Sur le théorème du produit

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

AËL

R

ÉMOND

Sur le théorème du produit

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

13, n

o

_{1 (2001),}

p. 287-302

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2001__13_1_287_0>

© Université Bordeaux 1, 2001, tous droits réservés.

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Sur

le théorème du

_produit

par

GAËL

RÉMOND

RÉSUMÉ. On donne des versions raffinées effectives du théorème du

_produit

de G.

_Faltings

et de son

principal

corollaire. Le théo-rème montre que si l’ensemble des zéros d’indice 03C3 d’un

polynôme

multihomogène P

a une _composante commune avec l’ensemble des zéros d’indice 03C3 + ~ alors cette composante, sous-variété d’un pro-duit

_{d’espaces projectifs,}

est elle-même un

_produit

à condition _que les _rapports des

_degrés

de P soient

_grands

en fonction de ~. Le

corollaire le

_plus

utile

_implique

que, sous une condition

plus

re-strictive, toute _composante des zéros d’indice ~ est contenue dans un

_produit

comme ci-dessus. Dans les deux cas, on sait de

_plus

ma-jorer le

_degré

et la hauteur du

_produit

qui

apparaît.

J.-H. Evertse et R. Ferretti ont donné des versions effectives de ces résultats.

On améliore ces énoncés essentiellement

_grâce

à l’utilisation de la

multiplicité

de Samuel au lieu de la

_longueur,

en suivant une idée

de P.

_Philippon,

_qui a donné une version du corollaire. On raffine

celle-ci

_légèrement

en travaillant directement avec des

_degrés

et hauteurs

_{multiprojectifs}

et non en se ramenant au cas

projectif.

Enfin,

pour ce

corollaire,

on donne deux versions : l’une déduite du théorème par la méthode

usuelle,

la seconde donnant une con-dition moins restrictive sur les

degrés

de P.

ABSTRACT. We _present new

_sharp

effective versions of

_Faltings’

product

theorem. This

result,

a

generalization

of Roth’s lemma, shows that if the zeroes of index 03C3 of a

_{multihomogeneous}

polyno-mial P have a _component Z in common with the zeroes of index 03C3 + ~ then this Z

_(subset

of a

_product

of _projective

_spaces)

is it-self a

_product.

Here the index is taken with respect to the

_degrees

03B4i of P as

_weights

and the result holds whenever

_{03B4i/03B4i+1}

is

_big

enough

in terms of ~. Furthermore, effective versions

by

Evertse

and Ferretti bound the

_degree

and

_height

of Z. If m is the num-ber of factors and c the codimension of

_Z,

our result assumes

only

03B4i/03B4i+1 ~

(m/~)c.

This is better than the _previous bounds

by

a factor c! and we _improve in the same _way the estimates for

degrees

and

_heights.

The

_{key point}

is the use of Samuel

multi-plicity

introduced in these

_{questions by Philippon,}

_through

his zero-estimates. The main _corollary of the theorem shows _that, in

the above

_setting,

any component of the zeros of index ~ are

con-tained in a

(non-trivial)

_product

under a

_similar,

more restrictive

condition on the

_degrees

of P. We deduce first such a

corollary,

in the usual manner, with the bound

03B4i/03B4i+1 ~ (mn/~)n (where

n is the dimension of the

_{multi-projective}

_space).

This condition is the one obtained

_{by Philippon}

but we _get

slightly

better esti-mates for

_degrees

and

_heights

_(through

a direct

_proof).

_{Last, using}

a different

_approach,

we _prove another

_corollary

with the better bound

_{03B4i/03B4i+1 ~ (m/~)n;}

in this case estimates for

_degrees

and

heights

are less accurate but not

_{significantly}

in view of certain

applications.

Introduction

Le but de ce texte est de donner des versions raffinées du théorème du

_produit

effectif et de son

_principal

corollaire. Ce

_type

_{d’énoncé, qui}

s’apparente

au lemme de

_Roth,

a été découvert en

_premier

_par G.

