Programme de colle de maths

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Les séries numériques :

ä Dénitions : sommes partielles, série convergente et divergente, somme et reste d'une série convergente.

ä Propriétés : • si la sérieX

u_nconverge, alors lim

n→+∞u_n = 0. (Un contre-exemple de la réciproque doit être connu)

• opérations sur les séries convergentes.

ä Séries de références : • la série géométriqueX

n>0

xⁿ et les sériesX

n>0

nxⁿ et X

n>0

n²xⁿ

• la série exponentielleX

n>0

xⁿ n!·

ä Séries à termes positifs :

• Propriété fondamentale :

une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

• Théorème de comparaison des séries à termes positifs : soientX

u_n etX

v_n deux séries telles que, à partir d'un certain rang, 06u_n6v_n; si la sérieX

v_n converge, alors la sérieX

u_n converge si la sérieX

un diverge, alors la sérieX

vn diverge.

Les casun ∼

n→+∞vn etun= o

n→+∞(vn)sont HP et à redémontrer à chaque utilisation.

ä Toute série absolument convergente est convergente.

Les espaces probabilisés :

ä Dénition d'un espace probabilisé. Propriétés d'une probabilité. Formule de Poincaré. Système complet d'événements.

ä Probabilité conditionnelle : dénition, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

ä Indépendance de deux événements, indépendance (mutuelle) d'une famille (nie ou dénombrable) d'événements.