��� CONNEXITÉ. EXEMPLES ET APPLICATIONS.
SoientEetFdes espaces topologiques.
I. Espaces et parties connexes
[Gou��, §�.�, p��]I. A. Notion de connexité
Espace connexe, caractérisation par les parties ouvertes et fermées deE, exemples deR, d’un intervalle, contre-exemple d’un segment privé d’un point
Parties connexes, contre-exemple deQ,R\Q Image d’un connexe par une application continue
Image d’une partie connexe par une application continue à valeurs dans{0,1} Application aux intervalles deR,Rn’est pas homéomorphe àR2
I. B. Propriétés topologiques
[Gou��, §�.�, p��] [FGN��, §�.��, p��]Suites dans un compact et connexité :
P�����������. Soit(E, d)un espace métrique compact et(un)nœN œ ENtelle que d(un, un+1)≠ænæ+Œ0.
Alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de(un)nœNœENest connexe.
A�����������. [����� �� �� ����������]
Soitf : [0,1]≠æ[0,1]une fonction continue et(xn)nœNœ[0,1]Ndéfinie parx0œ[0,1]et xn+1=f(xn)pournœN.
Alors(xn)nœNconverge si et seulement silimnæ+Œxn+1≠xn= 0.
SiAµB µAavecAconnexe, alorsBest connexe L’adhérence d’une partie connexe est connexe
Une union de connexes d’intersection non vide est connexe Pour l’intersection, c’est fauxæcontre-exemple surR2 Produit de connexes
I. C. Composantes connexes
Composante connexe, exemples, décomposition deEen composantes connexesædès que l’on a une décomposition en fermés/ouverts connexes disjoints
I. D. Connexité par arcs
Connexité par arcs, qui implique la connexité
La réciproque est fausse en général, contre-exemples classiques Segment, connexité par lignes brisées
Un convexe est connexe par arcs
Si est ouvert, on a équivalence entre connexe et connexe par lignes brisées
II. Applications en analyse
II. A. Fonctions à valeurs réelles
[Gou��, §�.�, p��] [FGN��, §�.��, p���]SoitIun intervalle réel.
Théorème des valeurs intermédiaires, théorème deD������
T��������. [�������� ��S���]
Soitf :R≠æRune fonction de classeC1etCl’ensemble des zéros defÕ. Alorsf(C)est de mesure nulle.
SiU µEconnexe est tel quedf(a) = 0pour toutaœU, alorsfest constante surU Connexité d’une boule en toute dimension finie
Théorème deC�����-L��������: unicité de la solution maximale
II. B. Analyse complexe
[Tau��, Ch�/�, p��/��] [Rud��, Ch��, p���]Lemme : un ouvert deCest connexe si et seulement si il est connexe par arcs
Arcs, chemins, intégrales le long d’un chemin, exemples dez‘≠æz,z‘≠æz,z‘≠æz≠1 fcontinue admet une primitive sur si et seulement si pour tout chemin fermé,s
“f(z)dz= 0 Formule deC������sur un connexe :s
“f(z)dz= 0
Lemme de l’indice, fonction constante sur chaque composantes connexe, exemple (en annexe) Formule deC������, exemples
C����������. Une fonction holomorphe est analytique. Plus précisément siD(z0, R)µU etfest holomorphe surUalorsfest développable en série entière surD(z0, R)et on a pour tout chemin“d’indice�enz0:
’nœN,f(n)(z0) n! = 1
2ifi
⁄
“
f(s) (s≠z0)n+1ds En particulierfestCŒ
Chemins homotopes, espaces simplement connexes, l’intégrale sur deux chemins homotopes d’une fonction holomorphe entre les deux chemins est la même.
fholomorphe est constante ssifest nulle sur un voisinage d’un point ssifn(z) = 0pour tout npour unzœ
Principe du maximum, application au théorème de�’A�������-G����, principe des zéros iso- lés, prolongement holomorphe, application à la fonction , aux polynômes orthogonaux
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
Agrégation – Leçons ���– Connexité. Exemples et applications.
Théorème des résidus, exemples d’intégrales
III. Connexité des espaces de matrices
[Rom��, §��.�/��.�, p���/���] [CG��]
Connexité par arcs donc connexité deGLn(C), mais pas deGLn(R)qui a deux composantes connexes, tout commeOn(R)
Connexité de la sphère
Application : isomorphisme des quaternions Connexité deSn(R), deSn+(R), deSn++(R) PourAœ Mn(C),exp(CA)est connexe par arcs
������
Dessins de composantes connexes, d’ensemble connexes ou non ...
Ensembles connexes non connexes par arcs.
���������
Q Soit E un espace vectoriel normé de dimension supérieure ou égale à 2. SE = {xœE|ÎxÎ= 1}est-il connexe?
R Soientx, y œ SE. Regardons le chemint ‘≠æ Îty+(1≠t)xÎty+(1≠t)x lorsque le segment[x, y]ne contient par0. C’est bien un chemin reliant les deux points dansSE. Six=≠yalors puisque dim(E)Ø2on peut prendrez œSEtel quezetxsont libres, et alors on relie par ce qui précèdexàzpuiszày.
Q SoitEun espace vectoriel normé.A µ Evérifie la propriété du point fixe si toute fonc- tion continue deAdansAadmet un point fixe. Étudier le lien entre cette propriété et la connexité.
R La connexité n’implique pas la propriété. Cependant si la propriété est vraie, l’ensemble est connexe. Raisonnons par contraposée.
SiAn’est pas connexe, écrivonsA=O1fiO2avecO1flO2=?. Posonsf(O1) =a2œO2et f(O2) =a1œO1:fest continue et n’a pas de point fixe. DoncAne vérifie pas la propriété.
�������������
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�èmeédition,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
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[Rud��] W.R����:Analyse réelle et complexe. Dunod,�èmeédition,����.
[Tau��] P.T�����:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���
