G217 Référendum [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Le dépouillement peut être vu comme une suite formée de n "N" et de o "O".Il y en a C(n;n+o) = C(o;n+o) en tout et nous considérons qu'elles sont toutes équiprobables ce qui permet d'utiliser la formule nombre de cas favorables / nombre de cas.Si à "N", nous
associons le déplacement (1;0) et à "O", le déplacement (0;1), alors le dépouillement peut être modélisé comme un chemin de (0;0) vers (n;o).Quitte à permuter le rôle de o et n, nous supposons à partir de maintenant que n>o.
* Cas où le non est majoritaire (au sens strict)
Cela signifie que le chemin correspondant au dépouillement reste toujours en dessous (au sens strict) de la bissectrice, c'est à dire qu'excepté (0;0), il ne touche (ni a fortiori ne franchit) jamais la bissectrice.
Les deux premiers bulletins doivent être nécessairement des "N".Il y a C(o;n+o-2) - C(o- 2;n+o-2) tels chemins. Cette formule peut être démontrée par récurrence (calcul un peu fastidieux).
Elle peut être également démontrée en utilisant un principe de réflexion en comptant les chemins de (2;0) vers (n;o) touchant ou franchissant la bissectrice par une bijection dans l'ensemble des chemins joignant (2;0) à (o;n) (symétrique de (n;o) par rapport à la
bissectrice). En considérant (x;y) le premier point touchant la bissectrice, nous associons au chemin initial, un chemin constitué du même trajet (2;0)-(x;y) puis du trajet symétrique par rapport à la bissectrice, aboutissant en (o;n).
Réciproquement à tout chemin joignant (2;0) à (o;n) il est nécessaire de franchir la bissectrice par continuité (rappelons que n>o). En notant (x;y) le premier point de franchissement, nous associons au chemin initial, un chemin constitué du même trajet (2;0)-(x;y) puis du trajet symétrique par rapport à la bissectrice, aboutissant en (n;o). Par construction l'injectivité est assurée dans les deux sens, d'où la bijectivité.
La probabilité recherchée vaut donc [C(o;n+o-2) - C(o-2;n+o-2)]/C(o;o+n) = (n-o)/(n+o).
* Cas où le non est majoritaire (au sens large)
Cela signifie que le chemin correspondant au dépouillement reste toujours en dessous (au sens large) de la bissectrice, c'est à dire qu'il peut éventuellement toucher la bissectrice sans jamais la franchir.Le premier bulletin doit être nécessairement un "N". On peut facilement se
ramener au cas précédent en translatant le chemin de (1;0), ce qui revient à dénombrer les chemins de (2;0) vers (n+1;o) ne touchant (ni a fortiori ne franchissant) pas la bissectrice.
La probabilité recherchée vaut donc [C(o;n+o-1) - C(o-2;n+o-1)]/C(o;o+n) = (1+n-o)/(1+n).
Application dans le cadre du référendum :
dans le premier cas, on trouve 9,7 %, soit près d'une chance sur 10.
dans le second cas, on trouve 17,7 %, soit près d'une chance sur 6.
