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Solution de la question 463

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Academic year: 2022

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(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L. B RAULT

Solution de la question 463

Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 18 (1859), p. 217-218

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1859_1_18__217_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1859, tous droits réservés.

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(2)

SOLUTION DE LA QUESTION 465

(voir p. 116 ) ;

PAR M. L. BRAULT, Élève de l'institution Barbet.

Soit Téquation

(i) .r"+tfl.z"-1-f-tf>.rn-2H-. . . H-a»-»a?-h

si-

— \)a\ —

l'équation a au moins un couple de racines imaginaires.

TOEPLITZ .

On sait que si

f(x)=zO

(3)

a toutes ses racines réelles, les équations

/ ' ( * ) = O, / " ( * ) = r O , . . . ,

ont aussi leurs racines réelles. La dérivée de l'ordre (n—i) du premier membre de l'équation ( i ), égalée à zéro, donne, en ôtant un facteur commun,

(2) n[n — j ) . rî- h 2 ( r t — 1) tft .r -f- ia2 = O-

La condition de réalité des racines de cette équation est

[n — 1) a\ —

Or si Ton a

on aura, à fortiori,

[n — 1) a\ —

et, dans ce cas, Inéquation (2) ayant ses racines imagi- naires, l'équation (1) aura au moins un couple déracines imaginaires.

Note du Rédacteur, {n—i)a\ — ina^ est la somme des carrés de la différence des racines. Toute fonction symétrique dont chaque terme ne renferme que des expo- sants pairs, positifs ou négatifs, fournit un critérium lorsque cette fonction a une valeur négative.

M. Chabirand, élève de l'école préparatoire de Sainte- Barbe , donne la même solution que M. tfrault.

Références

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