Figures élémentaires de la géométrie Figures élémentaires de la géométrie

Figures élémentaires de la géométrie Figures élémentaires de la géométrie

I.

I. Le point Le point

1/ Représentation graphique

On représente un point à l'aide de deux traits qui se croisent ou se rejoignent.

Remarque

« . » n'est pas un point en mathématiques mais un point de fin de phrase.

2/ Nom/Notation

On nomme les points à l'aide de lettres majuscules d'imprimerie : A, B, C, D, E etc. La lettre se place à côté de l'intersection des deux traits sans être sur les traits.

Remarque

Les lettres ne doivent pas suivre l'orientation de la figure. La figure ci-contre n'est pas correcte.

A

B

C

P

II.

II. La droite La droite

1/ Représentation

Graphiquement, on représente une droite par une ligne droite finie (bien que la représentation mentale qu'on doit en avoir est différente).

Remarque

Attention, il est important d'avoir une représentation mentale la plus juste possible. La droite est un trait « infini » qui n'a ni début ni de fin.

Question ?

Les droites ci-contre se croisent-elle ?

2/ Nom/Notation

Propriété fondamentale des droites

Par deux points, il ne passe qu'une seule droite.

Notation 1

Lorsqu'une droite passe par deux points A et B, on dit « la droite A,B » et on note (AB) ou (BA).

S'exprimer

On parle de la droite passant par A et B.

Notation 2

Lorsqu'il n'y a pas de point sur la droite, on remplace les points par une lettre minuscule : (d).

Si la figure contient d'autres droites, on utilise : (d1), (d2), (d3)....

Ou encore (d') et (d'') qui se disent « d prime » et « d seconde ».

A

B

(d)

Remarque

En géométrie, la parenthèse est à associer à l'idée d'infinitude.

Exemple

Donne tous les noms possibles.

(d

1

) (d

2

)

(AB) ou (BA) (BE) ou (EB)

3/ Vocabulaire

Définition 1

Trois points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite.

Définition 2

Deux droites sécantes en A sont deux droites qui se coupent au point A.

Définition 3

Plusieurs droites sont concourantes en A si elles se coupent au point A.

D

C B A

(d₁)

(d₂)

E

E R

G

(d₁)

(d₂)

A

III.

III. Les parties d'une droite Les parties d'une droite

1/ Le segment

Définition

Un segment est une partie de droite située entre deux points. Ces deux points sont appelés les extrémités.

Représentation graphique

On représente un segment par une ligne droite bordée de deux traits.

Nom/Notation

On utilise une paire de crochets pour la notation des segments.

Le segment ci-contre se note [AB] ou [BA].

S'exprimer

On parle d'un « segment d'extrémités A et B ».

2/ La demi-droite

Définition

Une demi-droite est une partie de droite située après ou avant un point. Ce point est appelé l'origine de la demi- droite.

Représentation

Une ligne droite bordée d'un trait

Notation

On utilise un parenthèse et un crochet. La demi-droite ci-dessous se note [AB) ou (BA]. Le crochet est toujours accolé au point qui est l'origine. On parle de la « d

emi-droite d'origine A et passant par B

. »

A B

A

B

Exercice cours

Faire venir des élèves au tableau pour désigner ^AB,

[

AC

]

, [AF), (DC]...

IV.

IV. Appartenance Appartenance

Si un point appartient à une droite d, on note : M (d).∈

Si un point N n'appartient pas à un segment

[

AB

]

, on note N [AB].∉

Exemple

Observe la figure puis complète le tableau avec ∈ou ∉ :

I ...



d



_{J ...}



d '



_{R ...}



IJ



_{M ...}



d



G ...



d



_{O ...}



JR



_{J ...}



d



_{G ...}



MR



Histoire du symbole "appartient à"

Le mathématicien italien Giuseppe PEANO (1858-1932) utilise le symbole ε (epsilon) dans ses « Arithmetices prinicipia nova methodo exposita », en 1889 et dans « Formulaire de mathematiqués », en 1897, pour désigner l'appartenance à un ensemble. Cela viendrait en fait de la première lettre du mot grec « ἐστι » qui signifie « est ».

Le symbole ∈ pour désigner l'appartenance apparaîtrait dans le traité du mathématicien anglais Bertrand Arthur William RUSSELL (1872-1970), « Principles of Mathematics en 1903 ».

(d)

I

J

O

M G R

(d')

V. V. Longueur d'un segment Longueur d'un segment

La règle graduée permet de mesurer un segment. On obtient alors sa longueur.

Notation

La longueur du segment

[

AB

]

se note sans aucun symbole particulier : AB.

Exemples

AB=... cm CD=...cm VU=...cm VW=...cm

Remarque

Dans la figure ci-contre, on a EF

=

HG mais [EF]≠[HG] ! A méditer ...

Codage

Dans une figure, des longueurs égales peuvent se noter directement sur la figure grâce à de petits symboles : traits, croix, ronds et vagues. Voici quelques exemples :

Rappel

Convertir les longueurs suivantes :

2,5m=...cm 2,8cm=...mm 25cm=...m V

U

W A

B

C

D

E

F

H

G

M

D K

I

J K L

R

B

Q

VI.

VI. Milieu d'un segment Milieu d'un segment

Défi nition

Le milieu d'un segment est le point (de ce segment) situé à égale distance des extrémités. On dit qu'il est équidistant des extrémités.

Remarques

AI est la moitié de AB : ^AI=AB₂ AB est le double de IB : AB=2×IB

Construction à la règle et au compas

•

A l'aide du compas, prendre un écartement suffisamment grand (plus grand que la moitié de la longueur du segment pour que les arcs se croisent).

•

Pointer sur les extrémités pour former deux paires d'arcs de cercle qui se croisent ; deux points sont alors constitués.

•

Placer la règle contre ces deux points puis tracer le milieu.

A

B I I [AB] et AI=IB∈