R ENDICONTI
del
S EMINARIO M ATEMATICO
della
U NIVERSITÀ DI P ADOVA
G UIDO Z APPA
Caratterizzazione delle curve di diramazione delle rigate e spezzamento di queste in sistemi di piani
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 13 (1942), p. 41-56
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ZIONE DELLE RIGATE E SPEZZAMENTO DI QUESTE
IN SISTEMI DI PIANI
Nota di GUIDO ZAPPA
(a
In una mia recente Memoria
(1),
ho dimostratoche,
datanna
rigata al-ebrica
a moduligeiierali,
èpossibile
trovarneun’ altra,
birazionalmenteequivalente
ad essa, suscettibile di tendere con continuità ad unarigata spezzata
inquadriche
di-stinte,
in modo che stl ciascunaquadrica
non cadano maipi i
di i tre rette di
connessione,
ossia mai ipiù
di trequadriche
pas- sinopel
medesimopunto.
Ho invece lasciato in sospeso laqnestiono,
se fra lerigate
biraziona menteequivalenti
ad unadata,
ve ne siano diquelle
che si possano far tendere con con- tinuità arigate spezzate
inpiani distinti,
in modo che niaipiù
di
quattro piani passino pel
medesimopunto,
non senza avereosservato
ctle,
se il genere dellarigata-
èmaggiore
di1,
non sipuò esigere
per larigata-
limite schema di connessionepi i
sem-plice
di iq l1esto.
Allo scopo di
rispondere
aquesta domanda,
nelle sue le-%lolll di Seminario presso il Reale Istituto Nazionale di Alta
Matematica,
1’ Ecc. llasuggerito
di studiare la natura della curve di diramazione di nnarigata,
e di dedurre la pos- sibilità di fardegeiieiaie
unarigata
inpiani
distinti nel modo(1) delle superficie
cclyebozelae
in .gi,tPrui dicon allo stit(lio delle
rigate.
Aleniorie della Reale Ac- cademia d’ Italia.da noi voluto mediaiita
spezzameoto
della di diramazione in rette(~) .
Ho visto a tal
proposito
che ilproblema
di caratterizzare la curva di diramazione di unarigata (non sviliippabile) (3)
si ~riduce per dualità a
quello
di studiare la sezionepiana
di unarigata (non sviluppabile),
cosa che faccionel §
1 diquesto
lavoro.Dimostro
che la sezionepiana
d’unarigata
di~S’3
èproiezione
di una curva
appartenente
ad unaquadrica
di85
da un8, giacente
sullaquadrica stessa,
e viceversa. Dòpoi
aquesta
condizione necessaria e sufficiente un altroaspetto;
eprecisa- -
mènte provo che una curva
piana
d’ordine ii è sezionepiana,
di una
rigata algebrica
allora e soltanto allora che su di essac’ è una serie
algebrica
d’ ordine ~, contenente la serie delle sezionirettilinee,
egodente
di alcuneparticolari proprietà (nn.
5, 6).
Deduco inoltre cheogni
curvapriva
dicuspidi,
d’ordine,n e genere p, è sezione
piana
d’ uuarigata (non sviluppabile)
-d i
~S’3 ,
d’ ordi ne n e genere p.Nel §
2 si trasformano per dualità iprecedenti risultati,
sboccando cos nella caratterizzazione
proiettiva
della curva didiramazione
di unarigata,
e dimostrando che se~~Sp-~-2,
una curva
piana
di classe n e genere ppriva
di flessi è certa-mente curva di diramazione di una
rigata algebrica
d’ordine iioe genere p.
Infine, nel §
3 sirivolge
1’ attenzione alproblema
dellospezzamento’di
unarigata
inpiani,
e,applicando
i risultati~ottenuti sulle curve di
diramazione,
si dimostra che tra lerigate
birazionalmente
equivalenti
ad unadata,
ve ne sono diquelle
-che ammettono forme limiti
spezzate
inpiani,
in modo che duepiani (distinti
ocoincidenti)
si connettano secóndo unaretta,
e(2)
Cfr. laquestione
n. 116, nella rubrica «Problemi.. risultati e di- scussioni » dei «Rendiconti di Matematica e delle sueàpplicazioni »,
Serie-6,
vol.3, (1942),
pag. 64.Ringrazio
vivamente 1’ Ecc. SEVERI per i preziosi-consigli
che mi ha fornito nellosvolgimento
di questo studio.(3)
Come ha fatto notare SEVFRi nel porre laquestione
cfr. loc. cit.in
(~) ),
«per unasviluppabile,
che non sia un cono, la curva di diramazione é laproiezione
dellospigolo
di regresso. Viceversa è chiaro cheogni
curvapiana
irriducibile di classe n, nonnormale,
è curva di diramazione di unpiano n-plo proiezione
di unasviluppabile
di classeche mai su di un
piano
vengano a caderepiù
di tre rette di connessione(passanti necessariamente,
come risulta dalla mia Memoriacitata,
per un medesimopunto).