Faltings

(voir [Fa]).

Le théorème montre _{que si} l’ensemble des zéros d’indice fI d’un

polynôme multihomogène

P a une

_composante

commune avec l’ensemble

des zéros d’indice a + é alors cette

_composante,

sous-variété d’un

_produit

d’espaces projectifs,

est elle-même un

produit

à condition _que les

_rapports

des

_degrés

de P soient

_grands

en fonction de é

(voir

définitions et énoncés

précis

ci-après).

Le corollaire le

_plus

utile

_implique

_que, sous une condition

plus

restrictive,

toute

_composante

des zéros d’indice é est contenue dans

un

produit

comme ci-dessus. Dans les deux _cas, on sait de

plus

_majorer

le

degré

et la hauteur du

_produit

_{qui apparaît.}

J.-H. Evertse

_(voir

_[E])

et R. Ferretti

_(voir

_[Fe])

ont donné des

ver-sions effectives de ces résultats.

Ensuite,

M.

Nakamaye

(voir

[N])

_ayant

mis en lumière les liens entre théorème du

_produit

et lemmes de

_zéros,

P.

Philippon

(voir

[P3])

a

remarqué

_que non seulement les démonstrations en étaient très semblables mais que le corollaire cité ci-dessus

_pouvait

se

déduire du théorème 2 de

_[P2]

et que cela donnait même de meilleures

bornes. L’amélioration est due essentiellement à l’utilisation de la

multi-plicité

de Samuel dans

_[P2]

au lieu de la

longueur.

Ici,

on

_reprend

cette idée _pour démontrer directement le théorème du

produit.

On obtient ainsi des résultats

_plus

_précis

_que ceux de

[E]

et

_[Fe].

On améliore

_{également légèrement}

par

rapport

à

_[P2]

et

_[P3]

en travaillant

directement avec des

degrés

et hauteurs

_{multiprojectifs}

_{(voir [R])}

et non en se ramenant au cas

_projectif

(comme [P2, §7]).

_Enfin,

_pour le

_corollaire,

on

donne deux versions : l’une déduite du théorème _par la méthode

_usuelle,

la seconde donnant une condition moins restrictive sur les

_degrés

de P

_(voir

1. Notations et résultats Soient K un _corps de

nombres,

m &#x3E; 2 et n =

(ni, - - - ,

E

_{(1I~1 ~ {0})"‘.}

On considère

_l’espace

_{multiprojectif}

On

_désigne

l’anneau

_multigradué

associé _par

Si P est un élément de B et K E x ... x on note

Lorsque

P E B est

_{multihomogène}

de

_multidegré

8 E

_{(ll~1~~0~)’"’}

et (1 est un

réel,

Z,(P)

sera le fermé de P défini _par l’idéal

_{multihomogène}

_engendré

par

, ,

1 °~~ J~° J

On

_adopte

la convention _que si a est un multi-indice de ses

_composantes

sont al, ... , as. On

emploie

aussi les notations usuelles

lai

= _{a 1-~ - - +}

am et a! =

al! - - -

a~.,.z! ;

de

plus

1,,,/a-l

=

Jlil +... + am.

Si A C K est la famille des coefhcients de

_P,

on définit la hauteur du

_polynôme

P

(comme

celle de

A)

par

-

-v L vJ

(où

la somme est

_prise

sur toutes les

_{places v}

de K

_{et 1 . Iv}

_désigne

la

valeur absolue

_{correspondante,}

normalisée de _{sorte que}

_{[2[v =}

2

_{lorsque v}

est archimédienne et

_~p~

=

p~~

lorsque v

étend la

place

p de

Q).

On utilise

enfin la hauteur d’un sous-schéma fermé de

_JP~

comme définie dans

[BGS]

ou

[PI] :

en

particulier,

la hauteur de

IPK

est le nombre de Stoll

noté ici Si. On a alors l’énoncé suivant du théorème du

produit.

