DS5 : Mécanique – Autour du vélo – corrigé

TSI1 – Physique-chimie DS5 : Mécanique – Autour du vélo – corrigé – 09/03/2019

DS5 : Mécanique – Autour du vélo – corrigé

I – Sans les frottements de l’air

1. On ne peut pas négliger les frottements entre les roues du vélo et la route car s’il n’y avait pas de frottements le vélo ne pourrait pas avancer sur la route (il déraperait).

2.

F~1

R~

P~

~e_x

~ ez

3. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel un objet qui n’est soumis à aucune force est soit immobile, soit en translation rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre a son origine au centre de la Terre et trois axes orientés vers des points fixes à la surface de la Terre.

4. Dans le repère(0, ~ex, ~ez), l’accélération du cycliste s’exprime comme~a = m(¨x~ex+ ¨z~ez). Or, on sait que la route est horizontale et donc quez(t) =constante doncz¨= 0. On a alors~a= ¨x~ex. On applique le PFD au cycliste, et on obtient m~a=m¨x~e_x=P~ +R~ +F~₁. En projetant sur~e_xon obtientx¨=F₁/m.

5. En intégrant l’équation précédente, on obtientx(t) =˙ ^F_m¹tetd(t) = _2m^F1t².

6. On av(t) =at. Le temps mis pour atteindre la vitesseV estt=V /a. On obtientt= 12 s. La distance parcourue pendant la phase d’accélération estd= 78 m

7. Comme le cycliste ne freine pas et ne pédale pas, la composante tangentielle de la force exercée par la route sur le cycliste est forcément nulle. (Il faut aussi négliger les frottements au niveau des axes des roues, et la résistance des roues au roulement)

8.

α

~ex

~ e_z

P~ R~

9. On projetteP~ etR~ sur~exet~ezet on applique le PFD pour obtenir finalement~a=gsin(α)~ex.

10. On intègre à nouveau deux fois l’équation précédente et on obtientv(t) =gsin(α)tetd(t) =¹₂gsin(α)t². 11. Le temps mis par le cycliste pour parcourir une distancedestt =q

2d

gsin(α). On fait l’application numérique avec les donnée du problème et on trouvet≈108 s. La vitesse atteinte en bas de la pente est :v=gsin(α)t≈184 m/s

12. On dit que le cycliste monte a vitesse constante, donc son accélération est nulle et d’après le PFD, la somme des forces appliquées est nulle.

α

~ex

~ ez

P~ R~ F~₂

13. La projection des forces précédentes sur l’axe~exdonne le résultat attendu.

14. La puissancepfournie par la forceF~2estp=F~2·~v0=F2v0=mgsin(α)v0. Avec les données numériques fournies, on trouve une puissancep≈380 Wce qui correspond à la valeur donnée par l’énoncé.

2018–2019 page 1/2

TSI1 – Physique-chimie DS5 : Mécanique – Autour du vélo – corrigé – 09/03/2019

II – Avec les frottements de l’air

15. kest enN m⁻²s²

16. La somme des forces appliquées au cycliste est nulle car sa vitesse est constante.

F~₁ R~

P~

f~ ~ex

~ e_z

17. La puissancepfournie par le cycliste estp=F~₁·~v₀=F₁v₀. Or comme la somme des forces appliquées au cycliste est nulle, on akF₁k = kfk = kv₀². On a doncp = kv₀³. En utilisant les données de l’énoncé, on trouve une valeur dek compatible avec ce qui est donnée.

18. On ajoute aux forces de la question 8 la force de frottement fluidef~opposée à la vitesse.

19. On applique le PFD, que l’on projette sur l’axe~exet on obtient l’équation différentielle suivante : mdv

dt =mgsin(α)−kv²

20. Lorsque la vitesse du cycliste est nulle, la force de frottement est nulle et son accélération est positive. Lorsque sa vitesse augmente, la force de frottement augmente et l’accélération diminue (la vitesse augmente moins vite). Lorsque la force de frottement est suffisamment grande, l’accélération est nulle et la vitesse du cycliste est constante. Dans ces conditions on aura :

dv

dt = 0 =mgsin(α)−kv_lim² soit v_lim=

rmgsin(α) k

21. Avec les valeurs numériques données dans l’énoncé, on trouvev_lim≈26 m/ssoit environ94 km/h

22. Si le cycliste pédale dans la descente il fournit produit une forceF~ supplémentaire de puissancep = F v_limavecp ≈ 400 W. On trouve la vitesse limite atteinte en écrivant que la puissance totale des forces appliquées au cycliste est nulle, c’est à dire :

p+mgsin(α)v_lim−kv_lim³ = 0

dont la résolution numérique donnev_lim ≈27,5 m/s. Ce qui n’est pas franchement différent de la valeur atteinte sans pédaler.

23. Lorsqueα= 90° le cycliste est en chute libre. Dans ces conditions, la vitesse limite vaut :v_lim≈63 m/s

III – Cyclisme acrobatiqe

Le cycliste est placé dans la situation (délicate) représentée ci-dessous. Il se trouve dans une descente où il a atteint sa vitesse limitev0et s’apprête à s’engager sur un tremplin formant un angleθ= 45° avec l’horizontale. On suppose que le cycliste quitte le tremplin au pointOavec sa vitessev₀.On néglige les frottements de l’airà partir du moment où le cycliste a quitté le tremplin.

α O

d

~e_x

~ez ~v0

θ

24. Lorsque le cycliste a quitté le tremplin, la seule force qu’il subit est son poidsP~.

25. On applique le PFD, on trouve alors que~a=~g=−g~e_z = ¨x~e_x+ ¨z~e_z. En intégrant deux fois cette équation et en tenant compte de la vitesse initiale, on trouve :

(x(t) =v₀cos(θ)t z(t) =v0sin(θ)t−¹₂gt²

26. On cherche la positionxà laquelle le cycliste touche à nouveau le sol. On commence par résoudrez(t_f) = 0pour trouver le temps auquel il retombe, on trouvet_f = ^2v0sin(θ)_g que l’on injecte dans l’expression dex(t)et on obtient finalement d=x(tf) = ^2v20sin(θ) cos(θ))

g = ^v20sin(2θ)_g .

27. Avecv0= 100 km/h = 28 m/s, on trouved= 79 m.

2018–2019 page 2/2