Di conseguenza, maipiù
diquattro piani
della forma limite vengono a passarepel
medesimo
punto,
di modo che otteniamo lospezzamento
dellaxigata
inpiani
connessi tra loro nel modopiù semplice possibile.
Si
potrebbe probabilmente
dimostrare senza difficoltà(p.
es.considerando la
rigata
diSa
comeproiezione
di unarigata
di84)
che ò
possibile
far s che ipiani
costituenti la forma limite -siano tutti distinti tra loro. Ma non ci siamooccupati
diquesto, poichè
ilprincipale
scopo dello studio dellospezzamento
dellesuperficie
inpiani
èquello
di determinare untipo maneggevole
di
riemanniana,
scopo cioè di naturatopologica ;
e, dalpunto
divista
topologico,
le forme limiti da noi trovate sonoequivalenti
a
quelle . che
si avrebbero nel caso dipiani
distinti.§
1. -Caratterizzazione delle
curvesezioni piane
di rigate
nonconiche dell’ S..
1. -
Sia R
unarigata
di,S’a ,
e sia C la sezione di I~ con unpiano generico
1t. Consideriamo laquadrica Q
diKLEIN,
dello
spazio
a 5din1ensioni,
i cuipunti rappresentano
le rettedell’ 83.
La
rigata I,
considerata come totalità dirette,
è rappre- sentatasu Q
da una curva C. Ilpiano
x, considerato anch’essocome totalità di
rette,
haper. immagine un 8" appartenente
aQ.
Si
può
stabilire unacorrispondenza
birazionale tra C ee,
facendo
corrispondere
ad unpunto
P di O ilpunto
P di Cche
rappresenta
lageneratrice
di Rpassante
per P. Detta C*la
proiezione
diC ,
dalpiano 1t
cherappresenta
le rette di 1r,,sopra un
82,
che diremo w,sghembo
con esso, e detto 1’* ilpunto proiezione
diP,
si ottiene una trasformazione birazionale--r tra C e
C*,
in cui a Pcorrisponde
P*.Vogliamo
dimostrareche t è una
omograf a.
A tale scopo consideriamo una retta
generica
1 di er, e iu-dichiamo con
Pi, P2 , ... , P,
ipunti
comuni ad 1 e C.Gli
omologhi, Pl , P~ , ... , P,,
diP~, ... , P»
in C sono le im-magini
dellegeneratrici
di Rpassanti
perP2, ... , P,,.
Lerette
appartenenti
alcomplesso
linearespeciale
di asse 1 hannoper
immagini
ipunti
del cono A intersezionedi Q coll’ iperpiano
ad essa
tangente
nelpunto
Limmagine
della rettal.
Il conocontiene il
piano ?cB
e ipunti Pi , I’, ... , P,2 , perchè
1 èincidente a tutte le rette di x e alle
generatrici
di R perP~, 2
Da ciò segue che ipunti P~, P2 , ... , P" apparten-
gono ad un medesimo
S, passante
per7t,
equindi
vengonoproiettati
da 7-C su w inpunti P~, P~* , ... , P,~,
allineati. E ciò basta per dire che lacorrispondenza
i tra C e C* è u ’omo-grafi a,.
-2. - ~Iostriamo ora che
Condizio ie necessaria e
sufficiente, affitichè
unaC sia sezione
piana
d’ 2cnarigata (non coniccc)
n dello
spaxio ordinario,
è che essa siapi’oiexione
di, croa Cli rrar!’ o1.dine ’1~
appartenente
adquadrica
di85,
da unalJpa1.tenente
allaquadrica
stessa.Che la condizione sia
necessaria,
discende subito dal n. prec.Diinostriamo che la condizione è sufficiente.
Sia C una curva
piana
d’ordine M,proiezione
di una curvaC,
del medesimoordine, appartenente
ad unaquadrica Q
di85"
da un
piano
?cappartenente
aQ.
Poichè lequadriche
di undato
spazio
son tutteproiettivamente i denti che, possiamo
pensareQ
come laquadrica
di KLEINrappresentatrice
delle rette di lltldato
Sg,
C CU113eimmagine
di unarigata R
diS3., i"
coine ini-magine
di unpiano x
di53.