Théorème 1.1.

_{Soient K,}

_{m, n} comme ci-dessus e Soient

P E B non nul de

multidegré 8, a

_2::

0, ~

&#x3E; 0 et Z une

_composante

irréductible de et Si l’on suppose

où

_Zi

est un sous-schéma

fermé intègre

de

pni .

De

plus

si l’on note N le

nombre de

_composantes

irréductibles de ce

_{produit Zl}

x ... x et

et,

pour tout i tel que

On comparera avec

[Fa,

th. 3.1 et

_{3.3], [E,}

th. 1 et

_2]

et

_[Fe,

th.

_7.2].

Quantitativement

on a

_supprimé

un facteur

(codimZ)!

_par

_rapport

à cette

dernière référence

_(dans

la condition sur 8 et dans

_p).

Dans l’estimation des

_hauteurs,

on donne une

_majoration

de

_chaque

h(Zi)

_plutôt

_que d’une

combinaison linéaire. On notera aussi que notre hauteur de P diffère de

celle

_employée

_par

_[E]

et

_[Fe]

_qui

utilisent une norme

quadratique

aux

places

à l’infini.

_Cependant,

si

_h2(P)

est cette seconde

_hauteur,

on a bien sûr

h(P)

h2(P),

ce

_qui

rend notre

_majoration

_légèrement

meilleure

_(pour

la formule de hauteur dans

_[Fe]

voir la _remarque avant la démonstration de la

_{proposition 3.2,}

_paragraphe

5

_ci-après).

Une autre différence

_{(de présentation)}

est que les textes cités font

ap-paraître

plutôt,

sous la forme

[L : K]

où L est une extension

_adéquate,

le nombre N’ de

_composantes

irréductibles de Z x

K.

L’une

_quelconque

d’entr’elles est alors un

_produit

Zi

x ... x

Z£

et le lien avec notre énoncé

est donné par

d(Zm)

=

N’d(Zi) ~ ~ ~

d(Z£ )

(car

ces deux

quan-tités

_{s’interprètent}

comme le

_degré

de

Z) ;

on sait

également

_que

Zi

est une

composante

irréductible de

_{Zi x K}

_(voir

aussi la fin du

_paragraphe

_3).

De manière

_classique,

on déduit du théorème un

_premier

corollaire.

Corollaire 1.1. Soient

_K,

_m, n et 8 comme ci-dessus

puis e

&#x3E; 0. On

suppose

/ 1 l’B.

pour 1 i m. Alors _pour tout P E B de

_multidegré

ô et toute

_composante

irréductible W de il existe un

produit

Z de la

forme

est un sous-schéma

fermé intègre

de

]P~.

De

plus,

si N est le nombre

et,

pour tout i tel que

1P~,

On _comparera avec

[E, corollaire]

_qui

donne

[P3,

th.

_2]

_qui

a la même condition

qu’ici

_pour ô mais

(InI2/é)codimZ

au

lieu de

_p(é/lnl,

_Z).

Cette amélioration est due à

_l’usage

des

_degrés

_(et

hauteurs)

multiprojectives

de manière

_séparée

_par

_opposition

à leur

com-binaison linéaire

_qu’est

le

_polynôme

de Hilbert.

Voici maintenant un second corollaire où la condition

pour ô

est encore

moins restrictive.

Corollaire 1.2. Soient

_K,

m, n et 6 comme

précédemment

_puis

0 e

m(log(lnl

+

1)/2InI2)lnl.

On _suppose

pour 1 i m. Alors _pour tout P E B de

_{multidegré 8}

et toute

_composante

irréductible W de existe un

_produit

Z de la

_forme

où

Zi

est un sous-schéma

fermé intègre

de De

plus,

si N est le nombre de

_composantes

irréductibles de

_Z,

on a les

_inégalités

et,

pour tout i tel que ,

Dans cette

_version,

les

_majorations

de

_degré

et hauteur sont

éventuelle-ment moins bonnes

_lorsque

codimZ est

_{petit. Ainsi,}

selon les

_{applications,}

s’il est crucial de

_garder

codimZ dans les

_estimations,

le corollaire

_précédent

peut

être

_plus

_{utile ; si,}

en

_revanche,

c’est la condition sur 5

_{qui importe}

le

plus

ou si on ne

_peut

_que

majorer

codimZ _par

Inj,

on

_emploiera

ce second

2. Déduction des corollaires

On introduit une fonction de kEN

(m &#x3E;

2 est fixé comme

ci-dessus)

On constate bien sûr

(l’inégalité

est stricte si

_0).

Mais on vérifie _que l’on a en fait

(pour

ce faire on montre _que si a E N et 0 l m on a

0(am

+

₁₎

=

(am

_{+ +}

1)-i ;

_on établit ensuite la

majoration

par

récurrence sur a si 1 = 0

_puis

par récurrence sur 1 si a est

_fixé).

On a alors un énoncé

_légèrement

_plus

fin _que le théorème.

Proposition

2.1. L’énoncé du théorème 1.1 reste vrai si l’on

_{remplace la}

condition sur 8 _par

pour

Bien entendu on se contentera d’établir cette

_{proposition qui}

entraîne le théorème. C’est

_l’objet

des

_parties

suivantes mais on

_peut

d’ores et

_déjà

donner la

Démonstration des corollaires. Dans les deux cas on choisit une certaine

suite de réels

de sorte _que

On fixe ensuite des

_composantes

irréductibles

_Wi

de de

_façon

à ce _que

Si les inclusions sont strictes

_jusqu’à

_Wk

on a

codimwk

Jk. Comme

codimWo = 1,

il existe k &#x3E; 1 avec et

_{Wk = Wk-1.}

On

peut

donc

_appliquer

la

_proposition

2.1 avec

Wk ,

_Ok-1,

remplaçant

Z,

or, £.

Pour le corollaire

_1.1,

on _pose ak = _et l’énoncé découle du

théo-rème. Le corollaire 1.2 découlera de la

_proposition

si l’on _{montre que} l’on

On veut &#x3E;

(ê/m)lnl/k1fJ(k)l/k

pour tout 1 k

Ini.

Un tel

choix est

_possible

si et seulement si

1-1 ..

On

_majore

par et

mk

si k

_Inl.

Le membre de

_gauche

de

_{l’inégalité précédente}

est donc

_majoré

_par 6’ fois

Il reste à constater _que

comme on le voit en

majorant

le facteur

3. Résultats auxiliaires

Dans ce

_paragraphe,

nous donnons les énoncés intermédiaires sur

lesquels

repose la démonstration et nous montrons comment le théorème du

_produit

s’en déduit. Pour les deux

_premiers

résultats on utilise

(comme

[P2])

la

notion de

_{multiplicité,}

notée

_ej(M),

définie dans

_{[Bk, §7].}

On _{y note}

_ht(p)

la hauteur

_{(algébrique)}

d’un idéal

_premier

p, c’est-à-dire la

longueur

d’une chaîne maximale d’idéaux

_premiers

contenus _{dans p.}

Proposition

3.1. Soient I un idéal

multihomogène

de

B, p

un

_premier

minimal contenant I etc &#x3E; 0. On _{suppose que pour} P E I E x

... _x

Alors

où pi est la trace

_{de p}

dans J

Cette

_proposition

_s’inspire

de

_[P2,

lemme

_7]

et est à

_rapprocher

de

_[E,

lemme

_{10] (où}

la

_longueur

est

_utilisée).

Toutefois contrairement à ces

références on ne _{suppose pas}

que K

est

_{algébriquement}

clos. On a ensuite un lemme

_d’algèbre

commutative.

