ ⋅

=

^{− ⋅ ⋅}

a t

a K e

dt t ds

n t

a n

n

2

2

sin 1

1 )

( ω

^ω

ω

Donc

( ) 0 dt =

t

ds

a pour racines :

• t=0 et plus généralement lorsque

^sin ( ^ω

ⁿ

^{⋅ 1 − a}

²

^{⋅ t} ) ^{= k ⋅ π}

donc lorsque

1 a

2

t k

n

⋅ −

= ⋅ ω

π

• t=+∞

3) Recherche de l’amplitude des dépassements :

Prenons le cas du premier dépassement. Il se produit à l’instant

1 2

1 a t

n

D

= ⋅ −

ω

π

(k=1)

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−

⋅ ⋅

−

⋅

− ⋅

−

= ^{⋅ −}

⋅

⋅

−

ω ϕ ω π

ω ω π

2 2

2 1

1 sin 1 1

1 1 ) (

2

a a

a K e

t s

n n

a a

D

n n

( )

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

+

− ⋅

−

= ⁻

⋅

−

ϕ π

π

sin 1

1 )

( 2

1 1

2

a K e

t s

a a

D

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

+

− ⋅

−

=

⁻

⋅

−

) sin . cos cos . (sin 1

1 )

(

2

1 1

2

ϕ π ϕ π

π

a K e

t s

a a

D

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

− ⋅

−

= ⁻

⋅

−

) sin ( 1 1 )

( 2

1 1

2

ϕ

π

a K e

t s

a a

D

or comme nous l’avons vu plus haut

sin ϕ = 1 − a

^{2 ,donc :}

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ +

=

⁻

⋅

− 1 2

1

) 1

(

^a

a

D

K e

t s

π

Donc le premier dépassement dépasse la valeur finale s(∞)=K d’une « hauteur » égale à ₁ ^{1 a2}

a

e K

D

⁻

− ⋅

⋅

=

π

D’une façon plus générale lorsque

1 a

2

t k

n

⋅ −

= ⋅ ω

π

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ +

=

⁻

⋅

⋅

− 1 2

1 )

(

^a

a k

Dk

K e

t s

π

1 a2

a k

k

K e

D

⁻

⋅

− ⋅

⋅

=

π Donc le k^ième dépassement à une « hauteur » par rapport à s (∞) de :

Remarque :

Ne pas confondre k le numéro du dépassement avec K le gain de H(p).

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Si l’échelon possède une amplitude A :

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

⁻

⋅

− 1 2

1

) 1

(

^a

a

D

A K e

t s

π

donc : ^1a2

a k

k A K e

D ⁻

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

π