Dal n. prec. segue allora che la varietàdegli 8s proiettanti
da 1t ipunti
di C èproiettivamente
identica alla sezione di er con
P ;
di conseguenza anche C è omog,ra- fica aquesta sezione,
dal chesegne
che la condizione è sufficiente.3. - Alla condizione del u. prec. si
può
anche dare un’al-tra forma. _
Sia C una curva
piana, proiezione
di una curva C delmedesimo
ordine, appartenente
ad unaquadrica Q
di~5,
da unpiano
mappartenente
aQ.
Se n èl’ ordine,
p il genere di Ce
C ,
e se i è 1’ indice dispecialità
della serie linearecompleta
contenente totalmente la serie delle sezioni rettilinee di
C,
si hache C è
proiezione
di una curvaC,
d’ ordine n,appartenente
ad con da Ù~~
Sr-6.
Ilpiano
w vienproiettato
dall’Sr-6
secondu uuSr-3,
dalquale
C vienproiettata
in
C;
e inoltre tanto 1’8,.,
che Cappartengono
ad una qua- dricadi’ S’,. speuializzata
r - 5volte,
avente per vertice1’ 5,. .
~’iceversa,
se ’ una curva Cappartiene
ad unaquadrica
diSr specializzata
r - 5volte,,
essa vienproiettata
dal vertice dellaquadrica,
entroiiii S, generico,
in una curva Cappartenente
ad una
quadrica
di85.
Da ciò si deduce che:Condixione
itecessai-ia esuficie?iie, affinchè
unapiana
d’ ol-dine n e genere p,proie’Xio1te
di una cui-va nOI-ntale dello stesso ordi.jce di linospax7o 8, (r
= n - p+ i),
sia seziotiepiana
di ccca(non
diS3 r
è che la nor.una
quudriea
diSr (,,gpecializzata
5p) passante pel
eeotro d~ip1-oiex’ione (r ~ 2).
4. - Giova a tal
punto
esaminare sottoqnali
condizioni larigata-
considerata nei nu. prec. è unasviluppabile.
Ricordiamo che due
punti
dellaquadrica
di KLEIN rappre- sentano due rette incidenti dell’S3
allora e solo allora che la retta che licongiunse appartiene
allaquadrica. Orbene,
le sv i-luppabili
sono caratterizzate dal fatto che duegeneratrici
intim-amente vicine sono incidenti.
Pertanto,
nnasviluppabile
>iappresentata
sullaquadrica
dida
una curva, le cui tan-enti appartengono
allaqt adrica. E
da ciò segue che la curv aC,
di cni al ~a.2,
è sezionepiane-
di unasv iluppabile,
se lasviltippabile bitaiigeiite
dellaappartiene
allaquadrica Q.
noti inoltre che se le
tangenti
alla curvaC,
di cui alappartengono
allaquadrica Q,
letangenti
alla curva C appar-tengono
allaquadrica
che si ottieneproiettando (~
dall’~5,.~ .
Inbase a ciò concludiamo :
La
riyata
coiisidei-ala al 1l.2, (3) è
una see soltanto se la
sviluppabile
delletangenti
alla cuw?aappai-tietie
allaquadrica
di(di
su cuiC (C~
si5. - Si
può
dare alla condizione necessaria e sufficiente’perchè
una curva siasezione piana
di unarigata algebrica
unaspetto diverso,
in modo da non far ricorso ad entiiperspaziali.
Si considerino le curve C e
C,
e laquadrica Q,
di cui ainn. 1 e 2 e
supponiamo
in unprimo tempo
che Cappartenga
all’
8~,
Alla serie delle sezioniiperpiane
di Ccorrisponde
snC una serie lineare
g5 ,
mentrealla
seriealgebrica
staccata suC
dagli iperpiani tangenti a Q corrisponde
su C una serie al-gebrica
contenuta nella e contenente la serie delle sezioni rettilinee.Essa, evidentemente,
è costituita dagruppi equivalenti.
Inoltre,
un fascio diipeFpiani
dell’ss
cuiappartiene Q
hain
generale
due e soltanto duepiani tangenti
aQ; quindi
lache
congiunge
duegruppi
.della1~
non ha altrigruppi
acomune con la in
generale. Segue
cheogni
serie lineare checontenga
tregruppi
della.ji,
ne contiene infiniti.Infine, gli iperpiani tangenti a Q passanti
per unpunto
I~
generico
di C costituiscono un cono diiperpiani specializzato,
contenente
quindi
infinite stelle diiperpiani.