Lemme 3.1. Soient A un anneau

noethérien,

I un idéal de

A, p

un

premier

de A contenant I et d =

ht(p).

Si _{xl, ... ,} Xd sont des éléments de I on a

Pour le résultat

_ci-après,

on

_{note Ek}

le k-ème vecteur de la base

_canonique

de Em. On dit

_qu’un

idéal

_{premier p}

de B est

_pertinent

si pour tout k il existe un monôme de

_{degré -Ek}

dans

B B

_{p. La hauteur d’une famille finie}

de

_{polynômes désigne}

celle de la famille de tous leurs coefficients. Enfin

on utilise les hauteurs et

degrés multiprojectifs

d’un idéal comme définis

dans

_[R,

_chap.

_{7] (on}

_distinguera

la hauteur

_algébrique

_{ht ( -)}

des hauteurs

arithmétiques

ha ( . ) ) .

Proposition

3.2. Soit I un idéal

multihomogène

de B

_engendré

_par une

famille finie

7Z

_formée

d’éléments de

_multidegré

au

plus

6.

Si p

est un

premier

minimal

_pertinent

contenant I et d =

ht (p),

il existe

Pl,

... , Pd

_E I

de sorte que si a E

lai

= d

’JI

tandis _que si (

avec

_ho

=

h(R)