Epertanto
lacostituita dai
gruppi
di checontengono
ilpunto
P di Comologo
di P contiene infinite serie lineariIn
sostanza,
esiste su C nna seriealgebrica 1,
nonlineare,
tale che
’
a)
La serie delle sezioni rettilinee di C è contenuta nella71 .
’b)
Igruppi
della~’‘n
sonoequivalenti.
c)
Una serie lineare d’ordine n, che abbia tregruppi
acomune con la
""~~’
ha infinitigruppi
a comune con essa.d)
La seriealgebrica ~3
costituita daigruppi
dellayt
chepassano per un
punto generico
P diC,
contiene infinite9",.
Viceversa,
se C è una curvapiana
d’ ordine n, chepossiede
llll 7n algebrica,
nonlineare,
soddisfacente alle condizionia), b),
c), d),
si ha che C è sezionepiana
d’unarigata algebrica (non
conica).
Ed
infatti,
in base allab),
la è contenuta in una serielineare
gn,
conr ~ è, perchè
la7’
non è lineare. Se facciamol’ immagine proiettiva
diquesta .9’,
otteniamo una curva G’ del-1’ S’,..
Aigruppi
dellacorrispondono
ingli iperpiani
diupa varietà
o04,
che siottengono,
in base allac), proiettando
da un
gli iperpiaiii
di unaquadrica inviluppo appartenente
ad un certo
~S5
contenuto inSr.
ProiettandoC
otteniamo una curva
C,
su cui la serieomologa
alla74 n
è stac-cata
dagl i iperpiani
itangenti
ad unaquadrica Q
dell’85.
Inbase alla
proprietà a),
’I C èproiezione
diC,
su un~5~,
da unS2 apparteneiite
aC.. In6ne,
in base allad), gli iperpiani
tan-genti a Q
epassanti
per unpunto
P di C formano un conodi
iperpiani specializzato,
epertanto P,
e di conseguenza tuttaC, appartieiie
aQ.
Dal teorema del n. 2 segue allora che C è sezionepiana
d’unarigata algebrica (non conica)
d’ordine n.Supponiamo
ora cheC,
anzichèappartenere all’ 85,
appar-tenga
ad unS,.
Allora C è una curvaappartenente
ad unaquadrica Q’,
intersezione diQ
con 1’84,
e C èproiezione
diC da una retta
appartenente
aQ’. Ragionando
in modoanalogo
a
quello
tenuto per il caso che Cappartenga
all’~85,
si dimostrache su C esiste
una y’
nonlineare, godente
diproprietà analoghe
alle
a), b), c)
di cui sopra, edinoltre,
inluogo
dellaproprietà d),
avente laproprietà seguente :
d’)
La seriealgebrica 7"
costituita daigruppi’
della7’
che passano per un
punto
P diC,
contiene infinitegn
formantiuu unico sistema continuo.
,
Viceversa,
con unragionamento analogo
aquello
fatto sopra si dimostrache,
se una curva Cpossiede una
nonlineare,.
che
goda
delleproprietà a) b), c), d’),
C èproiezione
di unael1rva C
appartenente
ad unaquadrica Q’
diS,,
da una rettaa’
appartenente
aQ’. Se Q
è unaquadrica
diun 85
che con-tiene
~’,
e À è uupiano
diQ,
che contieneÀ’,
C èproiezione
di C da
~,
e, per il teorema del n.2,
C è sezionepiana
di unarigata (non coi ic-,t)
di83.
Supponiamo
illfine che Cappartenga
ad un83. Allora
sidi mostra nel solito modo che C contiene
una -,.
nonlineare,.
soddisfacente a
proprietà analoghe
allaa), b), c),
ed inoltre allaproprietà :
d")
La seriealgebrica il
costituita daigruppi
della7~
;he passano per un
punto
P diC,
si spezza somma di due serie linearig ; .
Viceversa,
si dinlostrache,
se C contieneuna 72 godente
delle
proprietà a), b), c), d"),
essa è sezionepiana
di unarigata
algebrica (non conica).
-Il caso in cui C
appartenga
ad un82
conduce a una qua-drica,
o ad un cono, o ad uninviluppo piano
dirette;
casi dacui
prescindiamo.