-f- 2

log

~~~d-1

₊

1J1i1

et la convention _que

1/(-1)!

= 0.

Voici maintenant comment ces résultats se combinent en la

Démonstration de la

_proposition

,~.1. On note

_lu

l’idéal de B

_engendré

_par

les

8(/1,)

P pour

2::1

~~ Z o

â

~ et de même

I,+,.

Si p

est l’idéal

premier

multihomogène

associé à

_Z,

_{l’hypothèse}

_{entraîne que p} est un

_premier

mini-mal aussi bien de

_I,

_que de Si maintenant vérifie

_2::1

on a clairement

8(/1,)(Iu)

C C _p. Par suite les

_hypothèses

de la

propo-sition 3.1 sont satisfaites

_(avec

I = Par

ailleurs, I,

est

engendré

par la

famille R des

_polynômes

_{multihomogènes}

_qui

sont de

_multidegrés

au

plus deg

P = ô _et

h(P)

_-f-

181

log

2. On emboîte alors _nos résultats

Si l’on

_{pose p2 = p}

f1

_]

_{puis cei =}

_ht(p’)

alors

0 : cela résulte de l’assertion 3 du théorème 2.2 de

_[R,

_chap.

_5]

sur le

_polynôme

de Hilbert-Samuel

(généralisée

à un nombre

_quelconque

de

parties

et

_appliquée

_{avec {1} G {1,2}}

C - - -

_{C 11, ... , m}).}

Par suite

,,- ..L

ce

_qui

se réécrit

Comme _{p D} on a

ht(p) &#x3E;

Si l’une de ces

inégalités

(disons

pour i =

io)

est stricte le membre de droite est minoré

par -, . ~- ~, ,

ce

_qui

est absurde. Ainsi on a

ht(p)

= ₊

ht(p~)

pour 2 i ~ m donc

p est un

_premier

minimal de

(~Z, ~Z ) .

Ceci entraîne que p est un

_premier

minimal de l’idéal

_engendré

par les

idéaux p

n

] (1 ~

i

m)

et donc _que Z est

_composante

irréductible du

_produit

des sous-schémas fermés

_intègres

_Zj

_qu’ils

définissent. Par suite l’élément cx considéré est

donné _par ai = n2 -

dim Zj et

l’on a x ... x

Zm)

= Ainsi _{on trouve} bien

Si maintenant a’ = _{a - Ek on a}

(voir

corollaire 2.1 de

[R,

chap.

7])

En

_reportant

dans la

_majoration

donnée

_plus

haut on

_peut

simplifier

_par

bat

pour obtenir

(si

codimzk 7É

0)

B 4-1 /

La conclusion s’en déduit en minorant 0.

’ ’

D

On a utilisé le fait _{que toutes} les

_composantes

irréductibles de

Zi

x ... x

Zm

ont mêmes

_degrés

et hauteurs. En

_effet,

_pour une clôture

algébrique

K,

chaque Zi x K

a des

_composantes

irréductibles

conjuguées

sous

Gal(K/K)

(donc

de mêmes

_degré

et

_{hauteur) ;}

cela donne l’assertion pour les

regroupant

les différentes orbites sous l’action de

Gal(K/K)

qui

ont toutes

même cardinal.

Comme le cardinal d’une telle orbite est au moins

égal

au nombre de

composantes

irréductibles de

Zi

x

K,

ceci prouve que pour tout i on a

Par

_conséquent,

la

_proposition

_(et

donc le théorème et les

_corollaires)

donne des

_majorations

de et

_8ih(Zi).

4.

_{Multiplicités}

Dans

_[P2]

le lemme 7 est établi en recourant à des localisés en les idéaux

maximaux

_{contenant p}

dont les _corps résiduels sont tous

_isomorphes

à K car

celui-ci est

_{supposé algébriquement}

clos. Nous suivons une méthode voisine

mais travaillons seulement dans le localisé

_Bp

et ses

analogues

Démonstration de la

_proposition

3.1. On note

_{Ai =}

_(Bi)Pi’

qi =

piai

et ki

= On _{a un}

diagramme

exact

d’espaces

vectoriels

sur ki

(qui

définit

_{MZ )}

Cela est

_conséquence

immédiate des suites _{exactes pour} les modules de différentielles

_(voir

par

exemple

[H, Il.8]).

Les dimensions des espaces

vec-toriels

_qui

_apparaissent

sont dans l’ordre

_{dim BZ+1,}

ht(pi),

dim Bj,

dim mj, dim Bj -

dim Bi+,

et

_{degtr(ki/ki+,).}

Cela résulte du fait

_{que Ai}

et

_A2+1

sont des anneaux locaux

réguliers,

_que

BZ

et sont des

_algèbres

de

_polynômes

et K C

_ki+l

des extensions de