Possiamo
pertanto
concludere nel modoseguente :
Co>gdixio,ie 71ecessaria e
sufficiente,
’una cur2wpiana
C sia sezione dirigata a.l,gebrica
d’ ordinP ii, è che essa una serieolgebrica, ..(~,
con~s =
2, 3,
o4,
tale che :a)
La serie delle sexioni i-ettilitiee di C è contétivita nella"(~.
b)
Igruppi della -"
sonoeqzti-tale iti.
c)
Una serie lineare d’ordiite che abbia trea comune la ha con essa a comune
in finiti
d)
La serie costituita daigrztppi
della"(
che pas-sano per un
punto generico
P diC,
contiene.:,
se-
s =
4; contiene infinite g’, formanti
itizico si-steinase s =
3 ;
si i~ag~,
se s = 2.6. -
Determiniamo ora la condizione necessaria e sufficiente affinchè larigata
di cui la curvaC,
considerata al n.prec., è
sezione
piana,
sia unasviluppabile.
Supponiamo
che C sia sezionepiana
di unasviluppabile.
Allora,
in base al n.4,
C èproiezione
di una curva C appar- tenente ad unaquadrica Q dell’ 85,
da unpiano appartenente
aQ,
ed inoltre lasviluppabile
delletangenti
a Cappartiene
an-ch’ essa a
Q.
_ _
Sia t la
tangente
a C in unpunto P. Appartenendo
peripotesi t
àQ, gli iperpiani tangenti
aQ
epassanti per t
costi-tuiscono
due sistemi lineari002
diiperpiani.
Magli iperpiani
tallenti
aQ,
epassanti
per t sono tutti e soligli iperpiani
aventi con C un inc;ontro
bipunto
in P etangenti
aQ.
E al-lora,
riferendoci aquanto
è stato detto nellaprima parte
deln.
5,
etrasportaíid o queste
considerazioni sulla curvaC,
si hat.he, quando
Cappartiene
larigata
di cui al n. 5 è unasvilupparle,
se e soltanto se la serie1
costituita daigruppi
della YÌ passanti doppiamente
per unpunto
P di C si spezza nella somma di due serie lineari Considerazionianaloghe
siposson fare
quando
Cappartiene
admentre,
se C ap-partiene
adiiii S3,
larigata
nonpuò
essere unasviluppabile, poichè
in tal caso,giusta
il n.4,
lasviluppabile
delletangenti
a C doivrebbe coincidere con la
quadrica
di cui Cappartiene ;
e ciò è
assurdo, poichè
lequadriche
di non sonosviluppabili.
Possiamo
pertanto
concludere :Copidixioi .-, necessaria e
sufficiente, affinchè
lari,gata
di(,-eti al del n. 5 sia una
sviluppabile,
è che la serie ivi considerata sia di dimensione s¿’3,
e che la.serie
algebrica 7-2
costituita daigruppi
della73
che passano(loppia íiente
per unpunto
P di C sispexxi
nella somma d idiie serie lineari
gs-~ .
7. -
Passiamo
ora a dimostrareche, quando
l’ordine ii diuna curva
piana
C è abbastanzagrande rispetto
al genere p di essa, C è sezionepiana
di unarigata (non conica)
di8,.
Se
oa > 2 h - 2,
la seriecompleta
contenente le sezioni ret- tiliuee di C è certamente nonspeciale. Quindi
C èproiezione
diuna curva C di
~S’,. (r = na p)
da unospazio
ad r 3 dimen-sioni. S,-3
che non incontri C.In base al n.
7,
se per C ed8’.-3
passa unaquadrica
di15,. specializzata 20135 volte,
C è certamente sezionepiana
diuna
rigata (non conica)
di"Ç;3.
Occorrepertanto
vedere sottoqriali
condizioni sipuò
far passare perC
ed una talqnadrica.
Si noti anzitutto
che,
se unaquadrica
diS,.
contiene un,
essa èspecializzata (almeno)
r- 5volte;
basteràquindi
iyedere sotto
quali
condizioni sipuò
far passare per C eduna
quadrica
diS,..
4 4
. ,
r +
2’
Le quadriche
di5 dipendono,
come ènoto,
daÌ 2 -
1parainetri. Imponendo
ad una talquadrica
di passare per lacurva
C,
d’ ordine n, si vengono adimporre 2~+1
condizionilineari, perché
unaquadrica
che abbia 2 n+ 1 pnnti
a comunecon
C,
lacontiene per
intero. Eimponetido
ad unaquadrica
diS~- di
contenere di cui sopra, si vengono adimporre-
2 B ) condizioni linear i,
’perche ’
1j punti enerici
diB / , B /
’8,-3
non passa alcuiia suaquadrica,
epertanto
unaquadrica
diobbligata
a passare ,per2 ) punti generici
diS_3,
non-potendo
segarequest’ ultimo
secondo unaquadrica,
lo deve con-tenere per intero. In
complesso,
lequadriche di S, passanti
per- C e p erson soggette
ad al+
2 11+ 1
condi-.