_type

fini de _corps de

_{caractéristique}

0. Par

_suite,

on

_peut

_rajouter

les

six zéros

_qui

_manquent

dans le

_diagramme

et l’on obtient

Par ailleurs On

_peut

donc choisir des

éléments

_{Yht(Pi+1)+1,... , Yht(Pi)}

de

Mi

et des dérivations

_{o‘~t(~Z+1)+1, ... ,}

) de la forme de sorte que

~a ~~

si

En faisant ceci pour tout

i,

en relevant _Ya dans qi

puis,

à un

d =

ht(p))

avec

où

_8,

= étant

l’unique

entier tel _que

ht (Pia +1)

a

ht (Pia )

et

_{0 ja}

_{nia. En}

_particulier

les forment une base de

pBp/p2Bp

et

on a donc un

isomorphisme

Si P e B

_{et 1}

e

Nd,

_l’image

dans

kl

de

_{(9~ ’ ’ ’ ~)(P)}

est le

_produit

de c~ e

_1~1

_par le coefficient de

_{QI1 ...}

_QJd

de

_l’image

de P _par

_{l’isomorphisme}

ci-dessus.

_{L’hypothèse}

de l’énoncé

_implique

alors _que

_{l Êp}

est contenu dans l’idéal J de

_Êp

_engendré

_par les monômes

Si l’on note

_Conv(E)

_{l’enveloppe}

convexe d’un ensemble

_E,

il résulte de

l’exercice _{2 page} 103 de

_{[Bk, §7]}

que

, , . , ,

Or l’ensemble dont le volume

_apparaît

contient

dont le volume est

Par le corollaire du n°2 et la _{remarque 1} du n° 1 de

_{[Bk, §7]}

et par définition

des

_ia

on a

LJ

Le lemme 3.1

permet

de revenir à un calcul de

longueur, adapté

aux

ques-tions de

_degrés

et

_hauteurs,

mais évite le recours aux éléments

_superficiels

Démonstration du lemme 3.1. On note J =

(x1, ... , xd).

Si

Ap/JAp

n’est

pas de

longueur finie,

il

n’y

a rien à faire. Dans le cas

contraire,

est

_également

de

_longueur

finie et l’on a

car J C I

_(remarque

1 de

_[Bk,

_§7,

_Puisque

_Ap/JAp

est de

_longueur

finie,

sa dimension comme

Ap-module

est

_{nulle ;}

on

_peut

donc écrire

dimAp(ApjJAp)

= d _et le théorème

1,

b)

de

[Bk,

§7,

n’5]

donne

Enfin on a

par la remarque 2 de

[Bk,

§7,

ce

_qui

conclut la démonstration. 0

5.

_{Interpolation}

Au cours de la démonstration de la

_proposition

3.2 on utilise l’estimation

élémentaire suivante.

Lemme 5.1. Soient K un _corps de

_{caractéristique}

nulle,

des entiers _n, s E

IN et

_{Vl, ... , Ys}

des _sous-espaces

_affines

stricts de Kn. Il existe x E N’ C

Kn tel _que

Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. Si n = 0 il

n’y

_a rien à

faire

_(on

a s =

0).

Supposons

désormais n &#x3E; 1 _{et notons el, ... ,} en la base

canonique

de Kn. On

_désigne

_{ensuite par} xn E N le

plus

petit

entier tel que

n’est _pas l’un des

_{Y .}

Par est un _sous-espace

strict de xnen +

en

pour tout t et il y a au

plus s - xn

tels indices _pour

lesquels

cet _espace est non vide. On identifie

en

à

Kn-1

et _par

_{l’hypothèse}

de récurrence il existe

_{(xi, ... ,}

_Xn-1)

E avec et

xnen +

_{(xi, · - ·}

en ) ~

ce

_qui

conclut. 0

L’obtention de

_{Pi , ... , Pd}

avec la condition sur le

degré

est

classique

(voir

la fin du lemme 5 de

_{[P2] ;}

notre démonstration

_s’inspire

aussi de

[Br]).

Pour les

_hauteurs,

la remarque de

[P2, §2]

évoque

un tel résultat

sans donner de détails. Notre énoncé est semblable à

_[Fe,

_prop.

_6.3]

dont la

démonstration semble

_incomplète

_(avec

les notations

_attenantes,

le résultat n’est _pas valable

_lorsque

N -

_{A e}

Nm

_(tout

_1~)

_et, à cause du

_procédé

de

_récurrence,

on n’obtient _pas la formule

annoncée,

même _pour les autres

indices,

si k &#x3E;

_2).

_Ici,

nous nous _appuyons sur la formule d’intersection de

Démonstration de la

_proposition

3.2. On _{remarque que}

(lorsque

le membre de

_gauche

est

_fini)

et de même _pour la hauteur. Par