Ì /
zioni lineari
indipendenti.
Pertanto esistono certamente di taliqnadriche, ogniqualvolta
siabbia
.cioè
r~2p+2, ossia,
ricordando che è r = n - ~Non
può
avvenire cheogni
talequadrica C.~
siaspecializzata
r - 2
volte, perchè
in tal caso essa avrebbe undoppio,
daquale
C sarebbeproiettata,
entro un82 generico,
in unaconica,
il che non
può
avvenire se C ègenerica.
Onde Cpuò
essereproiettata doppio
dellaquadrica
in una curva C di unaquadrica Q*
nonspecializzata di Si (i
=3, 4, 5) ;
e cor-rispondenteinente,
1’ per cui passa laquadrica Q
iiitersecaC*
secondo un-3. Pertanto
C èproiezione
di una cui-va Cdi una
quadrica Q*
di~Sz (i = 3,
4 o5)
da unospazio S,-,
appartenente alla _ quadrica
stessa. Se èi 5,
sipuò
far passareper
e perQ*
unaquadrica Qo
di8,
nonspecializzata.
Ed
allora,
C . èproiezione
di una curvaC,
nonpiana,
ap-partenente
ad unaquadrica Qo
di85
nonspecializzata,
da unappartenente
af~o
stessa(bastando prendere
unqualunque
~S2
di60 passante
per81-3).
Dal teorema del n. 2 si deduceallora che C è sezione
piana
di unarigata (non conica)
diS3.’
In conclusione :
Quando
tra n ed il gene~~e p di unaC passa la relazione n ~ ~ p
+ 2,
la curva è certamente sezionepiana
di unari,qata -(non conica)
dellospaxio
ordinario(4).
Utilizzando il fatto che C
può
ottenersi comeproiezione,
da di infinite curve, si
potrebbe
indubbiamente abbassare notevolmente la limitazione3p + 2
stabilita per n. Ma non ci attardiamo su ciò.Da
quanto
abbiamo ora detto risultache, 3 p -;- ~r
Jesiste una
faiiiiglia
dirigate
d’ordine n e genere p, in larigata generica
ha per sexionepiana
la curvapiana generica
ti’ o’rdine ~a e genere p.
Evidentemente,
se la C è dotata di solinodi,
la ri-di cui essa è
piana
non è unasviluppabile, perchè
la sezione
piana
di unasviluppabile
ha unacuspide
nelpunto
d’incontro delpiano
secante con lospigolo
di regresso dellasviluppabile.
§
2. -Caratterizzazione delle
curve didiramazione delle rigate
nonconiche
8. -
Per caratterizzare le curve di diramazione dellerigate
di
83 ,
non resta che trasformare per dualità i risultati ottenutinel §
prec.È
noto che ipiani tangenti
ad unarigata R
nonsviluppa-
bile di
83
costituiscono unarigata-inviluppo 4$,
la cui classeeguaglia
1’ ordine n di .R. Se invece è unasviluppabile,
essaammette oel
piani tangenti,
auzichèoo;
ondequando
una ri-(4)
Essa è poi sempre sezione d’ unarigata
conica ! 1gata
nonsviluppabile
tende ad unarigata sviluppabile,
larigata- inviluppo
ad essa aderentedegenera.
Dualmente,
ad unarigata-í viluppo D generica
di classe tè aderente una
rigata-luogo
R d’ ordine n; ma,quando 4>
tendead una
rigata-inviluppo
che costituisce l’ ente duale di una svi-luppabile (e
chediremo,
perbrevità, rrgata-iravilzcppo bile)
Rdegenera.
La curva di diramazione ottenuta
proiettando
.T~ da unpunto
P diS,
sopra unpiano
1t ha pertangenti
le intersezioni di -,r coipiani
di per P. Ondel’invilitppo
delleiangenli
alla curva di di -an azioiie di una
’rigata luogo
è nello stesso sezionepiana
dellavarietà
costituita daipiani
della,.igata-invilltppo aderente, passanti
perpunto. Viceversa,
lapiana
della ilarietà costituita daipiani
di zcnarigata- iiivititppo passanti
per unpunto,
come risulta dalle considera- zioniprecedenti, è
costituita dalletangenti
alla di di,.a-1nazione di 2coa
1.igala luogo,
tutte le volte che lalccppo
cotiside -ata è uuarigata-iitviltcppo sviluppabile.