conséquent

il va nous suffire de construire les

_{Pl, ... , Pd}

_par récurrence de

sorte _que

_Ji

=

( Pl , ... ,

fl B soit _pur de hauteur i _et vérifie

utilisé ici

est,

comme dans

[R,

chap.

5],

l’application

x

_{Qm --,}

QNI

définie _par

_{(ô *}

_{1~)a -}

_kl8a+êl

_{pour a} E lNm.

_{Si i = 0 on a Jo - 0}

et les assertions sont vérifiées en vertu des formules _pour la hauteur de P

(voir

[R,

chap.

7]).

Supposons

0 i d et

_Ji

construit avec ces

_{propriétés.}

On note

_{_ ~ p 1, ... ,}

Par définit ion de

_Ji

_{on a qt C p ; par}

pureté,

ht(qt) -

i d =

ht(p)

donc

p. Par suite on ne

_peut

avoir

I C _{qt C p par minimalité de p.} Pour

_{chaque R}

E IZ on choisit un monôme

mR de

degré

8 -

deg R

n’appartenant

pas à p. Ainsi le

K-espace

vectoriel

engendré

par les

m.RR

n’est inclus dans aucun _qt. Par le lemme

précédent

il existe a E

Nn

de _{sorte que}

- - _ - _ .

-Le

_polynôme

ainsi défini est de

_multidegré

6. Comme il n’est pas

diviseur de zéro dans

_BIJI,

l’idéal

_{(Ji, PZ+1)}

_{C p} est de hauteur i + 1 et il

en va donc de même de =

(Ji,

f1 B.

Puisque

_ce dernier s’écrit

JZ+1 -

(Pl, - .. ,

f1 B il _{est pur.} Il reste à montrer les

_majorations

de

_degré

et hauteur _pour Par ce

_qui

_précède,

on _{a, pour tout}

premier

r minimal contenant

_{(Ji, Pi+1 ),}

la formule

Ceci

_permet

d’écrire

et la même formule où

_deg

est

_remplacé

_par

_hn-a

_{(pour lai 1}

=

i).

En

vertu du théorème d’intersection 3.1 de

_[R,

_chap.

_7]

on a

On en déduit d’abord _pour les

_degrés

qui

est la

_majoration

_{désirée ;}

_pour les

_hauteurs,

on a m

(où

la

_majoration

du

_degré

est valable même si

_{a ft}

_grâce

à notre

convention pour

(-1)!).

En vertu de

et du résultat semblable avec a _{+ êl} on trouve

Pour conclure il reste à

_majorer

Par définition de

_ha

on a

où

_M8

_désigne

l’ensemble des monômes de

_degré

ô

_(voir

_[R,

_chap.

_7]).

On

_peut

_majorer

_¿mEM6

(:J -1

_(voir

le lemme

_ci-après).

Ensuite

s car _pour

chaque t

il existe a avec 0

(et

l’on utilise encore la formule des

longueurs).

Donc

ce

qui

montre

_h(R)

+ i

_log

₁₆₁

+

_puis

_ih(j)

+

_hm(Pi+l)

(i

+ ce

_qui

_permet

de conclure. D

Ci-dessus on a fait _usage de

l’inégalité

suivante.

Lemme 5.2. Si

_{d, n}

E N on a

Démonstration. On note

_{f (n,}

_d)

la somme de l’énoncé

_puis

_{g(n, d)}

la somme

semblable limitée aux a E

_{(N B}

Un

_argument

combinatoire direct

montre que

Par

_ailleurs,

on a assez facilement la formule de récurrence

pour d &#x3E;

0 et n &#x3E; 0

_(avec

la convention _que

_{g(-l, d)}

=

0).

On _en déduit

l’étude de la suite

_{g(n, d)}

_{pour n} fixé

_qui

donne

(pour n &#x3E;

0 et d &#x3E;

_0).

Par

_conséquent

, 1 1 ,

Le

_plus

_grand

terme de la somme est obtenu _pour un indice k vérifiant

Vii -

3 1~ Par la formule de

_Stirling,

ce terme est

_majoré

_par

(C

est une constante

_absolue).

Si l’on

_majore

les termes d’indices ~

_2fl

_{par cette} borne et les _{autres par} la valeur atteinte _pour le

_plus

petit

entier k

_supérieur

à

_2y’ii

_(qui,

à nouveau _par la formule de

_Stirling,

est inférieure à

C e4(1-1og 2) )

on obtient

est 1 erleure a

’’ on 0 tIent

En rafhnant

_légèrement

les estimations et

_quitte

à faire des vérifications

numériques

pour les

petites

valeurs de n, on _{trouve que} l’on

_peut

choisir

D

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Institut Fourier - UMR 5582 Université Grenoble I

BP 74

38402 Saint-Martin-d’Hères Cedex France