9. -
Dualizzando il teorema del n.3,
tenuto anche contodi
quanto
si è detto nel n. prec., e dell’ osservazione del n.4,
si ottiene :
Coudtziooe nece.ssarict e
sufficiente,
zcna czcruapiana
C di classe i sia curua di dii-a iazione di unari,gatcc algeb -ica
li’ ordine it(non
è chel’inuilztppo
dellesue
tangenti
sia sexione di fin sistemaalgebrico 00 l, ~,
did’o -dii e n,
appai-teneiite
ad unaquadí-ica-ini,-iliippo
Q
di55,
nediattte uttpiatao appai-leiiente
alla medesintaQ,
eche non
ogtti ipei-pia?io passante
per l’intersezione di dueipPr-
sucePSSi vi di E
appartenga
aQ.
Ati-, logatiieiite,
se si indica con i l’ indice dispecialità
dellaserie
lineare, appartenente
all’entealgebrico
oo’ costituito dalletangenti
aC,
laquale
consta deigruppi
di rettetangenti
ii Cpassanti
per un medesimopunto,
siottiene,
trasformando per dnalità il risultato del 11. 3: .necessaria e
afti1lchè
C sia ~lidi una
rigata
di83
d’ordine t,svilieppabile)
i~ che
l’ iuc-ilccljpo
delle siec di rcn001 di
ipe -piaiti appai-tei eíite
ad unaquadrica- iiiviluppo
di’,. (r
= +i,
p essendo il genere diC,
e il’indice di
specialità
della serie delle sezioni rettilinee diC;
n > 2), specialix".-ata
r - 5volte,
1nedianteS’l appartenente
a
Q,
e cheogni iperpiallo passante
per didue
iper iiaiii
szcccessivz di 5’appartenga
aQ.
10. -
Se dualizzian10 i risultati dei un. 5 e6,
otteniatno unaC()Ildizioi e necessaria e sufficieote affinchè una curva C
piana
d’orditie n sia curva di diiainazione di una
rigata algebriea
diS3
nonsviluppabile,
basata sulla considerazione di una certa seriealgebrica
digruppi
di retteappartenente
alla curva invi-luppo
aderente aC.
Mapensando
che C è birazionalmenteequi-
valente a detta curva
inviluppo (a
ciascunpunto
di C corri-spondendo
latangente
a C nelpunto stesso),
sipuò
dare unacondizione necessaria e sufficiente che si basi sulla considerazione di una certa serie
algebrica
digruppi
dipunti
sopra C. Essa è lasegueute :
Condizione necessaiia e
sufficienle,
unaC di classe n sia di diraii a;zioiie di una
rigata algebrica
d’ ordine ~a, èche
essa possegga ltna seriealgebrica,
non
lineare, 7n ,
s ==2,
3 o4,
tale che :a)
La serieJ’acobiana
della serie delle sezioni rettilinee di Ccoiizplelata)
è contenuta nella7&,.
b)
Igruppi
della1~
sonoequivalenti.
c)
Una serie linea1’e d’ ordine n, che abbia tregruppi
aC01nune cocz la
#o(,
ha con essa a co nitnein finiti gruppi.
d)
La serie 1 costituita daigrzcppi
della~"
che pas-sano per un
punto generico
P diC,
contieneinfinite g2 ,
se ès =
4;
contieneinfiiaile g;, foi-i zant
un unico sistemase s
= 8;
si spezza in d1teg’,
se s = 2.e)
Ses > 3,
la seriealgebrica
costituita daigruppi
della
ï
che passanodoppiameiite
per zcnpunto
P diC,
nonsi spezza nella sonarna ài due serie lineari
11. -
Finalmente,
trasformando per dualità i risultati deln.
7,
si ottiene che4 .
Una curva
piana
di classe 1~ e p senzaflessi, 3 p + 2,
è curva di dii-ainaxione di unarigata
diS3 ,
d’ordiite n e qenere p.. ,
g. 3..- Spezzamento di
unarigata algebrica di di
genere
ped ordine ~~3p+2~
inpiani
connessimediante rette,
inmodo semplice.
12. -
Sia R unarigata algebrica
di genere p, a moduligenerali.
Sipotrà
allora trovare una curvapiana
C di classe n e genere p, con~~3p-t-2~
birazionalmenteequivalente
alfascio delle
generatrici
di1~ ,
epoichè
C è a moduligenerali,
si
può
supporre addirittura che C sia lagenerica
curvapiana
di classe n e
genere
p.Allora,
in base al teorema che chiude il n.11, possiamo
afferniare che
C
è curva di diramazione di unarigata
F(non conica)
d’ ordine n e genere p, laquale
è birazionalmenteequi-
valente alla
I~, perchè
il fascio delle suegeneratrici
è birazio-ualmente
equivalente
al fascio dellegeneratrici
della .R(5).
13. - In base ad un risultato di SEVERI
("),
le curvepiane
d’ ordine n e genere p dotate di soli nodi formano un solo si- stema
continuo,
contenente tuttigli
n-lateripiani
di genere virtuale p. Inoltre("),
tragli
n-lateri di generevirtuale p
quan- do~~2~+1,
ve ne sono diquelli
in cuiogni
lato contieneal
più
trepunti
di connessione.Dualmente, gli inviluppi piani di rette,
di classe n e genere p,aventi,
come solesingolarità,
rettedoppie
apunti
ditangenza distinti,
formano un solo sistemacontinuo,
a cuiappartengono
()
Cfr. F.SEVERI
eMcWc
Ren-(5)
Cfr. F. Sullaclassifwatione
dellerigate algebriche,
Ren-diconti di Matematica e delle sue
Applicazioni,
Serie6,
vol. 2, laso. 1, pp. 1-32.(6)
Yorlesungen
überalgebraische Geometrie, Anhang F., Teubner, Berlino,
1921.(7) Op.
cit. in(1).
tutti
gli inviluppi spezzati
iu ii fasci di rettedistinti,
di generevirtuale (e
che diremo brevementen-goni
di genere virtua- lep).
Sia A un tale Tra le rette che
congiungono
a duea due i centri
degli
n fasci diA,
ve ne sonon, -~- ~ 1
chenon sono limiti di rette
doppie dell’inviluppo
irriducibile del sistema conti nuo cuiappartiene
A. Esse sonopertanto
da con-siderarsi rette di connessione di A.
Quando
una curva d’ordine n e genere p tende ad un t-latero di genere virtuale p,l’ in viluppo
delle suetangenti
tenrle al sistelua delle rette dei fasci aventi per centri i
punti
diconnessione dell’ ii
latero, ogni fascio
contando duevolte. E, dualmente, quando
uninviluppo
di classe n e genere p tende ad un ii-gono di genere virtuale p, la curvaluogo inviluppata
tende al sistema delle rette di connessione dell’ n-gono,
ogni
tale retta contando due volte.
14. - Essendo la curva C di cui al n. 12 una curva gene- rica di
classe z
e genere p, con3-{-2, quindi in parti-
eolare
2-}-1,
si possonoapplicare all’ inviluppo
delle suetangenti
le considerazioni del n. prec.Si
può
cioè far tendere C ad una curva Aspezzata
+1
rettedoppie,
in niodo chel’inviluppo
delletangenti
aC tenda all’ n-gono 11 costituito dai fasci che
hanno
per centrigli n punti
di connessione di á.Inoltre,
per ognuno deipunti
di connessione di A non passano mai
più
di tre rette di A.Nella
proiezione
di F sulpiano n-plo,
che dàluogo
allacurva di diramazione
C,
legeneratrici
di F siproiettano
nelletangenti
a C.Onde, quando
C tendeaà,
F tende ad unarigata
W per cui il fascio delle
generatrici
si spezza in n fascidistinti,
necessariamente del
plimo ordine;
di luodo che 4’ risulta spez-zata iu
piani.
Duepiani
di ~h’ si connettono secondorette,
aventiper
immagini,
sulpiano multiplo,
rette di à.Inoltre, poichè
ipunti
di connessione di A sun leproiezioni
dei centri dei fascidai
generatrici
di~f,
epoichè
perogni punto
di connessione di~ passano al
più
tre rette diA,
si ha che su ciascuno deipiani
di W ci sono al
più
tre rette di connessione di T.Esse,
comeera
già noto, appartengono
allegeneratrici
diT,
e passanoquindi
pel
centro del fascio digeneratrici
di qr che si trovano sulpiano
considerato.Giungiamo pertanto
alseguente
risultato :Data una
rtgata
R di genere p, agenerali,
trale
rigate
biraxionalmenteequivalenti
ad R se nepuò
trovareZcna
F,
suqcettibile ditendere,
concontinuità,
adrigata
qrspezxata
inpiani,
connessi loro mediaiiterette,
di
inodo
che s2c ciascunpiano
non cadan di tre rettedi connessione.